专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（原卷版）

专题03二次函数与一元二次方程重难点题型专训【题型目录】题型一求抛物线与x、y轴的交点坐标题型二由二次函数解一元二次方程题型三由二次函数的图象求不等式的解集题型四抛物线交点问题的综合题型五根据二次函数图象确定相应方程根的情况题型六求x轴与抛物线的截线长【知识梳理】知识点：二次函数与一元二次方程1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.知识点：二次函数与不等式判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解【经典例题一抛物线与x、y轴的交点坐标】【例1】（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）已知抛物线的顶点为M，直线与该抛物线交于点M和，若，则直线与x轴交点的横坐标p的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（）A． B． C．或3 D．或2．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为______．

3．（2023·新疆喀什·统考三模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于，点P在抛物线上，横坐标设为m．

(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为，求m的值．【经典例题二由二次函数解一元二次方程】【例2】（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）已知二次函数（a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，则关于x的一元二次方程的两个实数根分别是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·湖北武汉·九年级湖北省水果湖第一中学校考期中）抛物线的图象经过点，则关于x的一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．2．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为______.3．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料：材料1．已知实数m、n满足，且，求的值．解：由题意知m、n是方程的两个不相等的实数根，得，∴材料2．如图，函数的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当时，；当时，．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．所以方程的一个根所在的范围是．根据上述材料解决下面问题：

(1)已知实数m、n满足，，且，求的值．(2)已知实数p、q满足，，，且，求的值．(3)若关于x的一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．【经典例题三由二次函数的图象求不等式的解集】【例3】（2022·内蒙古呼和浩特·校考一模）已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为（

）A．或 B．或 C． D．【变式训练】1．（2023·山东东营·统考一模）如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（

）A． B．C． D．是不等式的解2．（2023·上海普陀·统考二模）抛物线开口向上，且过，下列结论中正确的是_________（填序号即可）．①若抛物线过，则；②若，则不等式的解为；③若，、为抛物线上两点，则时；④若抛物线过，且，则抛物线的顶点一定在的下方．3．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)用类似的方法解一元二次不等式：．(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．…401234……50010…②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．③结合函数图象，解决下列问题：解不等式：

【经典例题四抛物线交点问题的综合】【例4】（2023·山东济南·统考二模）二次函数分别交x轴、y轴于P，Q两点，点C的坐标是（2，1）．若在线段上存在A，B两点使得为等腰直角三角形，且，则b的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【变式训练】1．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．其正确结论有（

）个A．0 B．1 C．2 D．32．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线（）．现给出以下结论：①该抛物线与y轴的交点坐标是；②当时，抛物线与直线没有交点；③若该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间．其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点都在抛物线上．(1)当时，求的值；(2)当时，求的取值范围；(3)在（1）的条件下，设抛物线与轴正半轴交于点A，与轴交于点B．将抛物线沿着轴向上平移个单位长度得到抛物线，若抛物线与轴交于C，D两点，与轴交于点E，且，．求抛物线在的最高点的纵坐标．【经典例题五根据二次函数图象确定相应方程根的情况】【例5】（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）一元二次方程的两个根分别为和4，若二次函数与轴的交点为，，则对于，的范围描述正确的是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于_____．3．（2022秋·浙江·九年级期中）宏志班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：01233003其中，(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质：①；②．(4)关于的方程有4个实数根时，的取值范围是．【经典例题六求x轴与抛物线的截线长】【例6】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（

）A． B． C． D．20【变式训练】1．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）已知二次函数，当时，，则当时，的取值范围为（

）A． B． C． D．不能确定2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，则线段AB的长的最小值为______．3．（2023·河南洛阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)抛物线的顶点坐标为______（用含m的式子表示）；(2)已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．①若，求抛物线的解析式；②若，请直接写出m的取值范围．【重难点训练】1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考二模）函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且，，当时，该函数的最小值m与b的关系式是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（

）A．或或 B．或C．或 D．或或4．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023春·浙江·九年级专题练习）抛物线与轴交于，两点，和也是抛物线上的点，且，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，若的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．

9．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：x…0135…y…77…则一元二次方程的解为____________．10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则不等式的解集是__________．11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在之间（包含端点），则的取值范围为___________．12．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为．若直线与图象恰好有3个交点，则___________．13．（2021·浙江金华·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．（2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__．14．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是_____．15．（2023·浙江杭州·校考二模）已知关于的二次函数．(1)该函数的图象与轴只有一个交点，求与之间的关系；(2)若，当时，随的增大而增大，求的范围；(3)当，，该图象不经过第三象限，求的取值范围．16．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数．(1)二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．17．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．18．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标；(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值？19．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）设二次函数（，是常数）的图像与轴交于，两点.(1)若，两点的坐标分别为，，求该二次函数的表达式.(2)若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值.(3)设一次函数（是常数），若二次函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时