广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二（下）期中数学试卷（含答案）

广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二（下）期中数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（）A．A53 B．3C51 2．如图是函数y=f(x)的导函数f'A．函数f(x)在区间(−2,1B．函数f(x)在区间(1,3C．函数f(x)在区间(4,5D．函数f(x)在区间(−3,−2)上单调递增3．若随机变量ξ满足E(1−ξ)=4，D(1−ξ)=4，则下列说法正确的是()A．Eξ=−4，Dξ=4 B．Eξ=−3，Dξ=3C．Eξ=−4，Dξ=−4 D．Eξ=−3，Dξ=44．设曲线f(x)=asin(−x)−ln(x+1)在(0,0)处的切线方程为A．−2 B．1 C．2 D．35．已知(1+x)(1−2x)8=a0A．29 B．29−1 C．36．若a=12ln2，A．b>a>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a7．国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．378 B．306 C．268 D．1988．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数a，n(n≥2)，若存在一个整数x，使得n整除x2−a，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a，记事件A=“a与12互质”，B=“a是12的二次非剩余”，则A．314 B．37 C．57二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法10．设随机变量ξ的分布列为P(ξ=kA．15a=1 B．P(0.5<ξ<0.8)=0.2C．P(0.1<ξ<0.5)=0.2 D．P(ξ=1)=0.311．已知函数f(x)=xA．函数f(x)存在三个不同的零点B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值C．若x∈[t,+∞)时，f(x)max=5D．当−e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)−P(X=0)=0.2，则P(X=1)=13．长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有20%的人免疫力低下，而该社区大约有10%的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为40%，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为．14．已知函数f(x)=ex−e−xex四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．若x=1是函数f(x)=1（1）求a的值；（2）求函数y=f(x)在区间[0，16．二项式(13x−x（1）展开式中所有二项式系数的和；（2）展开式中所有的有理项．17．玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只．假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．18．已知某闯关游戏，第一关在A，B两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．A情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分；B情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分．已知某玩家在A情境中寻宝成功的概率为0.8，在B情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．（1）若该玩家选择从A情境开始第一关，记X为经验值累计得分，求X的分布列；（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．19．已知函数f(x)=(2−a)lnx+1（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a∈(−8,−2)时，若存在x1，x2∈[1,2]

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：甲乙丙三名学生每人都从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科，即可看作甲乙丙依次选择一科，分三步完成，每一步都有5种选法，故共有5x5x5=53种选法.

故答案为：D

【分析】甲乙丙三人各自有5种选法，根据分步乘法计数原理，可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：根据导函数f'(x)的图像可得：当x∈-3,-1∪2,4时，f'(x)<0，

当x∈-1,2∪4，+∞时，f'(x)>0，

则y=f(x)在-3,-1和2,4上单调递减，在-1,2和4，+∞单调递增，故C选项正确.

故答案为：C.3．【答案】D【解析】【解答】解：根据E(1−ξ)=4，D(1−ξ)=4，可得：1-E(ξ)=4，-12D(ξ)=4，则Eξ=−3，Dξ=4，故D选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】本题主要考查随机变量的期望和方差的计算，具有线性关系的Y=aX+b的两个随机变量X，Y的期望，方差的计算公式为：

4．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意可得：f(x)=-asinx−ln(x+1)，求导可得：f'(x)=-acosx−1x+1，则f'0=-a-1，

因曲线y=fx在(0,0)处的切线方程为y=x，则f'0=-a-1=1，解得：a=-25．【答案】D【解析】【解答】解：因为(1+x)(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a9x9，x∈R，所以令x=0，可得：a=1；6．【答案】D【解析】【解答】令f(x)=lnx故x∈(0，e)时f'(x)>0，x∈(e，+∞)时所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，因为a=12ln2=ln所以c>b>a，故答案为：D

【分析】首先由对数的运算性质整理化简a、b、c，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，利用函数的单调性即可比较出大小。

7．【答案】D【解析】【解答】解：分两种情况讨论.①若选两个国内媒体一个国外媒体，有C6②若选两个外国媒体一个国内媒体，有C6所以共有90+108=198种提问方式。故答案为：D

【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理，从而求出不同的提问方式的种数。8．【答案】C【解析】【解答】解：在1到20这20个整数中与12互质的有1，5，7，11，13，17，19，即A=1,5,7,11,13,17,19；

再根据二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩余，则x2-a12=整数的整数x不存在，

当a=1时，x=1，当a=13时，x=5，当a=5，7，11，17，19时，x不存在，即A∩B=5,7,11,17,19，

由事件A有7种情况，事件A∩B有5种情况，所以P(B|A)=9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.从中任选1个球，有4+5+6=15种不同的选法，所以该选项正确；B.若每种颜色选出1个球，有4×5×6=120种不同的选法，所以该选项正确；C.若要选出不同颜色的2个球，有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法，所以该选项错误；D.若要不放回地依次选出2个球，有15×14=210种不同的选法，所以该选项正确.故答案为：ABD

【分析】结合排列组合中的加法原理及乘法原理逐一判断即可得答案.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k∴P(ξ==a+2a+3a+4a+5a=15a=1，解得a=1A符合题意；∴P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=3∴P(0.1<ξ<0.5)=P(ξ=1∴P(ξ=1)=5×1故答案为：A、B、C.【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得15a=1，即可判断A、D；由P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=35)11．【答案】B,D【解析】【解答】解：因为函数f(x)=x2+x−1ex，所以f'x=-x2+x+2ex，令f'x=-x2+x+2ex=0，解得：x=-1或x=2，当x<-1或x>2时，f'x<0，当-1<x<2时，f'x>0，所以函数f(x)在-∞，-1和12．【答案】0.6【解析】【解答】随机变量X服从两点分布，则P(X=1)+P(X=0)=1，又P(X=1)−P(X=0)=0.2，联立解得故答案为：0.6.

【分析】根据两点分布的性质即可得出答案。13．【答案】8【解析】【解答】解：设事件A表示“免疫力低下”，事件B表示“长期熬夜”，根据题意可得：PA=0.2,PB=0.1,PA|B=0.4，

所以PAB=PA|BPB14．【答案】1【解析】【解答】解：令gx=fx-12=ex−e−xex+e−x+2024x，则g-x=e-x−exe-x+ex+2024-x=-ex−e-xex+e-x+2024x=-gx，

且定义域为R，所以gx为奇函数，又因为gx=1-2e-xex+15．【答案】（1）解：f'由题意知f'(1)=1+2(a+1)−(a=−3时，f'f(x)在区间(−∞，1)，x=1是f(x)的极大值点，符合题意.a=2时，f'f(x)在区间(−∞，−7)，x=1是f(x)的极小值点，不符合题意.则a=−3.（2）解：由（1）知f(x)=13x3−2又f(0)=0，f(1)=43，f(3)=0，则f(x)min=0【解析】【分析】（1）由f'(1)=0求得a的值；

（2）由（1）知函数f(x)的单调性求得函数f(x)在区间16．【答案】（1）解：二项式(13x令r=2，得第三项的系数为：14Cn依题意，得Cn4=4⋅n(n−1)8，解得n=6所以展开式中所有二项式系数的和为26（2）解：因为n=6，所以当r=0，3，6时，4r−63分别为−2，2，6所以展开式中所有的有理项为：T1T4T7【解析】【分析】（1）写出展开式的通项公式，即可得到第五项的二项式系数与第三项的系数，从而得到方程，根据组合数的性质求出n，再根据二项式系数和为2n进行计算即可求解；

（2）根据二项式展开式的通项公式，写出展开式的通项公式，然后找到4r−617．【答案】（1）解：设A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”事件，Bi表示“箱中恰好有ii=0，1，2，由题设可知，P(B0)=0.8，P(B1P(A|B1)=所以P(A)=P(B即顾客买下该箱玻璃杯的概率为448475（2）解：因为P(B所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是95112【解析】【分析】（1）设A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”事件，Bi表示“箱中恰好有i件残次品”事件，且i=0，1，2，根据题意得到P(B0)，P(B1)，P(18．【答案】（1）由题意知：X所有可能的取值为0，2，5，∴P(X=0)=1−0.8=0.2；P(X=2)=0.8×(1−0.6)=0.32；P(X=5)=0.8×0.6=0.48，∴X的分布列为：X025P0.20.320.48（2）由（1）得：从A情境开始第一关，则E(X)=0×0.2+2×0.32+5×0.48=3.04；若从B情境开始第一关，记Y为经验值累计得分，则Y所有可能的取值为0，3，5，∴P(Y=0)=0.4；P(Y=3)=0.6×(1−0.8)=0.12；P(Y=5)=0.8×0.6=0.48，∴E(Y)=0×0.4+3×0.12+5×0.48=2.76；∵E(X)>E(Y)，∴应从A情境开始第一关.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出随机变量X的分布列。

（2）由（1）得：从A情境开始第一关，再利用随机变量X的数学期望的求解方法，从而求出随机变量X的数学期望，若从B情境开始第一关，记Y为经验值累计得分，从而求出随机变量Y所有可能的取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出随机变量Y的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望的公式，从而求出随机变量Y的数学期望，再利用E(X)>E(Y)，从而推出应从A情境开始第一关。

19．【答案】（1）解：已知f(x)=(2−a)lnx+1x+2ax可得f'当a≥0时，ax+1>0，令f'解得x=1当x∈(0,12)时，f当x∈(12,+∞)时，f