中职高考数学二轮复习专项突破讲与测专题三 二次函数及应用（解析版）

专题三（二）二次函数及应用思维导图1.2知识点识记1、一般式：。2、图像：图像为一条抛物线，对称轴为直线；顶点坐标为；当a＞0，抛物线开口向上，当a＜0，抛物线开口向下；c值是抛物线与y轴截距（与y轴交点的纵坐标）。3、单调性：当a＞0，在区间为减函数；在区间为增函数；当a＜0，在区间为增函数；在区间为减函数。最大值与最小值当a＞0，时，；当a＜0，时，；对称性：设二次函数的对称轴x=h，则对任意实数x，其满足f(x+h)=f(x-h),即自变量到对称轴距离相等，其对应函数值就相等。1.2.2基础知识测试1、二次函数是偶函数的充要条件是b=0。〖解析〗二次函数是偶函数，等价于其对称轴；故答案为b=0。已知二次函数y＝－3x2－6x＋9，其顶点式为,交点式为，对称轴为x=-1。当x＝x=-1时，y有最大值，ymax＝12。当y＝0时，x1＝-3，x2＝1。当y>0时，x的取值范围（-3,1）。当y<0时，x的取值范围是。〖解析〗二次函数y＝－3x2－6x＋9=-3(x2+2x)+9=-3(x2+2x+1)+9+3=-3(x+1)2+12。已知二次函数的图像右图所示，则a＜0,b＞0,c＞0,△＞0；单调递增区间为，单调递减区间为。〖解析〗（1）由图像可知，∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线对称轴在y轴右侧，且a＜0，∴；∵抛物线与y轴相交于其正半轴，∴c＞0；∵函数图像与x轴有两个交点，∴根的判别式△＞0。（2）由图像可知，函数对称轴处取得最大值，所以单调递增区间为，单调递减区间为。4、函数y=-3(x-2)2+3图像的顶点坐标为（）。A.（2,3）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）〖解析〗二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中，（h，k）即为图像的顶点坐标；故答案为A。5、已知函数，则m=（）。A.2B.-2C.10D.-10〖解析〗由函数单调区间可知，函数在x=-1处为增区间与减区间的分界点，即其对称轴；故答案为C。6、函数的图像具有性质为（）A.开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）B.开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,0）C.开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）D.开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,0）〖解析〗C。函数，所以函数的开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）；故答案为C。7、已知二次函数的顶点坐标为（2，-1），且图像经过（1，5），则该函数解析式为。〖解析〗根据已知条件设出二次函数的顶点式，将顶点坐标（2，-1）及位于轨迹上点（1,5）代入解析式，即可求解得：a=6，h=2，k=-1；所以二次函数的解析式为。已知二次函数的图像可能为下列选项（）。〖解析〗B。由题意可知，二次函数的开口向上，且其对称轴，应位于y轴的左侧，所以答案为B。9、已知函数的图像经过原点，则当，x的取值范围为。〖解析〗根据函数的图像经过原点可知，m-1=0，即m=1；根据题意可得到不等式为，解得-2＜x＜0；故答案为（-2，0）。10、设。〖解析〗根据偶函数定义知，定义域关于原点对称，即1+a=-1，解得a=-2；且二次函数的对称轴，所以原函数为，解得自变量-1＜x＜1；所以函数的解集为（-1,1）。1.2.3职教高考考点直击函数部分在职教高考中为常见考点，分值较高，考频较高，选择题在4-5道左右，解答题1-2道，总分值在20分上下。其内容以函数定义域、奇偶性及单调性为主要考查点，常与不等式、解析几何、数列等知识结合考查，难度中等，复习中加强此部分学习将会在考试中起到事半功倍的效果。1.2.4高考经典例题剖析例1（2015年山东春季高考）已知函数式，A.-3B.-1C.1D.3〖解析〗∵∴，故答案为A。〖点评〗考查奇函数定义求证的方法与技巧。变式1（）。A.B.C.D.〖解析〗当x＜0时，-x＞0，则f(-x)=(-x)2+(-2x)=x2-2x；又f(x)为偶函数，所以当x＞0时，f(x)=f(-x)==x2-2x；故答案为B。例2（2013年山东春季高考）二次函数的对称轴是（）。A.x=-1B.x=1C.x=-2D.x=2〖解析〗由题意知二次函数图像为抛物线，且与x轴的交点为（1,0）和（3,0），所以其对称轴；所以答案D。〖点评〗中点M坐标公式：。变式2二次函数的最小值是（）。A.-1B.1C.2D.-2〖解析〗由题意知二次函数图像为抛物线开口向上，所以函数存在最小值，且与x轴的交点为（1,0）和（3,0），所以其对称轴为，即函数在对称轴x=2处取得最小值ymin=-1；故答案为A。例3（2015年山东春季高考）函数的最大值是1B.函数图像的对称轴是直线x=1C.函数的单调递增区间是D.函数图像过点（2,0）〖解析〗函数对称轴，所以B正确；图像开口向下，且在对称轴处取得最小值ymin=1，所以A正确；将点（2,0）代入方程且等式成立，所以D正确；故答案为C。〖点评〗二次函数性质和图像：奇偶性、对称轴、最大值、最小值、单调性为常考知识点。变式3。A.B.C.D.〖解析〗由题意可知；，；其对称轴为，且图像开口向上，所以其单调递增区间为，故答案为A。例4、（2019年山东春季高考）已知二次函数的图像顶点在直线上，且求该函数解析式。〖解析〗；又因为函数的顶点在直线上，即联立方程组，即二次函数图像的顶点为（2，3），设其顶点式为：，将代入得a=-4，所以二次函数解析式为。〖点评〗二次函数解析式：一般式、交点式、顶点式三种形式，需要根据具体条件选择合适的形式，求解待定系数。例5、已知函数。B.C.D.〖解析〗由题意可知需讨论函数的二次项系数问题：当a-1=0，即a=1时，函数解析式为，图像不关于y轴对称；当a-1≠0，即a≠1时，函数图像为抛物线，其对称轴为，且开口向下；所以的单调增区间为，故答案为C。变式4已知二次函数经过点（1，0）（0，3），且区间[1,5]上是增函数，且其。求函数的解析式；求不等式的解集。〖解析〗（1）依据题意可知；又因为函数图像经过（1，0）（0，3），代入函数解析式得：，所以解析式；（2），解得x＜0或x＞2，故不等式解集为。〖点评〗主要考查二次函数解析式的求解方法及结合不等式知识的综合计算。1.2.5考点巩固练习一、选择题1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在第三象限内，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的取值范围是()a＜0,b＜0，c＜0B.a＞0,b＞0，c＜0C.a＜0,b＜0，c＞0D.a＞0,b＜0，c＜0〖解析〗B。由二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点在第三象限内，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，可判断其图象开口向上，a>0；且对称轴；∴b>0；根据顶点、对称轴以及其中的一个交点在x轴的负半轴上，可知其图象与y轴的交点在y轴的负半轴，故c<0，故答案为B。2、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝2，图象与y＝1的两交点坐标是(x1，1)，(x2，1)，则x1＋x2等于()（）4B.6C.10D.12〖解析〗A。二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝2，图象与y＝1的两交点坐标是(x1，1)，(x2，1),根据中点距离公式：，即x1＋x2=4；故答案为A。3、下列函数图像中，对称轴是直线x=1的是（）。（1）y=2x2+4x-3（2）y=2x2-4x+3（3）y=-3x2-6x-3（4）y=-3x2+6x-3A.(1)和(2)B.(2)和(3)C.(1)和(3)D.(2)和(4)〖解析〗D。二次函数对称轴为：，所以（1）函数的对称轴为；（2）函数的对称轴为；（3）函数的对称轴为；（4）函数的对称轴为；故答案为D。4、下列选项可表示为二次函数f(x)＝-x2＋4x＋c图像的是（）〖解析〗C。函数解析式可知，a=-1＜0，所以图像开口向下；对称轴；故答案为C。5、设x，y满足y=-x+1，则x2+y2的最小值为（）。A.1B.C.D.2〖解析〗C。∵y=-x+1，∴x2+y2=x2+（-x+1）2=x2+x2-2x+1=2x2-2x+1；即原式可等价为关于x的一元二次方程，且其开口向上，∴最小值为；故答案为C。6、函数（）A.B.C.D.〖解析〗D。，；答案为D。7、在RT△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=4，M为线段AC上动点，设点M到BC距离为x，△ABC的面积为y，则y关于x的函数是（）A.B.C.D.〖解析〗B。结合三角形面积公式可得：；故答案为B。8、（）。A.B.C.D.无法确定〖解析〗B。考查函数根判别式的应用：由题意知，故答案为B。9、已知二次函数顶点为A，对称轴为L1,对数函数图像与x轴交于点B，与直线L1交于点C，则△ABC面积为（）。A.1B.2C.3D.4〖解析〗A。由题意知点A的坐标为（2，-1）；对数函数恒过定点（1，0），即B的坐标为（1，0）；两解析式表示同一函数需要满足：定义域、值域和对应法则三条件均一致。A选项满足这三个条件，所以A正确；B中f(x)函数定义域为R，g(x)的定义域为，即C点的坐标为（2，1）；所以；故答案为A。10、已知二次函数（）。f(1)＜f(2)＜f(4)B.f(1)＜f(4)＜f(2)C.f(2)＜f(1)＜f(4)D.f(2)＜f(4)＜f(1)〖解析〗C。有题意知f(x)的对称轴为，且函数图像为开口向上的抛物线，即在对称轴处取得最小值，满足距离对称轴距离越远，其对应点的纵坐标越大，所以f(2)＜f(1)＜f(4)；故答案为C。二、填