2025年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点压轴题综合训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点压轴题综合训练1．已知点，是反比例函数图象与一次函数图象的交点．(1)画出反比例函数图象；(2)写出满足的的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集；(3)连接、，求的面积．3．如图，双曲线与直线交于点．(1)求k的值；(2)直接写出关于x的不等式的解集；(3)若直线与双曲线，直线和y轴分别交于点B，C，D，且B，C，D中的两点关于第三点对称，求a的值．4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求点B的坐标；(3)若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标．5．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)直接写出当x取何值时，．6．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．(1)求对应的函数表达式；(2)过点作轴交轴于点，求的面积；(3)根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．7．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于C、E两点．且一次函数图象交y轴于点A．(1)求C、E点的坐标；(2)求的面积；(3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求点的坐标；(2)若点为轴负半轴上一点，且满足，求点的坐标．9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．

(1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值；(2)求的面积．(3)双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标．10．已知：如图，直线与双曲线相交于点和点．(1)求k和m的值．(2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围．(3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．(1)求反比例函数的表达式：(2)点C是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线的上方，若三角形的面积与三角形面积的相等，求点C的坐标：(3)对平面内任意一点，定义K变换：若，则P变为；若，则点P变为，若线段经过K变换后的图形与另一个反比例函数的图象没有交点，求m的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，点B的坐标为．(1)求n的值和反比例函数的解析式；(2)若，求x的取值范围．14．已知直线与双曲线的图象交于A，B两点，且．(1)求双曲线的解析式；(2)将直线平移得，当平移后的直线与双曲线没有公共点时，直接写出的取值范围．(3)直线交双曲线于，交线段于N，求面积的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)过点作平行于轴的直线与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，，当时，直接写出的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点压轴题综合训练》参考答案1．(1)见解析(2)或【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，画函数的图象，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键．（1）先求出反比例函数解析式，再画出函数图象即可；（2）关键图象直接写出不等式解集即可．【详解】（1）解：把代入，得，∴反比例函数解析式为：，再把代入，得，∴，∴，反比例函数图象如图：（2）解：由（1）中图象可知，满足的x的取值范围为：或．2．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为(2)或(3)【分析】（）利用待定系数法解答即可；（）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可；（）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解；本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：把代入得，，∴，∴一次函数的表达式为，，把代入得，，∴反比例函数的表达式为；（2）解：∵，，∴，，由函数图象可知，当或时，，∴不等式的解集为或；（3）解：设直线与轴的交点为，∵，∴，∴，∴．3．(1)(2)(3)或【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数图象上点坐标的特征，以及函数图象与不等式之间的关系是解题关键．（1）先将点A坐标代入一次函数中求解即可得到完整坐标，然后将A点完整坐标代入反比例函数解析式即可得到值；（2）求不等式的解集，实则找出一次函数图象位于反比例函数图象下方部分所对应的自变量的取值范围即可，从而结合（1）的结论以及函数图象直接写出即可；（3）先表示出，，三点坐标，再根据题意分情况：当为的中点和当为的中点时，求解即可．【详解】（1）解：将代入得，，解得，．将代入，解得；（2）解：根据反比例函数与一次函数，观察图象得，所以的解集为；（3）解：由可得，，．直线与轴的交点为，结合图象可得：点D为的中点不存在；当为的中点时，，解得，（舍去）；当为的中点时，，解得，（舍去），的值为或．4．(1)；(2)；(3)点P的坐标为或．【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．（1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案；（2）联立，即可求解；（3）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案．【详解】（1）解：将点代入一次函数，，故，将代入反比例函数，得，∴这个反比例函数的表达式；（2）解：联立，解得：或，可知；（3）解：设，且，交x轴于点M，如图；，，，解得，点P的坐标为或．5．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为(2)(3)或【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题：（1）把点的坐标代入反比例函数和一次函数解析式中，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）联立方程求得的坐标，再求出点A坐标，然后根据即可求得的面积；（3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围．【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，，∴反比例函数解析式为；∵点在一次函数的图象上，∴，∴，∴一次函数解析式为；（2）解：联立，解得或，，在中，当时，，∴，∴，∴；（3）解：由函数图象可知当或时，．6．(1)，(2)(3)或【分析】（1）将代入，可求，则，将代入得，，可求，即，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，，则，根据，计算求解即可；（3）根据的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方（或交点）部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可．【详解】（1）解：将代入得，，解得，，∴，将代入得，，解得，，∴，将，代入得，，解得，，∴；（2）解：由题意知，，，∴，∴的面积为；（3）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方部分（或交点）所对应的的取值范围，由图象可知，的解集为或．【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．7．(1)，(2)(3)或或或，【分析】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．（1）联立反比例函数与一次函数求解方程组即可；（2））先求出点坐标，根据计算即可．（3）设，，，，分三种情形①当时，②当时，②当时，分别列方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于C、E两点，∴联立，整理得，解得，∴或，经检验或都是方程组的解，∴，；（2）解：一次函数的解析式为与轴交于点．（3）解：如图，，，设，∴，，，①当时，，，解得，此时．②当时，，，解得，此时，．②当时，则有，解得，此时．综上所述，点坐标为或或或．8．(1)；(2)【分析】（）把代入解析式，求出一次函数与反比例函数解析式，然后联立方程，解出方程即可；（）过点做轴，并分别作，，交点分别为点，，得，然后根据同角的余角相等得，证明，则，设，则，，，，再代入求，（舍去）即可；本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）将代入，可得，∴反比例函数解析式为，将代入，可得，∴，令，解得，，经检验均为方程的解，当时，，故点的坐标为；（2）如图，过点做轴，并分别作，，交点分别为点，，∴，∴，，∴，∴，∴，设，则，，，，∴，解得，（舍去），又∵在轴负半轴上，∴点坐标为．9．(1)反比例函数的解析式为，；(2)；(3)存在点或，使得．【分析】（）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，进而把代入计算即可求出的值；（）利用待定系数法可求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，可得的长，再根据计算即可求解；（）由，可得，当点在的平分线上时，，可证，得到，延长交抛物线于点，可得，又由可得平分，可得点在直线上，最后联立函数解析式解方程组即可求解．【详解】（1）解：把代入得，，∴，∴反比例函数的解析式为，把代入得，；（2）解：∵，∴，把、代入一次函数得，，解得，∴一次函数解析式为，把代入得，，∴，∴，∴，∴；（3）解：双曲线上存在点或，使得，理由如下：∵点坐标为，点坐标为，∴，当点在的平分线上时，，∵，∴，∴，延长交直线于点，∵，平分，∴，把代入得，，∴，∴,∴，∵，∴，∴平分，∴点在直线上，由，解得或，∴点的坐标为或，即双曲线上存在点或，使得．

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．10．(1)，(2)(3)存在，【分析】（1）由A点坐标可求得k的值，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值；（2）结合图象可知所求不等式即为直线在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A、B坐标可求得答案；（3）可设C点坐标为，由A、B两点坐标，则可表示出的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得到关于x的方程，可得结论．【详解】（1）解：∵双曲线过点，∴，∴反比例函数解析式为，∵反比例函数图象过点B，∴；（2）解：当时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围，∵，∴当且时，自变量的取值范围为；（3）解：存在．设C点坐标为，∴，，，∵为等腰直角三角形，∴或三种情况，①当时，则有，即，解得，但此时，即，故不符合题意；②当时，则有，即，解得或，当时，，即，故符合题意；当时，，即，故不符合题意；∴；③当时，则有，即，解得，此时，即，故不符合题意；综上可知存在满足条件的点C，其坐标为．【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象点的坐标特征、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想、数形结合思想及分类讨论思想等知识11．(1)；(2)【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题；（1）依据题意，由，在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合，与关于轴对称，故为，，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的表达式为；又∵在反比例函数的图象上，∴，∴．设一次函数的表达式为，将，代入，得，解得∴一次函数的表达式为；（2）解：如解图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长，∵与关于y轴对称，∴，又∵，∴直线的表达式为．令，得，∴当的值最小时，点P的坐标为．12．(1)(2)(3)或【分析】（1）依据题意，将代入一次函数中，求出的值，再将代入反比例函数，求出即可得解；（2）由面积相等，得直线直线，故直线解析式为，联立和即可求解；（3）设线段上任意点坐标为，，根据题意求得当时，经过变换后，在直线上，且，当时，经过变换后，在直线上，且，作出图形，利用数形结合的数学思想，找到零界位置时的取值，即可求解．【详解】（1）解：由题意，将代入中，∴．∴．∴．又∵点在反比例函数上，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）∵三角形的面积与三角形面积的相等，∴直线直线，∴直线解析式为，联立和得：，∴，∵点是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线的上方，∴．（3）联立，得：，∴或2，∴，则经过变换后，为，为设线段上任意点坐标为，，当时，，即线段经过点，经过变换后，为，当时，即时，经过变换后，，∵，∴当时，经过变换后，在直线上，且，当时，即时，经过变换后，，∴当时，经过变换后，在直线上，且，即线段经过变换后的图形为线段、（不含端点），当线段与反比例函数有交点时，方程有解，即有解，∴，解得：；当反比例函数经过时，，当反比例函数经过时，，∵线段经过变换后的图形与反比例函数的图象没有交点，∴或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三