2025年中考数学总复习44 微专题 反比例函数综合题 学案（含答案）

微专题44反比例函数综合题

1.如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

3

过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C（0，1）�.

（1）求m、n的值和一次函数的表达式；

（2）连接AB，求点C到线段AB的距离.

第1题图

2.如图，已知一次函数y1＝x－3的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A

3�

（4，n），与x轴相交于点B2.�

（1）求n和k的值；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双

曲线交CD于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积.

第2题图

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3.如图，点A是第一象限内直线y＝2x上一点，过点A作AB⊥x轴于点B（a，

0）（a＞0），将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B的对应点C

恰好落在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上.

�

（1）若AO＝2，求k�的值；

（2）设直线y＝25x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点P，且点P

�

横坐标为m.求证：为定值.�

�

�

第3题图

4.如图，一次函数y＝－x＋2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为AB的

1

中点，双曲线的一支y＝（2x＞0）过点C，连接OC，将线段OC沿着y轴向上

�

平移至EF，线段EF交y�＝（x＞0）的图象于点D.

�

（1）求该反比例函数的表达�式；

（2）若DE∶DF＝1∶2，求点D的坐标.

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第4题图

5.如图，Rt△OAB的顶点A的坐标为（2，2），∠ABO＝90°，且点B在x

轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E（2，）且与AO相交于点D，

�1

点C与点O关于点B对�称，连接AC，BD，作直线DE2.

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

（2）求直线DE的表达式和△BDE的面积.

第5题图

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别在y轴和x

轴上，点D为AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D的反比例函数y＝

�

（k＞0，x＞0）的图象与BC交于点E，连接OD，OE，DE.�

（1）设S△AOD＝S1，S△OEC＝S2，当S1＋S2＝3时，求该反比例函数的表达式；

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（2）若OA＝6，AB＝8，记S＝S△ODE－S△BDE，求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在点D，使得△BDE沿直线DE折叠后点B的对

应点B'恰好落在OC边上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

第6题图备用图

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1.解：(1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝的图象上，

3

∴m＝3，n＝3.�

又∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(1，3)，C(0，1)，

∴＋，解得，

��=3�=2

∴一次函数的表达式为＝＋；

�=1.�=y1.2x1

(2)如解图，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足

为E.

∵C(0，1)，B(3，1)，

∴BC∥x轴，BC＝3.

∵点A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC于点D，

∴点D(1，1)，AD＝2，DB＝2.

在Rt△ADB中，AB＝＋＝2.

22

����2

又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，

11

即×3×2＝2×2·CE2，

11

∴C2E＝，2即点C2到线段AB的距离为.

3232

22

第1题解图

2.解：(1)把A点坐标代入y1＝x－3中，得n＝×4－3＝3，

33

∴A(4，3)，22

∵A点在反比例函数图象上，

∴k＝3×4＝12；

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(2)如解图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，连接AC，

∵A(4，3)，∴AH＝3，

当y1＝0时，得x－3＝0，

3

解得x＝2，2

∴点B的坐标为(2，0)，

∴AB＝(－)＋(－)＝，

22

∵四边形A4BC2D是菱3形0，13

∴AB＝BC＝，AB∥CD，

∴S△ABE＝S△ABC1＝3BC·AH＝××3＝.

11313

22132

第2题解图

3.(1)解：∵AB⊥x轴于点B(a，0)，点A是直线y＝2x上一点，

∴A(a，2a)，

∴OB＝a，AB＝2a，

在Rt△ABO中，

∵AO＝2，AB2＋OB2＝AO2，

∴(2a)2＋a52＝(2)2，

解得a＝2(负值已5舍去)，

∴AB＝4，BO＝2，

根据旋转的性质，得AC＝AB＝4，∠ACD＝∠ABO＝90°，

∴C(6，4)，

∵点C在反比例函数y＝图象上，

�

�第6页共10页

∴k＝6×4＝24；

(2)证明：由旋转可得OB＝CD＝a，由(1)知A(a，2a)，

∴AC＝AB＝2a，

∴点C的坐标为(3a，2a)，

∴k＝2a·3a＝6a2.

∵直线y＝2x与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象交于点P，点P的横坐标为

�

m，�

∴＝，即＝.

2m223

6��

2

由题意得�，点P�在第一象限内，

∴m＞0且a＞0，

∴＝，

�

∴�为定3值.

�

4.�解：(1)在一次函数y＝－x＋2中，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，

1

∴一次函数y＝－x＋2的图象2交x轴于点A(4，0)，交y轴于点B(0，2)，

1

∵C为AB的中点，2

∴点C(2，1)，

∵点C(2，1)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，

�

∴k＝2×1＝2，�

∴反比例函数的表达式为y＝；

2

(2)如解图，连接FC，过点D�作x轴的平行线与FC交于点N，与y轴交于点M，

由题意可得FC∥y轴，

∴△EMD∽△FND，

∴＝＝，

��𝐷1

��𝐷2

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∴MD＝MN＝×2＝，

112

即点D的3横坐标3为，3

2

∵点D在反比例函数3图象上，

∴当x＝时，y＝＝3，

22

2

33

∴点D(，3).

2

3

第4题解图

5.解：(1)BD∥AC，BD＝AC.理由如下：

1

∵反比例函数y＝的图象经2过点E(2，)，

�1

∴k＝2×＝1，�2

1

∴反比例2函数的表达式为y＝.

1

又∵点A的坐标为(2，2)，�

∴OA所在直线表达式为y＝x，令y＝，解得x＝1或x＝－1(舍去)，

1

∴D(1，1)，�

∴点D为OA的中点，

∵点C与点O关于点B对称，

∴点B为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，

∴BD∥AC，BD＝AC；

1

(2)设直线DE的表2达式为y＝ax＋b(a≠0)，

将D(1，1)，E(2，)分别代入，

1

2

第8页共10页

＋＝－

得，解得1，

＋＝＝

��=1�2

13

2

∴直2�线D�E的表达式为�y＝2－x＋.

13

∵点A的坐标为(2，2)，∠AB2O＝290°，点B在x轴上，

∴点B的坐标为(2，0)，

∴BE＝，

1

2

∴S△BDE＝BE×(｜xE｜－｜xD｜)＝××(2－1)＝.

1111

6.解：(12)∵点D，E在反比例函数2y＝2(k＞0，x＞40)的图象上，

�

�

∴设D(x1，)，E(x2，)，x1＞0，x2＞0，x2＞x1，

��

�1�2

∴S1＝x1·＝，S2＝x2·＝.

1��1��

2�122�22

∵S1＋S2＝3，

∴＋＝3，

��

∴k2＝23，

∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)；

3

(2)由题意得，D(，6)，E(8，�)，

��

68

∴S△BDE＝BD·BE＝(8－k)(6－k)，

1111

2268

∴S△ODE＝S矩形OABC－S△AOD－S△COE－S△BDE＝6×8－k－k－S△BDE＝48－k－S△BDE，

11

22

∴S＝S△ODE－S△BDE＝48－k－2S△BDE＝48－k－2×(8－k)(6－k)，

111

∴S＝－k2＋k.268

1

∵－＜408，

1

∴当4k8＝－＝24时，S有最大值，最大值为－×242＋24＝12；

1)1

1

2×(−4848