2025年中考数学总复习38 微专题 简单几何证明与计算 学案（含答案）

微专题38简单几何证明与计算

类型一与三角形有关的证明与计算

1.如图，已知△ABC是锐角三角形，过点A作AD⊥BC于点D，延长DA至点

E，使DE＝BC，点F在边AC上，连接DF，EF，使∠CDF＝∠BAD，FD＝AB.

求证：FE＝AC.

第1题图

2.（2024浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，

AD＝6，tan∠ACB＝1.

（1）求BC的长；

（2）求sin∠DAE的值.

第2题图

3.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，

AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°.

第3题图

（1）求证：△BDE∽△CEF；

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（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长.

类型二与四边形有关的证明与计算（2021.23）

考向1与图形性质有关

1.如图，在正方形ABCD的外侧，以CD边为腰作等腰△CDE，使得DE＝CD，

连接AE.

（1）求证：∠DAE＝∠DEA；

（2）若DE＝4，∠CDE＝30°，求∠DAE的度数和△ADE的周长.

第1题图

2.（2024东莞一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB

＝∠EBC.

（1）求证：△ABE∽△BEC；

（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长.

第2题图

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3.如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE垂直平分AC，交AC于点E，过

点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接CD，AF，BE.

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若∠ABC＝90°，BE＝5，BC＝6，求△BDC的面积.

第3题图

考向2与图形变化有关（2021.23）

1.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，C'为点C的对应点，C'B与AD交

于点E.

（1）求证：BE＝DE；

（2）若BE＝2EC'，求∠DBC的度数.

第1题图

2.（2024梅州模拟）如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝3，PB＝2，

PC＝1.将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连接AP'，PP'；

（1）求证：△PBC≌△P'BA；

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（2）求∠BPC的度数.

第2题图

3.在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上（不与点B，D重合），

作点E关于直线AB的对称点F，连接DF，且G为DF的中点，连接AG，EG.

（1）若DF平分∠ADB，求证：EG⊥DF；

（2）若DE＝4，求线段AG的长.

第3题图

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类型一与三角形有关的证明与计算

1.证明：∵AD⊥BC，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，

∵∠CDF＝∠BAD，

∴∠ABD＝∠ADF，

在△ABC和△FDE中，

＝

＝，

𝐴𝐹

＝

∠𝐴�∠𝐹�

∴�△�AB�C�≌△FDE(SAS)，

∴FE＝AC.

2.解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，

∴由勾股定理，得BD＝－＝8，

22

∵tan∠ACB＝1，𝐴𝐹

∴CD＝AD＝6，

∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14；

(2)∵AE是BC边上的中线，

∴BE＝CE＝7，

∴DE＝BD－BE＝1，

在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝＋＝，

22

𝐹��37

∴sin∠DAE＝＝.

��37

3.(1)证明：∵�A�B＝3A7C，∠A＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠BDE＋∠BED＝180°－∠B＝135°，

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∵∠DEF＝45°，

∴∠BED＋∠CEF＝180°－∠DEF＝135°，

∴∠BDE＝∠CEF，

∴△BDE∽△CEF；

(2)解：如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为点H，

∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，

∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，

∵∠ADF＋∠EDB＝90°，∠ADF＋∠AFD＝90°，

∴∠AFD＝∠EDB，

∵∠A＝∠EHD＝90°，

∴△ADF≌△HED，

∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，

∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，

∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD＋DH＋HB＝4，

∵BC＝AB＝4，22

∴EC＝BC2－BE＝32.

2

第3题解图

类型二与四边形有关的证明与计算

考向1与图形性质有关

1.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，

∵DE＝CD，

∴AD＝DE，

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∴∠DAE＝∠DEA；

(2)解：如解图，过点D作DF⊥AE于点F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝120°，

由(1)知，∠DAE＝∠DEA，AD＝DE＝4，

∴∠DAE＝∠DEA＝30°，

AF＝AD＝2，AF＝EF，

3

∴AE＝22AF＝43，

∴△ADE的周长3＝AD＋DE＋AE＝8＋4.

3

第1题解图

2.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，

又∵∠EAB＝∠EBC，

∴△ABE∽△BEC；

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB＝4，

∵DE＝3，

∴CE＝1，

由(1)知△ABE∽△BEC，

∴＝，

𝐴��

∴B��E2＝��AB·CE＝4×1＝4，

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∴BE＝2(负值已舍去).

3.(1)证明：∵DE垂直平分AC，

∴AE＝CE，∠AED＝∠CEF＝90°，

∵CF∥AB，

∴∠DAE＝∠FCE，

在△AED和△CEF中，

＝

＝，

∠���∠���

＝

����

∴∠△��A�ED≌∠�△�C�EF(ASA)，

∴DE＝FE，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵DE⊥AC，

∴四边形ADCF是菱形；

(2)解：∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，

∴AE＝CE＝BE＝5，∴AC＝10，

在Rt△ABC中，AB＝－＝－＝8，

2222

由(1)知，四边形ADCF是��菱形�，�106

∴AD＝CD，

设BD＝x，则AD＝CD＝8－x，

在Rt△CDB中，CD2＝BD2＋CB2，

即(8－x)2＝x2＋62，

解得x＝，即BD＝，

77

44

∴S△BDC＝BD·BC＝××6＝.

11721

考向2与2图形变化2有关44

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1.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CBD＝∠ADB，

由折叠的性质得，∠CBD＝∠C'BD，

∴∠DBE＝∠ADB，

∴BE＝DE；

(2)解：∵BE＝DE，BE＝2EC'，

∴DE＝2EC'.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，

由折叠的性质得，∠DC'E＝∠BCD＝90°，

∴在Rt△DEC'中，sin∠EDC'＝＝，

��'1

∴∠EDC'＝30°，∴∠DEC'＝6�0�°，2∴∠BED＝120°，

∵BE＝DE，∴∠DBC＝∠DBE＝(180°－∠BED)＝30°.

1

2.(1)证明：∵四边形ABCD是正2方形，线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线

段BP'，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，BP＝BP'，∠P'BP＝90°，

∴∠P'BA＋∠ABP＝∠ABP＋∠PBC，

∴∠P'BA＝∠PBC，

在△PBC和△P'BA中，

＝

＝，

����'

＝

∠���∠�'��

∴�△�PB�C�≌△P'BA(SAS)；

(2)解：由(1)知，△PBC≌△P'BA，

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∵PA＝3，PB＝2，PC＝1，

∴P'A＝PC＝1，PP'＝PB＝2，

∴P'A2＋P'P2＝1＋8＝322＝PA2，2

∴∠AP'P＝90°，

∵BP＝BP'，∠P'BP＝90°，

∴∠BP'P＝45°，

∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P＋∠BP'P＝90°＋45°＝135°.

3.(1)证明：如解图，连接EF交AB于点H，由对称的性质，得EF⊥AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB⊥AD，∴AD∥EF，

∴∠ADF＝∠F.

∵DF平分∠ADB，

∴∠ADF＝∠BDF，

∴∠F＝∠BDF，

∴△DEF为等腰三角形.

又∵G是DF的中点，

∴EG⊥DF；

第3题解图

(2)解：如解图，连接HG并延长交AB于点I，

由(1)知，AD∥EF，

∴∠GDI＝∠F.

在△DGI和△FGH中，

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