2025年中考数学总复习31 微专题 三种方法求阴影部分面积 学案（含答案）

微专题31三种方法求阴影部分面积

一阶方法训练

方法解读

1.公式法

所求阴影部分的面积是规则图形，例如三角形、特殊四边形、扇形时，直接用面

积公式计算.

S阴影＝S△ABE

S阴影＝S正方形ABCO

S阴影＝S扇形MEN

方法一公式法[6年2考：2023.15、22(2)②，2022.15]

例1如图，在▱ABCD中，BC＝8，点E在AD边上，连接BE，CE，若点A到

直线BC的距离为4，则图中阴影部分的面积为.

例1题图

变式1如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半

径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形ABE的3面积为.

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变式1题图

变式2如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的☉O

交BC于点D，连接OD，则图中阴影部分的面积为.

变式2题图

方法解读

2.和差法

(1)直接和差法

所求不规则阴影部分的面积若可以看成几个规则图形，则面积直接相加减.

S阴影＝S▱ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDF

S阴影＝S扇形AOB－S△AOB

S阴影＝S△ABC－S扇形CAD

(2)构造和差法

所求不规则阴影部分的面积需要添加辅助线构造规则图形，然后进行相加减.

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S阴影＝S△ACE＋S△ACF

S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC

S阴影＝S△ABC－S△BOD－S扇形DOC

方法二和差法[6年2考：2021.13，2019.22(2)]

一、直接和差法

例2如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AB，AD上，

连接CE，CF，EF.若AE＝2BE，AF＝DF，则图中阴影部分的面积为.

例2题图

变式3如图，△ABC内接于☉O，连接OA，OB，若OA＝10，∠ACB＝45°，

则图中阴影部分的面积为.

变式3题图

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变式4如图，四边形AOBC是边长为1的正方形，以O为圆心的交OA的延

长线于点D，则图中阴影部分的面积等于.��

变式4题图

二、构造和差法

例3如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，点D在CE上，其中正方形ABCD

的面积为16cm2，正方形CEFG的面积为36cm2，则图中阴影部分的面积为

cm2.

例3题图

变式5如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D，

☉O的半径为2.若点D是的中点，则图中阴影部分的面积为.

��

变式5题图

变式6如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，以点B为圆心，分别以AB，

BC的长为半径画弧，与BC，AD分别交于点E，F2，则图中阴影部分的面积

为.

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变式6题图

方法解读

3.等积转化法

所求阴影部分的面积无法直接计算时，可利用等积转化法将所求阴影部分的面积

转化为规则图形的面积或规则图形面积的和差.

(1)直接等面积转化(AB∥CD)

S阴影＝S△ABC

S阴影＝S扇形COD

(2)全等转化

S阴影＝S△AOB(▱ABCD)

S阴影＝S△ACD(D为AB的中点)

方法三等积转化法

例4如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，连接BE，CE，若S▱ABCD＝20，

则图中阴影部分的面积为.

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例4题图

变式7如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，的长为，

π

则图中阴影部分的面积为.��3

变式7题图

变式8如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D，

☉O的半径为2，若∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为.

变式8题图

二阶综合应用

1.如图，AB是☉O的直径，OC＝6，∠BAC＝40°，则图中阴影部分的面积

为.

第1题图

2.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，AF交于

点P，连接CE，BF交于点Q，若四边形EPFQ的面积为15，则图中阴影部分的

面积为.

第2题图

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3.如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切

于点E，连接BD，则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)

第3题图

4.如图，将边长为的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形

A'BC'D'，点A，C，D分3别对应点A'，C'，D'，则图中阴影部分的面积为.

第4题图

5.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是AD，BC的中点，分别以

点A，B为圆心，AE长为半径作弧，两弧交AB于点G，以EF为直径在EF的

右侧作半圆，则图中阴影部分的面积为.

第5题图

6.如图，E为正方形ABCD内的一点，BE⊥CE，CE＝，则图中阴影部分的

面积为.7

第6题图

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7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，点G，H

分别是AB，CD的中点，GF和EH交于点M，若EF＝AD，则图中阴影部分的

1

面积为.2

第7题图

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一阶方法训练

例116【解析】∵AD∥BC，点A到直线BC的距离为4，∴点E到直线BC

的距离为4，∴S阴影＝×8×4＝16.

1

变式1【解析】2∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝

2π

BE＝2，B3C＝，∴cos∠CBE＝＝，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°－30°

𝐴3

3��2

＝°，∴扇形ABE＝＝.

60S2

60π×22π

变式2【解析】∵360AB＝3AC＝4，∠C＝30°，AB为☉O的直径，∴∠B＝

2π

3

∠＝°，＝＝＝，∴∠＝∠＝°，∴阴影＝＝.

C30OAOBAB2AOD2B60S2

160π×22π

例220【解析】∵AE2＝2BE，AF＝DF，AB＝6，BC＝8，∴AE＝A36B0＝4，3BE

2

3

＝AB＝2，AF＝DF＝AD＝BC＝4，∴S阴影＝S矩形ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDF＝

111

6×38－×4×4－×8×22－×26×4＝20.

111

变式3225π－502【解析】∵2∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，又∵OA

＝＝，∴阴影＝扇形AOB－△AOB＝－＝－××＝

OB10SSS2OA·OB2101025π

�π�190π×101

－50.36023602

变式4－【解析】∵四边形AOBC是边长为1的正方形，∴AC＝AO＝1，

π1

42()

∠＝°，∴＝，∠＝°，∴阴影＝扇形－△＝

OAC90OCAOC45SSCODSAOC2

45π×2

－×1×1＝－.2360

1π1

例2310【4解析2】∵四边形ABCD，CEFG均为正方形，且面积分别为16cm2，

2

36cm，∴BC＝CD＝4cm，CG＝CE＝6cm，∴S阴影＝S△BEG－S△BDG＝×(4＋6)×6

1

－×(4＋6)×4＝10cm2.2

1

2

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变式52＋π【解析】如解图，连接OD，∵点D是的中点，∴∠AOD＝

∠DOB＝90°，△AOD是等腰直角三角形，∵☉O的半��径为2，∴S阴影＝S△AOD

＋扇形DOB＝××＋＝＋.

S2222π

190π×2

2360

变式5题解图

变式68【解析】如解图，连接BF，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BAD

＝90°，∵AB＝4，BF＝BC＝4，∴AF＝－＝4，∴△ABF是等腰直

22

2��𝐴()

角三角形，∠＝∠＝°，∴阴影＝扇形＋△－扇形＝

ABFCBF45SSCBFSABFSABE2

45π×42

＋××－＝.360

4428

190π×4

2360

变式6题解图

例410【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥

BC，S△BCD＝S▱ABCD＝10，∴S阴影＝S△BCD＝10.

1

2

例4题解图

变式7【解析】如解图，连接CD，OC，OD，∵C，D是以AB为直径的半

π

圆的三等6分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝

OD，∴△OAC，△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△

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ACD＝S△OCD，∵的长为π，设半圆O的半径为r，∴＝π，解得r＝1，∴S

160π�1

��31803

阴影＝扇形COD＝＝.

S2

60π×1π

3606

变式7题解图

变式84【解析】如解图，连接BD，OD.∵BC与☉O相切，∴∠ABC＝90°，

∵∠C＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴

点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∵BC⊥AB，∴OD⊥AB，即∠AOD

＝∠BOD＝90°，∴扇形AOD的面积与扇形BOD的面积相等，易得S阴影＝S△BDC，

2

∴在Rt△BDC中，S△BDC＝BD·CD＝×(AO)＝4，即S阴影＝4.

11

222

变式8题解图

二阶综合应用

1.8π【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OA＝OB，∴线段

CO是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴S△AOC＝S△COB，∴S阴影＝S扇形BOC，∵∠BAC

＝°，∴∠＝∠＝°，∵＝，∴扇形BOC＝＝，∴阴影

40BOC2BAC80OC6S28πS

80π×6

＝8π.360

2.15【解析】如解图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△

EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFC－S

△FQC＝S△BCF－S△FQC，∴S△EFQ＝S△BQC，同理，S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△APD，

∵S四边形EPFQ＝S△EFP＋S△EFQ＝15，∴S阴影＝S△APD＋S△BQC＝S四边形EPFQ＝15.

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第2题解图

3.π【解析】如解图，连接OE交BD于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴AD

∥BC，∴∠FBE＝∠FDO，又∵AD为圆O的直径，半圆O与BC相切于点E，

∴OE⊥BC，易得BF＝DF，BE＝OD＝BC＝2，∴△BEF≌△DOF(SAS)，∴S阴

1

222

影＝S扇形EOD＝πr＝π×2＝π.

11

44

第3题解图

4.3－【解析】如解图，设AD，C'D'交于点E，连接BE，∵四边形ABCD

是正方形3，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，由旋转的性质，得∠CBC'＝

30°，BC'＝BC，∠C'＝∠C＝90°，∴∠A＝∠C'＝90°，AB＝C'B，又∵BE＝

BE，∴Rt△ABE≌Rt△C'BE，∴∠ABE＝∠C'BE＝∠ABC'＝(90°－∠CBC')＝

11

30°，S△C'BE＝S△ABE，在Rt△ABE中，AE＝AB·tan∠2ABE＝1，2∴S阴影＝S正方形ABCD

－S四边形ABC'E＝×－2××1×＝3－.

1

33233

第4题解图

5.8【解析】如解图，设EF的中点为O，连接GO并延长，交CD于点H，

∵E为AD中点，AG＝AE，AD＝AB，∴点G为AB的中点，易得OE＝OF＝DE，

扇形EOH与扇形GBF面积相等，扇形HOF与扇形EAG面积相等，可得S阴影＝

S矩形ABFE，∵点E是AD的中点，AB＝AD＝4，∴AE＝2，∴S阴影＝S矩形ABFE＝4×2

＝8.