2025年中考数学一轮专题复习强化练习第15课时　二次函数的实际应用 （含答案）

第15课时二次函数的实际应用

1.(2024·河北二模)一种线型合成材料,其成本y(元)与材料长度x(米)的平方成正比.已知材料长度

为2米时,成本为4元;若材料长度为4×103米,则该材料的成本用科学记数法表示为()

A.16×105元B.1.6×106元C.16×106元D.1.6×107元

2.如图,某农场计划修建三间矩形饲养室,饲养室一面靠现有墙(墙可用长不大于20m),中间用两道

墙隔开,已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m,设饲养室宽为xm,占地总面积为ym2,则三

间饲养室总面积y有()

A.最小值200m2B.最小值225m2

C.最大值200m2D.最大值225m2

3.(2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间

的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:

①小球从抛出到落地需要6s;

②小球运动中的高度可以是30m;

③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度.

其中,正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

4.(2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已

知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是平方米.

5.(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶

的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+

0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=

4m,高DE=1.8m的矩形,则可判定货车完全停到车棚内(填“能”或“不能”).

图1图2

6.(2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是m,出手后实心球沿一段抛物

7

线运行,到达最高点时,水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点4为M,则OM=m.

7.(2024·邢台威县三模)古往今来,桥给人们的生活带来便利,解决跨水或者越谷的交通,便于运输

工具或行人在桥上畅通无阻,中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形,坐落在河北

省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝,距今已有约1400年的历史,是当今世界上现存最早、保存最完

整的古代敞肩石拱桥,赵州桥的主桥拱便是圆弧形.

图1图2图3

(1)某桥A主桥拱是圆弧形(如图1中),已知跨度AC=40m,拱高BD=10m,则这座桥主桥拱的

半径是m.���

(2)某桥B的主桥拱是抛物线形(如图2),若水面宽MN=10m,拱顶P(抛物线顶点)距离水面4m,求

主桥拱抛物线的解析式.

(3)如图3,某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m,求此时两桥的水面宽度.

1.一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面MN上时的纵向截面如图1所示,其左右轮廓线AC,BD

都是抛物线L的一部分,已知水杯底部AB宽为4cm,水杯高度为12cm,杯口直径CD为

8cm,且CD∥MN,以杯底AB的中点为原点O,以M3N所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y

轴建3立平面直角坐标系.

(1)轮廓线AC,BD所在的抛物线L的解析式为.

(2)将水杯绕点A倾斜倒出部分水,杯中水面CE∥MN,如图2,当倾斜角∠BAN=30°时,水面宽度

CE=cm.

图1图2

2.(2024·石家庄模拟)如图是南水北调某段河道的截面图.河道轮廓为某抛物线的一部分,嘉淇在枯

水期测得河道宽度OA=20米,河水水面截痕BC=10米,水面到河岸水平线OA的距离为7.5米.以

点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,解决如下问题:

(1)求河道轮廓的函数解析式,并求此时最大水深为多少米?

(2)在丰水期,测得水面到OA的距离为3.6米.

①求此时水面截痕DE的长;

②嘉淇乘坐小船游弋到河道正中央时,向右侧河岸抛出一个小球,小球恰好落在点E处,小球飞行

过程中到水面最大距离是8米,若嘉淇抛球的力道和角度不改变,要想让小球飞到河岸(即点A右

侧)上,直接写出嘉淇的小船至少要向右划行多少米?

【详解答案】

基础夯实

1.D解析:根据题意,设y与x之间的函数解析式为y=kx2,

把x=2,y=4代入解析式,得4k=4,解得k=1,

∴y与x之间的函数解析式为y=x2,

当x=4×103时,y=(4×103)2=16×106=1.6×107.故选D.

2.C解析:根据题意,三间饲养室的长为(60-4x)m,

∵现有墙可用长不大于20m,∴60-4x≤20,解得x≥10,

而y=x(60-4x)=-4x2+60x=-4(x-7.5)2+225,

∴抛物线对称轴为直线x=7.5,在对称轴右侧,y随x增大而减小,

∴当x=10时,y取最大值-4×(10-7.5)2+225=200,

∴三间饲养室总面积y有最大值200m2.故选C.

2

3.C解析:①令h=0,则30t-5t=0,解得t1=0,t2=6,∴小球从抛出到落地需要6s,

故①正确;

②h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45,

∵-5<0,∴当t=3时,h有最大值,最大值为45,∴小球运动中的高度可以是30m,

故②正确;

③t=2时,h=30×2-5×4=40(m),t=5时,h=30×5-5×25=25(m),

∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度,故③错误.故选C.

4.450解析:由题意,设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(60-2x)米,

又墙长为40米,

∴0<60-2x≤40.

∴10≤x<30.

又菜园的面积S=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450,

∴当x=15时,可围成的菜园的最大面积是450平方米,

即垂直于墙的边长为15米时,可围成的菜园的最大面积是450平方米.

5.能解析:∵CD=4m,B(6,2.68),

∴6-4=2,

在y=-0.02x2+0.3x+1.6中,

当x=2时,y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12,

∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内.

6.解析:如图,以O为坐标原点,OM所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,

35

3

由题意可知,P,,B(5,4),其中点B为抛物线顶点,

7

4

设抛物线的解析0式为y=a(x-5)2+4,

将P,代入上式得25a+4=,解得a=-,

779

044100

∴抛物线的解析式为y=-(x-5)2+4,

9

100

当y=0时,-(x-5)2+4=0,

9

100

解得x1=,x2=-(舍去),

355

33

∴OM=m.

35

3

7.解:(1)25

解析:设主桥拱所在的圆弧形圆心为O,连接OD,OA,如图1:

图1

由拱高的定义可知,B,D,O三点共线,设主桥拱的半径是rm,

在Rt△ADO中,AD=AC=20m,DO=BO-BD=(r-10)m,

1

2

∵AD2+DO2=AO2,

∴202+(r-10)2=r2,

解得r=25.

(2)以P为原点,平行水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图2:

图2

设主桥拱抛物线的解析式为y=ax2,

∵水面宽MN=10m,拱顶P(抛物线顶点)距离水面4m,

∴M(-5,-4),

∴-4=25a,解得a=-,

4

25

∴主桥拱抛物线的解析式为y=-x2.

4

25

(3)桥A的桥下水位上升了2m,如图3:

图3

根据题意,OF=25m,OE=OB-BE=25-(10-2)=17(m),

∴EF=--=

2222

4(m)�,���=2517

∴此21时桥A的水面宽度为8m.

桥B的桥下水位上升了2m,21

在y=-x2中,令y=-2,

4

25

得-2=-x2,

4

25

解得x=或x=-,

5252

22

∵-=5,

5252

∴此2时−桥B2的水面2宽度为5m.

2能力提升

1.(1)y=x2-4(2)14解析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+c,

1

3

把点B(2,0),D(4,12)代入y=ax2+c中,

得3,解得3,

,-1,

12�+�=0�=3

∴y4=8x�2-+4,�=12�=4

1

3

即抛物线L的解析式为y=x2-4.

1

3

(2)根据题意可知,∠DCE=30°,

如图,设CE与y轴的交点为P,CD与y轴交于点Q,

在Rt△CPQ中,

CQ=4,∠PCQ=30°,

∴PQ=43,

∴PO=8,

∴P(0,8),

设直线CE的解析式为y=kx+m,

将C(-4,12),P(0,8),代入,

3

得-,解得-,

,,3

43�+�=12�=3

�=8�=8

∴直线CE的解析式为y=-x+8,

3

3

令x2-4=-x+8,

13

解得3x=-43(舍去)或x=3,

∴点E的横3坐标为3,3

3

当x=3时,y=-×3+8=5,

3

∴E(33,5).33

3

∴CE=()(-)=14(cm).

22

33+43+512-

2.解:(1)如图,过点B作BG⊥x轴于点G,由二次函数图象的对称性可得OG==5,

����

2

∵BG=7.5,

∴B(5,-7.5),

∵OA=20,

∴A(20,0),

设二次函数的解析式为y=ax(x-20),将B(5,-7.5)代入得-7.5=a·5×(-15),

解得a=,

1

10

∴二次函数的解析式为y=x2-2x,

1

10

∵y=x2-2x=(x-10)2-10,

11

1010

∴顶点纵坐标为-10,此时水深为10-7.5=2.5(米).

(2)①∵丰水期时水面到OA的距离是3.6米,

令y=-3.6,即x2-2x=-3.6