2025年中考数学总复习19 微专题 遇到中点如何添加辅助线 学案（含答案）

微专题19遇到中点如何添加辅助线

一阶方法训练

方法解读

情形一已知三角形一边(两边)中点

原理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

作法：1.如图①，连接一边中点与另一边中点构造中位线；

2.如图②，倍长另一边构造中位线

图①

图②

结论：DE∥BC，DE＝BC

1

情形二已知三角形一2边中点

原理：1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写

成“三线合一”)；

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分

作法：连接中点与顶点

(1)等腰三角形(2)直角三角形

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结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC

结论：BD＝AD＝CD＝AC

1

(3)一般三角形2

结论：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC

1

情形三已知三角形一边上的中线或三角形一边2上的中点与另一边上一点的连

线

原理：当三角形出现中线或与中线有关的线段，考虑倍长中线或倍长类中线构造

全等三角形，利用全等三角形性质进行解题

作法一：构造倍长中线

延长AD至点E，使得AD＝DE，连接BE；

结论：△BDE≌△CDA；

作法二：构造倍长类中线

延长MD至点N，使MD＝DN，连接CN；

结论：△BDM≌△CDN

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方法一遇到中点，考虑构造中位线

例1(北师九上习题改编)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过

点E作EF⊥BC于点F，连接DF，若BC＝8，EF＝3，则DF的长为()

例1题图

A.4

B.5

C.6

D.8

例2如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，F是AD的中点，若

1

BF＝2，则AC的长为.2

例2题图

例3如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上一点，∠BAC＝2∠DEC，

若CE＝8，AE＝2，则AB的长为.

例3题图

方法二遇到中点，考虑构造中线(2020.17)

例4如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的

中点，AC＝6，则EF的长为.

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例4题图

例5(人教八上习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，D为

AB边的中点，E为BC延长线上一点，连接DE，∠B＝2∠E，则CE的长

为.

例5题图

例6如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是CD的中点，F是BE

的中点，若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为.

例6题图

方法三遇到中线(类中线)，考虑倍长中线(类中线)构造全等三角形(2024.15)

例7如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，

BD＝3，则BC的长为.

例7题图

例8如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并

延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.

证法一(构造倍长中线)：

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例8题图

证法二(构造倍长类中线)：

二阶综合应用

1.(人教八上习题改编)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E

为AC的中点，连接BE交AD于点F，若AF＝BC＝4，则△ABC的面积为()

第1题图

A.12B.15C.16D.18

2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，F分别是边AB，BC的中点，连接

EF，DF，若EF＝2，则DF的长为.

第2题图

3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E

在边BC上，连接ED，若∠A＝∠BED，则ED的长为.

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第3题图

4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，D，E分别为线段BC，AC

上的动点，且BD＝EC，连接AD，BE交于点F，若点F为BE的中点，求线段

BD的长.

第4题图

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一阶方法训练

例1B【解析】如解图，连接DE，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是

△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝4，∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，

1

2

∴∠DEF＝180°－∠BFE＝90°，∵EF＝3，∴由勾股定理得DF＝＋＝5.

22

34

例1题解图

例24【解析】如解图，延长DB至点G，使GB＝BD，连接AG.∵点F是

AD的中点，∴BF是△ADG的中位线，∴AG＝2BF＝4，∵BD＝CD，∴DG＝

1

DC，∵AD⊥BC，∴AC＝AG＝4.2

例2题解图

例36【解析】如解图，过点D作DF∥AB交AC于点F，则∠DFC＝∠BAC，

∵∠BAC＝2∠DEC，∠DFC＝∠DEC＋∠EDF，∴∠DEC＝∠EDF，∴EF＝DF，

∵D为BC边的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴EF＝DF＝AB，CF＝AF，

1

∴CE＝CF＋EF＝AF＋EF＝AE＋EF＋EF＝2＋2EF＝2＋AB＝82，∴AB＝6.

例3题解图

例43【解析】如解图，连接AF，∵AD＝AB，F是BD的中点，∴AF⊥BD，

在Rt△AFC中，E是AC的中点，∴EF＝AC＝×6＝3.

11

22

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例4题解图

例54【解析】如解图，连接CD，∵∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，

∴CD＝BD＝AD＝AB＝4，∴∠B＝∠BCD，∵∠B＝2∠E，∠BCD＝∠E＋

1

∠CDE，∴∠E＝∠2CDE，∴CE＝CD＝4.

例5题解图

例624【解析】如解图，连接AE，∵点F是BE的中点，∴S△AEF＝S△ABF＝S

1

△ABE.∵点E是CD的中点，∴S△ADE＝S△ACE，S△BDE＝S△BCE，∴S△ABE＝S△BDE＋S2△

ADE＝S△ABC，∴S△ABC＝2S△ABE＝4S△ABF＝24.

1

2

例6题解图

例76【解析】如解图，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，∵BD是AC

边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC

＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－

∠DEA＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，

∴BC＝6.

例7题解图

例8证法一：证明：如解图①，延长AD至点G，使AD＝DG，连接BG，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD.

在△ACD和△GBD中，

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＝

＝，

𝐴𝐴

＝

∠𝐴�∠𝐴�

∴�△�AC�D�≌△GBD(SAS)，

∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.

∵AF＝EF，

∴∠EAF＝∠AEF，

∵∠AEF＝∠BED，

∴∠BED＝∠EAF，

∴∠BEG＝∠G，

∴BE＝BG，

∴AC＝BE.

例8题解图①

证法二：证明：如解图②，延长ED至点H，使ED＝DH，连接CH，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD.

在△BDE和△CDH中，

＝

＝，

𝐴𝐴

＝

∠𝐴�∠𝐴�

∴�△�BD�E�≌△CDH(SAS)，

∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，

∵AF＝EF，

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∴∠EAF＝∠AEF，

∵∠AEF＝∠BED，

∴∠BED＝∠EAF，

∴∠CHD＝∠EAF，

∴CH＝AC，

∴AC＝BE.

例8题解图②

二阶综合应用

1.A【解析】如解图，连接DE，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，

∴D是BC的中点，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且

DE＝AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝＝，∴DF＝AF＝2，∴AD＝AF＋DF

1����11

2𝐷��22

＝4＋2＝6，∴S△ABC＝×4×6＝12.

1

2

第1题解图

2.2【解析】如解图，连接AF，AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，

AB＝A7D＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形.∵E，F分别是边AB，BC

的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4，AF⊥BC，∴AB＝AD＝AC＝4，∠AFB＝∠DAF

＝90°，在Rt△ABF中，AF＝AB·sin60°＝2，在Rt△AFD中，DF＝＋

22

＝2.3𝐷𝐴

7

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第2题解图

3.【解析】如解图①，连接BD，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，

15

BC＝48，∴由勾股定理可得AC＝10.∵D是AC的中点，∴DB＝DC＝AC＝5，

1

∴∠C＝∠DBE.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EDB，∴＝，即2＝，解

����68

得ED＝.𝐴��𝐴5

15

4

第3题解图①

一题多解法

如解图②，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴∠DFE＝∠B，在Rt△ABC中，

∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵点D是AC的中点，

∴DF为△ABC的中位线，∴FD＝AB＝3.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EFD，

1

∴＝，即＝，解得ED＝.2

����81015

��𝐴3𝐴4

第3题解图②

4.解：如解图①，过点F作FG∥AC交BC于点G，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴BC＝AB＝6.

∵点F为BE的中点，FG∥AC，

∴FG为△BCE的中位线，

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∴BG＝CG＝BC＝3.

1

设CE＝x(0＜2x＜6)，则FG＝x，AE＝AC－CE＝6－x，

1

∵BD＝CE＝x，2

∴DG＝3－x，CD＝6－x.

∵FG∥AC，

∴△DGF∽△DCA，

∴＝，即＝－，

�－

����23�

解得��x＝��－36＋96或�x＝3＋9(舍去)，

∴BD＝－35＋9.5

5

第4题解图①

一题多解法

解法二：如解图②，延长AF至点H，使得FH＝AF，连接BH，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴BC＝AB＝6.

∵点F为BE的中点，

∴BF＝EF.

又∵∠BFH＝∠EFA，

∴△HFB≌△AFE，

∴∠H＝∠FAE，BH＝AE，

∴BH∥AE，

∴△BHD∽△CAD，