2025年中考数学总复习20 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 学案（含答案）

微专题20遇到角平分线如何添加辅助线

一阶方法训练

方法解读

情形一过角平分线上的点作一边的垂线

原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等；

2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.

作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B.

结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP

情形二过角平分线上的点作角平分线的垂线

原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三

线合一”)

作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点B.

结论：△OAB是等腰三角形

情形三1.过角平分线上的点作边的平行线；

2.过边上的点作角平分线的平行线

原理：(1)两直线平行，内错角相等；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)等角对等边.

作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；

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(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q.

结论：△OPQ为等腰三角形

情形四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；

2.延长被平分的角的短边至与长边相等

原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

作法一：截长法

在AC上截取AE＝AB，连接DE，

结论：△ABD≌△AED；

作法二：补短法

延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，

结论：△AFD≌△ACD

方法一遇角一边的垂线，考虑运用角平分线定理

[6年3考：2024.17(3)，2021.7，2020.22]

例1(北师八下例题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交

AB于点D.若AD＝3，S△BCD＝15，则BC＝.

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例1题图

例2(人教八上习题改编)如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点D是OC上

一点，过点D作OA的垂线，交OA于点E，交OB于点F，若DE＝1，则DF

的长为.

例2题图

方法二遇角平分线的垂线，考虑构造等腰三角形

例3(人教八上习题改编)如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD

于点D，则△ACD的面积为.

例3题图

例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，

BD⊥AD，若BD＝2，则AE的长为.

例4题图

方法三遇角平分线(或边)上一点，考虑作平行线构造等腰三角形

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例5如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，点D在AC边上，且BD平分∠ABC，

则的值为.

𝐶

𝐶

例5题图

例6如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D

作BC的垂线，垂足为点E，若DE＝2，则BE的长为.

例6题图

方法四截长补短构造轴对称图形

例7如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝120°，BD平分∠ABC.

若AB＋AD＝8，则BC的长为.

例7题图

例8(人教八上习题改编)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点

E是BD的中点，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的长.

解法一(截长法)：

例8题图

解法二(补短法)：

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二阶综合应用

1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝

4，∠CBD＝15°，则AB的长为.

第1题图

2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB上一点，∠AED

＝∠C，若AD＝4，AE＝5，DE＝6，则BC的长为.

第2题图

3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.

(1)如图①，E为AC边上一点，连接ED，已知∠AED＋∠B＝180°.求证：DB

＝DE；

(2)如图②，△ABC的外角∠CBP的平分线BF与AD延长线交于点F，连接CF，

求∠BCF的度数.

第3题图

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一阶方法训练

例110【解析】如解图，过点D作DE⊥BC于点E.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，

∠A＝90°，∴DE＝AD＝3.∵S△BCD＝15，∴BC·DE＝15，即BC＝15，解得BC

13

＝10.22

例1题解图

例2【解析】如解图，过点D作DG⊥OB于点G，∴∠DGF＝

90°.∵2DE⊥OA，OC平分∠AOB，∴DG＝DE＝1，∵∠AOB＝45°，EF⊥OA，

∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠EFO＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，

∴DF＝DG＝.

22

例2题解图

例38【解析】如解图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，

∴∠BAD＝∠EAD，∠BDA＝∠EDA＝90°，在△BAD和△EAD中，

＝

＝，∴△BAD≌△EAD(ASA)，∴BD＝ED，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC

∠�𝐶∠�𝐶

＝

𝐶𝐶

＝∠S�△�CD�E，∠∴�S�△�ABD＋S△BDC＝S△AED＋S△CDE＝S△ACD，∴S△ACD＝S△ABC＝×16＝8.

11

22

例3题解图

例44【解析】如解图，延长BD，AC交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，

∴△ABF为等腰三角形，∴BD＝FD，即BF＝2BD＝4.∵∠ACB＝90°，∴∠BCF

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＝90°，∠AEC＋∠EAC＝90°，∵AD⊥BD，∴∠BED＋∠FBC＝90°，∵∠AEC

＝∠BED，∴∠EAC＝∠FBC.又∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△

BCF(ASA)，∴AE＝BF＝4.

例4题解图

例52【解析】如解图①，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠ABD＝∠BDE，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBE，∴DE＝BE，设DE

－

＝BE＝x，则CE＝6－x，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，

�����6�

解得x＝2，∴CE＝4，∴＝＝＝2.����36

𝐶��4

𝐶��2

例5题解图①

一题多解法

如解图②，过点D作DF∥BC交AB于点F，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD

＝∠CBD，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBC，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，

－

∵＝，即＝，解得AF＝1，∴BF＝2，∴＝＝＝2.

𝐴��𝐴3𝐴𝐶𝐴2

����36𝐶𝐴1

例5题解图②

例64＋2【解析】如解图，过点D作DF∥AB交BC于点F，∵BD平分

∠ABC，∴∠3ABD＝∠CBD，∵DF∥AB，∠ABC＝30°，∴∠ABD＝∠BDF，

∠DFC＝∠ABC＝30°，∴∠BDF＝∠ABD，∴∠BDF＝∠CBD，∴BF＝DF，

∵DE⊥BC，∴△DEF是直角三角形，∴DF＝2DE＝4，EF＝＝2，∴BF

��

＝DF＝4，∴BE＝BF＋EF＝4＋2.tan30°3

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例6题解图

例78【解析】如解图，延长BA至点F，使得BF＝BC，连接DF.∵BD是

＝

∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△FBD和△CBD中，＝，

𝐴��

＝

∠�𝐶∠�𝐶

∴△FBD≌△CBD(SAS)，∴FD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝FD，∵�∠�BA�D�＝120°，

∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝AD，∴BC＝BF＝AB＋AD＝

8.

例7题解图

例8解：如解图①，在BA上截取BG＝BC，连接GE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBE＝∠GBE，

∵BC＝BG，BE＝BE，

∴△CBE≌△GBE(SAS)，

∴CE＝GE，

∵AB＝2BC，

∴AB＝2BG，

∴点G是AB的中点，

∵点E是BD的中点，

∴GE是△ABD的中位线，

∴GE＝AD＝，

15

22

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∴CE＝.

5

2

例8题解图①

一题多解法

如解图②，延长BC至点F，使得CF＝BC，连接DF，

∵AB＝2BC，BF＝2BC，

∴BF＝BA，

∵BD平分∠ABC，

∴∠FBD＝∠ABD，

∵BD＝BD，

∴△BDF≌△BDA(SAS)，

∴DF＝DA＝5，

∵点E是BD的中点，

∴CE是△BDF的中位线，

∴CE＝DF＝.

15

22

例8题解图②

二阶综合应用

1.8＋4【解析】∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC＝2∠CBD＝

30°，如解3图①，过点D作DE∥BC交AB于点E，则∠ADE＝∠C＝90°，∠AED

＝∠ABC＝30°，∴AE＝2AD＝8，ED＝AD＝4，∵DE∥BC，∴∠EDB＝

∠CBD＝∠EBD，∴BE＝DE＝4，∴AB3＝AE＋BE3＝8＋4.

33

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第1题解图①

一题多解法

如解图②，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC

＝2∠CBD＝30°，∵∠C＝90°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝4，∴AE＝2，DE＝

2，∴CD＝DE＝2，∴AC＝4＋2，∴AB＝8＋4.

3333

第1题解图②

2.12【解析】如解图，在BC上截取BF＝BE，连接DF，∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BF，BD＝BD，∴△BED≌△BFD(SAS)，∴DE＝

DF，∠BED＝∠BFD，∴∠AED＝∠CFD，∵∠AED＝∠C，∴∠CFD＝∠C，

＋

∴DF＝CD＝DE＝6，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，

������𝐶𝐶

∴＝，解得BC＝12.