2025年中考数学总复习10 一次函数的图象与性质

微专题10一次函数的图象与性质

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.一次函数的图象与性质(6年4考，常在函数综合题中涉及考查)

表达式y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数)

k＞0k＜0

b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0

图象

(草图)

①画出草图②画出草图

经过的

一、二、三一、三③④二、四二、三、四

象限

增减性y随x的增大而⑤y随x的增大而⑥

与坐标轴与x轴的交点坐标为⑦(即令y＝0)，与y轴的交点坐标为⑧

的交点(即令x＝0)

2.一次函数表达式的确定(6年5考，常在解答题中涉及考查)

(1)方法：待定系数法

(2)步骤：①先设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；

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＝＋

②将图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y＝kx＋b中，得到方程组；

＝＋

�1��1�

③解方程组可得k，b的值；�2��2�

④将k，b代入所设解析式

3.一次函数图象的平移

平移前的

平移方式(m＞0)平移后的解析式规律

解析式

向左平移m个单位y＝k(x＋m)＋b

x左加右减

y＝kx＋b向右平移m个单位y＝k(x－m)＋b

(k≠0)向上平移m个单位y＝kx＋b＋m等号右边整

向下平移m个单位y＝kx＋b－m体上加下减

4.一次函数与方程(组)、不等式的关系(2024.10)

(1)与一元一次方程的关系

如图①，方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点(点A)的横坐

标

图①

(2)与二元一次方程组的关系

＝＋

如图②，方程组的解是一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2图象交

＝＋

�1�1��1

点(点A)的横纵坐�标2的�值2��2

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图②

(3)与一元一次不等式的关系

①从“数”上看

(ⅰ)kx＋b＞0的解集是在函数y＝kx＋b中，当y＞0时x的取值范围；

(ⅱ)kx＋b＜0的解集是在函数y＝kx＋b中，当y＜0时x的取值范围；

②从“形”上看

(ⅰ)kx＋b＞0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标

的集合；

(ⅱ)kx＋b＜0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标

的集合

教材改编题练考点

1.已知一次函数y＝2x－1.

(1)该函数的图象经过象限；

(2)该函数的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；

(3)已知点A(－1，y1)，B(3，y2)在该函数的图象上，则y1y2.(填“＞”“＝”或“＜”)

2.已知直线y＝kx(k≠0)经过点(3，6)，则该直线的解析式为.

3.已知一次函数y＝2x－5，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到的函

数表达式为.

4.如图，已知一次函数y＝x＋1的图象分别与x，y轴交于A，B两点.

1

(1)方程x＋1＝0的解为2；

1

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2

(2)关于x的不等式0＜x＋1的解为.

1

2

第4题图

高频考点

考点1一次函数的图象与性质(6年4考)

例1已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，请解答下列问题：

(1)若b＝3，一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可

以为()

A.(－1，2)B.(1，－2)C.(2，3)D.(3，4)

(2)若b＝k2，则一次函数y＝kx＋k2与y＝k2x＋k的图象可能是()

(3)若点(－2，－1)，(1，－7)是该一次函数图象上的点，则下列各点在一次函数

图象上的是.

①(－2，－5)，②(－1，－3)，③(0，－1)，④(1，－5)

(4)若k＞0，点A(x1，y1)，B(x2，y1－2)是一次函数图象上两点，则x1x2(填

“＞”“＜”或“＝”).

变式1(2024长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是()

A.它的图象与y轴交于点(0，－1)B.y随x的增大而减小

C.当x＞时，y＜0D.它的图象经过第一、二、三象限

1

变式22在同一平面直角坐标系中，函数y＝－3x＋b和y＝bx－3(b为常数，且

b≠0)的图象可能是()

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考点2一次函数解析式的确定(6年5考)

例2(待定系数法求解析式)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(1，－1)，(2，

1)两点，该一次函数的解析式为.

例3(平移求解析式)已知一次函数y＝－2x＋5.

(1)将该函数的图象向上平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式

为；

(2)将该函数的图象向左平移m(m＞0)个单位后，经过点(－1，1)，则m的值

为.

例4(利用k、b的几何意义求解析式)如图，已知A点坐标为(5，0)，直线y＝x

＋b与x轴交于点C，与y轴交于点B，连接AB，α＝75°，则b的值为.

例4题图

方法解读

一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，

b的几何意义：直线与y轴交点的纵坐标；

k的几何意义：k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.｜k｜

＝tanα(α为直线与x轴所夹锐角).

注：直线y＝k1x＋b(k≠0)与直线y＝k2x平行，则k1＝k2.

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考点3一次函数与方程(组)、不等式的关系(2024.10)

例5(2024珠海模拟)如图，已知直线l1：y＝3x＋1和直线l2：y＝mx＋n交于点

＝＋

P(1，b)，则关于x，y的二元一次方程组的解是.

����

�=3�+1

例5题图

变式3为了了解关于x的不等式－x＋2＞mx＋n的解集，某同学绘制了y＝－x

＋2与y＝mx＋n(m，n为常数，m≠0)的函数图象如图所示，通过观察图象发现，

该不等式的解集在数轴上表示正确的是()

变式3题图

真题及变式

命题点1一次函数的图象与性质(6年4考，常在函数综合题中涉及考查)

拓展训练

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1.在正比例函数y＝(k＋2)x中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝(k－1)x

－k的图象不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.(2024长春)已知直线y＝kx＋b(k、b是常数)经过点(1，1)，且y随x的增大而

减小，则b的值可以是.(写出一个即可)

命题点2一次函数解析式的确定(6年5考，常在解答题中涉及考查)

3.(2023广东16(2)题5分)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(0，1)与点(2，

5)，求该一次函数的表达式.

拓展训练

4.(2024陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点

B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为()

A.y＝3xB.y＝－3xC.y＝xD.y＝－x

11

命题点3一次函数的图象与不等式的3关系(2024.10)3

5.(2024广东10题3分)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx

＋b的图象大致是()

拓展训练

6.(2024通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋

b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的

是()

A.b1＋b2＞0B.b1b2＞0C.k1＋k2＜0D.k1k2＜0

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第6题图

新考法

7.[真实问题情境](2024中山三模)如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和

高度之比为2∶1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是(－10，1)，

若直线y＝kx＋b同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为()

第7题图

A.－3B.3C.－5D.5

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考点精讲

①②③一、三、四

④一、二、四⑤增大⑥减小⑦(－，0)

�

⑧(0，b)�

练考点

1.(1)第一、三、四(2)(，0)，(0，－1)(3)＜

1

2.y＝2x2

3.y＝2x＋1

4.(1)x＝－2(2)x＞－2

高频考点

例1(1)B

(2)D

(3)②

(4)＞

变式1A【解析】A.令x＝0，则y＝－1，∴一次函数y＝2x－1的图象与y

轴的交点为(0，－1)，故A选项符合题意；B.∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，

故B选项不符合题意；C.令y＝0，则2x－1＝0，解得x＝，∵k＝2＞0，∴当x

1

＞时，y＞0，故C选项不符合题意；D.∵k＝2＞0，b＝－21＜0，∴一次函数y

1

＝2x－1的图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意.

变式2A【解析】若b＞0，则函数y＝－3x＋b的图象过第一、二、四象限，

函数y＝bx－3的图象过第一、三、四象限；若b＜0，则函数y＝－3x＋b的图象

过第二、三、四象限，函数y＝bx－3的图象过第二、三、四象限.故选项A符合

题意.

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例2y＝2x－3【解析】∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(1，－1)，(2，

＋＝－，，

1)，∴解得∴一次函数的解析式为y＝2x－3.

＋，＝－，

��1�=2

例3(12)�y＝－�=2x1＋9；(2)3�.3

例4【解析】令y＝x＋b中x＝0，则y＝b，∴B(0，b)，令y＝x＋b中y

53

＝0，则3x＝－b，∴C(－b，0)，∴∠BCO＝45°，∵α＝∠BCO＋∠BAO＝75°，

∴∠BAO＝30°，∵点A(5，0)，∴OA＝5，∴OB＝b＝OA·tan∠BAO＝.

53

3

例5【解析】∵直线y＝3x＋1经过点P(1，b)，∴b＝3＋1，解得b＝4，

�=1

＝＋

∴P(1，�4)=，4∴关于x，y的二元一次方程组的解是.

�����=1

变式3C【解析】以两函数图象的交点为�分=界3，�直+1线y＝mx＋�=n(m4≠0)在直线y

＝－x＋2的下方时不等式－x＋2＞mx＋n，此时x＜－1.故该不等式的解集在数轴

上表示如选项C所示.

真题及变式

1.C【解析】∵正比例函数y＝(k＋2)x中，y随x的增大而减小，∴k＋2＜0，

即k＜－2，∴－k＞0，k－1＜－3，∴一次函数y＝(k－1)x－k的图象经过第一、

二、四象限，∴该一次函数图象不经过第三象限.

2.2(答案不唯一)【解析】∵直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(1，1)，∴1＝k＋b.∵y随x

的增大而减小，∴k＜0，当k＝－1时，1＝－1＋b，解得b＝2，∴b的值可以是

2.

3.解：将点(0，1)，(2，5)代入y＝kx＋b中，

得，解得，分

＋(4)

�=1�=2

∴该2一�次�函=数5的表达式�为=y1＝2x＋1.(5分)

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4.A【解析】∵点A和点