2025年中考数学总复习07 一元二次方程及其应用

微专题07一元二次方程及其应用

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.一元二次方程的相关概念

(1)概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①的整式方程

(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a②0)

2.一元二次方程的解法(6年4考)

解法适用情况或步骤

直接开(1)当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；

平方法(2)形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程

(1)常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；

因式分

(2)一元二次方程的一边为0，而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积

解法

注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式

适用于所有一元二次方程，求根公式为③(b2－4ac≥0)

步骤：(1)使用求根公式时要先把原一元二次方程化为一般形式，方程的

公式法右边一定要化为0；

(2)判断b2－4ac的正负：若b2－4ac④0，则原方程无实数解；若

b2－4ac⑤0，则原方程有实数解

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注：将a，b，c代入公式时应注意其符号

适用于：(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；

(2)各项的系数比较小且便于配方的情况

步骤：以2x2－8x＋4＝0为例

(1)变形：将二次项系数化为1，得x2－4x＋2＝0；

配方法

(2)移项：将常数项移到方程的右边，得x2－4x＝－2；

(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2－4x＋4＝－2

＋4，即(x－2)2＝2；

(4)求解：用直接开平方法求解，得x1＝2＋，x2＝2－

3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(6年2考)2

(1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式

(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：

①b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根；

③b2－4ac＜0⇔方程没有实数根

(3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根

分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝(2022年版课标调整为考查内容)

��

4.一元二次方程的实际应用��

变化量

(1)变化率＝×100％；

平均基础量

设为原来量，当为平均增长率，增长次数为，为增长后的量时，

变化(2)am2b

则⑥＝；

率问b

设为原来量，当为平均下降率，下降次数为，为下降后的量时，

题(3)am2b

则⑦＝b

利润(1)利润＝售价－成本；

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问题利润率＝利润％；

(2)成本×100

(3)每每问题：单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为·y

�

件�

面积

问题S阴影＝(a－S阴影＝(a－

S阴影＝(a－x)(b－x)

2x)(b－2x)x)(b－x)

练考点

1.若关于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，则k的取值范围

是.

2.解方程：x2－3x＋2＝0.

3.一元二次方程x2－x＋4＝0的根的情况为()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

4.关于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的一个根是1，则该方程的另一个根

为.

5.为了满足师生的阅读需求，某校园图书馆的藏书从2022年至2024年两年内由

5万册增加到7.2万册，则这两年藏书的年平均增长率为.

6.某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发现，当销售价为2900元

时，平均每天能售出8台.调查发现，若销售价每降低50元，则平均每天能多售

出4台.

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(1)若销售价降低1元，则平均每天能多售出台；

(2)已知商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱降价

x元，可列方程为.

高频考点

考点1一元二次方程及其解法(6年4考)

例1(人教九上习题改编)用适当的方法解下列方程：

(1)5(x－3)2＝45；(2)x2＋4x＝12；

(3)x2－4x＋3＝0；(4)x2＋3x＋1＝0.

变式1(2024东莞一模改编)用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它

化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为()

A.B.C.2D.

1074

考点32一元二3次方程根的判别式(23024.13)

例2已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x－1＝0，请回答下列问题：

(1)若原方程有实数根，则k的取值范围是；

(2)若原方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是；

(3)若原方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是；

(4)若原方程没有实数根，则k的取值范围是.

易错警示

本题容易出现的错误是忽略“一元二次方程中二次项的系数不等于0”这个条件.

变式2若方程(x－1)2＝m＋2无实数根，则m的取值范围为()

A.m＜－2B.m≤－2C.m＞－2D.m＞－2且m≠0

变式3(2023广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则

－－(－)2的化简结果是()

2

(�1)2�第4页共11页

A.－1B.1C.－1－2kD.2k－3

考点3一元二次方程的根与系数的关系(2019.9)

2

例3(人教九上习题改编)设x1，x2是方程x－6x＋2＝0的两个实数根，则：

(1)＋＝；

11

(2)�1＋�2＝；

22

(3)�1x2＋�2x1＝.

22

变式�14(20�224佛山二模)若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你

写出一个满足条件的方程：.

考点4一元二次方程的实际应用

例4根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，如图是该公司用来生产一种

无盖长方体容器的矩形原料，该矩形原料的长为20cm，宽为16cm.

(1)随着技术逐年更新，该矩形原料的成本不断下降，前年一张矩形原料的成本是

50元，今年一张矩形原料的成本是32元，求这种矩形原料成本的年平均下降率；

例4题图

(2)将该矩形原料的四角剪去四个相同的小正方形，然后把剩余部分(阴影部分)

沿虚线折起可做成一个无盖长方体容器.若该无盖长方体容器的底面积为140

cm2，求剪去的小正方形的边长；

(3)若该无盖长方体容器的成本是50元/个，如果以100元/个销售，每天可以售

出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，公司决定降低售

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价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加20个，则当该公司将

销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16000元？

真题及变式

命题点1一元二次方程及其解法(6年4考)

1.(2022广东14题3分)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝.

2

2.(2021广东14题4分)若一元二次方程x＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2

满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为.

命题点2一元二次方程根的判别式(2024.13)

3.(2024广东13题3分)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实

数根，则c＝.

命题点3一元二次方程根与系数的关系(2019.9)

2

4.(2019广东9题3分)已知x1，x2是一元二次方程x－2x＝0的两个实数根，下

列结论错．误．的是()

A.x1≠x2B.－2x1＝0C.x1＋x2＝2D.x1·x2＝2

2

�1

4.1变思维——结合两根关系求系数

2

(2024乐山改编)若关于x的一元二次方程x－2x＋p＝0两根为x1，x2，且＋

11

＝3，则P的值为()�1�2

A.－B.

22

C.－36D.36

新考法

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5.[数学文化]我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有

圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边

三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有

一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边

到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水

平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是.

第5题图

6.[综合与实践]

【主题】探究日历中的奥秘.

【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日，本月日历如图所示.

步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)；

步骤二：设这四个数从小到大依次为a，b，c，C.

【观察】小方框中的4个数a，b，c，d，总存在着某种数量关系.

【猜想与应用】(1)请用含a的式子表示b，c，d；

(2)若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最大数.

第6题图

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考点精讲

－－

①2②≠③x＝2④＜⑤≥

�±�4��

⑥a(1＋m)2⑦a(1－m)22�

练考点

1.k≠3

2.解：Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1，

－

∴x＝或x＝，

3+131

∴x＝22或x＝1；2

一题多解法

(x－1)(x－2)＝0，

x－1＝0或x－2＝0，

解得x＝1或x＝2.

3.D【解析】∵a＝1，b＝－1，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×4＝－15＜0，

∴方程没有实数根.

4.3【解析】∵a＝1，c＝3，且x1·x2＝，由题可知，x1＝1，∴x2＝3，即另一

�

个根为3.�

5.20％

6.(1)；(2)(2900－x－2500)(8＋)＝5000

22�

高频考25点25

例1解：(1)等式两边同除以5，得(x－3)2＝9，

开平方，得x－3＝±3，

解得x1＝6，x2＝0；

(2)等式两边同加上4，得x2＋4x＋4＝16，

即(x＋2)2＝16，

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∴x＋2＝±4，

∴x1＝2，x2＝－6；

(3)原方程可变形为(x－3)(x－1)＝0，

∴x－3＝0或x－1＝0，

∴x1＝3，x2＝1；

(4)∵a＝1，b＝3，c＝1，

∴Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5，

－－－

∴x＝2＝，

�±�4��3±5

－2�－－2

∴x1＝，x2＝.

3+535

变式1B2【解析】2∵3x2＋6x－1＝0，∴3x2＋6x＝1，x2＋2x＝，则x2＋2x＋1

1

＝＋1，即(x＋1)2＝，∴a＝1，b＝，∴a＋b＝.3

1447

例32(1)k≥－2且k≠32【解析】由题3意得，42－34×(k－2)×(－1)≥0，且k－2≠0，

解得k≥－2且k≠2.

(2)k＝－2【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＝0，且k－2≠0，解得k＝－

2.

(3)k＞－2且k≠2【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＞0，且k－2≠0，解得

k＞－2且k≠2.

(4)k＜－2【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＜0，且k－2≠0，解得k＜－

2.

变式2A【解析】∵方程(x－1)2＝m＋2无实数根，∴m＋2＜0，∴m＜－2.

变式3A【解析】∵关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，

∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理得－8k＋8≥0，∴k≤1，∴k－1≤0，2－k

＞0，∴－－(－)2＝－(k－1)－(2－k)＝－1.

2

(�1)2�

第9页共11页

2

例3(1)3【解析】∵x－6x＋2＝0，∴x1＋x2＝－＝6，x1x2＝＝2，∴＋

��11

＋���1�2

＝＝3.

�2�1

�1�22

(2)32【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴＋＝(x1＋x2)－2x1x2＝36－4

22

＝32.�1�2

(3)12【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴x2＋x1＝x2x1(x1＋x2)＝2×6＝

22

12.�1�2

变式4x2－4＝0(答案不唯一)【解析】设所求方程式x2＋bx＋c＝0，∵方程的

2

两根互为相反数，∴－＝－b＝x1＋x2＝0，＝c＝x1·x2＜0，∴所求方程为x＋c

��

＝0(c＜0)，∴满足条件�的方程可以为x2－4＝�0(答案不唯一).

例4解：(1)设这种矩形原料成本的年平均下降率为x，

由题意得50(1－x)2＝32，

解得x1＝1.8(舍去)，x2＝0.2＝20％.

答：这种矩形原料成本的年平均下降率为20％；

(2)设剪去的小正方形的边长是xcm，则长方体容器底面的长为(20－2x)cm，宽

为(16－2x)cm，

由题意得(20－2x)(16－2x)＝140，

解得x1＝3，x2＝15，

∵当x＝15时，16－2x＜0，∴x＝15不符合题意，舍去，

答：剪去的小正方形的边长为3cm；

(3)设该公司将销售单价定为x元，

由题意得(x－50)[200＋20(100－x)]＝16000，

整理，得x2－160x＋6300＝0，

解得x1＝70，x2＝90.

∵要尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，

∴x＝70.

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答：当该公司将销售单价定为70元时，每天的销售利润为