2025年北师大版九年级数学下册二次函数压轴练习（含答案解析）

2025年北师大版九年级数学下册

二次函数压轴练习(含答案解析)

题型1：存在性问题

1.如图，抛物线了=办2+法+0("0)与％轴交于点4(—4,0)、C(l,0)两点，与y轴交于点8(0,3),点M(机,0)

是线段。4上的一个动点，过点M作x轴的垂线/,分别与直线和抛物线交于。、£两点，连接/E、

BE.

(1)求抛物线的解析式;

⑵求出当"BE的面积为3时，m的值;

(3)当/ABE=45°时,m的值为_；

(4)在x轴上有一点尸，△NB尸恰好是等腰三角形，请你直接写出点尸的坐标.

Qo

［答案］⑴,=_不2_不+3

⑵加的值为-2土收

⑶T

⑷(1,0)或(一9,0)或(4,0)或「(,0

【分析】(1)将点A、B、C的坐标代入y=+6x+c(a<0)即可;

(2)利用点A、3的坐标求出直线的解析式，推出。点纵坐标，再由E点纵坐标得到ED长度，根据

s*S,AED+S.BED=:(ED-AM+ED-MO)=^ED-AO,即可推出答案；

(3)作4NLEB交EB于N,先通过勾股定理，计算出48的长度，利用//3£=45。根据勾股定理求得MV

113

2

的长度，利用两点距离公式，可以表示出班的长度，由(2)可知，SAABE=-ED-AO=-x^--m-3m),

结合SABE=；EB.AN，从而知道;助防•/尸，从而计算出加值；

(4)设点尸的坐标为&0),由4-4,0),8(0,3)可知，AB2=25,AF2=(t+4^,BF2=t2+9,根据题意,

分当=/尸时，当他=3尸时，当/尸=8尸时，三种情况分别讨论求解即可.

I6a-4b+c=0

【解析】(1)解：将/(—4,0),3(0,3),。(1,0)代入>="2+&+C中，°=3

a+b+c=0

39

解得：a=-—,b=~—,c=3

44

3Q

•.・抛物线的解析式为：k-+

44

—4左+<7=0

(2)设直线45的解析式为:好履+仆0),将4(-4,0),C0,3)代入,得:

d=3

3

解得：k=-d=3

4f

二直线4B的解析式为:尸。+3

4

EM工AO,点E、。分别是抛物线和直线上的点

339

。点坐标为(九二加+3),E点坐标为(加,一:/一机+3)

444

ED=--m2——m+3-(—m+3)=--m2-3m

4444

；BEAEDBED

.S-AAb匕=SAAAHL)+SA«DHU=2-('ED-AM+ED-MO)，=-2ED-AO,AO=4

113,

-ED-AO=-x4(--m2-3m)=3

解得:ml=-2-y/2,m2=-2+V2

•1--4<-2-V2<0--4<-2+V2<0«符合点M(见。)是线段。4上的一个动点,

机的值为-2土

(3)作ANLEB交EB于N,如图

4-4,0),5(0,3)

•••AB=A/32+42=5

•••/ABE=45°,则NNBA=NNAB=45°,

：.AN=BN,

■■AN2+BN2=AB2,

AN^—AB,BPAN^—

22

39

由(2)可知，E点坐标为(加,一二加2一加+3)

44

I~~§o7

EB=Jm2+(--m2--m)2

：SABE二;,加2+(__|加2加)2

139

由(2)可知，S^ABE=—x4(——m—3m)

—x$亚xJm2+(-—m2-—m)2=—x4(--m2-3m)

22Y4424

整理得：(3机+37)(2加+59)=0

—44加«0,-----<—4,—4<------W0

321

37-

「•加2=--—舍去

59

m=-----

21

59

故答案为：;

(4)设点尸的坐标为：&0),

由4(-4,0),8(0,3)可知，

AB-=25,/尸2=(7+4)2,BF2=(2+9,

若AAB尸是等腰三角形，则

当48=4F时，即48?=得(/+4>=25,解得：4=1,t2=-9,

•••点尸的坐标为(1,0)或(-9,0)；

当"3=39时，即/炉=8尸2,得r+9=25，解得：4=4,t2=-4(舍去),

•••点尸的坐标为(4,0)；

7

当/尸=瓦7时，即4^_哥2,得/+9=(%+4)9,解得：t=――,

8

二点尸的坐标为1-(o•

综上，尸恰好是等腰三角形时，点尸的坐标为(1,0)或(-9,0)或(4,0)或(-go].

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面

积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

题型2：最值问题

2.已知二次函数了=3/+乐+，(b,c是常数).

⑴当/(-3,2)是二次函数y=3f+6x+c图象上的点时，求代数式2436-81C的值；

⑵若二次函数尸3/+6x+c的表达式可以写成尸3(x-犷-2(%是常数)的形式，求b-c的最大值；

⑶若二次函数y=3/+6x+c的表达式可以写成了=3(》-18-机)(加是常数，且-1＜冽＜0)的形式，该

函数图象与x轴交于5、C两点(点8在点C左侧)，已知点。、点E都是该抛物线对称轴上的点，点。位

于第一象限，且/。DC=90。，点尸是点。关于该抛物线的对称轴对称的点，连接阳并延长交y轴于点

G,连接2G.当AAJG的周长的最小值等于1时，求此时〃7的值.

4

【答案】(1)2025

(2)5

(3)z«=

4

【分析】本题为二次函数综合大题，涉及到了二次函数的图象性质，二次函数坐标点的特征，轴对称的性

质等知识点，合理分析图象利用数形结合思想是解题的关键.

(1)把/(-3,2)代入＞=3/+云+。运算求解即可；

(2)把歹=3(x-〃)2—2化成一般式得：y^3x2-6hx+3h2-2,表达出b-c=-3后一6〃+2=—3小+1丫+5,

把b-c的值看作是/!的二次函数，求解即可;

（m+1）

（3）求出抛物线对称轴，得到厅的坐标，设点D亍/J,由/QDC=90。得：自以砧=-1从而得：

D-,皆1）,又由对称轴垂直平分线段5,且平行于y轴，则由三角形中位线逆定理得：

G（0,71^7）,连接CG交对称轴于点£,即C、E、G三点共线时，则点E即为所求点，利用周长列式运

算即可.

【解析】（1）把4（-3,2）代入：=3/+乐+像寿得：27-36+c=2,即3b-c=25,

2436-81c=81（36-c）=2025；

（2）把y=3（x『一2化成一般式得：y^3x2-6hx+3h2-2,

b=-6h,c=3/z2—2,

.■.b-c=-3h2-6h+2=-3（h+l）2+5,

把b-c的值看作是，的二次函数，则该二次函数开口向下，有最大值，

.•・当〃=-1时，6-c的最大值是5；

（3）由题意得：B（m,0）、C（l,0）,抛物线对称轴为直线x=竽，则尸（机+1,0）,

设点。由/。DC=90。得：左OD•上8=T从而得：，—2—J'

又由对称轴垂直平分线段OF,且平行于V轴，则由三角形中位线逆定理得：G（0,后了），

在RtZXBOG中，BG2=BO2+OG2=m2+l-m2=1,

•・•点C是点B关于函数对称轴的对称点，

:.BE=CE,

连接CG交对称轴于点E,如图所示：

即C、E、G三点共线时，则点E即为所求点,

9

理由是：ziBEG的周长=3G+GE+5£=1+G£+C£21+CG,即1+CG=—

4

贝IJCG?=O02+OG2=1+1—机2—1],

解得加=±也^

4

/7

,.--l<m<0,故加=----

4

题型3：取值范围问题

3.【项目式学习】如图，抛物线＞="2+瓜+或。〉0)与工轴分别交于4、5两点(Z、8分别在原点左右两

侧)，与天轴交于点。，点尸为抛物线上第一象限内一动点，过点4、点尸的直线交》轴于点过点5、

点尸的直线交y轴于点N,连接助人BC、AC,试探究CM、CN、0403之间的数量关系.为探究该问

题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式：

(1)设Q=l,b=l,c=-2.

①若点尸的横坐标为2,计算：______，察=______；

OBC7V

U一L1OACM/上士一、

比较大小：—_____—(填或

013C7V

②若点尸的横坐标为加，上述当、舞之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请

(JBC7V

说明理由.

(2)根据上述研究经验，当/、8两点的横坐标为占、x?时，CM、CN、。4。8之间的数量关系仍然成立

吗？请说明理由.

C_C

⑶若上代_2=左，求出左的取值范围.

、ABCN

【答案】⑴①2,2,=；②仍然成立，理由见详解

°A-CM

⑵ny下一区

71

⑶上司

【分析】（1）①由己知确定函数的解析式，求出4瓦。的坐标，再由待定系数法求出直线的与直线AP的

解析式，从而得到点坐标，分别计算空，要即可；

OBCN

②同理①，由待定系数法求出直线北与直线AP的解析式，从而得到点坐标，分别计算经，邺即

OBC7V

可；

（2）分别求出45Gp的坐标，由待定系数法求出直线的与直线AP的解析式，从而得到M,N点坐标，

分别计算器，晋即可;

（3）令刍=心根据面积公式求出后的表达式为左=-0-'丫+,，再求左的范围即可•

OBI2）4

【解析】(1)解：①当〃=1,6=1,。=一2时，j?=x2+x-2,

当尸。时，x2+x-2=0,

解得：%=—2或%=1,

「•^(-2,0),5(1,0),

.•Q=23=l,

，0=2,

OB

,・,点尸的横坐标为2,

”(2,4),

当x=0时，歹=一2,

C(0,-2),

设直线AP的解析式为y=kx+bf

j-2k+b=0

'[2k+b=4'

\k=\

解得：Ad

[b=2

二直线里的解析式为y=x+2,

同理可求直线BP的解析式为7=4x-4,

N(0,—4),

:.CM=4,CN=2,

.型=2

,CN，

.OACM

,~OB~~CN，

故答案为：2,2,二；

②当=萼仍成立，理由如下：

(JDC7V

•・,点尸的横坐标为加，

/.P[m,m2+加-2),

设直线ZP的解析式为y=k,x+bt,

J-2F+y=0

mk'+b'=m?+m—2'

k'=m-\

解得:

b'=2m-2

・•・直线AP的解析式为y=(m-V)x+2m-2,

/.M(0,2m-2),

同理可求直线3尸的解析式为歹=(加+2)%-加-2,

N(0,—加—2),

CM=|2m\,CN=\m\f

3=2

,CN，

.OACM

''OB~~CN；

(2)解：・・・4、5两点的横坐标为x1、x2,

y=〃（x—xj（x-々），

,0）,5（x2,0）,C（0,axxx2）,

设尸,,4«_项）«_%2）），

.•・同（1）得直线Z尸的解析式为歹=Q。—％2）X—〃（，一工2）X1,

同理直线5尸的解析式为V=-匹卜-〃（/-王）工2，

M(O,-Q(Z-X2)XJ),2V(O,-a[t-x^x^,

OAA

~OB%

,OA_CM

'~OB~~CN'

S^BCM-

（3）解:

屋BCN

CMOB-CMOA

CNOB

CM(OB-OA)

~CNOB

CMOB—OA

~~CN~OB

OA_CM

~OB~~CN

k=弋M-SGACM=/(I—7)=一/+/=+；,

w0,

:.k<-.

4

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式

的方法，准确计算是解题的关键.

题型4：定点问题

4.如图，直线了=》与抛物线G：y=；（x+3）2+m交于A、8两点（点A在点8的左侧），抛物线与V轴交于

点C.

(1)若点A的横坐标为-5,求抛物线的解析式；

(2)在(1)条件下，点”为直线：了=工上方的抛物线上一点，若&/斓=2S2BC，求点〃的坐标；

(3)将抛物线C平移使得顶点落在原点。得到抛物线G，直线了=x+6交抛物线G于P,。两点，已知点

8(0,-1),直线PH,映分别交抛物线于另一点N.求证：直线恒过一个定点.

【答案】⑴抛物线的解析式为V=；(X+3)2-6；

(2)点M的坐标为(-1+Jld,彳+或(-1-J而，--V46)

⑶直线经过定点(1,0)

【分析】(1)由直线解析式求得A点的坐标，然后代入V=；(x+3)2+m,即可求得加的值，从而求得抛物

线的解析式；

(2)设直线下方抛物线上的点M坐标为(X4-2X+3),过M点作V轴的平行线交直线于点N,则

N(x,x+3),根据三角形面积为3,求出x的值，M点的坐标即可求出；

(3)先求出抛物线G的解析式为y=：x2,由Jx2=x+6,可得4+气=4,xP-xQ=-4b,设直线Affir的

44

141

解析式为＞=b-1,由：/=履-1,xp=——，设直线NHr的解析式为＞=左、-1,由二/Ol,可得

4XM4

41

=—,通过整理可得/+XM=/•■%，设直线AGV的解析式为'=加x+〃，由7/=蛆+〃，可得

XN4

xN+xM=4m,xN-xM=-4n,贝=求出直线MV的解析式为y=/(尤-1),可知直线MV经过定点

(1,0).

【解析】(1)解：把x=-5代入y=x,得了=一5,

A(-5,—5),

才巴A的坐标代入P=；(%+3)2+加,得一5=；(—5+3)2+加,

解得m=-69

「•抛物线的解析式为V=；(%+犷-6；

・•・8(3,3),

把尤=0代入V=；(x+3)2—6,求得丁=一,，

44

。(。,一号)，

4

/.OC=—,

4

：・S—Be=5、?*(3+5)=15,

•S^ABM=2s4ABe，

S/^ABM=30,

设直线4B上方抛物线上的点M坐标为(x,%+3>一6),过M点作V轴的平行线交直线N8于点N,则

N(x,x),

11「1?-

.・—)=5z(x+3)2-6-x-(3+5)=30.

整理得M+2%-45=0,

解得西=—l+VZ^,x2=—1—V46.

故点〃的坐标为(T+廊，£+廊)或(-1-J话，y-V46).

(3)•・•将抛物线G平移使得顶点落在原点O得到抛物线Q,

••・抛物线C2的解析式为y=

—1x2=x+b,,

4

12

••一x—x—b=0,

4

/.xp+=4,xp'XQ=-4b,

设直线的解析式为夕=b-1,

/.一/=Ax-],

4

1

••—x9—kx+1—0,

4

：

,XM-xp=4,

4

二.xp=—,

XM

设直线地的解析式为y=左，-1,

.e._Y=]^'x-1

4

—x2—k'x+1—0.

4

=4,

44,

/.——+——=4,

XMXN

XN+XM=XN'XM，

设直线MN的解析式为P=加工+〃,

12

—x=mx+n,

4

12

/.—x-mx-n=0,

4

xN+xM=4m,xN-xM=-4n,

4m=-4〃,

/.m=-n,

:.y=mx-m=m(x-1),

二直线MN经过定点(1,0).

图1

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的

解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵

活应用根与系数的关系是解题的关键.

题型5：定值问题

5.如图1,抛物线了=办2+区-3与x轴交于4T0)、8(3,0)两点，。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,经过定点G的直线/=依-左-2(左＞0)交抛物线于£、尸两点(点E在点尸的左侧)，若AOFG的

面积是△OEG面积的三倍，求人的值：

(3)如图3,直线尸初■与抛物线有唯一公共点直线PN与抛物线有唯一公共点N,且直线过定点

(1,-2),则的面积为定值，求出这个定值.

【答案】⑴12一2尤-3

（2）后=|•指

（3）6

【分析】（1）运用待定系数法求解即可；

（2）可求过定点G（l,-2）,而顶点则。G〃了轴，设后（西,必）,尸（乙,力）,联立直线和抛物线解析

Iy=x—2x—3c/、

式得：177，化简得：x—（左+2）、+左—1=0,则匹+/=左+2,再工2=左一1,设产G以。G为底

[y=kx-k-2

的高为4，△■DEG以。G为底的高为“2,则4=3〃2，即工2-1=3（1-占），则遍=4-3花，可得到演=1-；左,

x2=\+h,再代入再％=左-1,得（1一;“1+|"=左一1,即可求解；

（3）由（2）（3）可知此时直线AGV即为上述直线E尸，设〃■（加,丁_2加-3）,N（〃,〃2-2"-3）,同上可得:

m+n=k+1,mn=k-1,可求直线尸A/：y=k^x-m）+m2-2m-3,与抛物线角单析式联立得：

y=x-2x—3o/、°

<,/\2c,，整理得：X-（K+2）x-机’+2加+/加=0,由直线尸河与抛物线有唯一公共点

y=K^x-mj+m-2m-3

M,故/_（匕+2）-/+2"+左必=o该方程有两个相等的实数根，则由根与系数得关系得：

2

m+m=kl+2,则左=2加—2,止匕时直线尸A/：y^（2m-2）x-m-3,同理直线7W：

2

^=（2n-2）x-W-3,联立直线尸的表达式得：（2加一2卜一加？-3=（2〃-2）x-/一3,整理得：

x=m+n将x=代入直线尸N并化简得：y=mn-（m+n）,将〃?+〃=左+2,〃?〃=左一1代入得：

了=无一1一（左+2）=-3,即处=-3,则以板=g48x|y/=；x4x3=6,故A4BP面积为定值，且为6.

【解析】（1）解：将4-1,0）、8（3,0）两点代入好尔+6无一3,

/口ja-b-3=0

得：（9。+36-3=0，

f（7=1

解得：,。，

[b=-2

••・解析式为：y=^2—2%—3；

（2）解：y=kx-k-2=k（x-1）-2,满足过定点，则与左无关，

x-1=0,

x—1,jv——2,

,过定点G（l,-2）,

vj;=%2-2x-3=（x-1）2-4,

・•.顶点。（1,-4）,

DG〃y轴，

设£（西，%），尸（%2，%），

y=x2—2x—3

联立直线和抛物线解析式得：“，7。，

y=KX-K-2

化简得：——（左+2）x+左—1=0,

xy+x2=k+2,演工2=k-T,

设△。厂G以。G为底的高为九，△DEG以DG为底的高为〃2

vSWFG=3sMEG，且ADFG,丛DEG共底DG,

即马一玄=3（XD-X£）,

J.%—1=3（1—X]）,

/=4-3国，

将％=4-3/代入x{+x2=k+2

得：再

x2=4—3（1—；左]=1+g左,

13

=

将"Xy\——k,%2=]+5左彳弋入►X]%2=k-1

得:ym」,

解得：^=|V6（舍负）；

（3）解：由（2）（3）可知此时直线即为上述直线所,

・•・直线jW：y=kx-k-2,

设〃（加，加2-2加一3）,双（〃,九2一2〃一3）,

同上可得：m+n=k+2,mn=k-\,

设直线PW的解析式为：>=左％+4,

代入M（加，加2_2加一3）,

2

得：m-2m-3=kxm+bx,

2

・•・m-2m一3=k1m+bx

2

：.m-2m-3-k^m=bx

2

・••直线PM：y=kx(x-m)+m-2m-3,

y=x2-2x-3

与抛物线解析式联立得:

y=k^x-+m2-2m-3

理得:—（左］+2）x—加2+2加+左加=0,

・・•直线PM与抛物线有唯一公共点M,

d_（左+2）x-加2+2加+左即=o该方程有两个相等的实数根,

・•・由根与系数得关系得：加+加=%+2,

左=2加一2,

，直线PM：y=(2m-2)(x-m)+m2-2m-3,

整理得：y=(2m-2)x-m2-3,

同理直线PN：y=(2n-2)x-n-3,

联立直线PM,PN的表达式得：（2加—2）x—加2-3=仅〃-2）x—/—3,

口m+n

整理得：工二W，

将x二^121代入直线PN：y=（2n-2）x-n2-3

得：尸伽-2）x等-/_3,

化简得：y=mn-(m+n),

将加+〃=左+2,机〃=左一1代入得：y=左一1一（左+2）=—3,

・•・点尸纵坐标处二-3,

AB=xB-xA=4

户=gA8x»/=；x4x3=6,

・••△48尸面积为定值，且为6.

【点睛】本题考查了二次函数中的定点定值问题，面积问题，难度很大，涉及待定系数法求一次函数，二

次函数解析式，直线与抛物线的交点问题，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知

识点，细心化简计算是解题的关键.

题型6：新定义题

6.定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线.

（1）如图，在△4BC中，NB4C=90°,点。是3c的中点.试证明：以点A为顶点，且与x轴交于。、C

两点的抛物线是正抛物线；

问题探究：

（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在/的左边），£0,0）且所=2若此条抛物线为正抛物线,

求这条抛物线的解析式；

应用拓展：

（3）将抛物线乂=-/+2gx+9向下平移9个单位后得新的抛物线外.抛物线外的顶点为尸，与x轴

的两个交点分别为川、N在N左侧），把APAW沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边7W与无轴重合时记

为第1次翻滚，当边与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2025次翻滚后抛物线％

的顶点P的对应点坐标.

【答案】⑴见解析；（2）y=-V3（x-2）2+V3^j.=V3（x-2）2-V3；（3）（405173,3）.

【分析】（1）由RtZX/BC中是斜边3c的中线可得4D=CD,由抛物线对称性可得AD=AC,即证得

△NCD是等边三角形；

（2）设抛物线顶点为G,根据正抛物线定义得AMG是等边三角形，又易求E、尸坐标，即能求G点坐标,

由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式；

（3）根据题意求出抛物线%的解析式，并按题意求出尸、M、N的坐标，得到等边APMN,所以即每翻

滚3次为一个周期，当翻滚次数〃能被3整除时，点P纵坐标为3,横坐标为g+“x2g=（2"+l）石，2025

能被3整除，代入即能求此时点P坐标；

本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的

关键.

【解析】解：（1）证明：-.-ZBAC=90°,点。是2c的中点，

.-.AD=BD=CD=-BC,

2

•••抛物线以A为顶点与x轴交于。、C两点，

.\AD=AC,

AD=AC=CD,

.•・△/CD是等边三角形，

・・・以点A为顶点，且与％轴交于。、。两点的抛物线是正抛物线；

（2）•.・£1（1,0）且所=2,点尸在x轴上且E在尸的左边，

.-.F（3,0）

•••一条经过无轴的两点E、尸的抛物线为正抛物线，设顶点为G,

・•.△MG是等边三角形，

，』=汽生=2,|兀|=也==有，

①当G（2,百）时，设抛物线解析式为y="x-2），君把点用1,0）代入得：“+百=0,

•*,CL=-y/3，

・•.y=-V3（x-2广+6,

②当G（2,-时，设抛物线解析式为y=a（x-2）2-6,

把点£（1,0）代入得：a-V3=0

a—A/3，

y=V3(x-2)--V3,

综上所述，这条抛物线的解析式为y=-g（x-2y+百或y=V3（x-2）2-V3；

（3）•.•抛物线必=-x2+2岳+9=-1-时+12,

・••必向下平移9个单位后得抛物线％=-1-如丫+3,

...尸（6,3）,M（0,0）,N（2百,0）,

PM=MN=PN=2y5,

.•.△PAW是等边三角形，

・•・第一次翻滚顶点尸的坐标变为6（4百,0）,第二次翻滚得6与6相同，第三次翻滚得A（7点3）,

即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数〃能被3整除时，点P纵坐标为3,横坐标为：V3+MX2V3=（2H+1）V3,

••・2025+3=675

.-.（2x2025+1）x73=405173,

・•・第2025次翻滚后抛物线外的顶点P的对应点坐标（4051百,3）.

题型7：二次函数与特殊平行四边形

7.已知直线y=-x+2与X轴交于N,与y轴交于点8,抛物线y=-/+6x+c与x轴交于N,C两点，

与〉轴交于点3

⑴求这个抛物线的解析式

（2）若尸是直线上方抛物线上一点，存在点尸使得S/BP=；S“BC，求点尸的坐标

⑶在对称轴上是否存在点0,使得△B。。的周长最小，若存在，请直接写出0点坐标，若不存在，请说明

理由

（4）点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N,使以/,2,M,N为顶点的四边形是菱形，若存在直接

写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴N=*+尤+2

⑵存在，［，：）或C：）

⑶存在，

（4）存在，（2,2）或（20,2）或卜2啦,2）

【分析】（1）先求出点A,点3的坐标，利用待定系数法求解即可；

（2）先求出点C的坐标，再求出J.,过点尸作x轴的垂线，交直线于点兄设尸（0,-/+。+2）,

则坦p,-p+2）,求出尸〃=_/+2p,由%行=；尸女•5，结合S“BP=；S“BC，建立方程求解即可；

（3）作点。关于抛物线对称的对称点E,则£0,0）,贝由。2为定值，当瓦三点共线时,

QE+QB有最小值，即。。+。3有最小值，则△台。。的周长最小，利用待定系数法求出直线BE的解析式,

令x=g,代入计算即可得到结果；

（4）分42为对角线和边两种情况，利用菱形的性质，求解即可.

【解析】（1）解：・.・直线V=f+2与x轴交于4,与了轴交于点5,

令x=0,%=0+2=2,令y=-x+2=0,xA=2f

.•.4(2,0),8(0,2),

0=-4+2b+c

将4（2,0）,3（0,2）代入抛物线y^-x^+bx+c,则

2=c

6=1

解得:

c=2

:・抛物线的解析式为：^=-X2+X+2；

（2）解：存在，

..・抛物线＞=-/+苫+2与x轴交于4,C两点,

令y=*+x+2=0,贝!jx2-x-2=0,

x

解得:i=2,x2=-1,

根据题意得c(-i,o),

AC=3,

'''S"c=3,

如图，过点尸作x轴的垂线，交直线48于点”,

设尸夕2+P+2),则p+2),

.e.PH=（一夕2+,+2）—（-p+2）=-p2+2p,

19一

；・

•SAABP=]PHXA=-P+2p,

••c_J_c

,口“BP~4U“BC'

/.-p2+2p=；x3,即4/Z—82+3=0,

13

解得：P=3或2=不，

点P的坐标为或（I';

（3）解：存在，

作点O关于抛物线对称的对称点E,连接QB,QO,QE,

11

'­,抛物线的对称轴为x==2'

.•.£（1,0）,QE=QO,

。8=2为定值，

当尻°,£三点共线时，0E+0有最小值，即。。+。8有最小值，则△8。。的周长最小,

设直线BE的解析式了=必+”(小/0),则

0=m+n

解得:

，直线8E的解析式歹=-2x+2,

(4)解：存在,

如图，当以4s为对角线时,

••・四边形"AffiN为菱形,

C/,N/r

I~OA/2^x

：.ABLMN,

•.,点〃•在x轴上，

•・•点M在点/的左侧，

设”（W，

・「AM=2-t,

'：BN//AM,BN=AM,

N（2—,2）,

•••BM=AM=BN,

BM=yl（0-t）2+22=J/+4=2-t,HPt2+4=t2-4t+4,

解得：f=0,

・•.N（2,2）；

如图，当以N2为边时,

当点M在点/左侧时，

；四边形/ACVS为菱形，AB=A/22+22=2V2>

AB=AM=MN=BN=272.BN//AM,

：.AA(-272,2)；

如图，当点〃■'在点/右侧时，

同理得：N'(2式,2)；

综上，点N的坐标为(2,2)或(2正,2)或卜2式,2)

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质,

菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质.解题关键是找特殊点，充分

利用对称轴，顶点坐标等知识.

题型8：二次函数与相似三角形

8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线了=办2+区+0伍*0)与x轴交于/,3两点，与y轴交于点

C,其中3(-1,0),OA=1OB,连接NC,tanZCAB=^.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为直线/C下方抛物线上一点，过点尸作尸。II/C交y轴于点。，求孚尸D+C。的最大值及此时

点P的坐标；

(3)将该抛物线沿射线/C方向平移，经过点8时得到新抛物线，在新抛物线上有一点M,过点M作上

轴于点N.若以8,M,N三点为顶点的三角形与△49C相似，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出

求解点M的坐标的其中一种情况的过程.

【答案】(1)夕=1，+4苫+鼻，详见解析

(2)冬叵尸Z)+C£>最大值为^,此时尸点坐标为：(一~详见解析

5o128J

⑶点河的坐标为:M〔4,£|,以「其］心(7，16),详见解析

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识

点，

(1)先由04=708求出-7,0),再由tan/C/8=；求出最后由待定系数法即可求解；

(2)如图，过P点尸尸轴交y轴于点尸，设尸■加2+4加+：［(_7<%<0),用含机的代数式表示出

^PZ)+CD=-1L+-Y+—,再利用二次函数的性质求出最值，进而即可得解；

52(2J8

1

(3)先利用平移的性质求出新的抛物线解析式，用含f的代数式表示出9-2,W=|/+l|,

然后分/G£8=/A/N和=两种情况讨论以8,M,N三点为顶点的三角形与△/0C相似，即

可得解;

熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键.

【解析】(1)••-5(-1,0),

/.OB=1,

•••OA=7OB,

-7,0),

,/tanACAB=—,

2

OC1

•,•---—一—，

OA2

将/、B、。三点代入^二"2+&+。得,

a-b+c=0"-2

<49a-7b+c=0,解得<6=4,

c=3.57

c=—

2

177

・•・抛物线的解析式为V=万一+4x+万；

(2)如图，过P点尸尸，歹轴交歹轴于点Rm,1m2+4m+1(-7<m<0),

•••PD〃AC,

・•./ACO=/PDF,

,,"CAB=/DPF,

1

：.tanACAB=tan/DPF==----

PF2

,DF=-PF=--m,

22

・•.PZ)2=尸尸2+［；尸尸)

S竽E-m，

7〃〃119

：.CD=CF-DF=-+4-——m=——m2——m,

222222

215Dn5f129111IfIB121

•••-----PD+CD=—m+—m—m=—m2-----m=—m-\H------，

522J222^2J8

...当加=-2时，型PZ)+CD有最大值为导，

258

W11.12,727

・•・当加=---时，—m+4m+—=-------,

2228

最大值为号，夕点坐标为：

5XI2X)

（3）••・将该抛物线沿射线/C方向平移，tanNC/8=；,

•••设抛物线沿X轴正半轴方向平移2〃个单位，则沿y轴正方向平移〃个单位,

■■y2,

1O

・•・平移后的函数解析式为歹=5（%+4-2〃）7

•••新抛物线经过点B,

1O

/.0=-(-1+4-2«)9

解得〃=0（舍）或〃=|"

1

・・・平移后的函数解析式为y=5（x-l）7-2,

在新抛物线上有一点过点〃■作MV_Lx轴于点N,设M的横坐标为

19

：.MN=-2,5N='+1|,

COMN公51

----tanNCA.B——,

AOBN------------2

i

5。-1)9-2=>+1],

解方程得：4=4,t2=—1,t3=3,t4=-2f

当=时，AAOCSAMNB,

CO

AO需“NCAB",

1

=2\t+l\,

2

.•,5=7,%6=T，

i7s

...将％=4,t2=-\,4=3,。=-2,/5=7分别代入〉=5@-1)2-2得到点乱的纵坐标为：0,0,

•.•点(-1,0),(3,0)在x轴上，

・•・与点N重合，构不成三角形，，不符合题意，舍去，

.••点”的坐标为：跖,胃，M(7，16).

题型9：二次函数与解直角三角形

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸为该抛物线上一动点.

①当点尸在直线/C下方时，过点尸作尸£||x轴，交直线/C于点E,作尸尸〃夕轴.交直线/C于点E求

EF的最大值；

②若ZPCB=3/OCB,求点P的横坐标.

【答案］⑴尸;f+2x—6

Q)①字②*

【分析】(1)待定系数法求解析式即可；

(2)①当x=0时，y=-G,即C(0,-6),OA=6=OC,ZOAC=ZOCA=45°,待定系数法求直线/C的

解析式为＞=一工一6；如图1,设厂&T-6),则尸上,；»+2/-61PF=-1/2-3?=-1(Z+3)2+|,由

10

--＜0,可知当3时，P尸有最大值5，由轴，尸尸〃y轴，可得NPFE=NPEF,PE=PF,由

勾股定理得，EF=yJPE1+PF2=42PF＞进而可求石尸的最大值；②如图2,作8关于V轴的对称点N,

连接CN,作CP,使NPCN=/NCO,交无轴于。，由轴对称的性质可知，ZNCO=ZOCB,

ON=OB=2,CN=CB,贝U/NC3=2/OC8,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,

ZPCB=ZPCO+ZOCB=3ZOCB,由勾股定理得，BC=CN7O