九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件5作业设计新版苏科版

PAGE26.4三角形相像的条件（5）1．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.则下列结论中不正确的是()A．△BAE∽△DBEB．△BAE∽△DACC．△DBE∽△DACD．△BAD∽△DAC2．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P.若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD的长为()A．6B．12C．8D．不能确定3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.求证：(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2＝2AD·AO.4．已知：如图，AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径．求证：AB·AC＝AD·AE.5．三角形的重心是三角形的()A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条高所在直线的交点6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．假如AG＝6，那么线段DG的长为()A．2B．3C．6D．12图6－4－607．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论正确的是()A．点G是△ABC的内心B．BD＝2CEC．S△BGC＝2S△DGED．S△BDG＝S△CEG8．如图，若AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，则线段AD的长为________．9．如图，在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，求△AEC的面积．10．如图，在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为()A．8B．4eq\r(10)C．12D．1411．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G.若BC＝6cm，则DE等于________cm.12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E，连接DE.若DE＝3，则AD的长为________．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝18，点E在AC上且CE＝eq\f(1,2)AC，连接BE，与AD交于点F.若BE＝15，则△DBF的周长是________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F为△ABC的重心，AB＝6，则EF＝________．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．16．如图，已知点G是△ABC的重心，AG⊥GC.(1)若AC＝4cm，求BG的长；(2)若△ABC的面积为9cm2，求△GBC的面积．17．如图，已知矩形ABCD中，DE∥AC，DE与BC的延长线交于点E，AE交CD于点F，BF交AC于点G.(1)求证：点G是△ABE的重心；(2)已知eq\f(AD,AF)＝eq\f(2,3)，求证：∠BCG＝∠BGC.

参考答案1．D2．C[解析]连接AC，BD，则△PAC∽△PDB，∴eq\f(AP,DP)＝eq\f(CP,BP)，∴DP＝eq\f(AP·BP,CP).∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴DP＝6，∴CD＝CP＋DP＝2＋6＝8.故选C.3．证明：(1)连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵点C在⊙O上，∴直线DC是⊙O的切线．(2)连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠BAC＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∴AC2＝AD·AB，∴AC2＝2AD·AO.4．证明：∵AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径，∴∠ADB＝∠ACE＝90°.又∵∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，∴AB∶AE＝AD∶AC，∴AB·AC＝AD·AE.5．A6．B[解析]依据重心的性质，三角形的重心到一顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍，可干脆求得结果．7．D[解析]依据三角形重心的定义和性质对各选项分析推断，利用解除法求解．8．6[解析]∵AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，∴点F是△ABC的重心，∴AF＝2FD＝2×2＝4，∴AD＝AF＋FD＝4＋2＝6.9．解：∵D是△ABC的重心，∴AD＝2DE，F为AC的中点，∴S△ADF＝2S△DEF＝4，∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.10．B[解析]∵O是△ABC的重心，∴E是AC的中点，OE＝eq\f(1,3)BE＝eq\f(1,3)×6＝2.∵AD⊥BE，∴AE＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)，∴AC＝2AE＝2×2eq\r(10)＝4eq\r(10).故选B.11．4[解析]连接AG并延长交BC于点N.∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN＝CN，DG＝EG，∴eq\f(AG,AN)＝eq\f(DG,BN)＝eq\f(2,3).∵BC＝6cm，∴BN＝3cm，∴DG＝2cm，∴DE＝4cm.12．2eq\r(5)[解析]连接BE，因为∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠ACB，所以∠DBE＝∠ACB.因为BD是直径，所以∠BED＝90°.又因为∠ABC＝90°，所以∠BED＝∠ABC，所以△BED∽△CBA，所以eq\f(DE,AB)＝eq\f(EB,BC)，得到EB＝6.Rt△BED中，依据勾股定理得BD＝3eq\r(5).在Rt△ADB中，依据勾股定理得AD＝2eq\r(5).13．24[解析]依据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，又由CE＝eq\f(1,2)AC，可知F是△ABC的重心，依据重心的性质，得BF＝eq\f(2,3)BE＝10，DF＝eq\f(1,3)AD＝6.在Rt△BDF中利用勾股定理求得BD＝8，进而得出△DBF的周长为24.14．115．解：(1)证明：如图，连接OD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD.又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线．(2)证明：∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠ABD＋∠DCA＝180°.又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠DCA.∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.(3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∴OB＝OC＝OD＝5.又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5eq\r(2).∵△PBD∽△DCA，∴eq\f(PB,DC)＝eq\f(DB,AC)，即eq\f(PB,5\r(2))＝eq\f(5\r(2),8)，∴PB＝eq\f(（5\r(2)）2,8)＝eq\f(25,4).16．解：(1)如图，延长BG交AC于点D.∵G是△ABC的重心，∴BD为△ABC的中线．又∵AG⊥GC，∴GD为Rt△AGC斜边上的中线，∴GD＝eq\f(1,2)AC.又∵G是△ABC的重心，∴BG＝2GD＝AC＝4cm.(2)∵BD为△ABC的中线，∴S△CBD＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(9,2)cm2.∵G是△ABC的重心，∴BD＝3GD，∴S△GBC＝eq\f(2,3)S△CBD＝3cm2.17．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，BC＝AD.又∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴