2025年高考数学第二次模拟考试（新高考Ⅰ卷）（全解全析）

2025年高考数学第二次模拟考试（新高考I卷01）

全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.己知集合/={X|X2-X-2<0},3=N10gd<1>,贝!|/门(48)=(),

A.B.C.(-1,2)D.[1)1

【答案】A

【详解】因为“={x|x2-x-2<0}={x|-l<x<2},

B=1“。gy<1-=jxx>g,则(8=[xx4,

所以/71町=

故选：A.

2.已知(2—2i)z=i,贝匹=()

11.11.£1.11.

A.—+—1B.---------1D.-------1—1

4444444

【答案】C

ji-(2+2i)-2+2i-1

【详解】由题意知,+

2-2i-(2-2i)(2+2i)-844

11.

所以葭---------1

44

故选：C

3.已知向量3=(1,T),b=(x+2,x2),贝是“方工行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【详解】由4=(1,-1),b=(x+2,x2),

^alb，贝鼠+2-f=0,

解得x=2或x=-l,

故，，x=-1”是“1工b”的充分不必要条件，

故选：A.

4.某景区新开通了A,B,C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志

愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验A项目，则不同

的体验方法共有()

A.12种B.18种

C.24种D.30种

【答案】C

【详解】若乙、丙、丁3人体验的项目各不相同，则有C；A；=12种体验方法，

若乙、丙、丁3人有2人体验的项目相同，则有C；C；A；=12种体验方法，

故不同的体验方法共有24种.

故选：C.

卜+汴（）

5.已知—,贝Ijcos

75c.L

A.—B.—•

999

【答案】D

【详解】因为sinQq1*,

所以cos

BPcos^2«-^=|)

所以cos(2a+=cos12a一胃127

+兀J=-cosI2a一一

故选：D.

6.己知S„为等差数列｛«„）的前〃项和，为=-21,S?=几，则S”的最小值为（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【详解】设｛2｝的公差为d,因为q=-21,S7=Sl5,

%=—21

可得L7x6,15x14,，解得4=2,所以。“=2〃-23,

7〃]4-------u=IS。]H----------d

、22

可得s“=-21”+———^x2=n2-22n,

"2

所以当"=11时,S“取得最小值Su=lF-22x11=721.

故选：D.

22

7.已知点P为椭圆土+匕=1上任意一点，直线/过。〃：/+/——+3=0的圆心且与（W交于A,B两

1612

点，则万.丽的取值范围是（）

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

【答案】A

【详解】。〃：无2+/_4X+3=0,即（X-2）2+R=1的圆心M（2,0）,半径为1,

22

椭圆方程C:土+匕=1中，a2=16,b2=12,c2=a2-b2=16-12=4,c=2,

1612

则圆心M（2,0）为椭圆的右焦点，线段45为（W的直径，连接尸

因止匕莎.丽=（而+疝）•（两+砺）=（两一丽）•（由+丽）

r22

=|叫2一阿=|叫2_i,点P为椭圆。：土+匕v=1上任意一点,

1612

则PM=a-c=2,即2呵46,

IImin

所以万.丽=|回回2Te[3,35].

故选：A

8.设函数/(x)=/(2x-l)-ax+a,其中,若存在唯一的整数修，使得/(/)＜0,则。的取值范围是

()

-3八「331

A.--,1B.

\_2eJL2e4；

【答案】D

【详解】设g(x)=e*(2x-l),y="x-l),

由题意知，函数V=g(x)在直线＞=ax-a下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

g[x)=e*(2x+l),当x<-J时，g，(x)<0；当x>-g时，g，(x)>0.

所以，函数V=g(x)的最小值为g1-£|=-2eW

又g⑼=T，g(l)=e>0.

直线＞=ax-。恒过定点(1,0)且斜率为a,

33

故-a>g(O)=-l且g(-l)=——>-a-a,解得丁Va<l,故选D.

e2e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知620,且。+26=1,则下列不等式中成立的有()

A.abB.y[a+VF>

82

（

]nab+a+b+l]fl+,6r-

C.二-----------^>log23-lD.3<V3

ln2

【答案】ABC

【详解】对于A,因为a,620,所以a2O,2Z）NO,a6=：ax264：（q铲）2=：,当且仅当a=26=：时取

22282

等号，A正确；

对于B,因为a,6N0,a+26=l;.（&y=],

令a.=ces9,而=sine；:a,bNQ,:.0e0,=,Va+=cos6>+—sin6>,

L2J2

5、历

令/（。）=cos0+sin6,f\0}=-sin0+cos仇

令（（。）=0,;入114=1，4€0,"令，

当以（0,可）时,/"）>0J⑻在6«0避）上单调递增;

当夕e卜,3时，/'⑻<o,/⑻在北,,小上单调递减；

又，（。）=1,叱卜昌

〃夕）的6=]时，f（x）取最小值弓，所以B正确；

2*

对于C,1"（°b6+1）=bg2+a+6+1）=log2[（1-2b）b+l-26+b+l]=log2（-2i+2）log23-l=log2-1,

i「1133

1

因为4=1-2620,「.OWbV,,所以y=—2/+2在be0,-,log2{-2b+2）>log2-,C正确；

111

对于D,3a+6=3M,V0<b<-,-<l-b<\,:.31-6>32=V3,D错误；

22

故选：ABC.

10.设函数/（x）=（x-a）2（x-2）（aeR）,则（）

A.当a=-l时，〃x）的图象关于点（0,-2）对称

B.当a=0时，方程/（x）+sinl=0有3个实根

C.当a22时，。是〃无）的极大值点

D.存在实数。，/(x)<〃x+l)恒成立

【答案】ABD

【详解】对于A选项，当〃=一1时，/(X)=(X+1)2(X-2)=X3-3x-2,

因为/(-x)=(-x)3-3«(-x)-2=-x3+3x-2,所以，/(x)+/(-x)=-4,

所以/(x)的图象关于点(0,-2)对称，故A正确；

对于B选项，当〃=0时，/(X)=X3-2X2,则/'(%)=3/一4%，

4

令/〈x)=0,可得x=0或x=§,列表如下：

4

X(-0°,0)0

J

小)+0-0+

/(X)增极大值减极小值增

所以，函数“X)在(-*0)上单调递增，上单调递减，上单调递增，

所以极大=〃°)=°，小)极小=/0=-||，又因为0<sinl<l,如下图所示:

由图可知，直线>=-sinl与函数/(x)的图象由三个交点,

即。=0时，方程/(x)+sinl=0有3个实根，故B正确；

对于C选项，/r(x)=2(x-a)(x-2)+(x-a)2=3(x_q)]x，,j,

当。=2时，r(x)=3(x-2)2>0,此时函数〃x)在R上单调递增，故C错误;

对于D选项，当a=2时，函数/(x)在R上单调递增，此时/(x)</(x+l)恒成立，故D正确.

故选：ABD.

11.“co，，可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点

0,C上的点到两定点K(-a,0),F2S，0)(a>0)的距离之积为定值.则下列说法正确的是()(参考数据:

括a2.236)

C.若a=3,点(3,%)在C上，则2<需<3

D.当。=3时，C上第一象限内的点P满足△跳遥的面积为g,则|尸耳『-|尸耳『=18道

【答案】ACD

【详解】已知原点。在C上，则|O片卜|。玛=力，设(x,y)为C上任意一点，

则有a2=J(x-a)2+y2.+,整理得(x^+y?)=2/俨-/).

若闺阊=12,则C的方程为12+/)2=72俨_/),故A正确；

若|O片|.|。阊=16,则。=4,代入方程得1+了2丫=3212一炉)，显然点(一4,0)不在此曲线上，故B错误;

若a=3,点(3,%)在C上，有J(3-3)2+y；.J(3+3y+K=9,

整理得(诉+18)，=405,所以说=9逐-18弓2.124,故C正确；

因为邑小=g|S||货|sin/用有=g,|尸耳||尸勾=9,可得/可2月=90。，

所以点尸是曲线。:(/+力2=18(--力和以月月为直径的圆/+/=9在第一象限内的交点，

联立方程，解得x=半，y=1,即尸(地,3),所以|尸耳『_户闾2=]8耳，故口正确.

2222

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：根据题干背景得到曲线方程(―+/)2=2/(/-/)为关键.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.已知直线/与直线X-y+2=0平行，且与曲线y=lnx--+1相切，则直线/的方程是.

x

【答案】y=x+\n2-2(或+ln2-2=0)

【详解】直线"2=0的斜率为1,由于直线/与直线x-»+2=0平行，则直线/的斜率为1,

对函数V=lnx——2+1求导得V=1—+2=,令了=上1+2彳=1,解得％=2或x=—1(舍去)，

XXXXX

所以切点的坐标为(2,In2).

故直线/的方程为V-ln2=x-2,gpj=x+ln2-2.

故答案为：y=x+ln2-2(或x-y+ln2-2=0).

13.在三棱台43C-431G中，ABLAC,BC=6,AXBX=AXCX=472,AAt=5^2,平面331cle_L平面/3C,

则该三棱台外接球的体积为.

500%

【答案】

3

【详解】

分别取BC中G的中点。必，则。平面N3C,且外接球球心M在直线。。上，由题意,

AO=3,4。］=4,00,=J/4y4Q_40)2=7.

^MA=r,MOx=x,

若球心在线段。。1上，贝什2=9+(7—X)2/2=42+X2,得X=3/=5；

若球心不在线段。。1上,贝什2=9+(7+X)2/2=42+Y,无正数解.

所以外接球体积为v=—=—.

33

500兀

故答案为:

3

14.小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有

标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张(抽牌阶段抽到每张牌的概率均等)，规定首先小豪

同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为X,然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取X张

牌，记这X张纸牌的点数和为则。(X)=,£(丫)=.

14

【答案】y7

【详解】X的分布列为：

万2的分布列为：

X?149911625

£4121

P

31551515

21A

同理：E(X2)=7,故：D(X)=E(X2)-[E(X)]=§,

当x=i时，X的分布列为：

12345

£111£

P

55555

所以£(乂)=3,

当X=5时，工的分布列为:

IH

所以£(”)=15,

当X=2时：心的分布列为:

3456789

1111111

r

10105551010

E化）=6,

当X=3时：X的分布列为:

6789101112

1111111

P

10105551010

£亿）=9,

当X=4时：匕的分布列为:

1011121314

j_111j_

P

55555

£亿）=12,

14121

所以：E（y）=—・3+—•6+—・9+—•12+—・15=7.

v731551515

14

故答案为：—；7

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.如图（1）,在直角梯形458中，AD〃BC,AB工BC,AB=BC=1,AD=2,现沿着4。折起，使得平

面氏4C_L平面D4C,如图（2）.

图(1)图(2)

⑴求证：CQ1平面氏4c.

（2）求二面角/—8。-C的大小.

【答案】（1）证明见解析

【详解】（1）由题可求得/C=CD=亚，且/。=2,

则,可知/c_LCD,

且平面A4C_L平面D/C,平面3/Cc平面ZUC=/C,COu平面D/C,

所以CO_L平面BAC.

（2）取NC的中点。，连接8。,

因为/8=2C,贝l]BOJ_NC,

且平面2/C_L平面£>/C,平面8/Cc平面D4C=/C,80u平面8/C,

所以301平面/C。.

以O为坐标原点，。。,。3所在的直线分别为x,z轴，平行于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系,

、/

-^-,0,0,A—冬0,0州0,0,宁臼字江o1.

则C

2

J<77

、、

可得函（行）旅=U6

=0,,0,T'°'一二,AB=T'°万,AD=(V2,V2,0),

7J

m-CD=41yx=Q

设平面BDC的一个法向量为或=（石Ji，zj,贝__6

m,BC-......x,------4二0

I212

令占=1,则乂=0,4=1,可得应=（1,0,1）；

一®4®n

n,AD—2/T—马二。

设平面BDA的一个法向量为H=（x2,y2，z2）,贝UV

n.AD-6%2十五y2—0

令％=1,则%=22=-1，可得万=（1,一1,一1）,

YYI•ao

则c°s巩六丽=万环=°,

TT

所以二面角A-BD-C的大小为5.

16.已知数列｛%｝是等差数列，其前"和为=2a=45,数列也｝满足a^+a?瓦+…a也=(«-1)-2"+1

⑴求数列｛%｝，｛"｝的通项公式；

(2)若对数列｛4｝，｛"｝,在为与%M之间插入4个组成一个新数列｛d“｝,求数列｛4｝的前2025

项的和n025・

【答案】(1)%=〃，b〃=2)

(2)2080

【详解】(1)｛%｝为等差数列，设其公差为d,

贝a/d=2,Sg=9al+36d=45,解得ax=d=\,

故a,=ax+(«-1)(/=n；

地+地+…+a“b“=(力-1)•2"+1①，

故当77W2时，aA+a2b2H----Ha11T6“_]=("-2卜2"-'+1②，

两式相减得anbn=(„-1)•2"+1-(«-2)-2Tli=〃.2"T,

故她,="-2"T’所以"M2"—,n>2,

又地=0+1=1,故4=1,满足6“=2'T,

从而〃=2"，

1

(2)由(1)知，a„=n,bn=2"-,

所以在｛4,｝中，从可开始到项以为止，

1-2月T

共有项数为人+2°+2i+22+—+2*-2=^c+=k+2k-l-l,

1-2

当上=11时，ll+2I0-l=1034<2025,

当％=12时,12+211-1=2059>2025,

所以数列｛4,｝前2025项是项加之后，还有2025-1034=991项为1,

故7；025=0+2+3+…+11)+2°+2]+2?+…+29+991=2080.

17.甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲、乙投进

的次数相同，则甲、乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，

若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局.已知甲每次投进的概率为苫，乙每次投进的概率为;,

32

各次投进与否相互独立.

（1）求甲、乙需要进行第3次投篮的概率;

（2）若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分X的分布列与数学期望.

【答案】⑴昱13

36

（2）分布列答案见解析，数学期望：—

【详解】⑴设甲第中=1,2）次投进为事件4,乙第4=1,2）次投进为事件用，

71

则尸（4）=1,尸（男）=万.

设甲、乙需要进行第3次投篮为事件C,则事件C包括以下两两互斥的三个事件:

①“甲、乙前2次都投进2次”,其概率为尸（44）•尸（4当）

②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为P（4%+34）•尸（四瓦+反层）=2xgx；x2xgxgq,

③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为尸（衣）孑（反瓦）=1|j=:

17114

则由互斥事件的概率加法公式，nJ^P（C）=-+-+—=—.

（2）由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

P（X=0）=（l一|

211217

P（Ar=l）=C^x-x-x+一x

36354

（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次;

②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）

2214

H------X—=

9327

所以X的分布列为:

X0123

517142

p

54542727

c1714025

所以£(X)=0x——+lx—+2x——+3x—=——.

v75454272754

22

18.已知椭圆£:1+4=1(。>6>0)的左、右焦点分别为片，F2,抛物线C:/=4x的焦点与用重合，点

ab

G是C与£在第一象限的交点，且废吟

(1)求E的方程.

⑵设过点月的直线/与E交于点M,N,交C于点N,B,且/,B,M,N互不重合.

\MN\

(i)若/的倾斜角为45。，求上告的值；

\AB\

(ii)若P为C的准线上一点，设尸/,PB,尸尸2的斜率分别为匕,左2，&，证明：《为勺和质的等差中项.

【答案】⑴二+匕=1

43

3

(2)(i)y;(ii)证明见解析

【详解】(1)由已知得C的焦点为(1,0),即鸟(1,0),所以。2一/=1①

因为2鸟|=(,由抛物线的定义可得%]-1=j所以

48

代入E的方程可得力+指=1.②

9a3b

22

由①②解得/=4,尸=3,所以E的方程为?+《=1.

(2)设Z(xQi),BQ2,%),M(x3,y3),2V(x4,y4).

(i)因为直线1的倾斜角为45。，所以勺=1,直线1的方程为y=x-l.

\y=x-l,

联立2“整理得Y-6x+l=0,则再+X2=6,

[y=4x,

所以|NB|=X]+X2+P=6+2=8.

y=x-i,

联立x2y2整理得7x?-8x-8=0,

一+—=1,

I43

则尤3+X4=g,X3X4=-1

24

所J]+6|x-x|=+尤4）2-4尤3匕=V2-

\MN\=34y/l-T

24

所以也NL不一3.

\AB\87

(ii)由题意知耳(-1,0),鸟(1,0),

设尸㈠,机)，且直线AB的方程为x=ty+l.

联立2二整理得必-4卬-4=0,显然A>0,

则%+%=4,%4,

在a小_.一加K_%一加1_m

所以占一~T，h--~,左3二一二

%1+1x2+12

y-my-m（必一加）（/+I+（%-加）（石+I

k]+k?~x।2

玉+1x2+1a+DG+i）

（必一加）（优+2）+（必一加）（Wi+2）=20V2+（2一3）（必+%）-4加

2

（取+2）（仇+2）ty}y2+2“必+%）+4

-St+（2-mt）-At-4m-4m（t2+1）

------------------------------------=-m

-4『+8/+44（『+1）

又2k3=—m,即2ka—kx+k2,

所以《为月和心的等差中项.

19.若对VX],X2e。且%。2，函数/'(x),g(x)满足：|/(X1)-/(X2),Tg(X1)-g(X2)](加>0),则称函数

f(x)是函数g(无)在区间。上的加级控