2025年高考数学第一次模拟考试卷2（新高考Ⅱ卷）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试(新高考II卷)02

全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.己知集合/={小2-2工一3<0},八卜IkGI},则&8)c/=()

A.[-1,1]B.[-1,1)C.[-3,1]D.[-3,1)

【答案】B

【详解】X2-2X-3<0,解得-1VXV3,故/=

X-1>0<X>1,故3=[l,+co),

故&8)n/=(f

故选：B

2.“。>3”是“函数/(x)="x+3在区间(-1,2)内存在零点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由函数〃x)="+3在区间(-1,2)内存在零点得〃-1)-/(2)=(3-4(2.+3)<0,解得a>3或

3

a<——

2

所以>3”是“函数/(x)="+3在区间(-1,2)内存在零点”的充分不必要条件，

故选：A

71

3.已知0sino=sina~~则cos2a+cos?戊=()

1

ABcD.

-1-1-42

【答案】B

【详解】由3sini=sin[i—,则

V2sincr(sina-cosa),化简得cosa=-sintz，所以

cos2a=—,由cos2a+cos2a=2cos2a-1+cos2a=—.

22

故选：B

4.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻,

则不同的排队方法共有（）

A.24种B.48种C.72种D.96种

【答案】C

【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有c；种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边

有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有A；种方法;

安排在甲有3个位置的一侧有2A；种方法，最后安排其余3人有A；种方法，综上，不同的排队方法有:

C；.（A；+2A》A；=72种.

故选：C.

5.已知数列｛%｝满足%+1=1--，%=2,则。2024=（）

an

A.2B.yC.-1D.2024

【答案】B

,1c,1,11

[详解]由%+1=1-----吗=2,可得出=1=1一行=彳，

anax22

同理可得4=T，%=2,…，所以数列｛%｝是周期为3的数列，

则02024="3x674+2==]•

故选：B.

DEDADEDB

6.在平行四边形NBC。中，DA=DB,E是平行四边形N8CO内（包括边界）一点，i—i=i—i

若近而+y丽，则x+.y的取值范围为（）

3

A.[1,2]B.C.D.[0,1]

,252

【答案】B

DEDADEDB

【详解】因为

得cosNEDA=|Z)E|COSNEDB,即cos/EDA=cosZEDB

所以点E在/502的角平分线上，设48的中点为M

因为所以点E在线段。州上,

不妨设反=4血,2e[0』,

所以酝=丽+/1丽7

易知丽7=方2+而=而_工而

2

所以屋=丽+/1（。_3回=（1_：11+彳闻

因为屋=xd5+＞丽

所以X+昨l_g+2=l+g

22

因为设[0,1]

2「3一

所以x+ynl+'e1,-

故选：B

7.已知圆圆M：（x-a）2+（y-a+4）2=l.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,

切点为A,B,使得N4P8=60。，则。的取值范围（）

【答案】D

【详解】

如图，圆。的半径为1,圆弦上存在点P,

过点尸作圆。的两条切线，切点为45,使得乙4尸8=60。,

贝U//PO=30。，在中，PO=2,

又圆M的半径等于1,圆心坐标M(a,a-4),

；』POL=M0|T，I尸。L=M°I+1，

二由&2+(”4)2-lW2wJa2+(a-4『+i,

2一&a&2+县,则。的取值范围为

解得:

22

故选：D.

8.已知函数/(x)=(x+l)sinx+co&r,若存在再两€0,^使得，(西)-/仇)|=-e1成立,

则实数”的取值范围是()

A./JB.Q.1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【详解】/'(%)=sinx+(x+1)cosx-sinx=(x+1)cosx,

冗

xe0,-时，f(x)>0,所以/'(x)是增函数，

jr

不妨设0«再<%24,，则/(M)</(工2),又9<一,

X2x,

所以由|/(西)-/5)|=°卜*-e],<f(x2)-/(%1)=ac-ae,即/(xj-ae*=/每)-。/",

设g(x)=(x+1)sinx+cosx-aex,贝1Jg'(x)=(x+1)cosx-aex,

jr

当aWO时，g\x)>0,g(x)是增函数，不存在X1,x2e0,-x2),使得g(xj=g%),

当。>0时，要满足题意，则g'(x)=0在]。，3上有解，使得g(x)在上不单调.

x(x+l)cosx

(x+1)cosx=ae,a=----------,

ex

设h(x)=(%+[cos%,xe0，T,sinx>0,cosx>0,

所以/(x)-[cosx-(x+l)sinx]e“-(x+l)cosxe_-xcosx-(x+1)sinx<0

e2xex

由Mx)在0,j上单调递减，得〃(X)max="(0)=l，h(X)mia=h^=0,

所以"(0』).

故选：c.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.关于的展开式，下列结论正确的是()

A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0

C.常数项为-20D.系数最大的项为第3项

【答案】ABC

【详解】可得二项式的系数和为26=64,故A正确；

令x=l得所有项的系数和为0,故B正确；

常数项C>3,jj=_20,故C正确；

由&1=晨/-，,口，系数为最大为Ci或C：,为第3项或第5项，故D错误.

故选：ABC.

22

IO.已知椭圆。：三+看=1的左右两个焦点分别为3、F],左右两个顶点分别为4、4,尸点是椭圆上任

意一点(与4,4不重合)，M(1,1),则下列命题中，正确的命题是()

A.kPAi-kPA2=-|B.△尸耳耳的最大面积为2石

C.存在点P,使得西•理=0D.%的周长最大值是6+碗+血

【答案】ABD

【详解】对A,由题知,a=3,b=45,c=2,则洋(-3,0),4(3,0),4(-2,0),£(2,0),

22«

设P(%o.yo),£+3=1=9)，

则%,k:%%年--9)一5,A正确；

PA

'%/+3x0-3x；-9焉一99

对B,易知当点尸为短轴端点时，△尸耳月的面积最大，最大值为;x2仍=2石，B正确；

对C,PF、=(-2-x0,-y0),PF2=(2-x0,-y0),

则可.同H+yH一■![；一9)='+121,C错误；

对D,由椭圆定义可知，|尸耳|=6-|尸阊,所以1PM+|尸耳|=6+|尸闾-|尸用W6+|3

2222

又由M=^(1+2)+(1-0)=410,\MF2\=^(1-2)+(1-0)=V2,

所以BM+I尸片1+1耳M<6+|晔|+闺M=6+M+8，

当〃,乙,尸三点共线，且巴在线段M5上时，等号成立，D正确.

11.如图，棱长为4的正方体NBC。-44GA中，E为棱。，的中点，尸为正方形CDAG内一个动点(包

括边界)，且4尸//平面42E，则下列说法正确的有()

A.动点尸轨迹的长度为2后

B.平面截正方体所得的截面图形的面积为9

C.存在尸点，使得8尸，/田

D.若尸为CD的中点，以点尸为球心，指为半径的球面与四边形4CG4的交线长为5兀

【答案】ACD

【详解】对于A：如图，分别取CG，G。的中点〃，N,连接MV,ME,B]M,B、N,

则跖V〃C〃，CDt//AtB,可得MN〃4B,

且平面48E,42u平面48E,所以MN//平面48E,

又因为小〃4耳，ME=A、B\,则四边形4片"石是平行四边形，

可得用初////，且印平面&RE,&Eu平面45E,所以月初//平面

又B、MCMN=M,B[M,MNu平面4"N,

所以平面B、MN//平面A、BE,

当FeACV时，则5尸u平面4MV,所以耳尸//平面

即线段"N为点尸的轨迹，可知九W=gc2=后，故A选项正确；

对于B：如图，取CD中点K,连接EK,BK,CD},

则由A\B//RC//EK,可得平面A{BE截正方体所得的截面为梯形&BKE,

又A、E=BK=2逐,EK=2y[2,4B=46,

则等腰梯形的高为,（2石）-（血『=3五

所以等腰梯形4族片的面积为白（2亚+4后卜3亚=18,故B选项错误;

对于C：连接G。，AB,

因为4BBH为正方形，则A.B1AB{,

又因为43，平面48月4，43u平面43男4，则2。，,

且40口/月=/,AD,/月u平面4DGA，所以48,平面40GA,

设TWO平面4。6耳=尸（即G。与初可的交点为尸），此时4尸u平面D4月G，

所以48,用尸，故C选项正确；

对于D：如图，设/Cc2O=G,取CG中点〃，连接则mV/3。，

因为4BCD为正方形，则/C2BD,

又因为幺4J_平面/BCD,6。u平面/BCD,贝！]44_L3D,

且/CCX41=4,平面NCG4，所以8。2平面ZCG4，

可知点尸到平面NCG4的距离为P"=；GD=也,

又因为球的半径为逐，

可得以点P为球心，V6为半径的球面被平面ZCG4截得的小圆的半径为=2,

又矩形NCC/中，AC=4®，cq=4,

所求交线长为：矩形/CG4中，以a为圆心，2为半径的圆弧，如图所示，

可知该圆弧对应的圆心角为二,

4

兀

所以该圆弧长为3今X2=；3兀，故D选项正确.

42

故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.i是虚数单位，复数z满足（l+2i）.z=2-4i,则忖=

【答案】2

/、2-4i（2-4i）（l-2i）-6-8i68.

------1,

【详解】因为（1+方”=2-期，所以"0=；］+工苗21；==55

13664。

所以H=-----1-----=2,

2525

故答案为：2.

13.设抛物线。：/=2川（。＞0）的焦点为尸,。为坐标原点，准线与x轴交于点A,若C上一点P满足

4|PO|2=|PF|2+|P^|2,且点尸到准线的距离为君—I,则〃=.

【答案】2

【详解】如图：

设点P(x,y),由题知尸0(0,0),，一3°)，

则陷=卜"+/忸。卜F7,E$+"+/.

因为4|PO|2=|PF|2+|P/「，即4,2+/)=/一川+，+/+/+px+?+/,

化简得/+/=1]：,所以点尸在圆X?+/=[]]上，

y2=2px

联立22IPY，得/+2px-匹=0,解得x=1匚p(负值舍去),

42

卜+TJ

所以点P到准线的距离为3匚P+K=避二10=有-1,解得0=2.

222

故答案为：2

(|lnx|,0<%<3,

14.已知函数/⑶={/(6-x),3<x<6,若函数g(x)=/(x)-加有八个不同的零点，从小到大依次为多,

1/(%—6),6<%<12,

x2>x3>尤4，X5>x6>X[,演，贝+刀2)2+(xy-6)2+(%g—6)2的取值氾围为

【答案】［52,54)

【详解】由函数y=〃x)的解析式可知:

xe(3,6)时，/(6-x)=/(%)，所以/(x)的图象与〃x)在xe(0,3)上的图象关于直线x=3对称；

xe(6,l2)时,f(x-6)=f(x)，所以只需把〃x)在xe(0,6)上的图象向右平移6个单位即可得〃x)在

xe(6,12)上的图象.

由g(x)=/(x)-加=0得=,函数＞=/(》)与了=心的图象如图所示：

由/（再）=/（%2），即有|ln玉|=|111司，由图可知。＜石＜1,%2＞1，

2

11"1+2；

故一1口玉二111%2，即1口（国工2）=0，则再%2=1，（七+%2『X|H------

“

由》=/（%）的图象性质，有%+6=%7，%+6=%8,

X]+%4=2x3=6,X]+%3=2x3=6,

贝0%7-6=%3+6-6=%3=6_%2=6---,xs—6=x4=6—

x\

1

所以（再+尤2）2+（%7_6）2+（尤8-6）2=*；+-?+2+（6_，）2+（6_再）2=2（芭+，_3）2+52,

因为丫（1,3）,3=1,所以附。1）,而对勾函数y=x+：在（；/）上单调递减,

所以西+—e（2,^）,x+--3（一1,：）,（玉+--3）2e[O,l）,1

iG2（国+——3）27+52£[52,54）,

再3石3再再

故答案为：［52,54）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

如图（1）,在△4BC中，CDLAB,=2CD=24D=4,点E为NC的中点.将A/CD沿CD折起至（J△尸CD

的位置，使OEL2C,如图（2）.

图（1）图（2）

（1）求证：PBLPC.

（2）在线段BC上是否存在点尸，使得尸？若存在，求二面角尸-。尸-E的正弦值；若不存在，说明

理由.

【详解】（1）依题意可知点E为尸C的中点，PD=CD=2,所以。E1PC,

又DEIBC,BCcPC=C,8C,尸Cu平面PC8,所以。E_L平面尸C8.（2分）

又BBu平面PC3,所以。

依题意可知CZ>_LPZ>,CDLBD,BDRPD=D,3。,尸。u平面尸£>8,

所以CD_L平面尸Q8,又PBu平面PDB,所以CD_LP瓦（4分）

因为CDCIDE^。，CD,£>Eu平面PCD,所以依J_平面PCD.（5分）

又尸Cu平面尸CD,所以尸8_LPC.（6分）

（2）由题意，得PC=AC=后与=2亚,BC=A/22+42=275>由。）PB±PC,

所以尸3=小（2肩一（2应了=2A/3,（7分）

以点。为坐标原点，DP,DC所在直线分别为x轴、z轴，

过点。且平行于m的直线为N轴，建立空间直角坐标系，如图，

则。（0,0,0）,P（2,0,0）,C（0,0,2）,E（l,0,l）,5（2,273,0）.

所以而=（2,0,-2）,而=（2,0,0）,亚=（1,0,1）.

设丽=Z5C（O</<1）,即而=/前=卜27,-2/,2",

贝I]尸（2-2f,一2/,2。，DF=（2-2?,2A/3-2",2,,

若存在点尸，使得CP_L。尸，则。.而=4-&=0，

解得好；,则加'=（1,6,1）,（8分）

设平面PC77的法向量为访=

m•DF=0xx+百必+Z1=0

则一，令必=1，得石=0,Z]=—A/3，

rh6DP=G2再=0

所以加=（0,1,-君），（9分）

设平面OE厂的法向量为元=（x2,y2,z2）,

n-DE=Ox2+z2=0

则令凡=1,得％=0/2=-1,

元而=0x2+y/^y2+z2=0

所以为=(1,0,-1),(11分)

所以COS加,〃=IT=二7==-T,(12分)

网网2xj24

由图可知二面角尸-。尸-E为锐角,

所以二面角尸-。尸-£的正弦值为，=坐.(13分)

16.(15分)

已知函数/(工)=12+(.

(1)若曲线y=/W在点(L/。))处的切线为工+歹+6=0,求实数6的值；

2

⑵已知函数g(x)=〃x)+,，且对于任意xe(0,+oo),g(x)>0,求实数。的取值范围.

【详解】(1)由/(x)=lnx+@,可得/'(x)=L-g,/，(1)=1-^=1-«>(1分)

XXX11

又曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线为x+y+6=0,所以((1)=1一。=一1,

2?

解得a=2,所以/(x)=lnx+『所以/⑴=lnl+1=2,所以切点为(1,2),

又切点(1,2)在直线x+y+6=0上，所以i+2+b=0,解得6=-3；(4分)

2

(2)g(x)=lnx+—+-^7,由对于任意%€(0,+8),g[x}>0,所以ghlmin〉。，

XX

令E=工〉0,贝ij力⑺=-In/+at+a2t2,

4口曰1八22a2t2+at-l(2袱一1)("+1)2八、

求导可得〃⑺=-？+4+202t=-----------=------:----L,(6分)

当。=0时，g(x)=lnx,显然不满足题意，(8分)

当〃>0时，—>0>,

2aa

若x£(0,，)，/(。<0,函数力«)在(0,5)上单调递减，

若X£([,+8),〃'(，)〉0,函数力⑺在(二,+8)上单调递增,

2a2a

所以“以=〃—In2aH--1—所1以In2aH--1—>0,

2a24f24

31_£

所以ln2。〉—二，解得。〉人屋"(11分)

42

当avO时，—<0<,

2aa

若x£(O,-：),〃'(。<。，函数"(。在(0,----)上单调递减，

若工£(-：,+8),/⑺>0,函数/)在(4,+8)上单调递增，

所以MOmin=〃1_：］=ln(_q)T+l=ln(_a),所以ln(-a)>0,

所以-解得IVT,(14分)

1_£

综上所述：实数。的取值范围为(-“-I)。\.(15分)

17.(15分)

近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认

定为“喜欢网上买菜“，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解

该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示:

合计

喜欢网上买菜不喜欢网上买菜

年龄不超过45岁的市民401050

年龄超过45岁的市民203050

合计6040100

(1)试根据夕=0.05的/独立性检验，分析M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?

(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果

4

周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为不，如果周一选每5平台买菜，那么周二选择A

平合买菜的概率为g,求小张周二选择3平台买菜的概率；

(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量X,并

记随机变量y=2x+3,求x、y的期望和方差.

参考公式：*£吗其中n=a+b+c+d

(a+b){c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%a2.7063.8416.6357.87910.828

参考公式及数据：/=g+6）（c+d）/+c）伍+d），其中〃i+Hc+小

【详解】（1）假设乜）：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.

由给定的2x2列联表，得：/=100x（40x30-20x10）-=100>3g4J0分）

50x50x60x406

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断不成立，

即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（4分）

（2）设4表示周，在/平台买菜，4表示周，•在8平台买菜，

I17

由题可得尸（4）=p（耳）=2,P@I4）=5,P（生囹）=3,（7分）

由全概率公式，小张周二选择8平台买菜的概率为：

111213

「（当）=?（4）尸（与|4）+P（4）尸（与回）=5*三+不*弓=正（10分）

（3）依题意，喜欢网上买菜的概率为：器=|.

从“社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数X服从二项分布：所以

Q3/3\24

£（X）=20x|=12,O（X）=20x/x1一1=《.（13分）

又y=2X+3,所以E（y）=2E（X）+3=27,=4Z）（X）=?.（15分）

18.（17分）

“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数

学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：

步骤1：在纸上画一个圆/,并在圆外取一定点8；

步骤2：把纸片折叠，使得点2折叠后与圆/上某一点重合；

步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；

步骤4：不断重复步骤2和3,得到越来越多的折痕.

你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2

的圆/,并在圆外取一定点3,48=4,按照上述方法折纸，点2折叠后与圆/上的点少重合，折痕与直

线亚4交于点E,E的轨迹为曲线7.

（1）以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；

（2）设曲线7的左、右顶点分别为£,”,点尸在曲线T上，过点尸作曲线T的切线/与圆/+/=1交于跖

N两点（点M在点N的左侧），记加，的斜率分别为％,k2,证明：左•《为定值；

（3）尸是T的右焦点，若直线〃过点尸，与曲线T交于C,。两点，是否存在x轴上的点。（/,0）,使得直线〃

绕点尸无论怎么转动，都有反•9=0成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

【详解】（1）以48所在直线为x轴，以方为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，则

A（-2,0）,5（2,0）,

由折纸方法知，|班|=忸叼,则忸5|_国闻=忸则卜必卜|%=2<|期=4,

根据双曲线的定义，曲线7是以48为焦点，实轴长为2的双曲线，（2分）

22__________

22

设其方程为，—4=1（〃〉0,6>0）,贝!Ja=l,c=yja+/?=2,

ab

2

所以/=1,/=3.故曲线T的方程为Y一匕=1.（3分）

3

（2）易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=b+加（左。0）,且N（%2/2）,

y=kx+m

联立方程组I2/，整理得（3-左2卜2一2•x-（/+3）=0,（4分）

I3

由△=4后”2+4（3-/乂加2+3）=o,可得12（/+3-七）=0,可得苏=公一3,（5分）

联立方程组22「整理得（1+r）/+2而x+/_i=o,

[x+y=1\7

A=4左2加2_4（左2+1）（加2-1）=4（左2_加2+1）>0,

2i

2kmm—1_八、

则x+x=—玉”前，（z7分）

i2\+k2

因为-Ur,所以与儿=告？含=

x2-1

又因为M％=（何+加）（包+加）=左2/%2+碗（芭+12）+加2,

代入可得月％=色£,由于川=〃一3,贝勤办=昌，

由于点M在点N的左侧，故占-%<0，

月f以X]-%2=一|再一X2-4%|%2，

4

代入可得…2一百，

F-4%%1+如

又因为再％=，则上「心==3

l+k2王/一（再一%）—1k2-44

2

1+廿i+k

所以尢•七为定值，定值为3.（10分）

（3）假设存在点。«,0）,使丁•诙=0恒成立,

由已知得尸（2,0）,

当直线〃的斜率存在时，设直线〃的方程为了=左（＞2）,C（W，%）,。（无4,%），

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