2025年高考数学重难点复习：基本立体图形（解析版）

第09讲基本立体图形

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、

模块二基础知识全梳理（吃透教材）棱台,圆柱、圆锥、圆台、球的的结构特征

模块三核心考点举一反三2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实

模块四小试牛刀过关测生活中简单几何体的结构并进行有关计算

3.了解简单组合体的概念及结构特征.灵活运用

各种知识解决组合体问题

模块一思维导图串知识

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且

「定义一相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的

多面体叫做棱柱

有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形,

由这些面所围成的多面体叫做棱锥

模块二基础知识全梳理

知识点1空间几何体的相关概念

(1)空间几何体

如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间

几何体.

（2）多面体

由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;

相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

（3）旋转体

由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.

知识点2棱柱

（1）棱柱的定义

定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱

底面（底）：两个互相平行的面

侧面：其余各面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与底面的公共顶点

（2）棱柱的图形

三棱柱、四棱柱、五棱柱、

（3）棱柱的分类及表示

①按棱柱底面边数分类：

②按棱柱侧棱与底面位置关系分类：

③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱

直棱柱、斜棱柱

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱

表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱A6coM-A'5'C'D'EF'

知识点3棱锥

（1）棱锥的定义

定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

底面：多边形面

侧面：有公共顶点的各三角形面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：各侧面的公共顶点

（2）棱锥的图形

（3）棱锥的分类及表示

按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……

特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥

表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥S-A5CD

知识点4棱台

（1）棱台的定义

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台

上底面：原棱锥的截面

下底面：原棱锥的底面

侧面：除上下底面以外的面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点

（2）棱台的图形

叭

、卜七7々底面三棱台、四棱台、五棱台.....

4点

（3）棱台的分类及表示

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台

用各顶点字母表示棱柱，如棱台A5CD-AB'C'。'

知识点5圆柱

(1)圆柱的定义

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边

(2)圆柱的图形

(3)圆柱的表示

圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱0。

知识点6圆锥

(1)圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

锥体：棱锥和圆锥统称为锥体

(2)圆锥的图形

(3)圆锥的表示

用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥S0

知识点7圆台

(1)圆台的定义

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

轴：圆锥的轴

底面：圆锥的底面和截面

侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分

台体：棱台和圆台统称为台体

（2）圆台的图形

（3）圆台的表示

用表示它的轴的字母表示，如图，圆台0。

知识点8球的结构特征

（1）定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做

球体，简称球

（2）相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：连接球心和球面上任意一点的线段

直径：连接球面上两点并经过球心的线段

6模块三核心考点举一反三-----------------------

考点一：棱柱的结构特征

1.（24-25高二•上海•随堂练习）下列说法中正确的是（）.

A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高

D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

【答案】A

【知识点】棱柱的结构特征和分类

【分析】根据棱柱的几何特征得到A正确；举出反例，得到BCD错误；

【详解】A选项，棱柱的面中，上下底面必平行，侧面可能平行，故至少有两个面互相平行，A正确；

B选项，棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面，也可能是侧面，比如正方体，B错误；

C选项，若棱柱为斜棱柱，此时棱柱中侧棱不是棱柱的高，C错误；

D选项，棱柱的侧面一定是平行四边形，它的底面可能是平行四边形，比如长方体，D错误.

故选：A

【变式1-1］（2024高一下•全国•专题练习）下列命题中正确的是（）

A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面

C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

【答案】D

【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱

【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A

不正确；

对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确；

对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确；

对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确.

故选：D.

【变式1-2］（2024高一下•全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱

B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同

C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面

D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

【答案】B

【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱

【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确.

【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；

B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；

C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；

D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何

体就不是棱柱.

故选：B.

【变式1-3］（多选）（23-24高一下•山东青岛•期中）下列有关平行六面体的命题正确的是（）

A.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形

B.平行六面体的八个顶点在同一球面上

C.平行六面体的四个侧面不可能都是矩形

D.平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面

【答案】AD

【知识点】棱柱的结构特征和分类

【分析】由平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，可判断选项A；由圆内接四边形对角互补，可判断选

项B；只有平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，可判断选项C；根据平行六面体定义，可

判断选项D.

【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，

故A正确；

若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形ABCZ）四个顶点在一个圆周上，

而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形ABCD对角不一定互补，故B错误；

平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，故C错误；

根据平行六面体定义可知，平行六面体中任意两个相对的面都可以当作它的底面，故D正确.

故选：AD.

考点二：棱锥，棱台的结构特征

例2.（多选）（23-24高二上•海南海口•开学考试）棱台具备的特点有（）

A.两底面相似B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点

【答案】ABD

【知识点】棱台的结构特征和分类

【分析】根据棱台是由平行棱锥底面的平面截得的判断.

【详解】解：因为棱台是由平行棱锥底面的平面截得的，

所以棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，

故选：ABD

【变式2-1］（2024高一下•全国•专题练习）下列说法中正确的是（）

A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥

B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥

C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥

D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥

【答案】D

【知识点】棱锥的结构特征和分类、正棱锥及其有关计算

【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误；

对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以

B错误；

对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误；

对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱

锥定义，所以D正确.

故选：D.

【变式2-2］（23-24高三上•江苏南通•期末）从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四

面体不可熊（）

A.每个面都是等边三角形

B.每个面都是直角三角形

C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形

D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形

【答案】D

【知识点】棱锥的结构特征和分类

【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可.

【详解】如图，

D-BAG每个面都是等边三角形，A不选；

A-DDC每个面都是直角三角形，B不选；

D-ABG三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D.

【变式2-3］（23-24高一下•安徽•阶段练习）下列叙述正确的是（）

A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】D

【知识点】棱台的结构特征和分类

【分析】根据棱台的定义以及性质，即可得出答案.

【详解】对于A,当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误；

对于B,C,如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B,C错误;

对于D,由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.

故选：D.

考点三：圆柱的结构特征

、产J3.（23-24高一下•浙江台州）将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（）

A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱柱

【答案】A

【知识点】圆柱的结构特征辨析

【分析】由圆柱的定义可得答案.

【详解】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱.

故选：A.

【变式3-1］（23-24高二•全国•课后作业）一个长方形的两边长分别为2和3,将其绕一边进行旋转，能得

到不同的圆柱的种数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知识点】圆柱的结构特征辨析

【分析】根据圆柱的特征直接得到结果.

【详解】将长方形分别绕着长或宽进行旋转，可得两种不同的圆柱.

故选：B.

【变式3-2］（23-24高一下•黑龙江鸡西）圆柱侧面的母线有条.

【答案】无数

【知识点】圆柱的结构特征辨析

【分析】根据圆柱的母线的定义判断即可.

【详解】以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，平行于

轴的边都叫做圆柱侧面的母线，

故圆柱的母线就是圆柱侧面上同时垂直于两底面的直线段，它有无数条.

故答案为：无数

【变式3-3］（2024高一•全国•专题练习）圆柱的轴截面有个，它们（填“全等”或“相似”），

圆柱的母线有条,它们与圆柱的高.

【答案】无穷多全等无穷多相等

【知识点】圆柱的结构特征辨析

【分析】根据圆柱的定义即可求解.

【详解】根据圆柱的定义，可得圆柱的轴截面有无穷多个，它们是全等的，圆柱的母线有无穷多条，它们

与圆柱的高是相等的.

故答案为：无穷多；全等；无穷多；相等.

考点四：棱柱展开图中最短距离问题

|'yJ4（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）如图，棱长为2的正方体48。-ABCiR中，点P在线段

AR上运动，则Q/+|£叼的最小值为.

［答案］TiR

【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题

【分析】将三角形AD2沿AD翻折90。与平面共面且。与B在A2的异侧，连接。G，则的长

度即为距离和最小值.

将三角形沿A2翻折90。得到该图形（与平面A8G2共面且。与B在A2的异侧），

连接。G与相交于点P,此时|C0+|DP|取得最小值DG，延长G2,过。作DELCg于点E,

又GA=D2=2,ZAr）1D=45°,所以△EDD］为等腰直角三角形，所以DE=D、E=2x与=6,

在RIADECJ中，Dq=1（用+（2+用=/8+4及,

故|C0+|。尸|的最小值为厢瓦•

故答案为：&+40

【变式4-1］（23-24高一下•江苏苏州•阶段练习）如图，已知正三棱柱ABC-A与G的底面边长为2cm,高

为5cm,一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A点的最短路线的长为cm.

【答案】761

【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题

【分析】沿着正三棱柱ABC-A与G的侧棱AA剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形

的对角线长，即可求解.

【详解】如图所示，沿着正三棱柱ABC-ABCi的侧棱AA剪开，

把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为3x2=6cm,宽为5cm一个矩形，

可矩形的对角线长为扈与=府，即最短路线的长为加cm.

故答案为：V61.

【变式4-2]（23-24高三下•贵州•阶段练习）已知棱长为2的正方体ABC。-ABCQ中，尸为棱。。上一动

点，则PB{+PC的最小值为.

【答案】2"+21

【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题

【分析】将平面B8QD绕翻折到与平面CCQD共面，连接瓦C交。2于点尸，此时尸4+PC取得最小

值与C,利用勾股定理计算出3（即可.

【详解】如图将平面班绕翻折到与平面CCQD共面（如下平面图形），

连接BC交于点P,此时PBl+PC取得最小值BQ

又DC=BB[=2,BD=也-+2?=2及，所以BC=2+2夜，

22

贝!IBXC=J2+（2+20）=2,4+20,

即PB,+PC的最小值为2历*■

故答案为：24+2及

【变式4-3］（2024•江西九江•一模）如图，在正三棱柱ABC-A用G中，AB=2A41=2,N为AG的中点,

M为线段AA上的点.则\MN\+\MB\的最小值为

【答案】历

【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题

【分析】将侧面A86A沿4A展开，使得侧面AB4A与侧面ACQA在同一平面内，根据平面上两点间线

段最短可求得答案.

如图，连接交M于M,贝！+的最小值为此时的忸叫，

|BN|=qBB：+B、N,=712+32=M,

叫的最小值为M.

故答案为：M.

考点五：棱锥展开图中最短距离问题

\I例5.（2024高三•全国•专题练习）如图，S-ABC是正三棱锥且侧棱长为两侧棱SA,SC的夹角为

30。,£,尸分别是SA,SC上的动点，则三角形B跖的周长的最小值为（）

A.y/2aB.y/3aC.s/5aD.y/6a

【答案】A

【知识点】棱锥的展开图

【分析】通过展开平面以及勾股定理求得正确答案.

【详解】把正三棱锥沿S3剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：ASBC、△SCA、△SA9,

则ZB'SA=ZBSC=ZASC=30°,NBSB'=90°,

连接88',交SC于尸，交于E,

则线段88'就是△?£；厂的最小周长，又SB=SB，=a,

根据勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,BB'=s/2a.

故选：A

【变式5-1］（23-24高一下•河北石家庄♦期中）如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=2gAB=4.从

A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为.

【知识点】余弦定理解三角形、棱锥的展开图

【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形PAC即可求得答案.

【详解】如图，将侧面展开在一个平面，

由题意PA=PB=PC=2而,AB=BC=4,ZAPB=NBPC,

旅+尸长-朗40+40-16_4

在APAB中,cosZAPB=

2PAPB-2x2^0x2710-5

7

所以在AB4C中,cosZAPC=cos2ZAPB=2cos2ZAPB-1=—,

由余弦定理得AC2=+PC2-2PA-PCcosZAPC=40+40-^=,

所以AC="叵，

5

即细绳的最短长度为上叵.

故答案为：为何.

5

【变式5-2］（23-24高一下•山东滨州•阶段练习）如图，正三棱锥A-BCD中，440=20。，侧棱长为4,

过点C的平面与侧棱A3,AO相交于综A，贝！UC4R的周长的最小值为.

A

【知识点】棱锥的展开图

【分析】将正三棱锥A-3CD沿4C剪开，利用侧面展开图求解即可.

【详解】将正三棱锥A-BCD沿AC剪开可得如下图形,

VZBAD=20°,即NC4c=60。，又ACBQ的周长为CR+。瓦+瓦（7,

•••要使ACBQ的周长的最小，则c,2出c共线，即CR+C4+的c=cc,

又正三棱锥A-3CD侧棱长为4,△G4C'是等边三角形，则CC'=4,

.•.ACBQ的周长的最小值为4.

故答案为：4.

考点六：圆柱展开图中最短距离问题

6.（24-25高二上•贵州遵义•阶段练习）如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂

蚁，它要爬行到上底面的点5处.当圆柱的高等于8cm,底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路

B.V15TIcm

C.18cmD・764+9K2cm

【答案】D

【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题

【分析】48之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的构成的直角三角形的斜边长.

【详解】如图所示，在圆柱的侧面展开图中，

8c的长为底面圆周长的一半，即BC=gx27tx3=3ncm,

蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程

AB=VAC2+BC2=,64+9兀2cm.

【变式6-1］（23-24高一下•河南南阳•期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形A5C。，点、E

在下底面圆周上，且3。=23万，点尸在母线A3上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则E尸+尸G

【答案】A

【知识点】余弦定理解三角形、圆柱的展开图及最短距离问题

【分析】将AABE绕直线A3旋转到ARR的位置，并且点P在5c的反向延长线上，连接尸G,交48于点

F,此时所+产G最小，求出即可.

【详解】将A/WE绕直线A5旋转到ABF的位置，并且点尸在5c的反向延长线上，

连接PG,交4B于点F，此时EF+FG最小，如图所示：

TT

因为AB=3C=2,所以/ACB=/PCG=—,

4

又因为3c=23E,所以BE=BP=1,

又因为AC=VL48=20，所以CG=』AC=^，尸C=PB+BC=3,

42

在APCG中，由余弦定理得PG2=PC2+CG2-2PCCG-COSNPCG=9+?-2x3x述x巫=2,

2222

解得尸G=迷，即防+/G的最小值为述.

22

故选：A.

【变式6-2］（24-25高二上•上海•期中）如图，一圆柱体的底面周长为24cm,高BC为9cm,48是底面

的直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则昆虫爬行的最短距离是—cm.

【答案】15

【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题

【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为AC,利用勾股定理可求得结果.

【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示，

则当昆虫的爬行路线为线段AC时，爬行的路程最短,

因为圆柱体的底面周长为24cm,即A£)=gx24=12(cm),且C£)=9cm,

所以最短路程为：y/AD2+CD2=7122+92=15(cm).

故答案为：15.

考点七：圆锥展开图中最短距离问题

例7.（24-25高三上•广东•开学考试）圆锥顶点A,底面半径为1,母线"=4,AB的中点为一

只蚂蚁从底面圆周上的点8绕圆锥侧面一周到达”的最短路线中，其中下坡路的长是（）

A.0B.二c•警D.45

5

【答案】B

【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题

【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段过A作3M的垂线,

垂足为N,求出M0的长即可.

【详解】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形,

2冗JT

则该扇形半径钻=4,弧长为2兀xl。，圆心——丁于

最短路线即为扇形中的线段BM=ylAB2+AM2=2A/5,

过A作的垂线，垂足为N,当蚂蚁从8点爬行到点N过程中，它与点A的距离越来越小,

于是M为上坡路段，当蚂蚁从点N爬行到点Af的过程中，它与点A的距离越来越大,

于是为下坡路段，下坡路段长M0=AM.cosZWB=2xS=mL

2V55

故选：B

【变式7-1］（2024高三•全国•专题练习）圆锥的底面半径为R,母线长L=3R,一只蚂蚁自底面圆周上一

点8沿圆锥表面爬到过母线AB的轴截面上另一条母线AC的中点D,问这只蚂蚁爬行的最短距离为

【答案】浮

【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题

【分析】圆锥半侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底圆周长的一半，可求出扇形的圆心角为。弧度,

沿圆锥侧面移动到D,利用余弦定理可求最短距离.

【详解】

A

如图，沿母线AB,AC剪下作出半侧面展开图，得到的是扇形，

设扇形的圆心角为6弧度，则根据题意知，扇形的弧长等于圆锥底面周长的一半，

JT

得：TIR=3R0,即。=§,

在中，点。是AC的中点，由余弦定理得：

BD2AB2+AD2-2ABxADxcos0

=（3A）。+（1.5R）2一2x3Rx1.5Rxcos二］=子女，

所以=故所求的最短距离为旧1R.

22

故答案为：更R.

2

【变式7-2］（2024高一下•浙江•专题练习）如图，圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一

点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是.

【答案】3百

【知识点】弧长的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题

【分析】沿过A点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图.线段AA的长就是所求最短距

离.

【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，AA的长就是所求最短距离.过点S作S3,惧，则A4,=2A8.

因为例为圆锥底面圆的周长，即2m

2兀

由弧长公式得NASA=三，.

所以期=2AB=2AS-sin,|=3^,

故答案为：3也.

.例8.（2024高三•全国•专题练习）如图，正方体A3。-44G2的棱长为2,E,尸分别为棱A氏CG的

中点.请在正方体的表面完整作出过点E,凡2的截面，并写出作图过程；（不用证明）

【答案】作图见解析

【知识点】判断正方体的截面形状

【分析】利用平面的基本性质作出截面图形即可.

【详解】连接A尸并延长交。C延长线于点/,

连接正并延长交3C于点交D4延长线于点J,

连接肛交A4于点G,则截面QGEW即为所求.

【变式8-1]（24-25高二上•广西柳州•期中）如图，正方体钻8-44£口的棱长为2,E,尸分别为BC,CG

的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为

ac.

9

【答案】I

【知识点】判断正方体的截面形状

【分析】由EFIIBC^ADJIBC,,EF〃ADlf从而截面为梯形AE/冷求解.

【详解】解：如图所示：

因为EF〃BC\,AD\UBG，所以E尸〃AR,所以截面为梯形AEF，,

因为正方体的棱长为2,则。尸=君,£F=0,g=2四，

梯形的高为//=JR尸一］?丐7=?，

1Q

所以梯形的面积为：S=-（ADi+EF）h=^,

9

故答案为：—

【变式8-2］（23-24高二下♦上海）已知正四面体棱长为2,所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面

体所得的截面之和为.

【答案】3+用

【知识点】棱锥中截面的有关计算

【分析】分别找出满足条件的截面，求出面积之和即可.

【详解】如图（1）：

A

瓦EG分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFG的距离相等,

B

△瓦G是边长为1的等边三角形，S.EFG.这样的截面有4个;

如图（2）：

瓦厂,分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EMWN的距离

B

相等，四边形ERWN是边长为1的正方形，S口EFMN=19这样的截面有3个.

所以满足条件的截面的面积之和为：3+6.

故答案为：3+也

【变式8-3］（223-24高二下•河北石家庄）若圆柱的底面半径为2,轴截面的对角线长为5,则这个圆柱侧

面展开图的对角线长为.

【答案］,16/+9

【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆柱的结构特征辨析

【分析】根据勾股定理及圆柱与圆柱侧面展开图的关系即可求解.

【详解】因为圆柱的底面半径为2,

所以圆柱的底面直径为4,

又因为轴截面的对角线长为5,

所以圆柱的高为斤彳=3,

所以圆柱的侧面展开图的长为4兀，宽为3,

所以这个圆柱侧面展开图的对角线长为J（以）2+3?=J16/+9.

故答案为：&6兀2+9•

【变式8-4］（24-25高二上•上海•期中）已知圆锥底面半径为若，高为1,则过圆锥的母线的截面面积的

最大值为.

【答案】2

【知识点】圆锥中截面的有关计算

【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.

【详解】依题意，设圆锥的母线长为/,

•.•圆锥的底面半径为G，高为1,

•-I=<3+1=2,

设圆锥的轴截面的两母线夹角为。，则cose=2?+2-2后」,

2x2x22

QO<^<71,

则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为a，ae,g

故截面的面积为S=51x2x2xsinaW2,当且仅当。=曰jr时，等号成立，

故截面的面积的最大值为2.

故答案为：2.

考点九：球的有关计算

\।例9.（23-24高二•上海•课堂例题）若平面a截球。所得圆的半径为1,球的表面积是12兀，则球心0

到平面a的距离为.

【答案】V2

【知识点】球的截面的性质及计算

【分析】根据题意可以求出球的半径，进而用勾股定理计算即可.

【详解】因为平面a截球。所得的圆半径为r=l,设球的半径为R,

球的表面积为12JI=4nR2,

所以球的半径R=g,

7

所以球心。到平面a的距离d=VF二=G=叵.

故答案为：V2.

【变式9-1］（23-24高二上•河北唐山•开学考试）已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同

一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

A.万B.3%C.6兀D.8万

【答案】C

【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】根据圆柱外接球的直径与圆柱的底面直径和圆柱的高的关系求解即可.

【详解】由题可知该圆柱底面直径为"万=2坏，

所以底面半径为6

所以圆柱体积为nx^/32x2=6?t

故选：C

【变式9-2］（2024•山西•三模）某公司在庆典活动中，设计了一款纪念品如图所示，其底座是顶部有凹槽

的圆台，上面放置一个水晶玻璃球，圆台上底圆周的所有点都在凹槽面上四槽面上的所有点都在球面上圆

台的上、下底面半径分别为2cm,4cm,母线长为2括cm,球的顶端到底座下底面的距离为8cm,则水晶

球的半径为（）

【答案】A

【知识点】圆台的结构特征辨析、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题

［分析］根据圆台的性质可知圆台的高位4cm,球的最高点到圆台上底面的距离为4cm,设球的半径为Rcm,

结合球的性质分析求解.

【详解】由题意可知：圆台的高位J（2瓶）2-（4-2）2=4cm,球的最高点到圆台上底面的距离为8-4=4cm,

设球的半径为Rem,则R2=2?+（4-咫，解得R=gcm.

故选：A.

【变式9-3］（24-25高二上•上海•期中）若球。的半径为5,圆M为该球的一个小圆且面积为16元，则线段

OM的长度是.

【答案】3

【知识点】求球面距离、球的截面的性质及计算

【分析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案.

【详解】设小圆的半径为厂，则+=16兀，解得厂=4,

又球。的半径为5,故线段加=d彳=3.

故答案为：3

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转360。形成的曲

面所围成的几何体是（）

A.球体B.圆柱C.圆台D.圆锥

【答案】D

【知识点】判断几何体是否为圆锥

【分析】根据圆锥定义可得结论.

【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转360。形成的曲面所围成的几何体是圆

锥.

故选：D

2.（2024高三•全国•专题练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（）

A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.正四棱柱都是长方体

D.直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱

【答案】C

【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类

【分析】由正棱锥的定义判断A,由棱台的定义判断B,由正四棱柱的定义判断C,由圆锥的定义判断D.

【详解】对于A,底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；

对于B,将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，

但是这样的多面体不是棱台，故B错误；

对于C,因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；

对于D,根据圆锥的定义可知D不正确.

故选：C.

3.（24-25高二上•北京•阶段练习）下列四个命题中正确的是（）

A.正三棱锥的每个面都是正三角形

B.所有棱长都相等的四棱柱是正方体

C.以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

【答案】C

【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析

【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误.

【详解】对于A,正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形,

且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误;

对于B,底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时,

该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误;

对于C,以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正

确;

对于D,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做

圆锥，可得D错误.

故选：C

4.（24-25高一下•全国•课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线，旋转一周可以

【知识点】由旋转体找出其旋转图形

【分析】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋

转轴即可作出判断.

【详解】A旋转一周是圆锥，不满足题意;

B旋转一周是两个圆锥，满足题意;

C旋转一周是圆锥，不满足题意;

D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意.

故选：B.

5.（23-24高一下•北京大兴•期中）在三棱台ABC-AEC中，截去三棱锥4-贝阑余部分是（）

A.三棱锥B.三棱台

C.四棱锥D.组合体

【答案】C

【知识点】棱台的结构特征和分类

【分析】根据三棱台的结构特点，选出答案.

【详解】

三棱台ABC-AEC中，截去三棱锥A-后得到的是四棱锥A-3CC3',

故选：C.

6.（24-25高一下•全国•课后作业）图①②中的图形折叠后的图形分别是（）

C.球、棱锥D.圆锥、圆柱

【答案】B

【知识点】棱锥的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析

【分析】根据图形中的形状和大小组成即可判断.

【详解】图①的底面为圆，侧面为扇形，所以①折叠后的图形是圆锥;

图②的底面为三角形，侧面均为三角形，所以②折叠后的图形是棱锥.

故选:B.

7.（24-25高二上•安徽合肥•期中）如图，在长方体ABC。-A与G2中，48=A。=2,A4,=3,若点尸在

平面ACGA上运动,则尸8+PB,的最小值为（）

C.V17D.272

【答案】C

【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱的展开图及最短距离问题

【分析】根据长方体的对称性有PBi+PB=PR+PB>BA,即可确定最小值.

【详解】由长方体的结构特征知，4关于面ACC0对称的点为R,

所以世+PB=PR+PB>BD[={2-2=V17,

当且仅当民尸共线时，网+尸瓦取等号.

故选：C

8.（23-24高一下•吉林•期中）如图，在正四棱锥尸-ABCD中，2PA=而48=6,石是棱尸8上的动点，一只

蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（）

P

A.2A/2B.273C.245D.2巫）

【答案】C

【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、棱锥的展开图

【分析】根据题意，将平面和平面MC展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是

蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案.

【详解】根据题意，如图，将平面上4B和平面P3C展开到同一个平面，

连接AC,与尸8交于点则AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，

设ZAP3=〃，贝！|NAPC=2，，

_l9+9-62

又由2PA=7^45=6得PA=3,A3=V6,则cos。=一--=

2x3x33

则有cosZAPC=cos26=2cos20-l=-^,

^AC2=PA2+PC2-2PAPC-COSZAPC=9+9+2X3X3X1=20,

则AC=26，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是2«.

故选：C.

二、多选题

9.（2025高三•全国•专题练习）（多选）下列说法正确的是（）

A.以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥

B.以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转180。形成的曲面围成的几何体是圆锥

C.经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形

D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径

【答案】BCD

【知识点】圆锥中截面的有关计算

【分析】根据圆锥的定义及性质直接判断.

【详解】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；

B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转180。形成的曲面围成的几何体是圆锥;

C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；

D正确，如图所示，当圆锥的母线圆锥的高夹角小于30。时，j<1,BP/>2r,

所以圆锥侧面的母线长/有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）；

10.（23-24高一下•河北邢台•期中）用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（）

A.圆锥B.圆柱C.三棱柱D.三棱锥

【答案】BCD

【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析

【分析】根据各几何体的特征及截面的可能情况逐一判断即可.

【详解】对于A,用一个平面去截一个圆锥，截面不可能是四边形，则A不满足条件，

对于B,圆柱的轴截面是四边形，则B满足条件.

对于C,用平行于一个侧面的平面去截三棱柱，截面是四边形，则C满足条件.

对于D,在三棱锥P—ABC中，尸,G分别是棱的中点，所以OE〃尸A且DE=g尸4,

EG//PA，且PG=〈PA,所以DE//FG,且DE=FG,所以四边形。砂G是平行四边形，所以截面DE/G是四

边形，则D满足条件.

故选：BCD.

三、填空题

11.（24-25高二上•上海•阶段练习）如图，棱长为1的正方体ABCD-AACQ中，尸为线段阴的中点，M、

N分别为线段AG和棱4G上任意一点，则2PM+®MN的最小值为.

【答案】2

【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题

【分析】将原问题转化为三点一线即可求解.

【详解】

在GR边上取点M,使得C[N=C]N；由正方体的对称性可知M/=

过M点