2025年高考数学重难点复习：正弦定理（解析版）

第05讲正弦定理

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式

模块二基础知识全梳理(吃透教材)与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦

模块三核心考点举一反三定理

模块四小试牛刀过关测2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定

理解决两类基本的解三角形问题,并能够灵活应

用

3模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理

知识点1正弦定理

(1)正弦定理的描述

①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

②符号语言：在AABC中，若角A、3及C所对边的边长分别为。，b及c,则有，二=上=

smAsinBsinC

（2）正弦定理的推广及常用变形公式

在A4BC中，若角A、3及C所对边的边长分别为。，b及c,其外接圆半径为R,贝!]

cabCi

-=----=--=2R

sinAsinBsinC

®asmB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csmA；

（§）sinA:sinB:sinC=<2:/?:c

abca+b+ca+ba+cb+c入门

④-----=-----=-----=-------------------=------------=------------二------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤④a=2RsinA,b=2RsinB9c=2RsinC（可实现边到角的转化）

cihc

⑥⑤sinA=——，sinB=——，sinC=——（可实现角到边的转化）

2R2R2R

知识点2解决几何问题的常见公式

三角形面积的计算公式：

①S=^x底x高；

2

（2）S=­a&sinC=-acsinB=-Z?csinA；

222

③S=；（a+人+c）厂（其中，。，仇c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；

nhr

④S=（其中，”,仇。是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径）.

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：已知两角及任意一边解三角形

1.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若c=l,

a=也，C=£，贝！IsinA=（）

6

A.—B.1C.1D.也

223

【答案】A

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】利用正弦定理计算即可.

73_iA

【详解】根据正弦定理上「三，得而I=-T，解得sinA=.

sinAsinCsin—2

故选：A.

【变式1-1］（24-25高三上•山西吕梁•阶段练习）在VA2C中，已知°=6，b=5,A=60。，则角B的

值为（）

A.45°或135°B.45,C.135!D.30°或150°

【答案】B

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】利用正弦定理得到sinB值，再根据得到3<A,即可求解.

又0。<8<180。，且6<。，

:.B<A,则角B的值为45。.

故选：B.

【变式1-2］（23-24高一下•山东临沂・期末）记VABC内角A,B,C所对的边分别是b,c,已知°=代,

7T

b=2,A=j贝!）sin3=（）

4

L•—

3

【答案】C

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得.

77•兀

【详解】在VA5c中，由正弦定理三=二，得「in/?在,吊/一40n.

GmAIJolilLJ———!——

V3一百一3

故选：C.

IT

【变式1-3］（24-25高三上•重庆•阶段练习）在VA3C中内角A,民C所对的边分别为a,6,c,且A=：,a=l,

c=g,贝！JcosC=

【答案】；或-：

乙2

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】根据已知条件和正弦定理可得角C,从而得到cosC的值.

cav_____

【详解】在VABC中由正弦定理可知三=工，所以sinC一.兀，

sinCsinAsin—

解得sinC=在，因为C为VABC的内角,

2

所以C=60。或C=120。，

所以cosC=,或cosC=--

22

故答案为：;或

乙2

考点二：三角形解的个数

2.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，已知6=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况

是（）

A.有一解B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

【答案】C

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】根据正弦定理计算出sin8,结合正弦值的范围判断.

bc

【详解】由正弦定理得

sinBsinC

则sinB=更爪=上三=白>1，

c20

故B不存在，即满足条件的三角形不存在.

故选：C

【变式2-11（23-24高一下•福建南平•期中）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,a已知

a=2,6=2石,4=5,则此三角形（）

O

A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定

【答案】C

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

22^/3

【分析】由正弦定理可得F=嬴万，进而可求可得结论.

sin—

6

,2_26r-

【详解】由正弦定理二7=二，得一^=嬴了，解得Sing=义，

sinAsmBsin—2

6

因为人，所以A<3,

jr27r

又因为B?（0,?）,所以B=m或3=胃，

故此三角形有两解.

故选：C.

【变式2-21（多选）（23-24高一下•江苏扬州•期末）在VA5c中，角A氏c所对的边为a6、c,根据下列

条件解三角形，其中仅有一解的有（）

A.a=4,6=5,c=6B.A=30°,B=45°,c=5

C.a=-\/3,b=2,A=45°D.a=3,b=2,C=60°

【答案】ABD

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C,可用正弦定理，

结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.

【详解】对于A,三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正

确；

对于B,三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正

确；

对于C,由正弦定理，堆—=/—可得，sinB=^=—,因6＞a,则3＞A,

sin45°sinBV33

因sinB="＞正，结合正弦函数的图象可知角8有两解，故C错误；

32

对于D,三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.

故选：ABD.

【变式2-3］（23-24高一下•广西•阶段练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2后,

B=7＞且VABC有两解，则人的取值范围为.

O

【答案】（占,2近）

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】根据三角形有两解，结合图形列出限制条件可得答案.

【详解】依题意得csin3＜人＜c,因为C=2A/7,B=T＞所以，'＜6＜2A/7.

o

故答案为：（",2«）

考点三：已知两边和其中一边的对角解三角形

3.（24-25高二上•甘肃武威•开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=30。,

c=5fa=S9贝!|cosA=()

【答案】B

【知识点】正弦定理解三角形

4

【分析】由正弦定理可求得sin4=不，进而由同角的平方关系可求COSA.

a85

【详解】在VABC中，由正弦定理可得,即=10,

sinAsinCsinAsin30°

4I

解得sinA=《>5,且不等于0,

当A为锐角时，cosA=Vl-sin2A=|,

当A为钝角时，cosA=-71-sin2A=—|.

3

综上所述：cosA=±-.

故选:B.

【变式3・1】（23-24高一下•江苏宿迁•期中）已知VABC中，a=?6b=2,B=^9则角A的值是（)

o

717171__45兀71__42兀

A.-B.-C.一或一D,一或一

636633

【答案】D

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】利用正弦定理计算可得.

【详解】因为。=2b，6=2,B=9

6

,2A2r-

由正弦定理上7=入，即高久=丁，解得sinA=Xl,

sinAsmB—2

又a>b,则所以所以A=或A=g.

故选：D

TT

【变式3-2】（243高二上•江苏常州•阶段练习）V"C中,角A叱所对的边分别为“也,,已知C="

b=6，c=2,贝悌B大小为

【答案】7

0

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得.

【详解】在VABC中，利用正弦定理占二仁，得bsinC^Sin41,

sinBsinCsin8=---------==-

c22

由5<c,得3<C=2,所以B=S

46

故答案为：

6

【变式3・3】（23・24高一下•天津河北•期中）已知VABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,则a=2,

JI1

B=—9cosA=—,则/?=.

【答案】巫

4

【知识点】正弦定理解三角形

【分析】由cosA求sinA,再利用正弦定理可求解.

【详解】因为cosA=1,所以sinA=Jl—cos2A=逑,

在VA3C中，由正弦定理可得」=上，又a=2,3=g,cosA=（，

sinAsmB33

所以布=解得b=±g=半.

-sin72V24

JJ

故答案为：亚.

4

考点四：判断三角形的形状

|\［例4.（23-24高一下•湖南张家界•期中）在VABC中，2。$山呷=c-6（a,6,c分别为角A,民C的对边），

则VA3C的形状可能是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【知识点】sin2x的降塞公式及应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降塞公式及两角和的正弦公式化简即可得解.

A

【详解】因为Zcsil?1=c—b,

.2Ac-b1-cosAc-b.b

所以sin2=：—,即nn---=^—,BnnPcosA=-,

72r2c22cc

由正弦定理可得cosA=里丝，

sinC

所以cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,得cosCsinA=0,

在VABC中sinAwO,所以cosC=0,

又0<C<兀，所以c=］,即三角形为直角三角形.

故选：B.

【变式4-1］（23-24高一下•重庆•期中）已知。也c分别是VABC三内角A,民C的对边，且满足

asinC+acosC=b+c,则VABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、辅助角公式

【分析】利用正弦定理及辅助角公式结合三角形中角的范围计算即可.

【详解】根据正弦定理知

sinAsinC+sinAcosC=sinJ3+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,

所以sinC（sinA-cosA-1）=0,

在三角形中ACe（O,兀）nsinC>0,

所以sinA-cosA-l=0nsin〔A—=,

则=即A为直角.

故选：B

【变式4-2］（23-24高一下•江苏无锡•阶段练习）在VABC中，若asinB=®cosA,S.a2+c2=b2+ac>

那么VABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C,等腰三角形D.等边三角形

【答案】D

【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出A,再由余弦定理求出B,从而得解.

【详解】因为asinB=WbcosA,由正弦定理可得sinAsinB=币sinBcosA,

又5£（0,兀），所以sin5〉0,所以sinA=GeosA,则tanA=豆，

又Ae（O,兀），所以A=1,

^a2+c2=b2+ac,由余弦定理cosB='「+厂_厅=&

2aclac2

又3«0,兀），所以2=；,

所以c=1,则VABC为等边三角形.

故选：D

【变式4-3］（24-25高一下•全国•随堂练习）在VABC中，若lg（sinA+sinC）=21gsin3-lg（sinC-sinA）,

则此三角形是三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.

【答案】直角

【知识点】对数的运算性质的应用、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】利用对数的运算性质得到lg（sinA+sinC）=lg'^—,进而得到sin甘+sinC=‘五B’

sinC-sinAsinC-sinA

再对其进行变形，然后利用正弦定理即可.

【详解】因为lg（sinA+sinC）=21gsinB—lg（sinC—sinA）,

所以lg(sinA+sinC)=1g----------------

'7sinC-sinA

因为>=lgx在定义域内单调递增，

所以sinA+sinC=

sinC-sinA

即sin?C—sin2A=sin2B,

所以洛—。2=",

即。2=/+凡

所以VABC为直角三角形.

故答案为：直角.

考点五：利用正（余）弦定理求范围或最值

“例

5.（2024高三上•河南•专题练习）在VABC中，AC=b,AB=c,NA4c=120。，若Z）为2C的中

点，且AD=3,则6+c的最大值为

【答案】12

【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律

【分析】依题意可得莅=：（南+蔗），再根据数量积的运算律得到k+c?-历=36,最后由基本不等式计

算可得.

【详解】由题意得通=g（荏+/），

贝(］启=^AB2+AC2+2AB-AC)=1(&2+C2-^C)=9,故+°2一历=36,

bc1

ijr36=0+c)2-3bc>(b+c)2-3x(——)2=-0+c)2,

24

即Z?+c<12,当且仅当Z?=c=6时取等号，故Z?+c的最大值为12・

【变式5-1］（23-24高一下•重庆•期末）在锐角VABC中，内角A,B,。的对边分别为用b,c,已知

c-cosA=（2b-a）cosC.

⑴求NC的值;

⑵求f的取值范围.

b

【答案】（i）c=m

⑵加

【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围

【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，

（2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）由（28—a）cosC=ccosA及正弦定理得：（2sinB—sinA）cosC=sinCcosA.

/.2sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA,可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sin5,

vCG（0,7i）,sinB^0,且VABC是锐角三角形，

ITT

cosC=—,可得：C=-.

23

⑵,.C=^,.,A+B=^-,B=^-A.

7T27r7t兀C兀

vO<A<-,v0<——B<-,.\—<B<—.

232'62

tanB>—

3

sinf--B/3i

——cosB+—sinB

asinA(322

bsin5sinBsinB22tanBPF

【变式5・2】（23・24高一下•吉林长春•阶段练习）已知VABC的内角AB,C的对边分别为〃，瓦。，且满足

2a—c=2bcosC.

⑴求B的大小

（2）若a=2,AD是VABC的中线，求AD的最小值.

【答案】（1）Y

（2）T

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范

围

1兀

【分析】（1）由正弦定理和sin4=5111瓦05。+85厌111。得到8$3=/,结合5£（0,兀）求出B=—«

（2）先求出3£>=1,在△ABZ）中，由正弦定理得AO=—————，故当/BAD=工时，求出最小值.

2sinNBA。2

（详解】（1）由正弦定理得2a-c=2ZTCOSC=>2sinA—sinC=2sinBcosC,

又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

故2sin5cosc+2cos5sinC—sinC=2sinBcosC,

即2cos_BsinC-sinC=O,

又。£（0,兀），故sinCwO,

故2cos3=1,cosB=—,

2

又Be（O㈤,故吟;

（2）因为a=2,AD为VABC的中线，

所以即=1,

又8=（，

1

在△ABD中，由正弦定理得二——=——，BP.7isinABAD>

sinBsin/BADsin—

百

故AO=

2sinZBAZ）

故当/A4D=工时，AD=—且一取得最小值，最小值为4。=走.

22sinABAD2

【变式5-31（23-24高三上•浙江嘉兴•期末）在VABC中，角A,3,C的对边分别为a",c,其中sin8=2sinA,

c=2a+l.

（1）若。=3,求VABC的面积；

⑵若VA3C为钝角三角形，求”的取值范围.

【答案】⑴4君

（2）1<。<2+若

【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长

的最值或范围

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到cosC=-!和sinC=t5,利用三角形面积公式求出答案；

99

（2）由三角形三边关系求出利用cosC<0计算出2-6<a<2+右，从而得到答案.

【详解】（1）由sin3=2sinA及正弦定理，贝！Jb=2a.

o2._[2i

当a=3时，b=6,c=7,由余弦定理，cosC=--------------=——，

2x3x69

从而sinC=拽，此时VABC的面积5=2而sinC=4囱.

92

（2）由于Z?=2a,c=2a+l,由三角形三边关系可得a+>>c,即纭〉2a+l,

解得a>l.

由于C为VABC的最大内角，故cosC="+4"一（一+1）<0,

4。

即解得2-6<。<2+氐

由于。>1,贝！Jl<a<2+6.

考点六：综合运算正（余）弦定理解三角形

|\[例6.（24-25高三上•上海•阶段练习）在VABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.已知

2ccosA=2b—a.

⑴求角C的大小；

⑵设Af为AB边的中点，若c=n，a-b=l,求|w|的大小.

【答案】（1号

⑵2

【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】（D用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出cosC=g,进而可得角C的大小;

（2）用余弦定理结合题目所给条件可求出而及1+〃，再用向量即可求解.

【详解】（Dv2ccosA=2Z7-a,

?.2sinCcosA=2sinB-sinA,

/.2sinCcosA=2sin(A+C)-sinA,

2sinCbosA=2sinAcosC+2cosAsinC-sinA,

?.2sinAcosC=sinA,

,/sinAw0,/.cos。=g

•.■Ce(0,7r),.\C=^.

(2)在AABC中，由余弦定理得|ABF=kcF+|8C|2-2.|4CHBC|cosC,

6—Z?2+—ab,

又因为。-b=l,

所以4+6一2"=1,

联立解得康=5,+。2=11,

因为M为A8边的中点，所以2G彳=在+西，

所以4印闫的2+|西2+2同同cosC,

即4|丽|2=尸+。2+仍=11+5=16,

所以|加卜2.

7TQ

【变式6-1］(24-25高三上•天津•阶段练习)在VABC中内角A,民C所对边分别为a,b,c,若8="?=什,

则sinA+sinC=()

A.-B.72C.—D.在

222

【答案】C

【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

11Q

［分析］利用正弦定理得sinAsinC=1,再利用余弦定理有a2+c2=^-ac,再利用正弦定理得到sin%+sin2C

的值，最后代入计算即可.

【详解】因为2="2=机，则由正弦定理得sinAsinC=gsin2B=g.

o

由余弦定理可得：=G-2+C2—CIC=—CLC,

4

22131313

即：a+c=-acf根据正弦定理得sin2A+sin2C='sinAsinC=」，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因为AC为三角形内角，贝!|sinA+sinC>0,贝！)sinA+sinC=.

2

故选：C.

【变式6-2](2024高二下•安徽•学业考试)VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,。，VA5C的面

积为38,且6=1,C=W，则边c=()

43

A.7B.3C.77D.V13

【答案】C

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】由三角形面积公式求得。，再由余弦定理得到J

【详解】由S='absinC=Lqxlxsin女=,解得。=3,

JKC22344

由余弦定理得="+从-2abcosC=32+/-2x3xlxcos2=7,所以c=

故选：C.

【变式6-3](24-25高三上•天津•期中)在VABC中，角A,B,C所对的边分别是。，b,c,已知

bcosC=(2tz-c)cosB.

⑴求角8的大小；

(2)设a—2,c=3

(i)求6的值；

(ii)求sin(2A-8)的值.

【答案】(1)8=5

(2)(i)b=不；(ii)巫

14

【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】(1)由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得cosB=；,根据角8的范围可求得答

案；

(2)(i)运用余弦定理求得6；(ii)再运用正弦理求得sinA,利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍

角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案.

【详解】（1）因为床OSC=（2Q—C）COS3,

由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,

则sin（5+C）=2sinAcosB,

因为在VABC中，A+B+C=7U9

所以sin（B+C）=sin（兀一A）=sinA,

则有sinA=2sinAcosB,

因为A,3£（0,兀），所以sinAwO,cos5=；,

故3=1；

JT

（2）（i）由（1）知：B=-,在VA8C中，因为a=2,c=3,

由余弦定理可得：b2=〃+<?-2accosB=4+9一2*2x3x；=7，

则6=近.

nh

(ii)在VABC中，由正弦定理可得：

sinAsinB

2_V7

所以S3需考，

即sinA百,

~2

因为所以A<B'则A为锐角'所以8sA=庐俞二平'

则sin2A=2sinAcosA=

7

cos2A=cos2A-sin2A=—,

7

4A/311636

所以sin(2A-5)=sin2AcosB-cos2AsinB=_______\z_________y-----------------------

727214

【变式6・4】(24-25高三上•甘肃白银•期中)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,。，且

〃sinB=bsin2A.

⑴求角A的大小；

（2）若6。求cosC.

【答案】(1)A=

⑵孚

【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解；

（2）根据余弦定理结合已知求出。，瓦。之间的关系，再利用余弦定理即可得解.

【详解】（1）因为asinB=bsin2A,所以由正弦定理得sinAsinB=siiiBsin2A,

因为5«0,兀）,所以sinfiwO,

所以sinA=sin2A,则sinA=2sinAcosA,

因为sinAwO,所以cosA=—,

2

又因为。＜4＜兀，所以A=1；

(2)(24=；,；.由余弦定理可得/=62+。2—2/8$[,，62一/=历一。2,

又62-/=L02,,-.bc-c2^-c2,:.b=-c,

222

二/=户」/='2,即"五°,

242

79

-c2+—c2百

...cosC—fj?44/2

2ab2AA7

22

考点七：求三角形面积

7.（2024•广东•模拟预测）在VABC中，内角A,民C的对边分别为a,b,c.已知

cos2A=cosBcosC-sinBsinC.

⑴求角A的大小；

⑵已知a=6,c=2石.求VABC的面积.

【答案】（1）A=1

（2）673

【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定

理解三角形

【分析】（D由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出cosA的值，进而可求角A；

（2）由余弦定理可得人,再利用三角形面积公式即可求出.

【详解】（1）因为cos2A=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=cos（万一A）=-cosA,

即2cos2A-1=-cosA,解得cosA=；或cosA=-1.

因为在VABC中，OvAv兀,

所以A=*

(2)在VA5c中，由余弦定理/=62+C2_2》《:OSA,

得6?=/72+(2A/3)2-4X/3Z?X1,

整理得-24=0,

由6>0,解得6=46,

所以VABC的面积为SABC=—^csinA=-X4A/3X2V3X^-=6A/3.

®ABC222

【变式7-1](24-25高二上•江苏南京•期中)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

cosC+ccosA=2/7cosA.

(1)求A；

⑵若a=2,b+c=4,求VABC的面积.

【答案】(1)A=]

⑵石

【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】(D利用正弦定理边化角即可求解；

(2)利用余弦定理和面积公式求解.

【详解】(1)因为acosC+ccosA=2/?cosA,边化角可得，

sinAcosC+sinCcosA=2sin3cosA,

即sin(A+C)=2sinBcosA,

又因为sin(A+C)=sin(7i-B)=sinB,

KBe(0,7T),sinB>0,

所以cosA=；,因为Ae((U),所以A=*

222

(2)由余弦定理，a=b+c-2bccosA9

所以〃+/一历=4,即S+c/一3儿=4,所以庆=4,

所以VABC的面积为：6csinA=G.

【变式7-2](24-25高三上•贵州•期中)在VABC中，内角式3,C的对边分别是。,b,J已知a=3,b=5,

sinC+gcosC=0.

⑴求c；

(2)求sinA+sin3的值；

(3)求VA3C的面积.

【答案】⑴7；

⑵逑；

7

I"-------•

4

【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解

三角形

【分析】（I）由题设可得c=q,应用余弦定理求边长；

（2）由正弦定理有sinA=走“，sinB力b,即可求结果；

1414

（3）应用三角形面积公式求面积即可.

27r

【详解】⑴由sinC+gcosC=0,得tanC=S因为。£（0,冗）,所以。=彳，

根据余弦定理得c=J"+"一2abcosC=^9+25-2x3x5cos=7.

6Z_Z?_C_7_14「厂

（2）根据正弦定理，得sinAsin3sinC73百，贝（lsinA=Nq,sinB=—b9

--1414

（3）NABC的面积SABC--absinC=—x5x3x^-=.

△ABC2224

【变式7・3】（2024•陕西宝鸡•二模）已知VA5C的内角A,B,。所对的边分别为。，b,。，且

y/3sinA+cosA=2.

（1）求角A；

（2）若〃=。为边BC边上一点，AD为NR4C的平分线，且AD=1,求VABC的面积.

【答案】⑴4=]

⑵与

2

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】（D利用三角恒等变换的知识求得A.

（2）利用三角形的面积公式、余弦定理列方程,，求得儿，进而求得三角形ABC的面积.

【详解】（1）由V5sinA+cosA=2,即sin]AT

因为A<0,兀），所以A+覆.目，

所以A+g=g,得A=g.

623

jr

(2)由AD为254C的平分线，^ZBAD=ZCAD=-,

6

因为ABC=S&ABD+S&ACD，

匚匕15I7.711.711,1.71

所以一sin—=—ex1lxsin——F—Z7xlxsin—,

232626

即Cbc=b+c9①

由余弦定理得/=Z72+c2-2bccos；,

即k+。2一A=6,②

由①②，得bc=2,

所以SAABC=^csiny=^-.

考点八：根据三角形面积求参数

8.（24-25高三上•湖北•阶段练习）在VABC中，内角A,B,C的对边长分别为”,b,

2(a-c)sincos=Z?sinB-csinC.

（1）若6=2,求VABC面积的最大值;

JT_

（2）若A=§,在VABC边AC的外侧取一点。（点。在VABC外部），使得DC=1,DA=2,且四边形ABCD

的面积为1■百+2,求ZADC的大小.

4

【答案】⑴百

吟

【知识点】求含sinx（型）函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定

理解三角形

17T

【分析】（D根据题意，利用正弦定理化简得"+02-62=华，由余弦定理求得cosB=；,得到B=W，

23

再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，进而求得面积的最大值；

（2）^ZADC=0（O<0<7t）,利用余弦定理和VA2C为正三角形，求得枭死。，列出方程，即可求解.

【详解】（1）由2（a-c）sincos=6sin2—csinC

22

因为3+。=兀一A,可得（。一c）sinA=/?sin5—csinC,

又由正弦定理得（。一C）Q=02即〃2+°2_。2=ac

由余弦定理得cosB==+/-"=’，

2ac2

因为0<3<兀，可得8=；,所以/ABC=；,

在VABC中，由余弦定理得〃=a2+c2-2a-c-cosZABC,

即4=a?+/—々.c22ac—ac=ac，当且仅当。=c=2时取等号，

所以％1sc=ga.c.sin/ABCvgx4x#=G

所以VABC面积的最大值为百.

(2)Z.ADC=0(0<6<it),贝1]S-ACD=gDA•DCsind=sin。，

在AADC中，由余弦定理得AC?MDT+DC?-27M.DCcosOuS—dcosd,

TTTT

由(1)知，ZA2C=w且A=§,所以VA5c为正三角形，

所以5/=乎3=涉-限os。,

nJ^SABCD=sin6(+|A/3-A/3cos6»=2sin^-y\|V3=|A/3+2,

故sin，q]=l,因为0<。<兀，所以e-t=g，可得*军.

I3J326

【变式8・1】（24・25高二上•北京平谷♦期中）在VABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且满足

bcosA+acosB=41ccosC，VABC的面积为4.

⑴求角。的大小；

（2）若a=2,求边长c.

【答案】（1）C=7

（2）C=2A/5

【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、

余弦定理解三角形

【分析】（D根据已知由正弦定理得至！IsinC=esinCeosC,根据C的范围可得答案；

（2）利用S=4和已知得到6的值，然后结合余弦定理得到c的长度.

【详解】（1）根据已知由正弦定理得sinBeosA+sinAcosB=&sinCcosC，

得到sinC=^2sinCcosC，

因为0<C<7t,所以