2025年高考数学模拟试卷3（北京卷）及答案

绝密★启用前

2025年高考数学模拟试卷03（北京卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合A={%[l<x<3},B=|x|0<x<2},则AD6=（）.

A.1x|l<x<21B.x{Hlv%v3}

C.1x|0<x<2!D.1x|0<x<3|

2.在等差数列{%}中,q+“2=1,%+/=5,贝ijg022+“2023二（）

A.2022B.2023C.4043D.4044

22—

3.已知双曲线C：5—T^=l（〃〉0）的离心率为行，则双曲线C的一个焦点厂到它的一条渐近线的距离

为（）

A.4&B.2&C.72D.2

4.若/。）=（1+2幻”+（1+3无）"的展开式中工的系数为13,则一的系数为（）.

A.31B.40C.31或40D.不确定

5.若向量况=（3,2）,AB=（-5,2）,则点B的坐标为（）

A.（1,7）B.（-2,4）C.（1,3）D.（5,3）

6.2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震

分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不

可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程

强度包络函数/«）=1,,44（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；〃（单

1

e（t-t2），G<t„td

位：秒）表示地震动总持时；c是衰减因子，控制下降段衰减的快慢.在一次抗震分析中，地震动总持

时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2,则当7=15秒时，地震动

时程强度包络函数值是（）

-12

A.eB.1C.9D.e-

7.已知直线依->一。+2=0与圆尤2+,2-4x-5=0相交于A,8两点，则g目的取值范围为（）

A.[3,2百]B.[4,2番〕

C.[4,6]D.[2A/5,6]

8.下列命题中，真命题是（）

A.对于任意实数X,不等式（〃-2）%2一2（。-2）%-4<0恒成立，则实数。的取值范围为｛。1-2vav2｝.

B.Vx>0,且xwl,贝1Jlg%+」22

Igx

c.“必>1”的一个充分不必要条件是“q>i,b>r

]71

D."sinx=x”的必要不充分条件是“a：”

26

9.已知三棱锥P-ABC满足PA=P3=PC=BC=2若，ZBAC=60°.则其外接球。的体积为（）

A.36KB.18KC.9A/2TID.与~兀

10.已知数列｛%｝的各项均为正数，其前几项和为工，满足%S.=9（〃=l,2「..），给出下列四个结论：

①｛q｝的第2项小于3；②｛凡｝为等比数列；③｛q｝为递减数列；④｛4｝中存在小于的项

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设aeR,若复数z=（1§—\」（i是虚数单位）的实部为1：，贝1]4=

3+12

12.已知cosa='，且T,24贝！］cos16T+-1-1=

4

13.若抛物线>的焦点到直线>=1的距离为i,则实数加的值为.

m

14.已知〃x+l)=d+2x,则〃3)=

f（x\

15.若数列｛七｝满足：X用“一片j，77eN*,则定义数列｛%｝为函数"无）的“切线一零点数列”.已知

/（尤）=/_2尤-3,数列上｝为函数/（丈）的“切线——零底数列"，占=-5,若数列｛4｝满足。产也工不

则数列｛%｝的前”项和S.=

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

如图，在四棱锥尸—ABCD中，四边形A8CD为菱形，且NABC=60。，PA_L平面ABC。，E为8c的中

点，/为棱PC上一点.

⑴求证：平面A£F_L平面PAD；

（2）若G为尸。的中点，AB=AP^2,是否存在点凡使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为g?

若存在，求出P言F的值；若不存在，请说明理由.

17.（13分）

已矢口函数/（%）=疯吊［2尤+；+cos\2x+—\.

I3J

71

(I)求/的值;

（II）求函数/（x）的最小正周期和单调递增区间.

18.（13分）

踢毯子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、

丁四人一起踢毯子.毯子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为:；当乙接到德子

时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为:，当丙接到毯子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为二,

3z63

kI;当丁接到毯子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为:，除假设毯子一直没有掉地上，经

z636z

过〃次传健子后，健子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为。“，bn,cn,dn,已知％=0.

(1)记丁在前2次传毯子中，接到健子的次数为X,求X的分布列；

(2)证明［%为等比数列，并判断经过150次传毯子后甲接到建子的概率与;的大小.

19.(15分)

己知椭圆C：］+/=1(°>6>0)的左焦点为歹，点8(0,£|三等分椭圆C的短轴，且

.,3回

sin//FJ7ABn=----•

10

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)过点A作与x轴不垂直的直线/与椭圆C交于点M,N,椭圆C上是否存在点P,使得恒有

H/LRV?若存在，求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

20.(15分)

已知函数/(x)=^+xlnx,g(x)=ax2-2(a-V)x+a-1.

(I)求证：曲线y=/(x)与y=g(x)在(Ll)处的切线重合；

(II)若/(x)Wg(x)对任意xe［l,+8)恒成立，求实数。的取值范围.

21.(15分)

kk

记±4=。1+电+…+怎，［［弓=4*。2*…X4,存在正整数"，且"22.若集合4=｛4，/，满足

t=lt=\

=fl。,，则称集合A为“谐调集”.

r=lt=l

⑴分别判断集合E=”,2｝、集合尸=｛-1,0,1｝是否为“谐调集”；

⑵已知实数x、》若集合｛工封为“谐调集”，是否存在实数z满足z2=xy,并且使得｛x,%z｝为“谐调集”？

若存在，求出所有满足条件的实数z,若不存在，请说明理由；

(3)若有限集/为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合性

数学.参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

12345678910

DCBCBACCCc

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.212.零13.814.815.（2"-l）ln2

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

【详解】（1）证明：连接AC,

因为底面ABCZ）为菱形，ZABC=6O°,

所以AASC是正三角形，

•.•E是3C的中点，

.-.AE1BC,

又ADUBC,:.AELAD,

平面ABCD,

又PAnAD=A平面PAD,

又AEu平面AEb,

所以平面AEF_L平面PAD.

（2）由（1）知AE,AD,A尸两两垂直，以A为坐标原点，直线AE,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴建立

空间直角坐标系，设方=/无（0</<1）,则4（0,0,0）,E（V3,0,0）,C（V3,l,0）,P（0,0,2）,G（0,l,l）,

尸t,2-2r）,

z

C

所以花=("o,o),AF=(^t,t,2-2t),EG=(-73,1,1).

"竺"即厂下＞x=0,

设平面AEF的法向量"=(x,y,z),则

n-AF=0,sj3tx+“+(2—2。z=0,

令z=t,得平面的的一个法向量为=(O,2f-2j).

设石G与平面AEb所成的角为8,则

回臼

|2z-2+彳13T

sin。=

+产岳J5/—&+45'

14

解得f或u],

1PF1PF4

即存在点尸，使得直线£G与平面皿所成角的正弦值为三，==-

JL乙LJ

17.(13分)

【详解】(I)因为/⑺=八皿卜工+三卜cosjx+gj,

3

7171(八兀兀兀兀

所以/—+—+cos2-—+—,

63J(6633)

2兀2K

=^sin+COS14=1-

(II)因为/(x)=Ain2x+]+cos\2x+—j,

sinf2x+—兀j+—cos|2x+—71

所以〃%)=2

2323

717171

=2cos—sin2x+—+sin—cos2x+—

6363

c•八J71ij兀

=2sin2xH—H—

36

=2sinI2x+—I=2cos2x,

所以周期T=3=7l.

令2fai—兀<2%<2E,kqZ,

TT

解得：ku---左wZ,

2

TT

所以的单调递增区间为：kn--,kn,keZ

18.(13分)

【详解】⑴X的所有可能取值为0,1,

11115

P(X=0)=2x—X—+—x—

33329

；；14

p(X=l)=+2xx—=—

69

所以X的分布列为

⑵当"22时，a“=，i+g*+¥“-i.

上“，111J11,1J,11,1

“2时，bn=-an_l+-cH_l+-dn^,cn=-an_l+-bn_l+-dn_x,dn=-an.^n^-cn_x,

2

所以勿+cn+二an_x+-(bn_]+%+d〃_i)=an_x+2a〃,

因为%=g%+gc,T+g4.1，所以3a“+i=b”+c”+d”,

所以3%=2a,+%,所以3o„+1+an=3an+%

1""41

因为q=0,a2=-,所以3a,+a,i=l,所以-----p=

a,1-'~4

所以卜"一是首项为一；，公比q=J的等比数列，

所以。150

故经过15。次传璀子后甲接到毯子的概率大于1.

19.（15分）

【详解】⑴由点40,-，2（0。三等分椭圆C的短轴，得6=1,

由sinZFAB=3A,得tanAFAB=3,

10

即c=3xg=l,

又/=一/,

所以椭圆C的方程为上+丁=1.

2

(2)设%),N(%,%)，直线/的方程为丁=履-：,

y=kx--

3

由＜整理得（9+18必）炉-12fcc-16=0,

—+r=i

12'

4k-16

所以%+Z=12

6左2+39+18左2

△=144左2+64（9+18左2）>0,

设尸（%o，%）,则尸M=（%]—%,必―Vo）,尸N=（々—九0,%—%），

PMPN=（xl-x0）（x2-x0）+（y-%）（%—%）

=%%2-%0（%+%2）+%+%%-%（%+%）+¥

上21

=%%2—%0（玉+%2）+片+左2%工2一+%2）—%陕（玉+%2）—§]+§+

=a+左之）玉%2_（§+/+佻）a+%2）+*+公+§%+§

—16—（20+12%）左2—12与女+¥+¥+"1%+£=o，

9+18-

%=0%二o

首先满足°,即

20+12%=32%=1

（玛=0___

当｛1时，PMkPNk=0^且点（0,1）在椭圆。上,

Uo=l

所以椭圆。上存在点尸(。，1),使得恒有PMJ_RV.

20.（15分）

【详解】证明：(I)r(x)=2+lnx，r(l)=2,/(l)=l

y=/⑺在Q,D处的切线方程为y=2x-1

g'(x)=2or-2(a—l),g'(l)=2,g(l)=l

y=g(x)在Q,D处的切线方程为y=2x-l

所以切线重合.

(II)(方法1)：^(-x)==<xv2-2^a-\)x+a-\-x-x\Dxix>X)

F,(x)=2a(x-l)-lnx

①当aVO时，F'(x)<0,当且仅当x=l时取“=”，

F(x)在［l,+8)递减,F(x)<F(l)=0,/(x)Wg(x)不恒成立.

②当a>0时，F"(x)=2a~—=,

XX

(i)当0<a<；时，时，F"(x)<0,F'(x)递减，

F,(x)<F,(l)=0,网尤)在递减，

F(x)<F(l)=0,/(x)<g(x)不恒成立.

(ii)当azg时，F"(x)>0,尸⑺在［1,+⑹递增，

F'(A:)>F'(1)=0,尸(无)在递增,

F(x)>F(l)=0,/(x)Vg(x)恒成立.

综上，a>—.

(II)(方法2)：

x+xlnxK亦2-2(〃一1卜十〃一1,

a_］

ax-(2Q-1)H----2Inx(x21),

ci—1

设P(%)=axH------2Q+1―Inx,

x

ax+aT)(l)

p'(x)=

X2

q^x)=ar+(«-l)(x>1)

⑴当aWO时，破力<0,y(x)<0,。(%)在[1,+00)递减，二当%>1时,p(x)<0,与已知矛盾

(2)当a>0时，q(x)=ax+(a-l"2a-l

①当〃时，^(x)>0,y(%)>0.•.〃(%)在[1,+00)递增.“(%)之〃(1)=0,满足题意

②当0<〃<!时，取p\x)<Q,.•.〃(%)在递减，=

2QIaJ

不满足题意

综上，〃之7?

2

21.(15分)

【详解】(1)因为1X2W1+2,所以万不是“谐调集”,

因为(—l)x0xl=(—1)+0+1,所以方是“谐调集”;