2025年高考数学重难点专项复习：奔驰定理与四心问题【五大题型】解析版

重难点10奔驰定理与四心问题【五大题型】

【新高考专用】

平面向量是高考的热点内容，而奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决

平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中

的重要问题，也是高考的重点、热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题

要学会灵活求解.

►知识梳理

【知识点1奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，已知P为LABC内一点，且满足九PA+A2PB+A3PC=0,贝IJ有△/P8、△4PC、A5PC的面

积之比为

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

-->-->-->->

②重心的向量表示：如图，在△/2C中，点尸为△4BC重心台PN+尸3+PC=0.

③重心坐标公式：设/(孙为)，8(X2,乃)，CS,为)，则△ABC的重心坐标为

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△4BC中，点尸为△4BC垂心台万1•蔑=砺•记=万1•记.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

~AB

②内心的向量表示：如图，在△/3C中，三角形的内心在向量+三所在的直线上，点尸为^

R

N2C内心台|万卜PC+|sc|-PC+|cl|-PS=6.

A

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的

距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△48C中，点尸为△48C外心一|才|=|诟1=1记

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

--->--->--->->

(1)0是"BC的重心：SABOC：SACOA：S.OB=1：1AOA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^Boc:SACOA:S^AOB=tan/:tan氏tanC=tan/OA+tanBOB+tanCOC=0.

>>〉

(3)0是△45。的内心：S^Boc-S^coA-S^AOB=a:b:c^aOA+bOB+cOC=0.

(4)0是△ZBC的外心：S^Boc-S^COA'-S^AOB—sin2A:sin2^:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC

=0.

►举一反三

【题型1奔驰定理】

【例1】(2024•全国•模拟预测)已知。是△4BC内的一点，若△806440。,2k408的面积分别记为51,52

品，贝凡•瓦？+S2♦赤+S3•瓦=6.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔

驰定理如图，已知。是△力BC的垂心，且瓦5+2万+3瓦=6,贝i|tanNBAC:tan乙4BC:tan乙4cB=()

A

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【解题思路】延长CO,BO,NO分别交边45,AC,BC于点P,M,N,利用同底的两个三角形面积比推

^tanZ-BAC:tanZ-ABC:tanZ-ACB=$16263即可求解作答.

【解答过程】。是的垂心，延长CO,BO,4。分别交边45,AC,BC于点、P,M,N,如图,

贝!JCP1AB,BM1AC,AN1BC,乙BOP=^LBAC^AOP=^ABCf

用巾Si_BP_OPtanZ.BOP_tanZ.BAC闩工用&-tanZ_B/C

|_|"匕，S2~~Xp~OPtan^AOP~tan乙48。'何-tan乙4cB

于是得tan484C:tanZJ18C:tanZJlCB=$16263,

又65+2而+3瓦=6,gpoc=-1OX-|OB,由“奔驰定理”有Si•瓦I+S2•而+S3•沃=6,

贝｝|0C=一三,。力一三,0B,而。4与0B不共线，有口=；,考=|，即SLS=1:2:3,

所以tanNB4C:tanzG4BC:tanzG4CB=1:2:3.

故选：A.

【变式1・1】（2024•全国•模拟预测）奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，若△BOC、AAOC,△/。8的

面积分别记为S1、52、S3,贝•瓦？+S2•而+S3•沆=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是△4BC的垂心,

且a+20B+40C=0,贝UcosB=()

A

A.?B.|C.|D.日

【解题思路】由。是垂心，可得tan4-0A+tanF-OB+tanC-OC=0,结合。4+20B+40c=5可得tanA

tan8:tanC=1:2:4,根据三角形内角和为无，结合正切的和差角公式即可求解.

【解答过程】:。是△力BC的垂心，延长C。交4B与点P,

•••S1：S2=(|-0C-BP)：C-OC-AP)=BP:AP=(0PtanNP0B)：(0Ptan20P)

=tanzB0C:tanz^0C=tan(ji—A)：tan(TT—B)=tanX:tanB,

同理可得S163=tanAtanC,：.S^：S2：S3=tanAtanbtanC,

又Si•瓦？+S2•话+S3•击=6,

.♦.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0,

又万?+2砺+4沆=6,

.,.tani4:tanB:tanf=1:2:4,

不妨设tanZ=/c,tanB=2k,tanC=4k,其中k。。，

tanB+tanC

•••tan/=tan[7r-(B+C)]=-tan(B+C)=1—tanBtanC，

・哝=一若黑，解得k=g或k

当忆=一]5时，此时tanA<0,tanB<0,tanC<0,贝必、B、C都是钝角，则A+8+C>兀，矛盾.

故卜=JI,贝1JtanB=2j1=6=学>0,是锐角,sinB>0,cosB>0,

(sinB_

于是:~~2~,解得COSB=

(sin2^4-cos花=13

故选：A.

【变式1-2]（23-24高二上•四川凉山・期末）在平面上有△ABC及内一点。满足关系式：SAOBC-0A+SA0AC

-OB+S40AB-OC=6即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a,b,c,现有a-OA+b-OB+c-OC=

6,则。为△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】利用三角形面积公式，推出点。到三边距离相等。

【解答过程】记点。到/8、2C、CA的距禺分别为厄，八2，九3，S/iOBC=尹,八2，S/^OAC=5。,八3，S/X04B=

5c,比，因为SMBC,0A+S^o^c,OB+S^OAB'OC=0,

1-->[-->1-->—>--*-->-->—>

则5a,电,+万b0色,OB+~c,h3,OC=0,即a,h2,OA+b•/13,OB+c,,OC=0,

又因为a•万？+b•丽+c•方=6,所以加=/12=%3，所以点P是aABC的内心.

故选：B.

【变式1-3]（23-24高一下•湖北•期中）奔驰定理：已知。是△力BC内的一点，ABOC,AAOC,AAOB

的面积分别为L，SB，SC，贝•瓦？+SB•而+S0•玩=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形4BC内一

点，且满足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,则曰丝=（）

【解题思路】直接根据向量的基本运算得到3万？+南+2方=6,再结合“奔驰定理”即可求解结论.

【解答过程】解：丫。为三角形48C内一点，且满足万5+2而+3沆=3同+2近+互，

•••OA+20B+30C=3（0B-0A）+2（OC-OB）+（OA-OC）^3OA+OB+20C=0,

'''•OA+Sg,OB+S（j,OC—0.

.S^AOBS/^AOB1

S&ABCABOC+^A4OCS^+S^+Sc3'

故选：D.

【题型2重心问题】

【例2】（2024•全国•模拟预测）已知点。是△A8C的重心，过点。的直线与边4B/C分别交于M,N两点，D

为边BC的中点.若前=x而+y丽（久,y€R）,贝卜+y=（）

321

A.-B.-C.2D.—

【解题思路】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到而=1支前+|y丽，再由M,O,N三点共线,

即可求解.

【解答过程】如图所示，由三角形重心的性质，可得笫=1，所以前=苑，

所以|布=xAM+yAN,即而=|x^M+|y丽，

因为M,O,N三点共线，可得|x+|y=l,所以x+y=|.

故选：A.

【变式2-1］（2024•全国•二模）点。,P是△A8C所在平面内两个不同的点，满足方=51+而+无，则直

线。P经过△4BC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.

【解答过程】设BC的中点为点D,所以赤+反=2话，

则而-瓦?=而=2而，

若4P,。,。四点共线时，即点。,P都在中线4D上，所以。P经过三角形的重心，

若力£。,0四点不共线时，AP//OD,且4P=2。。，连结4D,0P,交于点G,

如图，

综上可知，OP经过△ABC的重心.

故选：A.

【变式2-2](2024•四川南充•模拟预测)已知点。是△力8c的重心，OA=2,OB=3,。。=3,Mol-OB

+~0A-~0C+~0B-~0C=

【解题思路】根据三角形重心的性质可得瓦5+而+方=G,平方后即可求得答案.

【解答过程】由于点。是△48C的重心，故市+诟+沆=6,

故画+方+汨)2=0,

__^2__^2__>2

即瓦？+0B+0C+2(0A-OB+0A-0C+0B-0C)=0,

故方OB+OA-OC+OB-OC^+OB'+Of2)

=-1(22+32+32)=-ll,

故答案为：-11.

【变式2-3](2024•四川雅安•一模)若点P为△ABC的重心，35sin4•而+21sinB•丽+15sinC•丽=6,

贝iJcosNBAC=77-

【解题思路】由点P为△4BC的重心，可得而+元+方=6,再结合题意可得35sin4=21sinB=15sinC,

再利用余弦定理即可得解.

【解答过程】设点D为BC边上的中点，

因为点P为△回(：的重心，所以4P=2PD,

则丽+PC=2PD=-PA,

所以丽+无+瓦1=6,所以刀=一而一床，

因为35sinA-PA+21sinB-PB+15sinC-PC=0,

所以35sinA-(-RB-PC)+21sinB-~PB+15sinC-PC=0,

即(21sinB—35sin4)尸8=(35sinA-15sinC)PC,

因为丽，而不共线且丽丰O,PC丰6,

所以21sinB—35sin4=0,35sirh4-15sinC=0,

所以35sim4=21sinB=15sinC,

由正弦定理可得35a=21b=15c,

不妨设a=3,b=5,c=7,

25+49-9_13

则cos4BZC=一"

2x5x7-14,

故答案为：yj.

【例3】（2024高三下•全国・专题练习）如图，已知。是△ABC的垂心,且+2砺+3沆=6,贝Ijtan/BAC:

tanZJ18C:tanZJlC8等于（）

B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

【解题思路】延长C。，BO,4。分别交边43,AC,于点P,M,N,利用同底的两个三角形面积比推得

tan/-BAC:tanZ-ABC:/.ACB=SABOC'S^AOC-SAAOB^从而得解.

【解答过程】。是△4BC的垂心，延长CO,B0,4。分别交边/B,AC,于点P,M,N,如图,

贝IJCP1ZB,BMLAC,ANIBC,乙BOP=^BAC,^AOP=/-ABC,

S4BOC^OCBPBPOPtanZ-BOP_tanz.BAC

因此,

SATWC-OCAP~APOPtanZ-AOPtanZ.ABC1

2

△

同理SBOCtanz5i4C

$△408tan乙4cB

于是得tanZ_B/C:tanN248C:tanZJlCB=S△BOGS△AOC'SAAOB，

XOA+2而+30C=0

由"奔驰定理”有SAROC•OA+S^AOC,OB+S^AOB-OC=0

ABOC'^AAOC'^AAOB=1：2:3,l^tanZ.BAC:tanZ.ABC:tanZ.ACB=1:2:3,

故选：A.

【变式3-1］（24-25高一下•辽宁沈阳•阶段练习）在△ABC中，若瓦？•而=而•近=近・沅?，则点，是

△ABC的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

【解题思路】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.

【解答过程】因为瓦？•施=而•近，则而•（HA-HC）=而•襦=0,

所以而1己?，即点〃■在边C4的高线所在直线上，

同理可得：~HA1CB,HC1AB,

所以点，为△ABC的三条高线的交点，即点，是△ABC的垂心.

故选：A.

【变式3-2］（2024•辽宁抚顺・模拟预测）在锐角三角形45。中，A=60°,AB>AC,7/为△ABC的垂心，

丽•乐=20,。为△ABC的外心，且京•与=留珂・|可，贝|BC=（）

A.9B.8C.7D.6

【解题思路】作出辅助线，数形结合，利用向量数量积可求得儿=40,再由。为△4BC的外心，可得

711

^BAO=90。-。，从而可得404"=C-AABC,解方程组cos（C-NABC）=而与cos（C+N4BC）=-5可得sinC

sin/ABC的值，最后由正弦定理即可求解.

【解答过程】

设△力BC的内角/,B,C所对应的边分别为a,b,c

如图，延长2H交NC于。，延长交3C于E,所以BD14C,

所以京-AC=\AD\-\AC\=国cos60°•［AC\=20,即be=40.

又。为△ABC的外心，所以N40B=2C,即NB4O=90。一。,

又在△力BE中，ABAE=90°-Z.ABC,

故NOAH=90°-zXBC-（90°-C）=C-Z.ABC,

所以COS（C-ZTIBC）=cosX-OAH=温,篇=得与cos（C+Z.ABC）=相减得sinCsin乙4BC=,

所以由正弦定理得品盛市=（三）2=苧，即8。21=学，解得BC=7.

smCsmZ-ABC\sin//333

故选：c.

【变式3-3]（24-25高一下•云南昆明•阶段练习）已知在△3BC中,sin27l+sin2C=sin2^+sinA-sinC,H

是△ABC的垂心，且满足丽•丽=8,贝|△4BC的面积S44BC=（）

A.8V3B.8C.4V3D.4

【解题思路】利用正弦定理化简已知等式，变形后利用余弦定理可求出cosB,从而可求出角B的度数，利用

平面向量的数量积运算法则以及已知条件可求出|话|“就|的值，根据三角形面积公式表示出S,将各自的

值代入计算即可求出三角形的面积.

【解答过程】因为sin?/+sin2c=sin2B+sin/•sinf,

所以由正弦定理得小+c2=b2+ac,

所以由余弦定理得cosB=心中卫=券=J,

Zaczacz

因为Be（0,IT）,所以B=E

因为H是△ABC的垂心，所以说•丽=0,

因为丽-JH=13C-（BA+AH）=JCBA+BC-AH=JC-BA=8,

所以|近|♦|或|cosB=8,所以|丽|•|游|=16,

所以S44BC=3前”而卜inB=1x16x弓=4g，

故选：C.

【例4】（23-24高一下•浙江•期中）设。为△ABC的内心，AB=AC=13,BC=10,AO=mAB+nAC

(m,nER),则m+n=()

1313「5「5

AA・瓦BD.而C,-D,-

【解题思路】取BC的中点E,连AE,则。E为内切圆的半径，利用面积关系求出。E,得而=守，再根据

AE=+m)得而=^AB+gxC,由平面向量基本定理求出犯n可得答案.

【解答过程】取8c的中点E,连4E,

2

因为力B=AC=13,BC=10,所以AE_LBC,AE=J132-(lx10)=12,

所以△ABC的内心。在线段AE上，OE为内切圆的半径，

因为S44BC=SXAOB+S&AOC+^ABOC>

所以/E•8C=如•(4B+AC+8C),

所以！X12X10=goE.(13+13+10),得OE=?

所以力。=AE-OE=12-y=y,

所以彩=篇而，

又族=*荏+而)，所以正=||同+||正

又已知力。=+71AC,所以771=71=!1,

36

1?

所以m+n=*.

Io

【变式4-1](2024•安徽淮南•一模)在△4BC中，AB=4/C=6,点。，E分别在线段AB,AC上，且。

为4B中点，AE=^EC,若而=诟+荏，则直线4P经过△4BC的().

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【解题思路】根据题意，可得四边形4DPE为菱形，即可得到4P平分N82C,从而得到结果.

【解答过程】

A

E

/P、

BC

因为48=4/C=6,且。为48中点，族=痴，

则|诟|=|荏|=2,

又因为而=而+旋，则可得四边形4DPE为菱形，

即4P为菱形4DPE的对角线，

所以力P平分NE4C,即直线4P经过△ABC的内心

故选：A.

【变式4-2］（2024高三・全国・专题练习）在△4BC中，|万|=2,|而|=3,|丽|=4,。是△4BC的内心,

且万=4万+〃丽，贝！M+〃=（）

9787

A—R——r-n-

c.10D.10J99

【解题思路】根据引理证明定理3,即可定理3的结论求解.

【解答过程】先证明：引理（“奔驰”定理）如图1,O是△4BC内的一点，△BOC,△力OC,△力。B的面

积分别为L，SB，SC,则S4万？+Sp赤+S灰=G.

证明如图3,延长AO,与BC边相交于点D,

则_S4ABD_S4BOD_-SABOD_S4ABD-S4BOD_红

、［℃|SMOD—SACODS^ACD—S/ODSB，

记^^=九则^OD—OB-X^OC—OD),

所以一(1+2)赤+OB+WC=0,

又丽=谭忸一亮河所以建大+剽市+加+泓=工

_--->--->--->—>

从而S/OZ+SBOB+S(jOC=0.

接下来证明定理3O是△ABC的内心=a方+b标+c沆=6(其中a,b,c是△ABC的三边长).

证明：设△ABC的内切圆半径为r,0是△ABC的内心，

贝1JSABOCSAAOCSZ^OB=拳?苫=a:b:c.

根据引理得,0是△ABC的内心QO01+bOB+cOC=0.

由而=ZAB+画,可得而=A（OB-ol）+^（OC-OB）,

即（1-2涵+（A-n）OB+nOC=0,

因为。为△ABC的内心，|短|=2,|彳4=3,|就|=4,

根据定理3,可知一=空=今解得a=3，林=三,故4+〃

故选：D.

【变式4-3］（2024高一•全国•专题练习）已知△48C所在的平面上的动点P满足»=|说|而+|而|同，

则直线4P一定经过△ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解题思路】由题意可得而=|四||而|（焉前+焉河），平行四边形法则知焉西+焉■而表示的向量在

三角形角4的平分线上，从而即可得答案.

【解答过程】解：因为而=|同由+|就|同

-»-->--»1--»1-->

/=网“|（鬲4C+而产）,

•••根据平行四边形法则知焉前+温西表示的向量在三角形角力的平分线上，

而向量Q与焉元+焉西共线，

P点的轨迹过△4BC的内心.

故选：C.

【题型5外心问题】

【例5】（2024•安徽•模拟预测）已知△ABC的外心为G,内角4B,C的对边分别为a,瓦c,且a:b：c=5:5:8.若

CA-CB^-28,则四怎=（）

A.yB.50C.25D.25V2

【解题思路】由题意设a=5m,6=5m,c=8m（zn>0）,由余弦定理结合CA,CB=-28可求出m,从而可求

出a,b,c的值，求得aaBC外接圆半径R,由向量的线性运算、数量积运算化简求解即可.

【解答过程】由已知，令a=5m,6=5zn,c=8m（ni>0）,所以△ABC是等腰三角形.

由余弦定理，得8S〃CB=（5叱黑仁刎;招

因为石？•丽=—28,所以57nx5znxcos乙4c8=—28,解得TH=2（负值已舍去），

所以a=10,b=10,c=16.

设△48C的外接圆半径为R,

因为sinZJlCB=1—cos2Z-ACB=Jl—（―^）2=|^,

所以2R=G=苧，所以R=CG=g.

由△4BC为等腰三角形知/GCB=拉4纸

所以COS2/GC8=COS2（|ZXCB）=i+8—B=言，即cos/GCB=|.

所以无•CB=|cG||cF|coszGCB=yx10x|=50.

故选：B.

【变式5-1］（2024・云南曲靖•二模）已知。是的外心，AB+AC=2AO,\OA\=\AB\,则向量就在

向量而上的投影向量为（）

A.-^BCB.~^BCC.软D.^BC

【解题思路】依题意可知。是BC的中点，从而得到NBAC=90。，〃CB=30。，解法一：过点4作力D1BC,

垂足为。，即可得到CD=*C,结合投影向量的定义即可得解；解法二：设|而|=2,根据向量而在向量前

上的投影向量等于鬻灰计算可得.

【解答过程】由屈+左=2同，所以。是BC的中点，又。是△48C的外心，

则ABAC=90。，再由|科|=|四|而|=|而|=|沆|=义而

则△AB。为正三角形，4CB=30°,

角度一：如图，过点4作4D1BC,垂足为D,则BD=：BO=；BC,CD=^BC,

所以向量元在向量配上的投影向量等于反=河.

角度二：设I丽1=2,则|同1=1,所以I斤I=422-12=刑,

所以向量前在向量近上的投影向量等于需嬴="等配=源.

故选：C.

【变式5-2](2024•新疆一模)已知平面向量就，砺满足|51|=|而|=2,•赤=-2,点。满足

DA=2OD,£为aaoB的外心，则赤•前的值为()

A16c8-8-16

A.——B.--C.-D.-

【解题思路】求出瓦?，南的夹角，作出平面直角坐标系，表达出各点的坐标，即可求出三•前的值.

【解答过程】由题意，|瓦?1=1而1=2,

•：OA-OB=\OA\■|OB|COS0=2zcos0=-2,解得：cos。=—1,

二两向量夹角8=y,

■.■DA=2OD,

以。为坐标原点，。4,垂直于04所在直线为X,y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则。(0,0)/(2,0)凤_1,回，设CQ0),由55=2丽知(2-久,0)=2(x,o),

解得x=|,

•••呜。)

又E为△AOB的外心，

.-.Z.AOE=jzXOB=^,0E=EA,Z.AOE=Z.EAO=Z.OEA=1,

.•.△40E为等边三角形,

.-.OB-FD=-1.

故选：B.

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）已知△4BC中，AO=AAB+（1-2）XC,且。为△力8C的外心.若瓦5在

前上的投影向量为4近，且cos〃OCeL，|],贝打的取值范围为（）

儿[|昌B.[|±]C.[i,|]D,[|,|]

【解题思路】根据题意2,O,C三点共线.因为。为△4BC的外心，即有|耐|=|而|=|才所以△48C

为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.

【解答过程】

因为而=XAB+（1-2）ZC=AAB+AC-AAC,

则万一尼=2（屈—尼），所以而=2而，即2,O,C三点共线.

因为。为△4BC的外心，即有|瓦?|=\OB\=\OC\,

所以△ABC为直角三角形，因此。为斜边8c的中点.因为cos乙4OCCB，H，所以N/1OC为锐角.

如图，过点4作4Q1BC,垂足为Q.

因为刀在灰上的投影向量为的=面,所以：<4<1,

所以就在就上的投影向量为丽=BQ-BO=〃丽-次=

又因为I。力|=^\BC\,所以cos乙40C2〃一L

410力1

因为cos-OCet，|],所以2〃一1€七|]，

故选：A.

►课后提升练（19题

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知在aABC中，G为△4BC的重心，D为边BC中点，则（）

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

C.AB-ACAD2-'BD2D.AB-AD=AC-AD

【解题思路】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.

【解答过程】在△ABC中，G为△ABC的重心，。为边8C中点，

对于A,因为血+尼=2而=2x|■蕊=3正，故A错误；

对于B,因为前=|正，故B错误；

对于C,因为在△4BC中，D为边BC中点，

则荏=诟+丽=AD-BD,ZC^AD+DC^AD+~BD,

所以荏•尼=（前一而）•（前+丽）=前2-丽之，故c正确；

对于D,若荏•前=前•而成立，

贝!1（同一灰）•前=0,即瓦•诟=0,则丽1而，

又。为边中点，故2B=aC,这不一定成立，故D错误.

故选：C.

2.（2024•全国•模拟预测）已知平面上四个点4BCD,其中任意三个不共线.若说•而=而•诟，则直

线4D一定经过三角形ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】由题意得4D1CB,即BC边上的高所在直线为4D,由此即可得解.

【解答过程】因为荏•前=前•而，所以而•荷=（法—而）•丽=荏•前一前•前=0,

所以4D1CB,即直线力。一定经过三角形力BC的BC边上的高，即直线力。一定经过三角形4BC的垂心.

故选：D.

3.（23-24高一下•河北•期中）平面向量中有一个非常优美的结论：己知。为△ABC内的一点，△BOC,

△40C,△40B的面积分别为力，SB，SC,贝凡・耐+•赤+S°•3=6.因其几何表示酷似奔驰的标

志，所以称为“奔驰定理已知。为△4BC的内心，三个角对应的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2

W,c=5,则丽•前=（）

A.2V^—8B.-2C.V6-7D.3V

【解题思路】根据三边，先求出角B的余弦值，再由内心可得到SHSRSC=a山:c,进而由“奔驰定理”得到。刀

+bOB+cOC=Of在对向量进行线性运算即可.

【解答过程】因为a=3,b=2V3,c=5,

11

所以cosB=4"2一扭

因为。为△2BC的内心，设Nl=Z.0BC/2=Z.0B4,由题意41=42,

贝（jS^Sc=jBO||BC|sinNl申B0||B4|sin/2=a:b,

同理可得S/：SB：SC=a\b\c

所以根据“奔驰定理'有a瓦？+bOB+cOC=0,

所以a初一所）+bOB+c（BC-BO）=0,

即由=

a+b+ca+b+c

所以丽.就=（―^^+—^―数）•（说—函），

\a+b+ca+b+c/

5>23>22»»।-

=——KBC-——7=BA-——7=BC-BA=2V3-8.

8+2V38+2V38+2V3

故选：A.

4.（2024・四川南充•三模）已知点P在△ABC所在平面内，若刀•（卷!；—缁）=丽•晨—黑）=0,则点P

\AC|I\DCI\DA\

是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得4P平分NBAC,BP平分乙4BC,结合

三角形内心定义判断即得.

【解答过程】在△由中，由次（备温）=。，得港债访•瑞，

即而濡=乔湍，由丽,（需第=。，同理得诱箫=而需，

显然而46,即P与4不重合，否则cosN4BC=l,同理所46,

贝!JMP|COSNP4C=|aP|coszJM8,即cosZJMC=cosZPAB,Z.PAC=Z.PAB,

于是力P平分NB力C,同理BP平分N4BC,

所以点尸是△4BC的内心.

故选：D.

5.(23-24高一下・甘肃・期末)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美

的结论.它的具体内容是：已知M是a/lBC内一点，△BMC,AAMC,△4MB的面积分别为力，SB,Sc,

且54・加4+53・时8+5「用。=0.若“为448(7的垂心，3M4+4MB+5MC=0,贝i|cosN4MB=()

A一渔B一渔C逅n—

'36'6'3

【解题思路】根据力-MA+SB-MB+SC-MC=G和3AM+4MB+5MC=［得％SB：SC=3:4:5,从而可以得

出需=4崔=3,设MD=x,MF=y,得4M=3x,BM=2y,再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.

【解答过程】

如图，延长4M交BC于点D,延长BM交4c于点F,延长CM交2B于点E.

由M为△4BC的垂心，3M4+4MB+5MC=0,且力•MA+SB•MB+S。•MC=G,

得S©SB：SC=3:4:5,所以SB=争4&=我，

又SNBC=S4+SB+SC，则等=4,同理可得鬻=3,所以券=4,需=3,

设M£)=%,MF=y,则ZM=3久，BM=2y,

所以cos/BMD=/=cos乙4MF=5,BP3x2=2y2,：=手,

所以COSNBMO=/=平，

所以cos/ZMB=cos(7i—zBMP)=—cosZ-BMD=一华.

故选：B.

6.(2024•全国•模拟预测)已知在△ABC中，角4SC的对边分别为见仇c,2sinA=acos&c=2.若G为AABC

的重心，贝!JG/2+GB2—Gf2的最小值为()

A12-4V2「8+4V2「4V2-2卜4+2V2

'•-^―B.C.-1―D.―r

【解题思路】先根据已知条件，利用正弦定理及同角三角函数的基本关系求出角C,然后利用余弦定理、基

本不等式求出小+b2<8+4Vxeos乙4D&cos乙4DB,并且结合cos乙4DC+cosZ-ADB=0得到4〃的表达式，

即可求得G/2的表达式，同理可得G/GC2的表达式，进而得到G/2+GB2-GC2的最小值.

【解答过程】由2sinZ=acosC及c=2可得csin/=acosC,由正弦定理可得sinCsinZ=sirL4cosC,

又/E(Oji),sin/>0,故sinC=cosC,即tanC=1,而CG(0,ir),故C=：；

由余弦定理得c2=@2+b2-2abcos^,故M+b2=4+dab<4+-y(a2+Z)2),

故小+按<8+4鱼，当且仅当a=b=54+2鱼时,取等号；

设。为的中点，连接ZD,贝!JG在力。上，

22

E,c^2+-b2“AD2+^c2

贝IJCOSZJIOC=-------%—,cosz.ADB=-------\—,

24吗24D《

由COSNADC+COS/.ADB=0可得好=空亨卫，

贝32=(|财2=空笥工

同理可得诙=2M+jc5,Gc2=2弋y,

t^GA2+GB2-GC2=^(5c2—a2—b2)=+次)

2芸—白(8+4&)=工£返，当且仅当a=6=，4+2鱼时,取等号,

故G4+GB2—GC2的最小值为与平

故选：A.

7.(23-24高一下•黑龙江•期中)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：

三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点G,",。分别为△ABC的重心，垂心，外

心，。为4B的中点，贝。()

A.~CH=~ODB.~CH^20DC.CH=30DD.CH=40D

【解题思路】结合题意利用点//,。分别为△力BC的垂心，外心得到CH〃OD,并得到△DOG〜△CHG,借助

相似及重心性质可得CH=2D0,结合向量关系表示即可.

【解答过程】因为。为△4BC的外心，。为力B的中点，所以。

因为H为△A8C的垂心，所以CH1AB,

所以CH//OD,

易得乙DOG=乙GHC,乙ODG=乙GCH,4DGO=4HGC,

所以△DOG〜△CHG,所以*=黑

UUUU

因为G为△4BC的重心，所以CG=2DG.

所以CH=2C0,

所以屈=2砺.

8.(2024・安徽•三模)平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△04B,△OBC,△OCX

的面积分别记作Sa,Sb,则有关系式Sa•函+Sb・砺+S’•觉=0.因图形和奔驰车的log。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a•瓦？+b・赤+c・

OC=0,则。为△ABC的()

A

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】根据平面向量基本定理可得*=匕兴=，延长C。交4B于E,延长80交4c于F,根据面积比

3aabaa

推出盘=黑，结合角平分线定理推出CE为乙4cB的平分线，同理推出BF是乙4BC的平分线，根据内心的

R七I1九1

定义可得答案.

【解答过程】由Sa•瓦5+Sb•砺+Sc・沅=。得被=-^OB-^OC,

由a•瓦？+b•赤+c•沉=0得函=--0F-£0C,

aa

根据平面向量基本定理可得T=4-?=-3

◎aaa

所以

、aa3aa

延长C。交ZB于E,延长BO交力C于F,

同名=幽又为=月所以幽=々=幽

所以CE为乙4cB的平分线，

同理可得BF是NABC的平分线，

所以。为△48C的内心.

故选：B.

二、多选题

9.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）在△4BC中，AB=4C=5,BC=6,P为△ABC内的一点，AP=xAB

+yAC,则下列说法正确的是（）

A.若P为△斗鸟。的重心，贝反+y=：B.若P为△ABC的外心，则丽•阮=一18

C.若P为△ABC的垂心，则久+y=«7D.若P为△力BC的内心，则x+y=£c

【解题思路】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求

解；对于B：利用丽•前=(方+话)•丽展开计算即可.

【解答过程】在△4BC中，AB=AC=5,BC=6,P为△4BC内的一点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则4(0,4),5(-3,0),C(3,0),

对于选项A：若P为△力BC的重心，贝反「=上/=0,yp=i±2±£=i则p(o,§,

所以4P==(-3-4),XC=(3-4),

若/P=xAB+yAC,由平面向量基本定理可得：1_4%_4y=--9

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解得尤=y=W，所以x+y=］故选项A不正确；

对于选项B：若P为△力BC的外心，其必在直线力。上，

所以丽^C=(PO+~OB)-~BC=PO~BC+~OBBC=3X6X(-1)=-18,故选项B正确;

对于选项C：若P为△4BC的垂心，其必在40上，设P(0,m),

则加•AB=(-3,m)-(-3,-4)=9-4m=0,解得m='

此时而==(-3,-4),4C=(3,-4),

^AP=xAB+yACf由平面向量基本定理可得：上轨一4y=一人

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解得％=y=豆，所以久+y=«,故选项C正确；

对于选项D：若尸为的内心，设内切圆半径为7，

贝岭x6x4=^xrx(5+5+6),得r