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文档简介
专题03函数基本性质综合应用
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考点聚焦:核心考点+高考考点,有的放矢
重点专攻:知识点和关键点梳理,查漏补缺
难点强化:难点内容标注与讲解,能力提升
提升专练:真题感知+精选专练,全面突破
◊>题型聚焦------------------------------------------
【考点11求函数单调区间
【考点2]根据函数单调性求参数
【考点3]根据函数奇偶性求解析式或参数
【考点4】函数奇偶性的应用
【考点5】单调性+奇偶性识别图象
【考点6]单调性+奇偶性解不等式
【考点7】函数不等式恒成立问题
【考点8]分段函数综合问题
【考点9]单调性+奇偶性+周期性+对称性
【考点10]抽象函数问题
O>重点专攻-----------------------------------------
O>难点强化------------------------------------------
知识点1:函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地,设函数/(X)的定义域为/,区间。0/,如果V%,%e。,当石<当时,都有/(石)</(/),
那么就称函数/(x)在区间。上单调递增.(如图:图象从左到右是上升的)
特别地,当函数/(X)在它的定义域上单调递增时,称它是增函数(increasingfunction).
1.2减函数
一般地,设函数/(%)的定义域为/,区间/,如果\/石,々e。,当石<x2时,都有/(石)〉/(x2),
那么就称函数/(x)在区间。上是单调递减.(如图:图象从左到右是下降的)
特别地,当函数/(%)在它的定义域上单调递增时,称它是减函数(decreasingfunction).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数y=/(x)在区间。上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)
单调性,区间。叫做y=/(X)的单调区间.
知识点2:函数单调性的判断与证明
1、定义法:一般用于证明,设函数/(%),证明的单调区间为。
①取值:任取玉,x2&D,且%<工2;
②作差:计算/(为)—/(%);
③变形:对/(西)-/(々)进行有利于符号判断的变形(如通分,因式分解,配方,有理化等);如有必要
需讨论参数;
④定号:通过变形,判断了(石)一/(々)>0或(/(石)一/(9)<0),如有必要需讨论参数;
⑤下结论:指出函数y=/(x)在给定区间。上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象(或者草图),利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
(1)函数y=/(x)在给定区间D上的单调性与y=-/U)在给定区间。上的单调性相反;
(2)函数y=/(%)在给定区间。上的单调性与y=/(%)+c的单调性相同;
(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定义区间。,有如下结论;
y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/O)-g(x)
增/增/增/不确定
增/减、不确定增/
减,减、减\!不确定
减'增/不确定减\
知识点3:函数的最大(小)值
1、最大值:对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数M满足:
①X/xe/,都有
②现e/,使得/(x())=M
那么称M是函数y=/(x)的最大值;
2、最小值:对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数m满足:
①X/xe/,都有
②叫e/,使得/(%)=加
那么称加是函数y=/(X)的最小值;
知识点4:复合函数的单调性(同增异减)
一般地,对于复合函数y=/(g(x)),单调性如下表示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层
函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函
数:
y=/(g(x)):令:t=g(x)和y=/«)
t=g(x)y=/Q)y=/(g(x))
增增增
增减减
减增减
减减增
知识点5:函数的奇偶性
1、定义:
1.1偶函数:一般地,设函数〃龙)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—x)=〃x),那么函
数/(%)就叫做偶函数.
L2奇函数:一般地,设函数“X)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—%)=—/(%),那么
函数/(九)就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法:
(1)先求函数/(%)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.
(2)求/(f),根据/(-x)与/(%)的关系,判断了。)的奇偶性:
①若/D+/⑺=0o/(-x)=-/(x)o/(%)是奇函数
②若/(—%)-/(x)=00/(-x)=/(x)o/(%)是偶函数
/(-%)+/(%)=0^
③若o/(x)既是奇函数又是偶函数
J(-X)=于(x)
/(-%)w-/(%)
④若/、O/(%)既不是奇函数也不是偶函数
2.2图象法:
(1)先求函数了。)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.
(2)若/(x)的图象关于V轴对称0/(%)是偶函数
(3)若/(x)的图象关于原点对称0/(%)是奇函数
2.3性质法:
/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论:
/(X)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)
g(x)
偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数
偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数
奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数
奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数
知识点6:对称性
1、轴对称:
设函数/(%)的定义域为/,且x=a是/(%)的对称轴,则有:
0/(«+%)=/(a-x);
②/(%)=/(2。7)
@f(-x)=f(2a+x)
2、点对称
设函数/(尤)的定义域为/,且(。,0)是/(%)的对称中心,则有:
①/(a+x)=—f(a—x);
②/(%)=-/(2。-%)
③/(f)=-/(2a+x)
3、拓展:
①若/"(a+x)=/3—x),则/(%)关于x=对称;
②若/'(a+力=—/S—x),则/(x)关于(等,0)对称;
3提升专练--------------------------------
»题型归纳
【考点11求函数单调区间
1.(2024•海南海口•模拟预测)函数/5)=炉-4|》|+3的单调递减区间是()
A.(—8,—2)B.(-8,-2)和(0,2)
C.(一2,2)D.(―2,0)和(2,+8)
2.(2024高一•全国•专题练习)函数y=k/+4x+5|的单调递增区间是
3.(2024•吉林长春•一模)函数"x)=ln(x2-3x-4)的单调增区间为.
【考点2]根据函数单调性求参数
1.(23-24高一上•福建三明•期中)函数外幻=32--以在区间(2,4)上单调递减,则实数”的取值范围是()
A.(-<»,8]B.(-oo,8)C.[16,-+<o)D.(16,+oo)
2.(2024•黑龙江大庆•模拟预测)函数/(力=。-)在(2,3)上单调递减,则f的取值范围是()
A.[6,+00)B.(-oo,6]
C.(-<»,4]D.[4,+oo)
3.(2024•湖北•二模)已知函数"x)=log5(a'-2)在[1,y)上单调递增,贝!U的取值范围是()
A.(1,+<»)B.[in2,+oo)C.(2,+co)D.[2,+oo)
4.(2024•湖南衡阳•模拟预测)已知〃x),g(x)是定义域为R的函数,且“X)是奇函数,g(x)是偶函数,
满足/(x)+g(x)=^+x+2,若对任意的1<不<%<2,都有):)::(*)>一成立,则实数”的取值范围
是.
【考点3]根据函数奇偶性求解析式或参数
1.(2024•宁夏吴忠•一模)已知函数〃x)=(x-a)2+ln(e'+l)是偶函数,贝(]。=()
11
A-4B-2C'0D,1
2.(2024•陕西宝鸡•三模)已知函数/(外:方口+^^为偶函数,则。=()
3.(2024•黑龙江•模拟预测)已知函数;'(X)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x-co少+1,则当
X..0时,/(x)=.
【考点4】函数奇偶性的应用
1.(2024・海南•模拟预测)已知函数y=4(x)+2是R上的偶函数,若〃-3)=2,则/'(3)=()
A.-2B.-1C.1D.2
2.(2024•广东惠州•模拟预测)已知Ax)在R上的奇函数,当x>0时,/(x)=--2x-l,则/(A-1))=()
A.2B.-2C.1D.-1
3.(24-25高三上•陕西咸阳•开学考试)已知函数/⑺=:+cosx•In卜+A/177)在区间[-5,5]的最大值是
M,最小值是山,则/(河+祖)的值等于
【考点5]奇偶性识别图象
】•(2。24•新疆模拟预测)函数〃,)="+苦的部分图象大致为()
2.(2024•海南•模拟预测)函数/("=sinInW的部分图象大致为()
3.(2024•四川•一模)函数〃x)=:cosm(e=ef),x«T,4)的图象大致为()
【考点6]单调性+奇偶性解不等式
1.(2024•四川资阳•二模)若定义在R上的偶函数“X)在[0,+e)上单调递增,则不等式
/(2%+1)-〃%-1)>一3/-6了的解集为()
A.(一。,一2)U(0,+8)B.(-8,-l)U(0,+8)
C.(-2,0)D.(-1,0)
2.(2024・山西•三模)设函数/。)=1Y2闭-婷,则不等式/。―2)N/(2x+2)的解集为()
A.M,0]B.[-4,0)C.[-4,-l)u(-l,0]D.[-4,-1)u(-1,0)
3.(2024•陕西•一模)已知定义在R上的函数/(x),满足(药-9)[〃%)-"%)]<0,且以x)+/(t)=0.若
/(1)=-1,则满足区1的x的取值范围是()
A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]
4.(2024•湖北武汉•二模)已知函数”司=1。82(4,+2田+1)-x,若/(2a—l)</(。+3),则实数”的取值
范围为.
[考点7]函数不等式恒成立问题
1.(2025•黑龙江齐齐哈尔•一模)VxeR,用M(x)表示/(%),g(x)中的较小者,记为M{x)=min"(x),g(x)},
设函数/(x)=e-i+x-2,g(x)=-x2+(a-l)x-。,若VxeR,A/(x)W0,则a的取值范围为()
A.(—8,3+20]B.(-oo,6]
C.[3-20,3+20]D.[3-20,+oo)
2.(2024•河北•三模)对X/xeR,都有/(x)=f-4/+Q九+5)龙?_(2〃?+4卜+旭+420恒成立,那么,"的
取值范围是.
Q
3.(2024•山西•模拟预测)已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数,当无20时,/5)=h3-3-,,且=
⑴求。的值,并求出f(x)的解析式;
(2)若2/(x)-9X--14Vo在xe(0,+co)上恒成立,求;I的取值范围.
1_V
4.(2025•江苏南通•一模)已知函数〃元)=log?一.
1+X
⑴判断并证明“X)的奇偶性;
(2)若对任意xe-1,1,Ze[-2,2],不等式/(x)N/+R-6恒成立,求实数a的取值范围.
【考点8】分段函数综合问题
Y—1<Y<1
1.(2024・四川德阳•一模)函数〃x)='单调递增,且〃2加+则实数机的取值
3--〃z,尤21
范围为()
A.(-2,1]B.(-2,1)C.(0,1]D.(0,1)
2.(2025•四川巴中•模拟预测)设函数〃尤)=["+2:2°若/(片-则实数。的取值范
[—x(x—4),x<0、7
围是()
A.(—°°,—1)(2,+oo)B.(―oo,—2)U(L+00)
C.(-oo,-l)u(3,+oo)D.(-00,-3)U(l,+8)
[(a—l)x+5,xG(—co.2)
3.(2024・山东•一模)已知。>0且awl,若函数/(%)=:、”在(-*+8)上具有单调性,
[a,xe[2,+oo)
则实数〃的取值范围是.
司X+2|1ZA
4.(2024・吉林•模拟预测)已知函数.f(x)=一",/(〃-3))=0,贝!!实数”的值为.
^ln(x2+ar+3),x>0、7-----
【考点9]单调性+奇偶性+周期性+对称性
1.(2024•广东河源•模拟预测)已知定义在R上的函数满足〃x+1)为奇函数,且y=/(2x)的图象关
50
于直线x=i对称,若则£/«)=()
i=l
A.-1B.0C.1D.2
2.(2024•河北•模拟预测)已知函数〃x)的定义域为R,且〃2x+l)为奇函数,〃2x+4)=〃2x),则一
定正确的是()
A.“X)的周期为2B.图象关于直线尤=1对称
C./(x+1)为偶函数D./(x+3)为奇函数
3.(2024•辽宁本溪•一模)设函数“X)定义域为R,〃龙-1)为奇函数,/(尤+1)为偶函数,当xe(-U]时,
则下列结论错误的是()
A.d=£B./(x+7)为奇函数
C.“X)在(6,8)上是减函数D.方程〃x)+lgx=0仅有6个实数解
4.(多选)(2024•四川泸州•一模)已知函数/(尤)的定义域为R,若
/(l+x)+/(3-^)=2,/(^)-/(2-x)=4-4x,贝(J()
A./(O)=4B./(0)+/(1)+/(2)+/(3)=8
C./(x)+/(x+2)=8-4%D.f(2024)=^M)43
【考点10]抽象函数问题
I.(2024•甘肃庆阳•一模)已知函数“X)的定义域为R,/(〃x+y))=f(尤)+/(y),/(1)=1,则下列结
论错误的是()
A./(0)=0B.〃尤)是奇函数
C.7(2024)=2024D./⑺的图象关于点[,o]对称
2.(多选)(2024•四川德阳•一模)定义在R上的函数“X)满足〃x)+〃y)=d宁)[=
则下列结论正确的有()
A.40)=2B.“X)为奇函数
C.6是的一个周期D.£/2-=4052
k=0I/
3.(多选)(2024・湖南衡阳•一模)Vx,yeR,非常数函数都有/(x+y)+/(x)f(y)=/(肛+1),则
下列结论正确的是()
A./(o)=-lB.若f(2)wl,f(x)是偶函数
C.若/(2)=/(-2)=1,则"2左+1)=0化eZ)D.了⑵的值不可能是3
4.(多选)(2024•全国•模拟预测)已知定义域为R的函数/(x),对任意x,yeR,都有
f(2x)+f(2y)-/(x+y)f(x-y),且“2)=2,则()
A."0)=0B.〃x)为偶函数
C./(尤+1)为奇函数D.〃x+4)=/(x)
»过关检测
一、单选题
x2-2ox-l,x<l
1.(2024•广东韶关•一模)已知函数〃力=2〃在R上是单调函数,则[的取值范围是()
——6x,x>l
A.(-co,2]B.[1,2]C.(l,+oo)D.[2,+oo)
2.(23・24高一上,山东滨州•期中)函数/(X)=三的图象大致是()
x+1
3.(2024•陕西•一模)已知定义在R上的函数满足〃x+3)=-/⑺,且f(—l)=2,贝!]〃2024)=()
A.-4B.-2C.4D.2
4.(2024•广东惠州•模拟预测)函数/(尤)=尸-"+5,若有/(*=2,则/(2-〃?)=()
A.8B.5C.0D.4
5.(2024•新疆•二模)若函数/(x)=丝?的图象关于点(1,2)对称,则。=()
x-1
A.-2B.-1C.1D.2
6.(2024・西藏•模拟预测)若函数=则下列函数中为奇函数的是()
A./(x+1)—2B.f(x—1)—2C.1)+2D.f(x+1)+2
7.(2024海南・模拟预测)若函数〃尤)=111』+2工的图象关于点(6,4)对称,且"1,则-6=()
x+a
A.-7B.-5C.-3D.-1
8.(2024・四川南充•一模淀义在R上的函数/(x)的图象关于点[,J对称,且满足/(x)=1/(5x),/(0)=0,
当04%</<1时,都有〃百)4〃9),则[七卜()
1111
A.B.-----C.—D.—
2561286432
9.(2024•河南•模拟预测)已知是定义在R上的偶函数,VxeR,/(4-x)=/(x),当xw[-2,0]时,
/(X)=X2+4X,贝!)/(2023)+“2024)+/(2025)=()
A.-2B.0C.-6D.-4
10.(2025•安徽•一模)定义在R上的函数〃x)满足f(2x+2)+〃2x)=0,且y=〃2-x)为偶函数,则下
列说法正确的是()
A.函数/⑺的周期为2
B.函数的图象关于x=l对称
C.函数“X)为偶函数
D.函数“X)的图象关于x=3对称
二、多选题
11.(2024•吉林长春•模拟预测)设a>0,定义在R上的函数/(X)满足“。)=1,且
V%,yeR,/(x+y)=/(x)/(a-y)+f(y)f(a-x),贝!!()
A."0)=0B./(2«-x)=/(x)
C./'(X)为偶函数D./(2025a)=1
12.(2024•山东•模拟预测)已知定义在(-8,0)U(0,+«0上的函数f(x),满足/(盯)+2=f(x)+/(y),且当
彳>1时,〃尤)>2,则()
A./(-D=lB.为偶函数
C./(2024)>/(2023)D.若〃x+2)<2,则x的取值范围为一3<x<—l
13.(2025•吉林长春•一模)定义在(-U)的函数满足=/{尸],且当-1。<。时,
/(x)<0,则()
A.〃彳)是奇函数B.在(-L1)上单调递增
,•佃+/"出>UL出
14.(2024•浙江•模拟预测)已知函数/'(x+1)为偶函数,对VxeR,/(%)>0,且/(x+1)=/(x)/(x+2),
若/'(1)=2,则以下结论正确的为()
A."2)=0B.43)=1C./(-1)=/(5)D.
三、填空题
15.(2024•河南周口•模拟预测)已知函数y=/(x+2)是定义在R上的偶函数,且“X)在(2,+8)上单调递
增,/(3)=0,则/®<0的解集为.(用区间表示)
X
16.(2024•天津河西•模拟预测)已知函数/(尤),g(无)的定义域均为R,且
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