2025年高考数学二轮复习：函数基本性质综合应用（共10大考点）（原卷版）

专题03函数基本性质综合应用

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考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

◊＞题型聚焦------------------------------------------

【考点11求函数单调区间

【考点2］根据函数单调性求参数

【考点3］根据函数奇偶性求解析式或参数

【考点4】函数奇偶性的应用

【考点5】单调性+奇偶性识别图象

【考点6］单调性+奇偶性解不等式

【考点7】函数不等式恒成立问题

【考点8］分段函数综合问题

【考点9］单调性+奇偶性+周期性+对称性

【考点10］抽象函数问题

O＞重点专攻-----------------------------------------

O＞难点强化------------------------------------------

知识点1:函数的单调性

1、增函数与减函数

1.1增函数

一般地,设函数/（X）的定义域为/,区间。0/,如果V%,%e。，当石＜当时，都有/（石）＜/（/），

那么就称函数/（x）在区间。上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）

特别地，当函数/（X）在它的定义域上单调递增时，称它是增函数（increasingfunction）.

1.2减函数

一般地,设函数/（%）的定义域为/，区间/,如果\/石,々e。，当石＜x2时，都有/（石）〉/（x2）,

那么就称函数/（x）在区间。上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）

特别地，当函数/（%）在它的定义域上单调递增时，称它是减函数（decreasingfunction）.

2、函数的单调性与单调区间

如果函数y=/（x）在区间。上单调递增或单调递减，那么就说函数y=/（x）在这一区间具有（严格的）

单调性，区间。叫做y=/（X）的单调区间.

知识点2：函数单调性的判断与证明

1、定义法：一般用于证明，设函数/（%）,证明的单调区间为。

①取值：任取玉，x2&D,且％＜工2；

②作差：计算/（为）—/（%）；

③变形：对/（西）-/（々）进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要

需讨论参数；

④定号：通过变形，判断了（石）一/（々）＞0或（/（石）一/（9）＜0）,如有必要需讨论参数；

⑤下结论：指出函数y=/（x）在给定区间。上的单调性

2、图象法

一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.

3、性质法

(1)函数y=/(x)在给定区间D上的单调性与y=-/U)在给定区间。上的单调性相反;

(2)函数y=/(%)在给定区间。上的单调性与y=/(%)+c的单调性相同；

(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定义区间。，有如下结论；

y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/O)-g(x)

增/增/增/不确定

增/减、不确定增/

减,减、减\!不确定

减'增/不确定减\

知识点3：函数的最大(小)值

1、最大值：对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数M满足:

①X/xe/,都有

②现e/,使得/(x())=M

那么称M是函数y=/(x)的最大值；

2、最小值：对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数m满足：

①X/xe/,都有

②叫e/,使得/(%)=加

那么称加是函数y=/(X)的最小值；

知识点4：复合函数的单调性(同增异减)

一般地，对于复合函数y=/(g(x)),单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层

函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函

数：

y=/(g(x))：令：t=g(x)和y=/«)

t=g(x)y=/Q)y=/(g(x))

增增增

增减减

减增减

减减增

知识点5：函数的奇偶性

1、定义：

1.1偶函数：一般地，设函数〃龙)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—x)=〃x),那么函

数/(%)就叫做偶函数.

L2奇函数：一般地，设函数“X)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—%)=—/(%),那么

函数/(九)就叫做奇函数.

2、函数奇偶性的判断

2.1定义法：

(1)先求函数/(%)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)求/(f),根据/(-x)与/(%)的关系，判断了。)的奇偶性：

①若/D+/⑺=0o/(-x)=-/(x)o/(%)是奇函数

②若/(—%)-/(x)=00/(-x)=/(x)o/(%)是偶函数

/(-%)+/(%)=0^

③若o/(x)既是奇函数又是偶函数

J(-X)=于(x)

/(-%)w-/(%)

④若/、O/(%)既不是奇函数也不是偶函数

2.2图象法：

(1)先求函数了。)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)若/(x)的图象关于V轴对称0/(%)是偶函数

(3)若/(x)的图象关于原点对称0/(%)是奇函数

2.3性质法：

/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

/(X)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

知识点6：对称性

1、轴对称：

设函数/(%)的定义域为/,且x=a是/(%)的对称轴，则有：

0/(«+%)=/(a-x)；

②/(%)=/(2。7)

@f(-x)=f(2a+x)

2、点对称

设函数/(尤)的定义域为/,且(。,0)是/(%)的对称中心，则有：

①/(a+x)=—f(a—x)；

②/(%)=-/(2。-%)

③/(f)=-/(2a+x)

3、拓展：

①若/"(a+x)=/3—x),则/(%)关于x=对称；

②若/'(a+力=—/S—x),则/(x)关于(等,0)对称；

3提升专练--------------------------------

»题型归纳

【考点11求函数单调区间

1.(2024•海南海口•模拟预测)函数/5)=炉-4|》|+3的单调递减区间是()

A.(—8,—2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(一2,2)D.(―2,0)和(2,+8)

2.(2024高一•全国•专题练习)函数y=k/+4x+5|的单调递增区间是

3.（2024•吉林长春•一模）函数"x）=ln（x2-3x-4）的单调增区间为.

【考点2]根据函数单调性求参数

1.（23-24高一上•福建三明•期中）函数外幻=32--以在区间（2,4）上单调递减,则实数”的取值范围是（）

A.（-<»,8]B.（-oo,8）C.[16,-+<o）D.（16,+oo）

2.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）函数/（力=。-）在（2,3）上单调递减，则f的取值范围是（）

A.[6,+00）B.（-oo,6]

C.（-<»,4]D.[4,+oo）

3.（2024•湖北•二模）已知函数"x）=log5（a'-2）在[1,y）上单调递增，贝！U的取值范围是（）

A.（1,+<»）B.[in2,+oo）C.（2,+co）D.[2,+oo）

4.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知〃x）,g（x）是定义域为R的函数，且“X）是奇函数，g（x）是偶函数，

满足/（x）+g（x）=^+x+2,若对任意的1<不<%<2,都有）：）：：（*）>一成立,则实数”的取值范围

是.

【考点3]根据函数奇偶性求解析式或参数

1.（2024•宁夏吴忠•一模）已知函数〃x）=（x-a）2+ln（e'+l）是偶函数，贝（]。=（）

11

A-4B-2C'0D，1

2.（2024•陕西宝鸡•三模）已知函数/（外:方口+^^为偶函数，则。=（）

3.（2024•黑龙江•模拟预测）已知函数;'（X）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=x-co少+1,则当

X..0时，/（x）=.

【考点4】函数奇偶性的应用

1.（2024・海南•模拟预测）已知函数y=4（x）+2是R上的偶函数，若〃-3）=2,则/'（3）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024•广东惠州•模拟预测）已知Ax）在R上的奇函数，当x>0时，/（x）=--2x-l,则/（A-1））=（）

A.2B.-2C.1D.-1

3.（24-25高三上•陕西咸阳•开学考试）已知函数/⑺=：+cosx•In卜+A/177）在区间[-5,5]的最大值是

M,最小值是山，则/（河+祖）的值等于

【考点5］奇偶性识别图象

】•（2。24•新疆模拟预测）函数〃，）="+苦的部分图象大致为（）

2.（2024•海南•模拟预测）函数/（"=sinInW的部分图象大致为（）

3.（2024•四川•一模）函数〃x）=：cosm（e=ef）,x«T,4）的图象大致为（）

【考点6］单调性+奇偶性解不等式

1.（2024•四川资阳•二模）若定义在R上的偶函数“X）在［0,+e）上单调递增，则不等式

/（2%+1）-〃％-1）＞一3/-6了的解集为（）

A.(一。,一2)U(0,+8)B.(-8,-l)U(0,+8)

C.(-2,0)D.(-1,0)

2.(2024・山西•三模)设函数/。)=1Y2闭-婷，则不等式/。―2)N/(2x+2)的解集为()

A.M,0]B.[-4,0)C.[-4,-l)u(-l,0]D.[-4,-1)u(-1,0)

3.(2024•陕西•一模)已知定义在R上的函数/(x),满足(药-9)[〃%)-"%)]<0，且以x)+/(t)=0.若

/(1)=-1,则满足区1的x的取值范围是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]

4.(2024•湖北武汉•二模)已知函数”司=1。82(4，+2田+1)-x,若/(2a—l)</(。+3),则实数”的取值

范围为.

[考点7]函数不等式恒成立问题

1.(2025•黑龙江齐齐哈尔•一模)VxeR,用M(x)表示/(%),g(x)中的较小者,记为M{x)=min"(x),g(x)},

设函数/(x)=e-i+x-2,g(x)=-x2+(a-l)x-。，若VxeR,A/(x)W0,则a的取值范围为()

A.(—8,3+20]B.(-oo,6]

C.[3-20,3+20]D.[3-20,+oo)

2.(2024•河北•三模)对X/xeR,都有/(x)=f-4/+Q九+5)龙？_(2〃?+4卜+旭+420恒成立，那么，"的

取值范围是.

Q

3.(2024•山西•模拟预测)已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，当无20时，/5)=h3-3-，，且=

⑴求。的值，并求出f(x)的解析式；

(2)若2/(x)-9X--14Vo在xe(0,+co)上恒成立，求；I的取值范围.

1_V

4.(2025•江苏南通•一模)已知函数〃元)=log?一.

1+X

⑴判断并证明“X)的奇偶性；

(2)若对任意xe-1,1,Ze[-2,2],不等式/(x)N/+R-6恒成立，求实数a的取值范围.

【考点8】分段函数综合问题

Y—1<Y<1

1.(2024・四川德阳•一模)函数〃x)='单调递增，且〃2加+则实数机的取值

3--〃z,尤21

范围为()

A.(-2,1]B.(-2,1)C.(0,1]D.(0,1)

2.(2025•四川巴中•模拟预测)设函数〃尤)=["+2：2°若/(片-则实数。的取值范

[—x(x—4),x<0、7

围是()

A.(—°°,—1)(2,+oo)B.(―oo,—2)U(L+00)

C.(-oo,-l)u(3,+oo)D.(-00,-3)U(l，+8)

[(a—l)x+5,xG(—co.2)

3.(2024・山东•一模)已知。>0且awl,若函数/(%)=：、”在(-*+8)上具有单调性，

[a,xe[2,+oo)

则实数〃的取值范围是.

司X+2|1ZA

4.(2024・吉林•模拟预测)已知函数.f(x)=一"，/(〃-3))=0,贝!!实数”的值为.

^ln(x2+ar+3),x>0、7-----

【考点9]单调性+奇偶性+周期性+对称性

1.(2024•广东河源•模拟预测)已知定义在R上的函数满足〃x+1)为奇函数，且y=/(2x)的图象关

50

于直线x=i对称，若则£/«)=()

i=l

A.-1B.0C.1D.2

2.(2024•河北•模拟预测)已知函数〃x)的定义域为R,且〃2x+l)为奇函数，〃2x+4)=〃2x),则一

定正确的是()

A.“X)的周期为2B.图象关于直线尤=1对称

C./(x+1)为偶函数D./(x+3)为奇函数

3.(2024•辽宁本溪•一模)设函数“X)定义域为R,〃龙-1)为奇函数，/(尤+1)为偶函数，当xe(-U]时，

则下列结论错误的是()

A.d=£B./(x+7)为奇函数

C.“X)在(6,8)上是减函数D.方程〃x)+lgx=0仅有6个实数解

4.(多选)(2024•四川泸州•一模)已知函数/(尤)的定义域为R,若

/(l+x)+/(3-^)=2,/(^)-/(2-x)=4-4x,贝(J()

A./(O)=4B./(0)+/(1)+/(2)+/(3)=8

C./(x)+/(x+2)=8-4%D.f(2024)=^M)43

【考点10]抽象函数问题

I.(2024•甘肃庆阳•一模)已知函数“X)的定义域为R,/(〃x+y))=f(尤)+/(y),/(1)=1,则下列结

论错误的是()

A./(0)=0B.〃尤)是奇函数

C.7(2024)=2024D./⑺的图象关于点[,o]对称

2.(多选)(2024•四川德阳•一模)定义在R上的函数“X)满足〃x)+〃y)=d宁)[=

则下列结论正确的有()

A.40)=2B.“X)为奇函数

C.6是的一个周期D.£/2-=4052

k=0I/

3.(多选)(2024・湖南衡阳•一模)Vx,yeR,非常数函数都有/(x+y)+/(x)f(y)=/(肛+1),则

下列结论正确的是()

A./(o)=-lB.若f(2)wl,f(x)是偶函数

C.若/(2)=/(-2)=1,则"2左+1)=0化eZ)D.了⑵的值不可能是3

4.(多选)(2024•全国•模拟预测)已知定义域为R的函数/(x),对任意x,yeR,都有

f(2x)+f(2y)-/(x+y)f(x-y),且“2)=2,则()

A."0)=0B.〃x)为偶函数

C./(尤+1)为奇函数D.〃x+4)=/(x)

»过关检测

一、单选题

x2-2ox-l,x<l

1.(2024•广东韶关•一模)已知函数〃力=2〃在R上是单调函数，则[的取值范围是()

——6x,x>l

A.(-co,2]B.[1,2]C.(l,+oo)D.[2,+oo)

2.(23・24高一上,山东滨州•期中)函数/(X)=三的图象大致是()

x+1

3.(2024•陕西•一模)已知定义在R上的函数满足〃x+3)=-/⑺，且f(—l)=2,贝!］〃2024)=()

A.-4B.-2C.4D.2

4.(2024•广东惠州•模拟预测)函数/(尤)=尸-"+5,若有/(*=2,则/(2-〃?)=()

A.8B.5C.0D.4

5.(2024•新疆•二模)若函数/(x)=丝?的图象关于点(1,2)对称，则。=()

x-1

A.-2B.-1C.1D.2

6.(2024・西藏•模拟预测)若函数=则下列函数中为奇函数的是()

A./(x+1)—2B.f(x—1)—2C.1)+2D.f(x+1)+2

7.(2024海南・模拟预测)若函数〃尤)=111』+2工的图象关于点(6,4)对称，且"1,则-6=()

x+a

A.-7B.-5C.-3D.-1

8.(2024・四川南充•一模淀义在R上的函数/(x)的图象关于点［,J对称,且满足/(x)=1/(5x),/(0)=0,

当04%</<1时，都有〃百)4〃9),则［七卜()

1111

A.B.-----C.—D.—

2561286432

9.(2024•河南•模拟预测)已知是定义在R上的偶函数，VxeR,/(4-x)=/(x),当xw［-2,0］时，

/(X)=X2+4X,贝！)/(2023)+“2024)+/(2025)=()

A.-2B.0C.-6D.-4

10.(2025•安徽•一模)定义在R上的函数〃x)满足f(2x+2)+〃2x)=0,且y=〃2-x)为偶函数，则下

列说法正确的是()

A.函数/⑺的周期为2

B.函数的图象关于x=l对称

C.函数“X)为偶函数

D.函数“X)的图象关于x=3对称

二、多选题

11.(2024•吉林长春•模拟预测)设a>0,定义在R上的函数/(X)满足“。)=1,且

V%,yeR,/(x+y)=/(x)/(a-y)+f(y)f(a-x),贝!!()

A."0)=0B./(2«-x)=/(x)

C./'(X)为偶函数D./(2025a)=1

12.(2024•山东•模拟预测)已知定义在(-8,0)U(0，+«0上的函数f(x),满足/(盯)+2=f(x)+/(y),且当

彳>1时，〃尤)>2,则()

A./(-D=lB.为偶函数

C./(2024)>/(2023)D.若〃x+2)<2,则x的取值范围为一3<x<—l

13.(2025•吉林长春•一模)定义在(-U)的函数满足=/｛尸］,且当-1。<。时，

/(x)<0,则()

A.〃彳)是奇函数B.在(-L1)上单调递增

，•佃+/"出>UL出

14.(2024•浙江•模拟预测)已知函数/'(x+1)为偶函数，对VxeR,/(%)>0,且/(x+1)=/(x)/(x+2),

若/'(1)=2,则以下结论正确的为()

A."2)=0B.43)=1C./(-1)=/(5)D.

三、填空题

15.(2024•河南周口•模拟预测)已知函数y=/(x+2)是定义在R上的偶函数，且“X)在(2,+8)上单调递

增，/(3)=0,则/®<0的解集为.(用区间表示)

X

16.(2024•天津河西•模拟预测)已知函数/(尤),g(无)的定义域均为R,且