2025年高考数学二轮复习：集合和常用逻辑用语（讲义）（解析版）

专题01集合和常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

07年nt口号图.甲雉己I白才1

U4与H\%J|^-|J|/3/L・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・R

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破...........................................................12

题型一：集合的基本概念12

题型二：集合间的基本关系15

题型三：集合的运算18

题型四：充分条件与必要条件21

题型五：全称量词与存在量词25

重难点突破：以集合为载体的创新题28

差情;奏汨•日标旦祐

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分

值5分.近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能

力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练.

考点要求目标要求考题统计考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13题，4分

本要素

预测2025年高考，多

以小题形式出现，也有可

2024年北京卷第1题，5分

能会将其渗透在解答题的

年甲卷（文）第题，分

202425表达之中，相对独立.具

熟练掌握集合的

2024年天津卷第1题，5分体估计为：

集合的运算并'交'补集运算

2023年I卷第1题，5分（1）以选择题或填空

方法

2022年I卷第1题，5分题形式出现，考查学生的

2021年I卷第1题，5分综合推理能力.

（）热点是集合间的

2024年北京卷第5题，5分2

基本运算、数轴法的应用

2024年甲卷（理）第9题，5分

理解充分必要，掌和体现集合的语言工具作

2024年天津卷第2题，5分

充分条件与必要条件握逻辑判断，熟练

用.

2023年天津卷第2题，5分

应用题解

2022年天津卷第2题，5分

2021年甲卷第7题，5分

40

//

1、集合中的逻辑关系(备注：全集为/)

(1)交集的运算性质.

4nB=BClA,XClB£X,ACBUB,XCl/=X,AC\A=A,4n0=0.

(2)并集的运算性质.

2UB=BU4,X£XUB,BUAUB,XU/=Z,AL)A=A,AD0=A.

(3)补集的运算性质.

G(C/)=4,C/0=I,C//=0.(CM)nx=0,4u(CM)/.

补充性质：==QBQCJAQanC】B=0.

(4)结合律与分配律.

结合律：au(Buc)=(auB)uc,an(BnC)=(anB)nc.

分配律：4n(Buc)=(an8)u(anc),au(8nc)=(auB)n(auc).

(5)反演律(德摩根定律).

C/(XnB)=(CM)u(QB),C/(4US)=(CM)n(C]B).

即“交的补=补的并”，“并的补=补的交

2、由n(neN*)个元素组成的集合4的子集个数

4的子集有2rl个，非空子集有2"-1个，真子集有2n-1个，非空真子集有2"-2个.

3、容斥原理

Card(AUB)=Card(A)+CardQB')—Card{AflB).

4、从集合与集合之间的关系上看

设4={x|p(x)},B={%|q(x)].

(1)若4UB,贝Up是q的充分条件(pnq),q是p的必要条件；若4金B,则p是q的充分不必要条件,

q是p的必要不充分条件，即p0q且q丰＞p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小今大”.

(2)若BU4贝Up是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若4=8,贝如与q互为充要条件.

0

/八真题研标•摘毓ll.\\

1.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知命题p：\/xeR,|x+1|>1；命题q：3x>0,一=刀，则()

A.p和q都是真命题B.-ip和q都是真命题

C.p和-iq都是真命题D.-ip和-,q都是真命题

【答案】B

【解析】对于p而言，取丫=一1,则有|x+l|=0<l,故p是假命题，rp是真命题，

对于q而言，取久=1,则有“3=13=1=%,故q是真命题，rq是假命题，

综上，「p和q都是真命题.

故选：B.

2.(2024年上海秋季高考数学真题)定义一个集合集合中的元素是空间内的点集，任取PI，P2，P3

存在不全为0的实数%,乙,也，使得%而1+%理+及西=1已知(1,0,0)6。，则(0,0,1)£C的充分条

件是()

A.(0,0,0)e。B.(—1,0,0)6C

c.(0,1,0)enD.(o,o,-1)e(1

【答案】c

【解析】由题意知这三个向量函，两，西共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(一1,0,0),(1,0,0)e。无法推出

(0,0,1)gQ,故A错误；

对B,由空间直角坐标系易知(—1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)ec无法推出

(0,0,1)eQ,故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)ec能推出(0,0,1)Ed

对D,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，

贝U当(0,0,—1)(1,0,0)e。无法推出(0,0,1)任O,故D错误.

故选：C.

3.(2024年北京高考数学真题)设a,3是向量，贝胪(2+3)•(2—研=0”是=—方或2=於的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为+b)•(a-fa)=a2—b2=0,可得彦=b2,即同=\b\,

可知0+K)-(a-h)=0等价于同=\b\,

若五=5或d=-a可得忻|=|同,BP(a+b)-(a-b)=0,可知必要性成立；

若(3+3)•伍-B)=0,BP|a|=\b\,无法得出Z=3或日=一另，

例如&=(1,0),3=(0,1),满足同=|同，但一k[且汇片一孔可知充分性不成立；

综上所述，“伍+研・伍—3)=0”是北丰3且日牛—小的必要不充分条件.

故选：B.

4.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量2=(久+1,%)石=(居2),贝。()

A."％=-3”是2_L亦的必要条件B.“％=-3”是方〃亦的必要条件

C."％=0”是%，户的充分条件D.“x=-1+百”是“力/户的充分条件

【答案】C

【解析】对A,当时，则小3=0,

所以x•(x+1)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a—(1,0),b—(0,2),故2,b=0,

所以dll,即充分性成立，故C正确；

对B,当明万时，则2(刀+1)=/,解得久=1±百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=—l+百时，不满足2(%+1)=/,所以因万不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

5.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知集合4={1,2,3,4,5,9},B={引五&A],则以(4CB)=(

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】因为4={1,234,5,9},B={%|V^EA],所以B={1,4,9,16,25,81),

则ACB={1,4,9},ZA{AC8)={2,3,5}

故选：D

6.(2024年天津高考数学真题)已知a,beR,则“c^=川”是由。=3b”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，a3=/和3a=3》都当且仅当a=b,所以二者互为充要条件.

故选：C.

7.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为§，集合S={cos%1mGN*},若S={a,b],

则ab=（）

ii

A.-1B.--2C.0D.2-

【答案】B

【解析】依题意，等差数列｛册｝中，。九=的+（九一1）=+（@i-生），

显然函数、=cos[gn+（的一半）]的周期为3,而九EN*,即cosa九最多3个不同取值，又｛cos4J?ieN*｝=

｛a,b],

贝!J在cosQi，cosQ2，cosa3中，cos。1=cosa2Hcos的或cos%Wcosa2=cosa?或COSQLCOS%Hcosa2

于是有COS0=cos（64-争）或COS。=COS（0+y）,

即有e+（0+y）=2knfkez,解得e=k兀一EZ；

或者9+（0+y）=2k7i,k6Z,解得。=k兀-kEZ；

所以kGZ,ab=COS（fc7l—|）cos[（fc7l—|）+y]=—COS（fc7l—^）cosfc7l=—cos2fc7icos|=一（或a/7=COS（fc7l—

2兀、.1

一）cos/c兀=——.

372

故选：B

8.（2023年北京高考数学真题）若xyK0,则“x+y=0"是7+j=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】解法一：

因为xy*0,且±+^=-2,

yx

所以/+y2=-2xy,即％2+y2+2xy=0,即（％+y）2=0,所以％+y=0.

所以“x+y=。”是5+?=-2”的充要条件.

解法二:

充分性：因为%yHO,且％+y=0,所以％=-y,

所以±+上=3+2=一1—1=一2,

yXy-y

所以充分性成立;

必要性：因为xy#O,且三+丫=-2,

yx

所以/+y2=-2xy,即％2+y2+2xy=0,即(％+y)2=0,所以％+y=0.

所以必要性成立.

所以"％+y=0"是g+丫=一2”的充要条件.

yx

解法三：

充分性：因为%yW0,且无+y=0,

在l、l%yx2+y2x2+y2+2xy-2xy(x+y)2-2xy-2xy

JTT以—I—=--------=---------------------=----------------=-------=-ZQ，

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因为%y#0,且三+丫=-2,

yx

由I、］%yx2+y2x2+y2+2xy-2xy(x+y)2-2xy(x+y)2

/TT以I————•Zo——ZQ，

yxxyxyxyxy

所以‘"；；)♦=O所以(x+y)2=0,所以x+y=0,

所以必要性成立.

所以"％+y=0"是。+?=一2”的充要条件.

故选：C

9.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)设全集U={0,124,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUQN=

()

A.{0,2,4,6,8}B.[0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由题意可得CuN=[2,4,8},则MUQN={0,2,4,6,8}.

故选：A.

10.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设甲：sin2cr+sin2/?=1,乙：sina+cosS=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】当sin2a+sin2/?=1时，例如a==0但sina+cos0丰0,

即sin2a+sin2s=1推不出sina+cos0=0；

当sina+cos0=0时，sin2a+sin2s=(—cos)5)2+sin2s=1,

即sina+cos£=0能推出sin2a+sin2^=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

11.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设全集U=Z,集合M=(x\x=3k+l,k&Z},N={x\x=3k+

2,kEZ},Cu(MuN)=()

A.{x\x=3k,kEZ}B.(x\x=3k—1,kEZ}

C.{x\x=3k-2,kEZ}D.0

【答案】A

【解析】因为整数集Z={x|x=3k,keZ}u{x|%=3k+l,keZ}u{x[x=3k+2,keZ},U=Z,所以，

Cu(MUN)={x\x=3/c,fceZ}.

故选：A.

12.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设集合U=R,集合M={x|x<l},N={x\-1<x<2],则

{x|x>2}=()

A.Cu(MuN)B.NUCuM

C.Cu(MCN)D.MUS

【答案】A

【解析】由题意可得"UN={x|x<2},则Cu(MUN)={x|x22},选项A正确；

CuM=[x\x>1),则NUZUM=(x\x>-1},选项B错误；

MQN={x\-1<x<1},则Cu(MCN)={x\xW-1或xN1],选项C错误；

CUN={x\xW-1或x22},则MUCuN={x\x<1或x22},选项D错误；

故选：A.

13.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知集合M={—2,—1,0,1,2},N={x\x2-x-6>0},则MClN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.[0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】方法一:因为N={x|%2一X-620}=(-8,-2]U[3,+8),W=[-2,-1,0,1,2),

所以MCN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={—2,—1,0,1,2},将—2,—1,0,1,2代入不等式久2—尤―620,只有一2使不等式成立，所以

MCN={-2}.

故选：C.

14.(2023年新课标全国II卷数学真题)设集合4={0,-研，B=[1,a-2,2a-2},若4CB,则a=().

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】因为4GB,则有：

若a—2=0,解得a=2,此时4=｛0,-2｝,B=[1,0,2),不符合题意；

若2a—2=0,解得a=1,此时4=｛0,—1｝,B=｛1,—1,0｝,符合题意；

综上所述：a=1.

故选：B.

15.(2023年新课标全国I卷数学真题)记立为数列的前n项和，设甲：｛斯｝为等差数列；乙：｛g｝为等

差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛厮｝为等差数列，设其首项为由,公差为d,

贝US.==的+曰d=+a]一色,近一包=色，

n12n12212n+1n2

因此｛曰｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛包｝为等差数列，即细1_且=nS"+i；(n?)S"=为常数,设为如

^nJn+1nn(n+l)n(n+l)

即=t,则％=naji+i-t•n(?i+1),有$_]=(?i-1)厮-t•-l),n22,

两式相减得：=九％1+1-(九一1)与一25,即％J+I-即=2t,对n=1也成立，

因此｛即｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛厮｝为等差数列，设数列的首项的，公差为d,即％=nai+竺衿心

则去=%+怨因此得｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：尊为等差数列，即黑一手=。彳=SI+(n—l)D,

即Sw-71sl+n(n—1)D,^n-i——(n—1)S1+(n-1)(n—2)D,

当n22时，上两式相减得：Sn-SnT=Si+2(n-l)D,当n=1时，上式成立，

于是即=a1+2(n—1)£>,又即+1-an—ar+2nD—[ax+2(n-1)0]=2D为常数，

因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

16.(2022年新高考全国II卷数学真题)已知集合4=｛-1,1,2,4｝,B=｛x||x-1|<1｝,则4nB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】［方法一］:直接法

因为B={x|0W%W2},故4nB={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

%=-1代入集合8={刈％-1|W1},可得2W1,不满足，排除A、D；

力=4代入集合8={百反一1|<1},可得3W1,不满足，排除C.

故选：B.

17.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足Q/M={1,3},则()

A.2eMB.3GMC.4?MD.5gM

【答案】A

【解析】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

题型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024•广东•模拟预测）若小£（1,3,4,m2},则能可能取值的集合为（）

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,34}D.{0,1,3,4}

【答案】B

【解析】由{1,3,4,Tn?},得7n2工1,则7nw1,

由mE{134,血2},得7n=3,此时巾2=9,符合题意；

或771=4,此时血2=16,符合题意；或?71=7712,则爪=0,此时771z=0,符合题意，

所以用可能取值的集合为{034}.

故选：B

【典例1-21[新考法]（2024.河南新乡.三模）下列集合中有无数个元素的是（）

A.[%eGw]B.[%ez||ew]c.[%ew||ez]D.{XCQI^CN}

【答案】D

【解析】对于A,因为:6N,XEN,则x=l,2,4,{%eeN}={1,2,4},故A错误;

对于B,因为xez,则x=l,2,4,

所以{尤eZ|：eN}={l,2,4},故B错误；

对于c,xeN,|ez,所以z}={1,2,4},故c错误；

对于D,上€（2（6%}有无数个元素.故口正确.

故选：D.

集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和

无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。

【变式1-1]（2024•高三•江西赣州・期中）已知a、b&R,若{a,g,1}={c^,a+b,0},则a?。?。+炉标】的值为

()

A.-1B.0C.1D.-1或0

【答案】C

【解析】由0£„1}且QHO,则，=0,

b=0,于是a?=1,解得a=1或a=-1,

根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去，

因此a=-1,b=0,

故。2020+b2021=（_1）202。+（）2021=1.

故选：C.

【变式1-2]（2024・四川乐山•三模）已知集合2={-1,0,1},B={1,2},C={x\x=a+b,aEA,bEB],则集

合C的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由题意知，ae{—l,0,l},bG{1,2},

当ae{—1,0,1},b=1时，a+6e{0,1,2},

当ae{-1,0,1},b=2时，a+bE{1,2,3},

所以C={0,1,2,3},

所以集合C中的元素个数为4.

故选：C.

【变式1-3]（2024.四川绵阳.模拟预测）已知集合A={neN*|n2>2n],则集合4的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.无穷多个

【答案】C

n

【解析】由22n2（neN*）,可得n=1,2,4,

所以集合4的元素个数为3个.

故选：C

命题预测

1.［新考法］集合M={/(%),广(%),〃(%),…}，则以下可以是;"(>)的表达式的是()

A.sin%B.exC.InxD.%2+2%+3

【答案】C

【解析】对于选项A,因为/(%)=sin%,所以f(%)=cos%,/"(%)=—sin%,/'〃(%)=—cos%,(/'〃(%))'=

sinx=/(x),不满足集合的互异性，所以选项A错误,

对于选项B,因为/(x)=e，所以尸(x)=e，=/(x),不满足集合的互异性，所以选项B错误，

对于选项C,因为/(x)=lnx,所以r(x)=37""(%)=—2，尸”(无)=(,…,所以选项C正确，

对于选项D,因为f(%)=/+2%+3,所以尸(久)=2/+2,f"(x)=4x,=4,(f〃，(%))'=0,后

面再求导，导数均为0,不满足集合的互异性，所以选项D错误，

故选：C.

2.已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为()

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1)

【答案】D

【解析】因为集合{%|(%-。2)(%一1)=0}的元素之和为1,

所以一元二次方程(％—a2)(x—1)=0有等根时，可得％=a2=1,即a=±1,

当方程有两不相等实根时，%=a2=0,即a=0,

综上，实数〃所有取值的集合为{0,L-1}.

故选：D

3.已知集合/={1,2,3},B={3,5},则。={%|%=2。+仇。64568}中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由题意，％=2a+b,

当a=l,b=5=%=7,

当a=l,b=3=>x=5,

当a=2,b=5=x=9,

当a=2,b=3=%=7,

当a=3,b=5=>x=11,

当a=3,b=3=>x=9,

由集合中元素满足互异性，所以C={5,7,9,11}.

故选：B

4.已知集合集={0,1,。2},8={1,0,2a+3},若Z=B,则。=()

A.-1或3B.0C.3D.-3

【答案】C

【解析】-A=B,

a?=2a+3,解得a=-1或3,

当a=-1时，a2=2a+3=1,

不满足集合中元素的互异性，舍去.

当a=3时，a?=2a+3=9,

此时4=8={0,1,9},满足题意.

综上，a=3.

故选：C.

题型二：集合间的基本关系

【典例2-1](2024.河南.模拟预测)已知集合4=(x\l<x<2],B={x\1<x<a],若BU4则实数a的

取值范围是()

A.(2,+oo)B.(1,2]C.(-oo,2]D.[2,+oo)

【答案】C

【解析】集合Z={%|1<%<2],B={%|1<%<a},若BUA,

则若a<1,则B=0U4满足题意；

若a>1,且BQA,贝!jl<aW2,

综上所述，实数a的取值范围是(-叫2].

故选：C

【典例2-2】(2024・宁夏・模拟预测)设集合M={x|x=4n+l,n€Z},N=b|x=3n+l,neZ},

P={x\x=12n+l,nEZ),贝！J()

A.MB.N

C.MC\NQPD.MClN=0

【答案】C

【解析】由题意5CM,5CP,A错；4-P,B错；

MDN={x\x=12n+l,neZ}丰。,D错，C正确.

故选：C.

(1)判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的

关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法.

(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满

足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.

【变式2-1]（2024.江西新余.模拟预测）已知集合4={x\x2-6%+8<0],B={y\y>a},若4UB,贝ija的

取值范围是（）.

A.(―oo,2)B.(—co,4)C.(—8,2]D.(—oo,4]

【答案】A

【解析】A-{x|x2—6x+8<0}={x|2<x<4],B={y\y>a],

AQB,故a<2.

故选：A.

【变式2-2](2024•四川成者B•模拟预测)若集合4={xGN|1Wx<5},则集合A的真子集有()个.

A.7B.15C.31D.63

【答案】C

【解析】由题意可知：集合4={xGW|l<x<5}={1,2,3,4,5},共5个元素，

所以集合A的真子集有25-1=31个.

故选：C.

【变式2-3](2024.贵州遵义.模拟预测)已知集合4={0,1,2},B={1,2,3),

若集合C={zeN*|z=xy,xe2且y6B},则C的子集的个数为()

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【解析】由条件可知，xy=0xl=0x2=0x3=0,xy=1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,

2x2=4,2x3=6,

所以集合c={123,4,6},集合C的子集的个数为25=32个.

故选：C

【变式2-4][新考法](2024.江西新余.模拟预测)已知集合4、B、C为全集U的子集，XnB=C(/C^0,则

(2U8)CC=().

A.AU(BCIC)B.(S)n(CuB)

C.[C(/(XClB)]n(4UB)D.[Cu(4uB)]UQ4CB)

【答案】C

【解析】•.NcB=CuC,

.,.(4nB)UC=U,

：.Cu(AnB)=C,

：.(ADB)CiC=CQ(A\JB)=[Cu(4nB)]ClQ4UB).

故选：C.

命题预测

1.已知集合4=8^6Z},B={n|jez},C={n|^Gz},贝l]()

A.AClB呈CB.BL)C=AC.C^AC\BD.BCACtB

【答案】A

【解析】依题意，A={n\n=3k,kEZ},B={n|n=4fc,kEZ],C={n\n=6k,kEZ},

则4cB=min=12k,keZ},易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；

因BnC={n|7i=12k,keZ},即BnC=4nB,故D错误；

对于B项，任取364因3《B,3《C,则3CBUC,故B错误.

故选：A.

2.(多选题)已知{a,b}U{1,2,3},(a,b)e{(x,y)Iy=x+1},则2。"的值可以为()

A.2B.64C.256D.1024

【答案】AC

【解析】当a=1时,由(a,b)€{(x,y)|y=x+1}得b=2,满足be{1,2,3},所以2。"=21=2；

当a=2时，由3,幼€{00)|丫=%+1}得3=3,满足be{1,2,3},所以2”=28=256；

当a=3时,由(a=)€{(%,y)|y=x+1}得b=4,不满足be{1,2,3}；

综上,则2a”=2或256.

故选：AC.

3.(多选题)已知集合2={1,2},8={0,1,2,3,4},集合C满足4星CUB,则()

A.1eC,2GCB.集合C可以为{1,2}

C.集合C的个数为7D.集合C的个数为8

【答案】AC

【解析】由题意得4={1,2},8={0,1,2,3,4},又4星CUB.

所以lec,2ec,故A正确；

当。={1,2}时，不满足71星C,B错误，

集合C的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数，

所以集合C的个数为23-1=7,故C正确，D错误，

故选：AC.

4.(多选题)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M,N可能是()

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={x\x2<A},N={x\x>—1}

C.M={x\y=Igx},N={y|y=e*+5}

D.M={(%,y)|x2=y2},N={(x,y)\y=x}

【答案】ACD

【解析】根据Venn图可知N呈M,

对于A,显然N呈M,故A正确；

对于B,M={%|-1<%<1],N={xlx>-1},则MUN,故B错误;

对于C,M={无|x>0},N={y|y>5},则N呈M,故C正确；

对于D,M={(x,y)\y=x,=-x],N={(x,y)\y=x},

则N呈M,故D正确.

故选：ACD

题型三：集合的运算

【典例3・1】已知集合4={%]-14％=0},B={对log2(%2一%)41(则』n『=()

A.{x|-1<%<0}B.{x|-1<x<0}

C.{x|-1<%<0}D.{x|-1<%<0]

【答案】C

【解析】因为log2(%2-汽)41=log?2,所以0V%2一%42,解得1V%42或一14%V0,

故B={%|-1<%<0或1V%42},JG4={x|-1<%<0},所以/CB={x|—1<%<0}.

故选：C

【典例3-21(2024.广东广州.模拟预测)已知全集U=71UB={xGN|0<%<10},/n(QB)=口35,7},

则B=()

A.{1,3,5,7}B.{2,16,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

【答案】D

【解析】已知全集U=XuB={xeN|0<%<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),

An(CuB)={1,3,5,7},B集合中没有1,3,5,7,

若0£B,贝ijoea,贝iJOeac(CuB),与条件矛盾，故OCB,

同理可得2eB,4eB,6eB,8eB,9EB,10GB,

则B={0,2,4,6,8,9,10).

故选：D.

凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、

并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.

【变式3-1](2024.高三.黑龙江佳木斯•期中)已知集合4=[x\l<x<3},B={x\^>0),则AU8=()

A.{x|2<%<3}B.{x|2<%<3]C.(x\x>1}D.{x\x>2}

【答案】C

【解析】由3>0,解得久>2,则3=>2},

Ak)B={x|x>1}.

故选：C

【变式3-2](2024・高三.福建三明•期中)某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个

兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学

有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人.

【答案】5

【解析】以集合4B、C表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：

设同时参加这三个兴趣小组的同学有x人，由图可得20+(9-％)+(11-x)+(15-x)+x=55-2x=45,

解得％=5.

故答案为：5.

【变式3-3](2024•江西九江•模拟预测)设U={5,6,7,8,9},若4nB={8},(04)CB={6},(04)n(CyB)=

{5,9},则集合4=.

【答案】{7,8}

【解析】因为4nB={8},，.8ea,8e8,

因为(CM)nB={6},.-.6GB,6gA,

因为(CuA)0(CyB)={5,9},•••5,9gA,5,9生B,

如果7eB,则CM)CB={6,7},与已知矛盾，所以7e4

所以a={7,8}.

故答案为：{7,8}

命题预测J

1.(多选题)设U为全集，集合4B,c满足条件4UB=auc,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BcAB.CcA

c.4n(CuB)=an(QC)D.(CMns=(CMnc

【答案】ABC

【解析】当。={1,2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3}时，满足ZuB=4uC,

此时，B,C不是4的子集，所以A、B不一定成立；

CuB={l},CuC=0，An(CyB)={1}Mn(CyC)=0,所以C不一定成立；

对于D,若Vxe(Cu4)nB,贝kca,fixeB,因为4UB=4UC,

所以xec,于是xe(CuA)nC，所以(GM)nBu(QM)nc,

同理若vxe(CM)cC，则％e(CiM)cB,(CM)cCu(CM)cB,

因此，(Cu4)nB=(CiM)nC成立，所以D成立.

故选：ABC.

2.(多选题)已知集合4B均为R的子集，若408=0,则()

A.AQCRBB.CRXCB

C.A\JB=RD.(CRX)U(CRB)=R

【答案】AD

【解析】因为集合4B均为R的子集，且ACB=0,

画出韦恩图，如图所示：

结合图像：由AUCRB,所以A正确；由BUCRA,所以B错误；

由4U8UR,所以C错误；由(CR4)U(CRB)=CR(4nB)=R,所以D正确.

故选：AD.

3.已知集合A—{x|4%2—x—5>0},B={x\x>rri］,若m=0,则(CRZ)OB-；若/UB=R,

则m的取值范围为.

【答案】{x|0<%<|}(一8,—1)

【解析】4%2-x—5>0即(％+1)(4%—5)>0,

则/=卜>:或久<—1},

所以CR4={X|-1

若m=0,则B={%|%>0］,

S)nB={x|0<x.},

若4UB=R,B={x\x>m},

则m<-1,故TH的取值范围为(一8,-1).

故答案为：{x|0〈久W》；(―8,—1).

4.(2024・高三.重庆沙坪坝・开学考试)设集合M={x|-l<%<2},集合N={x\x—kW0},若MCCRN=0,

则k的取值范围为.

【答案】［2,+8)

【解析】由题意得/V={x|xWk},故CRN=(/C,+8),

因为MCICRN=0,所以A22,故k的取值范围是［2,+8).

故答案为：［2,+8)

题型四：充分条件与必要条件

【典例4-1]（2024.高三.福建宁德•期