2025年高考数学重难点专项复习：空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）

第12讲空间点、直线、平面之间的位置关系

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.通过本节内容的学习，逐步改变学生只习惯于

模块二基础知识全梳理（吃透教材）在一个平面内考虑问题的状态学生将对立体几

模块三核心考点举一反三何的认识日渐提高，同时更好地提升学生直观想

模块四小试牛刀过关测象和逻辑推理等核心素养；

模块一思维导图串知识

-af)a=A

T直线a与平面a相父直线与平面只有1个公共点出/\

—直线a在平面a外—

「《IIa

-直线a与平面。平行—直线与平面没有公共点--o

，两平面没有公共点

1一aII/

两平面平行

X/

d两平面有无数个公共点(在一条直线上)

两平面相交一］0n咀

<►>模块二基础知识全梳理一

知识点1平面的概念与画法

(1)平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无

限延展的.

平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度.

(2)平面的画法

①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45,且

横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).

图⑴

②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).

图⑵

(3)平面的表示

平面通常用希腊字母等表示，如平面a、平面尸等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或

者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABC。等.

知识点2点、直线、平面之间的位置关系(A是点，/、加是直线，尸是平面)

文字语言表达图形语言表达符号语言表达

点A在直线/上Awl

A*

点A在直线/外--------1A^l

点A在平面0内Aea

・4

点A在平面a外A_/A^a

直线/在平面a内%——1/Iua

直线/在平面a外

%7%义IUa

平面a,夕相交于/aB=1

知识点3平面的基本性质

(1)基本事实1

①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面;

②图形语言:

③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面.

④说明：对于基本事实1中的“有且只有一个”，这里的“有”是说图形存在，''只有一个”是说图形唯一,

本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”

来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义

词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现.

(2)基本事实2

①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；

②符号语言和图形语言

符号语言：AeZ,Bel,且Aea,BGanIua

③应用：判断直线或点是否在平面内的依据.

④说明：基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的

“无限延展”.如图，由基本事实胜于雄辩,给定不共线的三点A,比C,它们可以确定一个平面ABC;连

接AB,BC,CA,由基本事实2.这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线

也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成

“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.

(3)基本事实3

①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

②符号语言和图形语言

Pea,PGB=a/3=1且Pel

③应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线.

④说明：基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的

一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.

知识点4基本事实1和基本事实2的三个推论

(1)推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

(2)推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面

(3)推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面

知识点5异面直线

(1)异面直线的概念

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

(2)异面直线的画法

画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托

(3)异面直线的判定

①定义法②两直线既不平行也不相交

知识点6空间中直线与直线的位置关系

|［相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;

共面直线［平行直线：同一平面内，没有公共点；

八〔异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

知识点7空间中直线与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系

直线。在平面a外

位置关系直线a在平面a内

直线。与平面a相交直线a与平面1平行

公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点

符合表示auaaa=Aaa

-----a

图形表示

(2)直线与平面的位置关系的分类

①按公共点个数分类：

［七八什上(有且只有一个公共点I直线与平面相交

有公止占V

<八［有无数个公共点f直线在平面内

无公共点一直线与平面平行

②按直线是否在平面内分类:

直线与平面平行

直线在平面外《

直线与平面相交

直线在平面内f直线上所有点都在平面内

(3)直线与平面的位置关系的画法

①直线在平面内的画法

把直线画在表示平面的平行四边形内

②直线与平面相交的画法

把直线的一部分画在表示平面的平行四边形外，作出有且只有一个的交点，直线被平面遮挡的部分不画或

画为虚线

③直线与平面平行的画法

把直线画在表示平面的平行四边形外，并使直线与表示平面的平行四边形的组对边平行.

知识点8空间中平面与平面的位置关系

(1)平面与平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)

符号表示a0CL/3=1

£^7

图形表示口

%/

(2)平面与平面的位置关系的分类

'有公共点f平面与平面相交f有无数个公共点

〔无公共点f平面与平面平行

(3)平面与平面的位置关系的画法

①两个平面平行的画法

当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行

②两个平面相交的画法：

被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画

B

O＞模块三核心考点举一反三

考点一：文字语言，符号语言，图形语言相互转化

(2024高一下•全国•专题练习)根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.

⑴点尸与直线

⑵点C与直线AB；

(3)点M与平面AC；

(4)点A与平面AC；

【变式1-1](23-24高二•上海•课堂例题)如图，观察长方体ABCO-ABIGQ中的点、线、面，用适当的

符号或字母填空：

(1)点3_____直线5C；

(2)点A_____直线5C；

(3)点O平面ABC。；

(4)点A平面ABC。；

(5)直线A8c直线3C=；

(6)直线A8c平面4用6。=；

(7)直线与C平面8与GC.

【变式1-2](24-25高二•全国•课后作业)用符号语言改写下列语句:

(1)点A在平面a内，点3不在直线/上；

⑵直线/在平面a内，直线股与平面口有且只有一个公共点M；

⑶直线a和^相交于一点M.

【变式1-3](24-25高一•全国•课后作业)将下列符号语言转化为图形语言:

(l)A^a,aua.

(2)an/J=a,Ra且呻.

(3)aUa,aHa=A

(4)aC\fl=a,aC\y=c,flC\y=b,aC\bC\c=O.

考点二：平面性质基本事实及推论的应用

2.（多选）（2024高一下•全国•专题练习）下列说法不正确的是（）

A.三点可以确定一个平面

B.空间中两条直线能确定一个平面

C.共点的三条直线确定一个平面

D.三角形和梯形都可以表示一个平面

【变式2-1］（24-25高二•上海•课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不

共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.其中，哪

些是使三条直线确定一个平面的充分条件（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【变式2-2］（2024高一下•全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.平行四边形是一个平面

B.任何一个平面图形都是一个平面

C.平静的太平洋面就是一个平面

D.一个平面可以将空间分成两部分

【变式2-3］（2024高三•全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.四边形确定一个平面

B.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

C.经过三点确定一个平面

D.经过一条直线和一个点确定一个平面

考点三：四点共面问题

|''［例3.（24-25高二上•上海•期中）在正方体ABCD-ABCQ中，E、尸分别为A4与4〃的中点,

求证：E、F、B、。四点共面

【变式3-1］（23-24高二•全国•随堂练习）如图，已知E,F,G,77分别为四面体A3C。的棱长A5,BC,

CD,的中点，求证：E,F,G,H四点共面.

【变式3-21（24-25高一•全国•课后作业）如图，在三棱柱ABC-44G中，E,F,G,H分别是AB,AC,4综AG

的中点.求证：四点共面.

【变式3-3］（2024高一•全国•专题练习）在四面体ABC。中，H、G分别是AO、CZ＞的中点，E、尸分别

是Ab、5C边上的点，且芸=笠=左（左＞0）.求证：E、F、G、H四点共面；

BD

C

考点四：三点共线

4.（23-24高一下•全国•课后作业）如图所示，AB0a=P,CDca=P,A,D与B,C分别在

平面a的两侧，ACr\a=Q,BDca=R.求证：P,Q,R三点共线.

【变式4-1］（23-24高二•上海•课堂例题）如图，在正方体A8C。-A瓦GQ中，已知。是DB的中点，且直

线A。交平面G2。于点河，点C”",。的位置关系是

【变式4-2］（23-24高二上•北京•阶段练习）如图，在空间四边形ABCZ）中，E、尸分别是48、AD的中

点，G,H分别在BC,CDJc.,且BG:GC=DH:HC=1:2.

（1）求证：EFUGH；

⑵设EG与我交于点P,求证：尸,A,C三点共线.

【变式4-3］（23-24高一•全国•课后作业）如图，已知VA3C的三个顶点都不在平面a内，它的三边AB,BC,AC

延长后分别交平面a于点尸,。,此求证：尸,。,火三点在同一条直线上.

考点五：三线共点

'例5.（2024高一•江苏•专题练习）如图所示，在正方体与G2中，瓦厂分别为4民招的

中点.求证：CE,RF,DA三线交于一点.

【变式5-1］（23-24高一下•山西大同•期中）如图所示，在空间四边形ABC。中，E,尸分别为AB,的

中点，G,H分别在8C,CD上,且BG:GC=D〃:"C=1:2,求证：

（1）E,F,G,〃四点共面；

⑵EG与HF的交点在直线AC上.

【变式5-2](23・24高一下•安徽合肥)在四面体ABC。中，H,G分别是AD,CD的中点，E,尸分别

CFAF1

是边AB,BC上的点'且而=说="求证:

(1)E,F,G,H四点共面；

⑵直线Ea,BD,尸G相交于一点.

【变式5-3]（23-24高一下•陕西榆林•阶段练习）空间四边形ABCD^,E,F,G,H分别在AB,BC,CD,AD±.,

且满足AE:E3=b:F3=2:l,CG:GD=AH:HD=3:1.

求证：EH,FG,BD三线共低.

考点六：空间中两条直线位置关系的判断

6.（24-25高二上•上海•阶段练习）已知平面打、夕满足⑦B=l,若异面直线。、6满足aua,

bu/3,贝卜与6的位置关系是（）

A./至多与。、6中的一条相交B./至少与4、6中的一条相交

C./至少与，中的一条异面D./至少与。、匕中的一条平行

【变式6-1］（23-24高二下•云南•期末）如图，在正方体ABCD-ABCQ中，直线A片与直线30（）

A.异面B.平行C.相交且垂直D.相交但不垂直

【变式6-2］（24-25高二上•上海•期中）已知直线a,b,c,若a〃b,且6与c相交，则。与c的位置关系是（）

A.相交B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

【变式6-3］（23-24高二上•上海•期末）如果直线。和占没有公共点，那么a与方（）

A.共面B.平行

C.可能平行，也可能是异面直线D.是异面直线

考点七：直线与平面的位置关系

7.（23-24高一下•新疆阿克苏•期末）如果点A在直线。上，而直线。又在平面a内，那么可以记

作（）

A.AuauaB.AaEaC.AEaeaD.Zeaua

【变式74］（23・24高一•全国•课后作业）用符号表示“点夕在直线/上，直线/在平面。外％正确的是（）

A.Pel,I更aB.Pel,luaC.Pul,/①aD.Pul,l^a

【变式7-2］（23-24高一•全国•课后作业）如图所示，在长方体ABC。-ABG2中，直线4R与长方体的

六个面之间的位置关系如何？

【变式7-3］（23-24高一•全国•课后作业）如图所示，直线A方与长方体的六个面所在的

平面有什么位置关系？

考点八：平面与平面的位置关系

|':例8.（24-25高二•上海•课堂例题）平面a上有三个不共线的点到平面”的距离相等，则平面//的

位置关系为.

【变式8-1］（2024•四川宜宾•模拟预测）若三个不同的平面a,7满足aJL则a,6之间的位置关系

是（）

A.a〃。B.a1/3

C.a11/3或a10D.a〃夕或a与月相交

【变式8-2］（23-24高一下•全国•课后作业）如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面

（）

A.平行B.相交C.重合D.平行或相交

【变式8-3］（23-24高一•全国•课后作业）若平面«，平面/,平面尸，平面乙则a与夕的位置关系是

考点九：异面直线

例9.（24-25高二上•上海•期中）在正方体A3。-中，与直线异面的直线是.（写

出一个即可）.

【变式9-1］（23-24高一下•北京•期中）如图，在正方体ABC。-A及GR中，直线8。与。建的位置关系

B.相交

C.异面D.以上都不是

【变式9-2］（24-25高二•上海•课堂例题）在正方体ABC。-ABC2中，E、F分别是棱CQ、他的中点.则

下面直线的位置关系是:

(1)四与BC：(2)FD［与BE：；

(3)EF与BQ：；(4)A3与AG：

【变式9-3］（24-25高二•上海•课堂例题）四面体ABCZ）中，所有棱所在的直线构成了对异面直线.

考点十：平面分空间

10.（2024•四川内江•三模）三个不互相重合的平面将空间分成“个部分，贝！1〃的最小值与最大值

之和为（）

A.11B.12C.13D.14

【变式10-1］（23-24高二上•四川乐山•阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（）

AB.

【变式10-2］（2024高一•全国•专题练习）平面a,p,y不能将空间分成（）

A.5部分B.6部分

C.7部分D.8部分

【变式10-3］（24-25高二上•四川达州•期中）两个平面把空间最多分成个部分.

O＞模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（24-25高三上•河北承德•期中）如图，在下列正方体中，M,N为正方体的两个顶点，P,。分别为所

在棱的中点，则在这四个正方体中，M,N,P,。四点共面的是（）

2.（24-25高二上•上海崇明•期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用

到了（）

A.三点确定一个平面B.不在同一直线上的三点确定一个平面

C.两条相交直线确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面

3.（23-24高一下•安徽六安）空间中四点可确定的平面有（）

A.1个B.4个C.1个或4个D.1个或4个或无数个

4.（24-25高一下•全国•课后作业）下列四个命题为真命题的是（）

A.过空间中任意三点有且仅有一个平面B.两两相交的三条直线必在同一平面内

C.相交于同一点的三条直线在同一平面内D.若空间四点不共面，则任意三点不共线

5.（24-25高二上•重庆•阶段练习）下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的

是（）

6.（24-25高二上•山东东营•开学考试）不共面的四点最多可确定（）个平面

A.3B.4C.5D.6

7.（23-24高一下•新疆省直辖县级单位•阶段练习）如果平面a〃平面/，直线力/月则（）

A.auaB.a//a或auaC.a//aD.aua或。任a

8.（23-24高一下•福建龙岩•期中）已知直线a,b,c是三条不同的直线，平面a,夕，7是三个不同的平面,

下列命题正确的是（）

A.若aPa,bPa,则。〃6

B.若。〃6,aPa,则6尸。

C.若aua,