2025年高考数学重难点专项复习：空间中的动点与轨迹问题（解析版）

14JL01堂同中的勃克5鼠嗓冏41

一、单

1.(23-24高二下•福建漳州•期末)正方体ABGD-ABGA的棱长为LMV是正方体外接球的直径,

P为正方体表面上的动点，则户必•由的取值范围是()

A.[―4,。]B-[°'y]c弓,1]D.[1&

【答案】A

【分析】利用向量数量积的运算律可知，用心丽=历之一：■，进一步只需求出PCT即可得解.

【详解】由题意MN等于正方体的体对角线长，设点O为MN的中点，

所以OM=ON=^MN=-yVl2+12+12=狰，

则而?•两=(PO+OM)­(PO+ON)

=PO2+PO-(OM+ON)+OM-ON=PO2+0-

=历二，

当点P与某个侧面的中心重合时，用2最小，且(用2端口=(9?=十,

当点p与正方体的顶点重合时，2最大，且(2/=(1)2+(夸)2=年，

由于点p是在正方体表面连续运动，所以反5z的取值范围是[],、■],

同小时的取值范围是

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心O,将门立•时转化为用2一1_,然后分析点p位置即可.

2.(23-24高二上•黑龙江齐齐哈尔•期末)正方体ABCD-的棱长为4,M为梭CG中点，尸为

正方形4BGA内(舍边界)的动点，若山田，入河,则动点尸的轨迹长度为()

A.V2B.2V2C.yD.7T

【答案】4

【分析】建立空间直角坐标系，设?(，,9,4),根据MF±4河列等式，得到点F的轨迹方程,理解方程含义为

线段，结合图形得到端点坐标，求解.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设F(c,y,4),则4(4,0,0),凶(0,4,2),

则就=(-4,4,2),痂=(2J,?/-4,2).

因为AYF_LAM,所以疯•痂=-4rr+4(沙一4)+2x2=0,

所以力一g+3=0,所以点F的轨迹为上底面中的一条线段.

易知点F的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为(0,3,4),(1,4,4),

所以动点F的轨迹长度为J(0-l)2+(3—4y+(4-4)2=，5

故选：A

3.（23-24高二下.河南.开学考试）在正三棱柱ABC-A^C.中，4B=2,AA,=2^,0为的中点,

分别为线段BIG，AM上的动点，且修=端，则线段的长度的取值范围为（）

ivikyIVL^A.

A,吐*]B.[Vi5,4）C-]D.[卡*]

【答案】。

【分析】建立空间直角坐标系，设M（a,0,2，），且aW[—1,1],根据露■=祟将跖V表示为a的函数，再

iWCziVzjT.

换元求上W的范围即可.

取B1G的中点Q,连接OQ,如图，以o为坐标原点，03,引,函的方向分别为⑨协Z轴的正方向，建立空

间直角坐标系，

则O（0,0,0），40,vX0）,Bi（—l,0,2&）,G（l,0,2，）.

因为朋•是棱B1G上一动点，设河（a,0,2，^）,且ae[-1,1],

所以OM=（a,0,2V3）,MA=（―a,V3,—2^3）.

因为她L=2所以MN="=4+12=a?+12

MOM4cMA介+3+12V^+15'

令±=Va2+15,tC[V15,4],则，+I2-=-——=t——,t6[V15,4].

Va2+15tt

又函数U=—1■在[V15,4]上为增函数，

所以线段上W的长度的取值范围为「四叵，学】

故选：D

4.（23-24高二上.浙江绍兴.期末）在正方体ABCD-中，过AB作一垂直于耳。的平面交平

面人。。14于直线Z,动点河在直线Z上,则直线与CQ所成角余弦值的最大值为（）

A.乎B.乡C.JD.1

【答案】A

【分析】由正方体性质可知，BQ_L平面4BGA,平面ABGAn平面4024=4。,故动点M在直线

ADi上,建立空间直角坐标系，利用空间向量法表示线线角，并求最值.

【详解】

由正方体性质可知，BQ±BC1,B1C±AB,BC1HAB=B,

BGU平面ABCXDX,ABU平面ABC^,

易知BC_L平面ABC。,平面ABCDP平面ADDrAx=ADX,

故动点”在直线ADi上，

设正方体棱长为1,并如图建立空间直角坐标系，

,

则M(0,m,m),B(1.0,0),C(l,l,0),n1(0,l,l),

设两直线所成角为仇翁=(—Lm,m),阿=(一1,0,1),

2

,,|l+m|?nV2I(m+1)

VH-m2+m2*A/22V2m+1

令7+1=力贝|]以与夕=第一/—=^~•/1—

n2j

十'」2V2t-4t+32J|-A+2

所以当；=日时，即利=[■时，(COS%ax=W-

LOZ乙

故选：A

5.（23-24高二上•北京•期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABQQi中，P为线段4G的中点,

Q为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（）

①存在点Q,使得PQ〃皿②不存在点Q,使得尸平面

③三棱锥Q—APD的体积是定值④不存在点Q,使得PQ与AD所成角为60°

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】对于①，由BD〃BD、BQiCPQ=P即可判断；对于②，若Q为BQ中点，根据正方体、线面的性

质及判定即可判断；对于③，只需求证BG与面APD是否平行；对于④，利用空间向量求直线夹角的范围

即可判断.

【详解】对于①，在正方体ABCD-ABQQi中，BB1〃DD,,BBX=DD,,

则四边形BBQQ为平行四边形，所以，BD〃,

而P为线段AG的中点，即为BQi的中点，所以BQ]C\PQ=P,

若存在点Q,使得BD〃PQ,且耳。、PQ不重合，则PQ〃瓦。，

这与BQiCPQ=P矛盾，假设不成立，①错；

对于②，若Q为BG中点，则PQ〃4B,而人田_LAB】，故PQ_LABi,

又AD_L面ABB/1,4BC面ABBxAr,则AXB±AD,itPQ±AD,

因为ABiAAD=A,AB1、AOu面ABiG。，则PQ_L面ABQQ,

所以存在。使得PQ，平面ABCQ，②错；

对于③，在正方体ABCD-AB1G2中，4B〃CD,AB=CXDX,

所以，四边形ABC.D,为平行四边形，则BCi〃AD,,

而ADiCl面故3G与面4PD不平行，

所以Q在线段BQ上运动时，Q到面APD的距离不是定值，

故三棱锥Q-APD的体积不是定值,③错；

对于④，以点。为坐标原点，所在直线分别为c、?/、z轴建立如下图示空间直角坐标系D-

xyz,

则A(2,0,0)、P(l,l,2),Q(2—a,2,a)且0Wa<2,

所以屈=(2,0,0),所=(1—a,l,Q—2),

|2(1a)l

则"s(房国)|=匕粤=—-=任一a|=工

|m|-|B4|2x7(l-a)2+l+(a-2)2"Vet2—3o.+32

整理可得a?—a—1=0,解得a=,合乎题意，

所以，存在点Q,使得PQ与AD所成角为60°,④错.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求空间南的常用方法：

⑴定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对

应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平

面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

6.（23-24高二上•河北石家庄•期末）在如图所示的直四棱柱ABCD-A.B.C.D.中，底面ABCD是正方

形，AB=2,AAi=3,Af是的中点，点N是棱CC.上的一个动点，则点A,到平面的距离的最

小值为（）

【答案】。

【分析】建立空间直角坐标系，将则点儿到平面AMN的距离表示出来即可求得最值.

【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，

则A⑵0,0）,河（1,2,0）,就=（一1,2,0）,设N（O,2,t）,（0WtW3）,赤=（一1,0,坟

5

n-AM——x-\-2cy—（］

设平面AMN的一•个法向量为方=（力,y,z）,则

n-MN-—x-\-tz—O

设y=t,则x=2t,z=2,则1=（2力尼2）,44i=（0,0,3）,

6

所以点4到平面4MN的距离为

"+4，

又0&产49,4&5廿+4&49,所以当力=3,5/+4=49时,

点儿到平面⑷WN的距离取得最小值为=专.

故选：D

7.（23-24高二上・北京•期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A^C.D,中，点M是CC,的中点，点

N是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）

A.不存在点N满足乙4闪欣=百

B.满足％N|=V5的点N的轨迹长度是全

C.满足〃平面4BG的点N的轨迹长度是1

D.满足的点7的轨迹长度是方

【答案】。

【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意

变量的取值范围，求解轨迹长度即可.

【详解】

如图建立空间直角坐标系，则有A(2,0,0),河(0,2,1),N(a;,y,o),4(2,0,2),B(2,2,0),G(0,2,2),瓦(2,2,2)

对于A选项，若NANM=母，则忘•而法=0,且定=(2—2,一伙0),就=(―2,2—y1),

故N轨迹方程为(①一I)?+(y—I)?=2,当a?=0时，y=0,点(0,0)既在轨迹上,

也在底面内，故存在这样的点、N存在，A错误；

对于B选项，|AN|=1,；.N在底面内轨迹的长度是以4为圆心，

1为半径的圆周长的%故长度为5X2兀=*，8错误；

对于。选项，才苫=(0,2,—2),通^=(一2,2,0),设面4BG的法向量方=(⑨9⑶

力--|

片1,故日=(1,1,1),

(Z=1

,:MN〃平面A、BC,：.而•亢=Q,r.N的轨迹方程为t+y—3=0,

•••0Wa;W2,0WvW2,；.N在底面内轨迹的长度为V12+12=V2,。错误；

对于。选项，瓦芹=0-2,9—2,—2),短法=(-2,2,-1)

AAf,.•.瓦法・4^=0,的轨迹方程为―2+4+1=0,即/一。一1=0,

•.-0<z<2,0<y<2,.•."在底面内轨迹的长度为，？”=血，。正确

故选：D.

8.(23-24高二上•重庆•期末)正三棱柱ABC-ALB,CL的所有棱长均相等，E,F分别是棱4B,CG上

的两个动点，且BE=C斤，则异面直线跳;与4斤夹角余弦的最大值为()

A.1B.JC.D.十

【答案】。

【分析】设BE=CF=t/e[0,2]，以人为原点，毋，高方向分别为，，Z轴正方向建立空间直角坐标系，

从而得到显和行的坐标.又因为cos。=竺，从而得到异面直线BE与AF夹角余弦的最大值.

\BE\-\AF\

【详解】设==[0,2],

以A为原点，存,打方向分别为z轴正方向建立空间直角坐标系，

可得B(2,0,0),E(2一1,0⑵，晟=(一玄0,2),4(0,0,0),网1,通,力,/=(1,6,力,

故所求角的余弦值为cosd=AF^___t___，当亡=2时取.

\BE\-\AF\#+4t+j4

故选：D

二、多选题

9.（23-24高二下•湖南郴州•期末）如图，正方体ABCD-A.B.C.D.的边长为2,M为A.D.的中点，动点

P在正方形ABC©内（包含边界）运动，且7W尸.下列结论正确的是（）

A.动点P的轨迹长度为兀；B.异面直线M尸与口耳所成角的正切值为2；

C.MP-AB的最大值为2；D.三棱锥尸-MAD的外接球表面积为空.

【答案】ACD

【分析】取AD的中点N,分析可知AiW_L平面ABCD.对于力:分析可知动点P的轨迹是以点N为圆心，半

径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与BBi所成角即为ZPMN，即可得结果；对于

C:根据数量积的几何意义分析判断；对于。:分析可知O6MN,进而求球的半径和表面积.

【详解】取AD的中点N,连接MN,NP,

因为Af,N分别为4A,AD的中点，则MN//441,且MN=AA^2,

又因为44i，平面4BCD,则MN±平面ABCD,

由NPU平面ABCD,可得MN_LNP.

对于选项A:在Rt^MNP中，NP=y/MP2-MN2=1,

可知动点P的轨迹是以点N为圆心，半径为1的半圆，

所以动点P的轨迹长度为yX27tXl=7t,故4正确

对于选项B:因为MN//NA,BBJ/AAr,则MN//BBX,

可知异面直线AiP与照所成角即为ZPMN，其正切值为tan/PMN=毁r=/，故B错误;

对于选项。：因为线段在平面ABCD内的投影为NP,

结合选项人可知：加在届方向上的投影数量的最大值为1,

所以赤•毋的最大值为1x同=2,故。正确；

对于选项。:设三棱锥P-MAD的外接球的球心为O,半径为R,

因为AW_L平面ABCD,且N为△24。的外接圆圆心，可知OC儿W,

则不=(2—五,+1,解得五=］■,

所以三棱锥P—MAD的外接球表面积为4兀斤=等，故D正确；

故选：ACD.

10.(23-24高二下•山西太原•期末)如图，在棱长均为1的平行六面体ABCD-中，6日，平

面ABCD,NABC=60°,P,Q分别是线段入。和线段人田上的动点，且满足的=4向，无=

(1—均次,则下列说法正确的是()

A.当4=J时，PQ〃4。

B.当4=■时，若PQ=xAB+yAD+zA4i(a;,y,ze_R),则x+y+z=0

C.当仁春时，直线PQ与直线CG所成角的大小为强

36

D.当4C(0,1)时,三棱锥Q—BCP的体积的最大值为造

4o

【答案】ABD

［分析］利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论.

【详解】对于4当4=4时，P，Q分别是线段入。和线段A.B的中点，

所以P也是BD的中点，所以PQ〃4Q,故4正确；

对于B,当4=■时,PQ=AQ—AP=卷(人8+A4J—呆AB+AD)=-^AD+--AA1,

所以c=0,y=—,z=~1",满足rr+g+z=O,故_B正确；

对于。，过Q作QNH441交49于N,

可知QN1_面ABCD,PQ与直线CG成角即为APQN,

当4=｝时，QN=y,在4ANP中,AN=^-,AP=j,ZPAN=60°,

则PN=73WP444)4，

瓜

所以tan/PQN=1^=十=遮，所以NPQN=60°,故。错误；

对于D,易知ZVIB。是正三角形,

三棱锥Q—BCP体积为V=^-x[BCxCPxsin60°xQN

O/

—■—x-^―x1x(1—4)xsin60°x4=(1—X)A

/1一/+/\2_

-2~'一石，

当且仅当1-4=九即4时取等号，故。正确;

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题。选项解决的关键是，分析得△ABC是正三角形，从而得到所需各线段长，从而

利用三棱锥的体积公式即可得解.

11.（23—24高二下•河北唐山•期末）已知点P是正方体4BCD—4BGA表面上的一个动点，则以下说

法正确的是（）

A.当P在平面BCCR上运动时，四棱锥P—44。。的体积不变

B.当P在线段AC上运动时，DF与4G所成角的取值范围是［多方］

C.若点P在底面4BCD上运动,则使直线A.P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为椭圆

D.若尸是4瓦的中点，点P在底面ABCD上运动时,不存在点P满足P尸〃平面B.CD,

【答案】AB

（分析］可以设正方体的棱长为2,利用四棱锥的体积公式，底面积与高不变则体积不变可以判断4选项；建

立空间直角坐标系，设PQ,2—2,0）,（a;C［0,2］）,表示出D.P与4G所成角的余弦值，即可根据C的范围求

得范围，进而求得角的范围，判断B选项；设/5（，,/0）（04H《2,04沙&2）,表示出直线4。与平面45。0

所成的角的正弦值得到c与沙的关系，从而得到点P的轨迹，判断C选项；证得4G，平面CB1D1,所以向

量AC,是平面CBB的法向量，再由PF〃平面BO得到点P的轨迹，进而判断。选项.

【详解】不妨设正方体棱长为2.

A选项，当P在平面BCCB上运动时，点P到平面AA,DXD的距离为2,

所以四棱锥P—A4QQ的体积V=X2x2x2=-1•，故A正确；

B选项，以为r轴，以。。为"轴，以。Di为z轴建立空间直角坐标系，如图，

2(O,O,2),P3,2—0,O),Qe[O,2]),4(2,O,2)，G(O,2,2),DF=

0,2—°,—2),盘=(-2,2,0),

|4—4a?||力一1|

设_DF与4G所成角为仇则cos。="s〈_DbP,4G)|=

2^/2xyjx2,(2—a?)2+4-\/(^—1)2+3

1

当/W1时，cos夕,,a；e[0,1)U(l,2].,

1+(AF

则(2-1)2e(0,1],^^—7e[3,+8),1+—e[4,+co),

(X—1)(T—1)

1+—*+00),,1e即cos0e(o,3

1+7^7

当c=1时,cos9=0,所以cos96"1"]

又因为夕e所以1e1受］，故B正确;

。选项，若点P在底面ABCD上运动，设PO，",0)(04c<2,0WyW2),4(2,0,2),4?=(a:-2,y,-2),

平面ABCD的法向量取前=(0,0,1),

AiF-m

则直线4P与平面ABCD所成的角为45°时，有sin45°=|cos(AF,m)I=

|AF||m|/3-2)2+娟+4

2，

化简为(x—2了+好=4,则点P的轨迹为四分之一圆，故。错误;

。选项，如图，

2(O0,2),C(0,2,0),Bi(2,2,2),A(2,0,0),G(0,2,2),,左=(0,2,—2),

国=(2,0,2),相=(-2,2,2),

因为褐•*=(),函•W=。，且OQnCBi=GDQ,C®iU平面CBD,

所以AG_L平面CBQi,即向量恋是平面CBi。的法向量,

F(2,l,2),P(rd=(x-2,y-l,-2),

若FP〃平面CB12,则属甘•相=一2・0—2)+2@—1)-4=0,即工一y+l=0,

因为直线①一g+1=0与正方形ABCD有公共点,即存在点P满足P尸〃平面5coi，故。错误;

故选：AB.

三、填空题

12.（23-24高二上・广东•期末）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且它们所在的平面所

成的二面角D-AB-F的大小是60°,则直线人。和BF夹角的余弦值为.若分别是

尸上的动点，且4W=BN,则MN的最小值是.

【答案】《/0.25;.

4

【分析】利用已知条件结合向量法即可求解；利用二面角的定义证得ND4F就是二面角。一AB—F的平面

角，即为60°,再利用空间向量将7WN的长转化为屈的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元

二次函数的图象与性质运算即可得解.

【详解】连接MB,如下图，

由题意，力河=BN,正方形ABCD中，AD_LAB,

12

1.•正方形ABEF中AF±AB,AFu平面ABEF,ADu平面ABCD,平面ABEFH平面ABCD=AB,

/D4F就是二面角D-AB-F的平面角，则ZZMF=60°,

向量屈与向量/夹角为60°,且由

①彩=晶+/，丽=魂+坊，然|=|明=仅

AC・BF=(AB+BC)・(BE+EF)=AB-BE+AB•EF+BC-BE+BC・EF=—卞,

_X

cos<AC,BF>=-=—,

r.直线AC和BF夹角的余弦值为J;

4

②设AM=AAC,BN=ABF,Ae[0,1],则荻=(1—A)AC,

且由题意\AD\=\AB\=|AF|=1,

MN=MB+BN=MC+CB+BN={1-A)AC+CB+ABF

=(1-1)(AD+AB)+CB+A(BA+BE)=-AAD+(1-2A)AB+AAF,

：.MN2=A2AD2+(1-24)2岳2+A2AF2-24(1-2/l)AD-AB+2/1(1-2A)AB-AF-2/12AD•AF

=/+(1—24)2+a2+0+0-2/l2cos60o=5/12-4/1+1,

令/1(4)=5/12—4/1+1,/16[0,1],/1(/1)图象开口向上，且对称轴为/1=三，

5

当；1=4时，无(名取得最小值无⑷1nto=%修)=?又昭2=1丽

(7W2)1nM=《，即7WN的最小值是咯.

55

故答案为：:；.

45

13.(23-24高二上•广东江门•期末)如图，已知正三棱柱ABC-A^C,的所有棱长均为1,动点P在线

段上，则△PBG面积的最小值为.

【答案】喘借酒

【分析】以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点P到直线BG的距离的最小值，即可得解.

【详解】如图，以点4为原点建立空间直角坐标系，

z.

则A(0,0,0),B(1,0,0),BI(1,0,1),G((,学,1),

所以相=(1,0,1),的=(_4，乎，1)，

因动点P在线段AB1上，则令=或=(t,0,t),0W±&l,

即有点P90,t)，所以丽=(力-1,0#)，则\BP\2=(t一I)?+于=2/一2±+1,

从而土3=口+1),

IBGI2碑

202

因此点P到直线BC1的距离d=2t-2t+l-°°-1-(t+2t+l)

,15P_O旦O+_|__L

t4H8

3_fX>VL

5户+525,

当且仅当t=4时取等号，

5

所以线段481上的动点P到直线BG的距离的最小值为多

5

又因为|BG|=JBC2+CC，=2,

所以APBG面积的最小值SAPBQN〔BG|=+xWx2=喑.

/ZJ0J_U

【点睛】关键点点睛：求出点P到直线BG的距离的最小值是解决本题的关键.

14.(23—24高二上•广东广州・期末)在棱长为2的正方体ABCD-A.B.C.D,中，点E、尸分别是梭BC、

CG的中点，P是侧面ADD.A.上的动点，且PG〃平面AEF，则点P的轨迹长为，点P到直

线AF的距离的最小值为.

【答案】V2

吗O

【分析】以点A为坐标原点，AB.40、441所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点

P(0,g,z)(0WgW2,0WzW2)，利用空间向量法求出点P的轨迹方程，可求得点P的轨迹长度，利用空间向

量法可求得点P到直线AF距离的最小值.

【详解】以点4为坐标原点，AB,40、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

如下图所示：

则4(0,0,0)、E(2,l,0)、F(2,2,l)、G(2,2,2),

因为点P是侧面ADDrAx上的动点，设点P(0,9，Z)(04“<2,0WZ&2),

设平面AEF的法向量为拓=(rc.yz),AE=(2,1,0),EF=(0,1,1),

则1M,竺=2z+"=0,取2=],可得由=(],—2⑵，且乖=(—2,9—2/—2),

[m-EF—y+z—0

因为PG〃平面AEF,则用，吊，即审•晶=-2—2Q—2)+2(z-2)=0,

可得y-z=-1,分别取线段AS、AAi的中点Af(0,1,2)、N(0,0,1),

所以，点P的轨迹为线段上W,

故点P的轨迹长为|AW|=V02+(l-0)2+(2-l)2=V2,

布=((U?/+1),由仁堂可得

(UAy十iAz

cosZPAF=—二—如里—二—妈里—

|研所3J-+-+iy3/2娟+2夕+1'

所以，点P到直线AF的距离为d=|AP|sinZB4F=\AP\-V1-COS2ZP4F

=岛bl.、卜—产+1)：=通乎亘=XM诉,

、yyv9(2靖+2g+l)33八")

因为函数/(g)=(3g+2y+4在[0,1]上为增函数，

所以，当g=0时，d取最小值，且dmin=.

故答案为：方；莘.

O

四、解答题

15.(23—24高二上.安徽阜阳.期末)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，且AD=P0=

1,平面PCD±平面ABCD,APDC=120°,点E为线段尸。的中点，点F是线段上的一个动点.

(1)求证:平面DEF±平面PBC；

15

要时，求篇的值.

（2）设二面角C—DE—尸的平面角为仇当cos。

【答案】（1）证明见解析；

⑵国

1J\FB\2•

[分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得.

（2）以。为原点，建立空间直角坐标系，求出平面DEF,CDE的法向量，再利用面面角的向量求法列式计算

即得.

【详解】（1）由四边形ABCD是正方形，得而平面PCD_L平面ABCD,

平面PCDA平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,则BC_L平面PCD,

入DEU平面PCD,于是BCLDE,

由AD=PD=DC,点、E为线段PC的中点、，得PC工DE,

又PCCIBC=C,PC,BCu平面PBC,因此DE_L平面PBC,而DEU平面DEF,

所以平面。EF_L平面PBC.

（2）由（1）知BC_L平面POD,而AO〃BC,则AD_L平面POD,

在平面PCD内过D作。GJ_DC交PC于点、G,显然直线。4,DC,DG两两垂直，

以。为原点，直线ZM,DC,OG分别为re,g,z轴，建立空间直角坐标系。一g/z,

由4D=PD=1,NPDC=120。,得0（0,0,0）,0（0,1,0）,万（0,—：,坐）闻0,[,乎）,

设F（L*i,0）（l>m>0）,则砺=（0」,?），屈=（1,恒,0）,设平面DEF的法向量为行=Q,y,z）,

则二■°n,令夕=通,得日=（—遍山，窝,T），

“•DE=4V+%Z=0

而平面PCD的法向量为7i/=（1,0,0）,则cos。=|cos<n,n/）|=/B〔"皿—=,

同加，|V3m2+3+l13

而?71>0,解得?7l=J,此时产=4.

3\FB,\I2

16.（23-24高二上•四川泸州•期末）在正方体ABCD-A.B.C.D.中，E为A.D,的中点，斤为直线CC.上

的动点.

（1）若CiF=。尸,求平面AEF与平面AEDQ的夹角的正切值；

（2）若=2,P为底面ABCD的中心，当点P到平面AEF的距离为?时,求线段CF的长.

【答案】⑴苧

O

（2）6722—24或6V22+24.

（分析】（1）首先建立空间直角坐标系，分别求平面AEF和平面AEDQ的法向量，利用法向量求夹角的余

弦值,再求正切值；

（2）代入点到平面的距离的向量公式，即可求解.

【详解】（1）如图，以点。为原点，以向量力1,沅，由为①y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设棱长为

2,且F为CG的中点，

A(2,0,0),E(l,0⑵,F(0,2,l),。(0,0,0),

金=(-1,0,2),(-2,2,1),(-2,0,0)

设平面4EF的法向量为m=(ci,%,),

，匕]rn'AE——x+2z—0人,„

所以《—„11，令①1=4,则Zi=2,m=3,

[m-AF=-2Xi+2%+Zi=0

所以平面AEF的法向量庆=(4,3,2),

设平面AEDQ的法向量为日=(0,1,0),

设平面AEF与平面AEDQ的夹角为心

则cos9=|cosm,n|=第L=/口,sin9=,则tan。=当'，

所以平面AEF与平面AEDQ的夹角的正切值为2g;

O

(2)设F(0,2,h)

A(2,0,0),E(l,0,2),P(l,l,0),AP=(-1,1,0),

17

AE=(-1,0,2),AF=(-2,2,/i),

设平面4EF的法向量为u={x,y,z）,

u-AE——x+2z—0

所以，令c=4,则z=2,g=4-/z,

u-AF=—2x+2y+hz=0

所以平面AEF的法向量注=(4,4—/z,2),

IAP"U!\—h\

点P到平面AEF的距离d=1,,1=--------JI=

|u|V2XA/16+(4-/I)"+4

解得：^=±6722-24,

所以。下的长为6，至一24或6，至+24.

17.（23-24高二上・安徽合肥・期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，2，面4BCD,AB〃CD,且CD=

2,4B==22,弘=1,4B，尸分别为的中点.

P

（1）求证：EFII平面PAB；

（2）在平面PBC内是否存在点H,满足说•历=0,若不存在，请简单说明理由；若存在,请写出点H

的轨迹图形形状.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在,轨迹是半径为竽的圆，理由见解析；

（分析］⑴过E作EG，AD交AD于点G,连接EG,GF,由线面平行证明面面平行，再由面面平行的性质

即可得出线面平行的证明；

⑵由HD_LH4,H点在空间内轨迹为以AD中点为球心，1■AD="|■为半径的球，而AO中点到平面

PBC的距离为当2<y,即可求解.

【详解】（1）如图,

过E作EG,人。交AD于点G,连接EG,GF,

%_L面ABCD,ADU面ABCD,则PA±AD,

又EGU面R4D,_R4U面P4D,且EG,R4不共线，故EG〃24,

因为E为PD的中点，所以G也为4D中点，又F为BC的中点，所以G尸〃AB,

而EG«平面_R4B,R4u平面R4B,所以EG〃平面P4B,同理G尸〃平面

又因为EGCGF=G,EG,GFu平面EGF,

所以平面EGF〃平面_R4B,而跳1u平面EGF,

所以EF〃平面R4B.

（2）如图，以点人为原点建立空间直角坐标系，

又CD=2,AB=1,BC=2V^,PA=1,

则P（0,0,l）,B（0,l,0）,C（2V2,l,0）,D（2V2,-1,0）,

故同=（0,1,-1）,PC=（2^2,1,-1）,

设平面PBC的法向量n—（H,y,z）,

则有11丝一"1一°，取沙=1,得到劣=0,z=l,即日=（0,1,1）,

[n-PC=2V2x-hy—z=0

又AD中点G",一方,0）,则豆苕=",一5,0）,

18G词IoxV2+1xy）+1xol|-Io/

11JL

则AD中点到平面PBC的距离为,,=---------r^--------=f=当

同Vl+1V24

由近•福=0,即HD_LH4,故H在以AD中点为球心，半径为=的球面上,

而早V号，故H在面PBC上的轨迹是半径为J（日）2-（当町=牛的圆，

故存在符合题意的H,此时H轨迹是半径为当2的圆.

18.（23-24高二上•上海・期末）如图，在四棱锥S—4BCD中，S4L平面4BCD,AD//BC,AB±BC,

且SA=AB=_BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.

（1）求异面直线AM与SD所成角的余弦值；

⑵求点4到平面SBC的距离;

（3）设N是棱CD（含端点）上的动点,求直线与平面AMN所成角的大小的取值范围.

【答案】⑴叁

5

⑵2

⑶[o,arcsin^^]