2025年高考数学重难点专项复习：指、对、幂数比较大小问题【八大题型】解析版

重难点04指、对、幕数比较大小问题【八大题型】

【新高考专用】

从近几年的高考情况来看，指、对、幕数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题,

往往将暴函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对数的

互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和嘉函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的形式

考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►知识梳理

【知识点1指、对、塞数比较大小的常用方法】

1.单调性法：当两个数都是指数幕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数

值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如优1和利用指数函数了=优的单调性；

②指数相同，底数不同时，如无:和石，利用幕函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如log.X]和log”马，利用指数函数log”X单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者

其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的

判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法:

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规

律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6.放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和嘉函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

【例1】(2024•四川资阳•二模)已知。=4。汽b=30-4,c=ln2,则()

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【解题思路】由对数函数、指数函数以及幕函数的单调性即可比较大小.

【解答过程】因为凉°=43=64,bio=34=81,所以

又c=ln2<1,所以c<a<b,

故选：A.

i

【变式1-1](2024•天津河西•三模)若a=logne,b=(Vn)3,c=Q)3,则Q,b,c的大小关系为()

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【解题思路】利用指数函数，对数函数，募函数的单调性，来判断值的大小.

【解答过程】由函数y=logjr%是增函数，则aulognevlog117r=1以=108号>10gli1=0,所以0<avL

2

由函数y=(近尸是增函数，贝必=(质)§>(诉)。=1,所以力>1,

由函数y=(。是减函数，贝1Jc=G)3>g)=1,所以c>L

i

由力=(7^”=市，c=(3)3=es,

111

由函数y=%§是增函数，则市>e§,即b>c,

故选：B.

【变式1・2】(2024•宁夏石嘴山•模拟预测)已知a=log56,b=log2V8,c=Ve,则a,b,c大小关系为

()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【解题思路】由已知结合幕函数及对数函数单调性判断a,b,c的范围，即可比较a,b,c的大小.

【解答过程】因为c=V^>J|=|,b=log2V8=log225=|,

a=log56=log5V36<log5V125=|,

所以a<b<c.

故选：A.

105

【变式1-31(2024•全国•模拟预测)已知a=221h=log215,c=5,则a,b,c的大小关系为()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】利用指数函数y=2久与对数函数y=log2》的单调性比较。力与中间值4的大小关系进而得到。与

匕的大小关系；利用幕函数y=%2」的单调性得到a与c的大小关系，最终得到见仇c的大小关系.

【解答过程】,」y=2%是R上的增函数，2.1>2,a=221>22=4.

・.・y=log2%在(0,+8)上单调递增，15<24,

4

・•.b=log215<log22=4,・•・b<a,

10521

vc=5=(V5),y=7.I在(0,+8)上单调递增，2<V5,

・•・a=22,1<(V5)21=c,h<a<c,

故选：A.

【题型2中间值法比较大小】

i

【例2】(2024•辽宁•模拟预测)设a=0.5§力=log23,c=logell,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【解题思路】根据指数函数、对数的单调性结合中间值力"、即可比较大小.

【解答过程】a=0.53<0.5°=1,b=log23=1log29>|log28=

1=log66<c=log6ll<log66V6=|.

综上，a<c<b.

故选：B.

_1

【变式2-1](2024•陕西铜川•模拟预测)已知a=G)z/=]og65,c=log56,贝I]()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】取两个中间值1和右由a=h<log66=l,1=1唯5Vcv|即可比较三者大小.

=1O

【解答过程】a=G)2=正>J|=l，§65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=

因此b<c<a.

故选：C.

【变式2・2】(2024•山东潍坊•二模)已知a=eT,b=Iga,c=e°,则()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.

【解答过程】CL=e-1G(0,1),b=Iga=Ige-1=—Ige<0,c=e0=1,

所以b<a<c,

故选：A.

【变式2-3](2024•天津北辰•三模)已知a=0.531,=log0,90.3,c=logi1,则a,b,c的大小关系为

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值分析大小即可.

【解答过程】因为y=0.5，在R上单调递减，则0.53-1<0.51=也即a<[；

又因为y=log。9%在(0,+8)上单调递减，则logogO.3>logogO.9=1,即匕>1;

可得c=logi|=log32,且y=log3%在(0,+8)上单调递增，

则:=log3V3<log32<Iog33=1,即!<c<1；

综上所述：a<c<b.

故选：D.

【题型3特殊值法比较大小】

【例3】(2024•陕西商洛•模拟预测)设a=logo.50.6,b=OA9-03,c=O.6-0-6,则a,b,c的大小关系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答过程】因为y=logo.5%在(0,+8)上单调递减,所以logosl<logo.50-6<logo.50.5,即0<a<l.

因为y=在(0,+oo)上单调递增，又0.49-0,3=0.7-0-6=(岑)。：0.6-0(,=(|)°6,

又|>与>1,所以(|)°6>得)°.6>1。.6,故c>b>l,所以c>b>a.

故选：A.

1*3

【变式3-1](2024•江西上饶•模拟预测)设6)=2^=logi?c=(j),则有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小即得.

【解答过程】由(：)=2,=logi2<logil=0,b=logi|=log23>log22V2=

J332?4

11Q

c=23<22<-,且c>0,所以a<c<b.

故选：B.

【变式3-2](2024・天津和平一模)设(丁=2,6=1(^3—108岁,0=(9],则有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0,可得Q最小，再利用心>03得出仇C大小.

【解答过程】由0=2可得a=logNvlog"=0,

33

b=logi3—logi9=logi-^=log23>1,c=3=23=V2>0,

下面比较瓦c,

因为32>（2,2=8,所以3>2?,

32

所以b=log23>log222=

而c3=（3②3=2<d）=/故eV?,所以cVb,

综上，b>c>a.

故选：B.

03

【变式3-3］（2024•天津和平•三模）设a=0.42,_iOg043,c=4,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性，结合特殊值比较大小即可.

【解答过程】因为y=logo.4%在定义域上单调递减，所以b=logo.43Vlogo.41=0，

又y=4%在定义域上单调递增，所以。=40・3>4。=1,

y=04%在定义域上单调递减，所以0<a=0.42<0.4°=1,

所以力<a<c.

故选：B.

【题型4作差法、作商法比较大小】

【例4】（2024•湖南岳阳•二模）设a=log23,b=log35,c=log58,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】根据指数函数性质得出a>|,6<|,c<l，然后利用作差法比较b与c的大小关系即可.

【解答过程】因为32>23,所以Iog232>log223,即210gz3>3,所以Iog23>|,即a>|；

因为52<33,所以log352<log333,即210g35<3,所以log35<|,即b<|；

因为82<53,所以10g582<10g553,即210g58<3,所以10g58<［即c<*

又因为b—C=Iog35—log58=康-1唯8=i窿：第8,

且2Jlog53-10858<log53+logs8=logs24<log525=2,

所以log53■logs8<1,所以b-c>0,所以b>c；

综上所述，a>b>c.

故选：A.

【变式4-1］（2024・陕西西安・模拟预测）若。=0.31156=108312£=10826/=R，则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

=3<

【解题思路】由题意首先得0<a<l,dJ~J0，进一步力=logsl2=1+log34>2,c=log26=1+log2

3>2,从而我们只需要比较Iog34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比

较.

【解答过程】a=0.3115<0,31。=1,所以o<a<i,d=JZ1<。，

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

▽ra%l°g34In41n2仅4t蚂2（仙2烟？

又因为由=际<m=而^<1'

所以b<c,即d<a<b<c,

故选：B.

【变式4-2]（2024•贵州六盘水•模拟预测）若。=竽，6=竽，。=殍，贝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=lnx的单调性分别判断a力和a,c的大小关系，即可判断出a,6,c

的大小关系.

・益力e、riln3ln221n3—31n2ln9—ln8八rr-...T

【解答过程】因为b-a=^3---N-=-0--=^—0>0,所以b>a；

又DE因A为Lc-a=《ln5--ln-2=-21n5-—5-1n2=l-n25-—l-n32<0_,所以rua>c；

综上所述：c<a<b.

故选：C.

【变式4-3]（2024•全国•模拟预测）若a=2a4,6=3a25,c=log（）,70.5,贝b,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c范围，比较它们的大小；利用作商法比

较a力的大小，即可得答案.

【解答过程】因为函数y=2,在R上单调递增，所以。=2。4<2。・5=a.

111

又合募=（舒旷=（二=（衰尸>1，所以

_______3

因为O.52=0.25<0.343,故0.5<V0343=0.7Q=log。？%在（0,+8）上单调递减,

3o

所以logo.708>logo.7O.72=->V2,所以a<c,

所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c,

故选:B.

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】(23-24高二下•云南玉溪•期中)已知实数a,6,c满足2。+a=2,2b+6=遮，c=log163,贝|()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解题思路】由对数函数单调性得c<T，构造函数f(x)=2x+%xeR,由函数的单调性得T<a<b及，即

可得出判断.

【解答过程】由对数函数单调性得，c-log163<log164-log16162=i

构造函数/(%)=2*+x,x€R,则/'(a)=2。+a=2,/(b)=2b+b=

因为y=2,和y=x单调递增，所以/(久)单调递增，

因为2〈遥，即/(a)</(b),所以a<b,

又展)=2，+巨空<2,所以八a)>/。，即a>《，

所以c<a<bf

故选：A.

【变式5-1](2024•全国•模拟预测)已知。=吗，b=\n7xln2,c=^|,则()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】根据0<ln2<1得至!Jc的值最大，然后构造函数/(%)=(l-ln2)lnx-ln2,根据/(%)的单调性和

/(8)<0得到a<b.

【解答过程】因为0<ln2Vl,所以Q=ln7—ln2<ln7,h<ln7,Oln7,故。的值最大.

下面比较a,b的大小.

构造函数/(%)=Inx—ln2—In%-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

显然/O)在(0,+8)上单调递增.

2

因为/(8)=In8-ln2-ln8-ln2=In2(2-ln8)=In2(lne-ln8)<0,所以a-b=/(7)</(8)<0,所以a<bf

所以a<b<c.

故选：C.

1c_

【变式5-2](2024•全国•模拟预测)设a=5%,h=-,c=log45,贝!|a,b,。的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.

【解答过程】先比较a和b,构造函数y在上(o,+8)单调递增，

；(5,4=5>m=({)4,.■/*,即a>b；

又•..4b=5,4c=41og45=log454,且=4x256>54=625,

45

.・.4c=log45<log44=5=4b,：.b>c,

：.a>b>c.

故选：A.

【变式5・3】(2024•河南•模拟预测)已知实数a,瓦c满足砂+log?。=0,2023-6=log2023瓦c=1。876，则

()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.

【解答过程】设/(%)=/+log2；v,/(%)在(0,+8)上单调递增，

又/(?="1<0/⑴=1>0,所以?<a<l；

设=(/)Tog2023X，g(x)在(0,+8)上单调递减，

又贝1)=痂>°，或2023)=(熊或-K0,所以1<b<2023,

因为C=10g7V^V10g7V^=T，所以C<:

综上可知，c<a<b.

故选：B.

【题型6数形结合比较大小】

【例6】(2024•河南•模拟预测)已知。=Irur力=log3;r,c=V^ln2,贝ija,瓦c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】利用对数函数和指数函数，幕函数的性质求解.

【解答过程】,<,e<3<7T,a=loge7r>log37r=b>log33=1,即a>b>1,

a=In/r=ln(V^F)2,c=VSn2=In2b,

下面比较(、所)2与2份的大小，构造函数y=%2与y=2X,

由指数函数y=2%与基函数y=/的图像与单调性可知,

当％6(0,2)时，x2<2X；当无€(2,4)时，x2>2X

由％=SFE(0,2),故(后)2V2正，故ln7rVln2昕，即Q<C,

所以b<a<c,

故选：A.

【变式6-1](2024•江西赣州•二模)^log3x=log4y=log5z<-1,则()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3%D.5z<4y<3x

【解题思路】设log3%=log4y=log5Z=M<-l,得到％=3m,y=4Tz=5m,画出图象，数形结合得到答案.

[解答过程】令log3%=log4y=log5Z=m<-1,则第=3m,y=4m,z=5m,

3x=37n+i,4y=4m+1,5z=5m+1,其中m+1<0,

在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5比，

故5z<4y<3%

故选：D.

【变式6-2](2024•江西•模拟预测)若aea=blnb(q>0),则()

A.a<bB.a=bC.a>bD.无法确定

【解题思路】令ae。=blnb=k,k>0,构造函数，作出函数图象，即可比大小.

【解答过程】因为。>0,

所以ae°>a>0,

因为ae。=b\nb,

所以blnb>0,可得b>l,

令ae。=blnb=k,fc>0,

所以ea=/nb=5

设f(%)=e",g(%)=Inx,/i(x)=

作出它们的图象如图：

由图可知a<b.故选项A正确.

故选：A.

【变式6-3](2024•全国•模拟预测)已知a=G)，G)=ioSab,ac=logic,则实数见瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a/,CE(0,1),得到logabvl=logaa,

求出b>a,根据单调性得到。=©)0<Q)a=a,从而得到答案.

【解答过程】令/0)=(9"-居其在R上单调递减，

11

又/(0)=1>0/(1)=—1=—<0,

由零点存在性定理得ae(0,1),

则y=loga久在(0,+8)上单调递减，

X

出)

0yi=G与y=loga%的函数图象,

可以得到be（0,1）,

又丫2=谈在R上单调递减，画出=a*与丫3=logy的函数图象,

可以看出ce（0,1）,

因为G）<（1）=1，故log/<1=logaa,故b>a,

因为a,ce（0,1）,故a。>a1-a,

由ac=logj_c得，c=（9<Q）=a.

综上，c<a<b.

故选：D.

【题型7利用基本不等式比较大小】

【例7】（23-24高一下•湖南长沙•开学考试）已知a=log32,h=log43,c=log54,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【解题思路】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.

【解答过程】…唯2喟需=喂祥>耳等力嗤臂>。

ln4ln3ln24—In31n51/4-(i)In2V16—In2V15

c-b=log54-log43=-~~——~~~~=—■~~->-----------------=-------...------>0

ln5ln4In51n4In51n4In51n4

所以c>b>a.

故选：c.

【变式7-1]（2024•云南•模拟预测）已知a=logi69力=10g2516,c=e-2,则（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【解题思路】a=log43,b=logs*作商£==log43,log45,利用基本不等式可得1,得aVb,根

据对数函数的单调性可得Q>c.

22

【解答过程】a=10gl69=log423=log43>0,b=log2516=log524=log54>0,

Y=iS=10g43.10g45=（竽）2<（¥）2=（呼）2=1.

所以a<b,

-2

a=log43>log42=log222=->e=c,

所以b>a>c.

故选：A.

【变式7-2]（2024・湖南•模拟预测）已知Q=log32力=log53,c=log85,则下列结论正确的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

【解题思路】对数函数的单调性可比较a、6,再根据基本不等式及换底公式比较6与c的大小关系，由此

可得出结论.

【解答过程】因为log32=log3V8<log3V9=log333=-=logs53=log5V25<log5V27=log53,

所以a<b.

因为In31n8〈(号92=(lnV^)2<(In5)2,所以"〈需，所以log53<loggS,所以b<c,所以a<b<c.

故选：A.

i

4

【变式7-3](2024•河南郑州•模拟预测)已知a=log35,b=2(|),c=31og72+log87,贝ij()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.

【解答过程】=Iog35=1log325<|log327=|,

1111

巨(篇<(丁=欧所以b=2(A|且b<2,

c=31og72+log87=log78+log87>2Jlog78•logs7=2,

所以c>b>a.

故选：B.

【题型8放缩法比较大小】

【例8】（2024•四川乐山•三模）若a=log32力=log43,c=e-2,则a,b,c的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】利用放缩法可得a>/>'<；,利用作商比较法可得年=需W-。g2,4）『,进而可得

a<b,可得结论.

2

【解答过程】a=log32>log3V3=/=log43>log4V4==e-<1,

所以则c,b>c,

10g321g2-lg4v[I（lg2+lg4）]2_上8/lg29=41g23=1

-1

乂了―log43lg23-的-41g23441g23—41g23-'

所以a<b,所以c<aVb.

故选：D.

【变式8-1]（23-24高二上•安徽•阶段练习）已知a=g—旧力=6-笠=1唯3—1嘱5,贝。（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.

【解答过程】因为。=内一后=高而＜痔而=?

,111111,,,fii\

b=64=湍>湍=而示y,故

c=log53-|log35=|log527-|log325>|log525-|log327=|-1=

所以。<b<c.

故选：A.

【变式8-2]（2024•全国•模拟预测）已知a=log2mb=ln4,c=0.6-1,5,则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解题思路】应用对数函数的单调性及放缩法对a,b,c进行估值即可判断.

【解答过程】a=log2n<log24=2,且a=logzir>log22近=1.5,G(1.5,2),

b=ln4=1+In：<1+In费=1+lnl.6=1+lnV2,56<1+InVe=1.5,即6<1.5.

由c=0.6-L5可得cZnOe—n^^>心又c>o,故c>2.则b<a<c.

U.Zlo

故选：c.

工

【变式8-3](2024•河南郑州•模拟预测)已知a=log35,b=2(J,c=31og72+log87,则()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.

【解答过程】=log35=|log325<|log327=|,

iiii

口勖<(3M丁，所以42替>1且b<2,

C=31og72+log87=log78+log87>271og78-log87=2,

所以c>b>a.

故选：B.

►课后提升练（19题:

一、单选题

1.（2024•福建泉州•一模）若实数a>b>0,则下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3°<0.3"B.Iga>1g/?C.D.VH>VK

【解题思路】根据指数函数的性质判断A,根据对数函数的性质判断B,利用特殊值判断C,根据事函数的

性质判断D.

【解答过程】因为y=0,3，在定义域R上单调递减且a>6>0,所以0.3。<0.36,故A正确；

因为y=lgx在定义域（0,+8）上单调递增且a>b>0,所以lga>lgb,故B正确；

当a>l>6>0时，二彳〉。〉—彳，故C不正确；

因为y=正在定义域［0,+8）上单调递增且a>6>0,所以故D正确.

故选：C.

0A0

2.（2024•四川眉山•一模）若a=log39ii,6=log0.50.2,c=4,则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【解题思路】结合指数函数和对数的运算性质易得a=2.2,fo=log25,c<2,进而分析比较2?2与5的大小,

进而比较211与55的大小，进而判断即可.

1

1104005

【解答过程】a=log39=l.l-log39=2.2,c=4-<4-==2,

b=log0,50.2=logij=log25>log24=2,

则a>c,b>c,下面比较a与力的大小，

即比较2.2=log????与log25的大小，

即比较2Z2与5的大小，

即比较211与55的大小，而211=2048<55=3125,

则avb,所以

故选：B.

3.（2024•宁夏吴忠•一模）已知a=0.23力=302解=logo??,则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得.

【解答过程】ct—0.23<0.2°=1,b=30,2>3°=1,c-logons<logo?1—0,

故b>l>a>0>c,故b>a>c.

故选：C.

4.（2024・四川宜宾•一模）已知a=|,b=如,。=笔蛇，贝|（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【解题思路】根据a2</得到a<b,根据1唯2>log3g=3得到c=号超>，由:〉遍得到c>b.

【解答过程】•••。2=得<3=〃，a<b,

"log32>log3V3c=3+1产2

••・c>b>a.

故选：D.

5.（2024・四川雅安•一模）下列不等式成立的是（）

23

3439

A.(|)<(|)B.log25<log412C.log73>^D.(V2)>3.9

【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性可判断出结果.

23

【解答过程】对于A,因为底数?<1,所以随着指数的增大而减小，又所以故选项A

错误；

对于B,10g412=|log212=10g2V12=10g22V3,因为底数2>1,所以随着真数位置的增大而增大，又

5>2V3,所以Iog25>log412,故选项B错误；

对于C,因为10g73>10g7V7=J,J=皑，所以10g73>咚故选项C正确；

乙z2V555

对于D,因为［(衣)胃2=23.9,(3.9)2,函数万,久2有两个交点，分别是当X=2,X=4,

2工增长速度比/增长速度快，在(0,2)上2，>/,在(2,4)上2工<%2,

OQ

在(4,+8)上2工>%2,所以239<(3.9)2,即(&),<3.9,故选项D错误.

故选：C.

6.(2024・四川成都•模拟预测)已知a,6为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为()

A.—>~B.ln(a+1)>ln(Z)+1)

C.a3>b3>0D.4a=l>4b^i

【解题思路】利用不等式的性质、结合对数函数、事函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.

【解答过程】对于A,工>1,不能推出a>b>0,如白>2，反之a>b>0,则有工<1,

CLD—3—ZClD

即!>9是。>方>0的既不充分也不必要条件，A错误；

对于B,由ln(a+1)>ln(6+1),得a+l>b+l>0,即a>6>—l,

不能推出a>b>。，反之a>6>0,则a>6〉一1,

因此ln(a+1)>ln(Z?+1)是a>b>0的必要不充分条件，B正确；

对于C,a3>b3>0^a>b>0,a3>/>。是。>。>。的充分必要条件，c错误；

对于D,由迎一1>迎一1,得a>b21>0,反之a>b>0不能推出a>621,

因此近二T>GT是a>6>0的充分不必要条件，D错误.

故选：B.

7.(2024•全国•模拟预测)已知函数/'(久)=e/-2x,ifla,=sy(iOg32),6=/(log53),c=：/(iog75),则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解题思路】应用介值法比较Iog32,log53,log75的大小，再应用=e/-2x的单调性比较大小即可.

【解答过程】解：H^jlog32=|log38<|log39-|,log53=|log527>|log525-1,

所以log32<log53；

又因为log53=1log581<Jlog5125=Jlog75=^log7625>扣g7343=*

所以log32<log53<log75<1,

又因为/（x）=e/-2x=e（，T）2T在（—8,1）上单调递减，

所以c<6<a,

故选：D.

8.（2024•江苏徐州•模拟预测）己知偶函数/'（%）在（一8,0］上单调递增，a=/（豆-2）乃=/（_］og25）,c=f

（log23,则（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【解题思路】先根据对数函数的单调性比较出Tt-2<log23<1哂5的大小关系，然后根据奇偶函数的单调性,

即可得到结果.

【解答过程】••・偶函数在（—8,0］上递增，

.・•/（尤）在［0,+8）上递减,

b—/（—log25）=/（log25）,c=f（log2J=/（log23）,

因为log22<log23<log24<log25,即1<log23<2<Iog25,而7r-2e（0,1）,

所以p-2<log23<］og25,贝疗（豆-2）>f（［og23）>f（log25）,即a>c>6.

故选：c.

二、多选题

9.（2024•河南洛阳•模拟预测）下列正确的是（）

-001-0001

A.2>2B.log2V3>log2Tt—1

-001

C.logi,85<logicsD.log33.01>e

【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B,C；由对数函数的性质可得log3

3.01>1,由指数函数的性质可得e-ooi<l,即可判断.

【解答过程】解：对于A,因为-0Q1<-0001,所以2-ooi<2-°ooi,所以A错误；

对于B,因为1082遍>log2、=log2n-l，所以B正确；

对于C,因为log】因>OJogi.>>0,所以1。81.85=盘<品=logi.75,所以C正确；

-001

对于D,因为log33.01>Iog33=I".。】<e。=1,J5frLUlog33.01>e,所以D正确.

故选：BCD.

10.(2024・贵州•模拟预测)已知0<a<b<l,m>l,则()

A.am<bmB.ma>mb

C.logma>logmbD.logam>logbm

【解题思路】根据指数函数，对数函数，事函数的单调性，结合不等式性质逐项分析即可.

【解答过程】对于A,根据丫=%.在(0,+8)单调递增，结合0<a<b<l,知(^〈。叫A正确.

对于B,根据y=在(0,+8)单调递增，结合0<a<b<l,知小。(山tB错误.

对于C,根据y=logmX在(0,+8)单调递增,结合0<a<b<l,知log、a<logmb,C错误.

11

对于D,根据logam=^^,logbm=蕨/，结合0<a<b<1,巾>1,

知logmaVlog^b<0,则BPlogma>logmb,D正确.

故选：AD.

11.(2024・吉林•模拟预测)若b>a>0,则下列不等式成立的是()

A.a<Vab<—^―<br11

Iog2a+log2b,ia+bba2

C.2<10g2—D.2->(b-d)

【解题思路】对于AC：利用作差法分析判断即可；对于BD：举反例说明即可.

【解答过程】因为b>a>0,则VF>份>0,

对于选项A：卜*号>0,即b>竽;

吟而=叵@:>0,即竽>疝；

222

Vab—a=VH(VK->0，即>a；

所以口<病<等<b,故A正确；

对于选项BD：例如a=2,b=4,满足6>a>0,

111111

为

因

即

故

错

--i--->-B误

a力ab

2;

因为2b-a=22=4,(6-a)2=22=4,即2-a=(6—a)2,故D错误;

对于选项C：因为“咒1唯0=》og2a6=log2Vafo,

又由选项A知，0<V^〈巴”，

所以S咒1°年=1哨疯<10g2与,故C正确；

故选：AC.

三、填空题

1

12.（2024•北京昌平・二模）3-2,2到0825三个数中最大的数是_卜唱25_.

【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.

2

【解答过程】•；1<2石=好<2,3-=（|）=|<1,log25>log24=2,

-2

log25>23>3,

即三个数中最大的数是10g25.

故答案为：10g25.

13.（2024•北京通州•三模）已知a=2T\b=logi