2025年高考数学专项复习：利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题（高考高频考点）（ 5大题型+ 2大方法）解析版

利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题

(高考高频考点，5大题型+2类方法)

目录

第一部分：题型篇..........................................1

题型一：重点考查单变量恒成立问题......................1

题型二：重点考查单变量能成立问题......................9

题型三：重点考查/(x)Vg(x)型恒成立问题.................13

题型四：重点考查型能成立问题................18

题型五：重点考查/&)«g(%)型双变量不等式问题..........23

第二部分：方法篇.........................................30

方法一：分离变量法...................................30

方法二：分类讨论法...................................34

第一部分：题型篇

题型一：重点考查单变量恒成立问题

典型例题

例题1.(23-24高三上•陕西榆林•阶段练习)设函数/(x)=xlnx+G2.

⑴若曲线V=与x轴相切，求。的值；

⑵若当尤21时，恒成立，求a的取值范围.

【答案】⑴-：

(2)卜叫一g

【分析】(1)求定义域，求导，设切点(%,%),x0>0,根据曲线y=/(x)与x轴相切,

%o=e

得到%=0且/'(%)=1+1g。+2办0=0,求出〃=」，得到答案；

、e

(2)转化为当时，xlnx+ax?一。工o恒成立，令q(x)=xlnx+a/一。，x>1,求导后，

结合4(1)=0,需要q'(l)=l+2aW0,即.《一；，放缩后，构造w(x)=xln无一；/+；,求

导得到其最值，得到aV-g满足要求，再当时，<7(x)>xlnx-|x2+p举出反例,

得到不合要求，从而求出答案.

【详解】⑴/(x)=xlnx+办2定义域为(0,+司，

设切点为(Xo，%)),x0>0,曲线丁=/(x)与x轴相切，

故为=0,即/IriXo+Qx：=0,故In^o+a/=0

/'(x)=1+Inx+2ax,

/'(%0)=1+In%+2Q%O,

%二e

1+Inx0+2ax0=0

故解得1

Inx+Q/=0a=——

0Le

(2)当时，xlnx+ax?一。<o恒成立，

令=xlnx+Q12-〃，X>1,

故d(x)=1+Inx+2ax,

注意到式1)=0,故要想xlnx+a/一〃vo,

需要，(l)=l+2aV0,即a4-；,

当QW—日寸,xInx+ax2—aWxlnx—H—,

222

=xlnx-—x2+-,

v722

则wz(x)=l+lnx-x,

令e(x)==1+Inx-x,

则d(x)=L-l=LW40恒成立，

XX

故6(切=以切=1+111工-%在［1,+<»)上单调递减，

其中e⑴=0,故e(x)40,所以w(x)在［1,+劝上单调递减,

其中W⑴=0,故w(x)io,

所以xinx+ax?<0,满足要求，

当a〉一；时,9(%)=x]nx+ax2-6z>xlnx-^-x2+-^-,

故4(1)>-；+；=0,故不合要求，

综上，。的取值范围为'叫-g.

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数

法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的

研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结

合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.

例题2.(24-25高三上•江西•开学考试)已知函数/(x)=lnx-2x.

⑴求函数/'(x)的最大值；

(2)若不等式〃x)V(a-2)x+2在(0,+动上恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴-ln2-l

(2)[.+3

【分析】(1)确定函数定义域，求出导函数，利用导数正负，可得函数/(刈的单调区间，

从而求出函数/(X)的最大值；(1)分离参数，将问题转化为—在(0,+劝上恒成立,

令g(x)=@R(x>0)，利用导数研究g(x)在(。,+⑹上的最大值即可得到答案.

X

11_ny

【详解】(1)函数/'(X)的定义域为(0,+8),且/'(X)=：-2=T，

令/'(x)>0,解得：0<x<1,

令"x)<0,解得：x>!

所以〃x)的单调增区间为(0,g),单调减区间为,

则=一g2-1

(2)不等式/(x)W(叱2)x+2在(0,+向上恒成立,即心生三2在(0,+应上恒成立,

令g(x)=J^(x>0),

X

r，/、1—(Inx—2)3—Inx

贝Ij।g(x)=二^_L=_,

XX

令g'(x)>0,解得:o<x<e3,

3

令g<x)<0,解得：x>e

所以g(x)的单调增区间为(0,e?),单调减区间为(e3,+s),

则g(x)max=g(e3)=^r^="，

所以。N不，

e

所以不等式(。-2)x+2在(0,+⑹上恒成立，则实数。的取值范围为

例题3.(23-24高二下•福建福州•期末)已知函数〃x)=ex-ax+bsinx.

(1)若a=b,求曲线y=“X)在点(兀,e*)处的切线的斜率；

(2)若6=0,讨论/(无)的单调性；

(3)若6=1,且xWO时，〃x)21恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴e"

⑵答案见解析

⑶(-叫2]

【分析】(1)先依据。=6和/(x)的图象过点(兀,1)求出参数值，进而求出函数解析式，

接着求出导函数，根据导数几何意义再求出/'(兀)即可得解.

(2)根据函数的导函数对参数进行分类讨论得出导函数的正负情况即可得解.

(3)恒成立等价于所以对。进行分类讨论研究函数;■(%)的导函数情

况，从而求得函数的单调性和最小值情况即可得解.

【详解】(1)因为a=b,/(x)=ex-ax+bsmx,所以/(x)=e*—ax+asinx,

又因为函数/(X)的图象过点(私e)

所以/(兀)=e",即6"-0兀+°5亩兀=©",故。何1171-兀)=0,解得a=0,

所以r(x)=e，,故以(7t)=e"

即曲线V=/("在点(兀,e")处的切线的斜率为砂.

(2)因为6=0,所以/(x)=e*-ax,所以广(x)=e*-a,

当aW0时，/'(x)>0,；J(x)在区间R上单调递增；

当a>0时，令/''(x)=e*-a=0,解得x=lna,

当x<lna时，/,(x)<0；当x>lna时，/'(x)>0,

所以函数/(x)在(f,lna)单调递减，在(Ina,+8)单调递增.

综上：当时，/(X)在区间R上单调递增；

当a>0时，/(x)在(-co,lna)上单调递减，在(Ina,+oo)上单调递增.

(3)因为6=1,所以/'(x)=e*-ax+sinx(x»O),

所以/''(x)=e*+cosx-a,

设g(x)=e*+cosx-a(x20),贝!Jg'(x)=e*—sinx,

所以，xNO时g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增，且g⑼=2-a；

①当a42时，g(x)>g(0)=2-a>0,即/'(x)“，

所以函数/(x)在(0,+")上单调递增，

所以当xNO时，/(x)^/(O)=l,所以a<2符合题意，

:.a<2.

②当a>2时，又g(x)在(0,+s)上单调递增，且g(0)=2-a<0,

当Xf+oo时，g(x)f+8,

3x0e(0,+co),使得g(x())=0,

.•.XG(O,xo),g(x)<0,即/(x)<0,所以/(X)在(o,%)上单调递减;

xe(x0,+oo),g(x)>0,即/(无)>0,所以/(x)在(%,+oo)上单调递增,

所以/(x)min=〃Xo)</(°)T，所以a>2不合题意.

综上，实数。的取值范围为(一叫2].

【点睛】思路点睛：研究恒成立求参问题通常转化成研究函数最值问题，/(x)21恒成立等

价于/(x)mm21,故可用导数工具结合分类讨论法研究函数/(无)的单调性，从而求得函数

的最小值，判断是否满足了(Hmm21即可得解.

精练高频考点

1.(23-24高二下•广东阳江•期末)已知函数/(x)=a(x-l)-hu(aeR).

⑴若a=l,求曲线V=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵求函数/(x)的单调区间；

⑶若恒成立，求实数a的取值集合.

【答案】⑴>=0

(2)答案见解析

⑶{1}

【分析】(])利用导数的几何意义分析判断；

(2)对函数求导后，分a40和a>0两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区

间；

(3)由题意可得不合题意，当a>0时，由(2)可得=+所

以将问题转化为1一a+lna20,构造函数g(a)=l-a+lna,利用导数求解即可.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=x-l-lnx，r(x)=l-1,

所以/(1)=0,/'(1)=0,即切点坐标为(1,0),切线的斜率左=0,

所以曲线V=/(x)在点(L/⑴)处的切线方程为片0;

(2)由题意得：/(X)的定义域为(0,+⑹/(x)=a-=竺

当a«0时，r(x)<0,则/(尤)单调递减区间为(0,+动，无单调递增区间，

当a>0时，令/''(xhO,解得：x=-,

a

所以当时，/'(x)<0,当时，/((x)>0,

所以〃X)的单调递减区间为u,单调递增区间为n

综上所述：。<0时，则/(尤)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间，

a>0时-，/⑺的单调递减区间为，)，单调递增区间为

(3)当时，/(2)=6z-ln2<0,不合题意，

当。〉0时，由(2)知/(x)min=/[1]=1-。+In。，

则1-a+Ina>0,

令8(〃)=1-4+1迎，则/⑷」一1,

a

所以当Q£(0,l)时，g'(a)>0,

当Q£(l,+8)时，g'(〃)<0,

所以g(〃)在(0,1)上单调递增，在(1,+8»上单调递减，

所以g(a)max=g6=°，

所以。=1,

实数。的取值集合为{1}

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利

用导数解决不等式恒成立问题，第(3)问解题的关键是将问题转化为1-a+lna20恒成立,

考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

2.(23-24高二下•陕西榆林•阶段练习)己知函数〃x)=lnx-亦+a.

⑴讨论函数/(X)的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)［0,+助

【分析】(1)求导得/'(x)=：-a,再对。进行分类讨论；

(2)将/(x)Wei-l整理得到inx-ax+a+l-e—WO,设g(x)=lnx-亦+a+l-e，T,

g⑴=0,贝Ug'(x)=1_q_ei.设Mx)=g，(x)=1ej贝I］“(x)=—J—e-<0,所

以函数g'(x)在区间［1,+动内为减函数，则g'(x)Wg'⑴=-。，然后分a20与”0进行分类

讨论，将不等式恒成立问题转化为最值问题.

【详解】(1)由题意得x>0,=

当aW0时，/'(x)>0,故函数在区间(0,+s)上单调递增；

当a>0时，在区间上，r(x)>0,在区间［：,+，］上，r(x)<o,

所以函数/(x)在区间上单调递增，在区间［J,+sj上单调递减.

综上所述，当aWO时，函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增；

当a>0时，函数/(x)在区间(ojj上单调递增，在区间(一,+8)上单调递减；

(2)由1,可得lnx-Qx+a+l-e"TW0,

设g(x)=lnx—ax+Q+l—exT,g(l)=0,贝ijg［x)=.

^h(^x)=g\x)=--a-Qx~x,贝V(x)=--y-ex-1<0,

所以函数g'(x)在区间［l,+8)内为减函数，则g'(x)<g'⑴=-a.

当aNO时，g\x)<0,g(x)在区间［l,+8)内为减函数,

所以g(x)Wg(l)=0恒成立;

当好0时，g，(l)=-a>0,因为g'(x)在区间[1,+00)上单调递减，

所以期e(l,+e),在区间(1,%)内,有g'(x)>0,

所以g(x)在区间(1,%)上单调递增,所以g(x)>g(l)=0,不合题意.

综上所述，实数。的取值范围为[0,+8).

【点睛】本题考查了函数的单调性讨论，利用导数研究函数的单调性及最值问题，不等式恒

成立问题，解题的关键是准确对函数进行求导，构建新函数，将恒成立问题转化为最值问题，

要充分利用分类讨论思想进行讨论求解.

3.(23-24高三上•贵州铜仁•阶段练习)已知函数=-l(aeR).

⑴当。=2时，求函数/卜)的单调区间；

(2)若xe[l,+8)时，/⑺20恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

⑵(f2]

【分析】(1)对函数求导，得/'(x)=2x-2(lnx+l)=2(x-lnx-l),令g(x)=jc-lnx-l,

再求导判断即可；

(2)当xe[l,+oo)时，/(x)20可化为x-tzlnx-LNO,=x-alnx--(x>1),

XX

h'(x)=l--+^=x2~a^+l,A=a2-4,对于。分类讨论求解.

XXX

【详解】(1)当a=2时，f(x)=x2-2x\nx-l,函数〃无)的定义域为(0,+“)，

/'(X)=2x-2(lnx+l)=2(x-lnx-l).

令gO)=x-lnx-l,有g(x)=±L

X

令g'(x)>0可得x>l,可知函数g(x)的增区间为(L+。)，

令g[x)<0,可得0<x<l,所以函数g(x)减区间为(0,1),

可得g(x)2g⑴=0,</(%)>0,

可得函数“X)单调递增，

故函数/(无)的增区间为(0,+8),没有减区间.

(2)当xe[l,+oo)时，/(x)20可化为x-alnx-L^O

X

4^/z(x)=x-tzlnx--(x>l),/(0)=]，+二=-―：X+1,△=〃-4.

①当Q«0时，〃(力〉0,可得函数人⑺单调递增，有可到之从1)=0,满足题意，

②当0<aV2时，A<0,有〃(x)>0,可得函数〃(x)单调递增，有〃(尤)2硝)=0,满足

题意，

③当a>2时，A>0,可得一元二次方程尤2一依+1=0有两根外,巧(记再<%2),

x+x=a>2

由x2,可得

XxX2=1

可得函数“X)的增区间为(9,+8),减区间为［1,3)，必有/仁)〈/⑴=0,不合题意，

由上知，若xe［l,+s)时，恒成立，则实数0的取值范围为(-叫2］.

【点睛】关键点点睛：第二问中，当。>2时，A>0,可得一元二次方程x2-ax+l=0有两

X+/=〃〉2/、

根外,X2(记再〈无2),由二，可得0"<1<迎，由此确定函数〃(x)的单调性,

"1"2—1

由此判断结论.

题型二：重点考查单变量能成立问题

典型例题

例题1.(23-24高二下•河南•阶段练习)设函数〃”=以2-工-1皿

⑴当a=1时，求“X)的单调区间；

⑵若关于x的不等式/(x)V0在［e-,5］上有解，求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(L+s)

⑵(-8』.

【分析】(1)利用导数求出函数的单调区间即可；

(2)分离参数后，转化为+竽在［eLe?］上有解，利用导数求出函数

（、1lux

［e，e2］的最大值即可.

【详解】(1)当a=l时，/(力=--x-lnx,其定义域为(0,+动.

仆)=21-3但却0，

XXX

当xe(O,l)时，/'(x)<0,当xe(l,+”)时，/'(x)>0,

所以/'(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

(2)不等式〃x)V0在［e，e［上有解等价于+g在［「,e［上有解,

令g(x)」+与,xe[e，e2],则aVg(x)111ax

令Mx)=l-21nx-x,xe［eT,e］，易知〃(x)在［e，e［上单调递减，且〃⑴=0，

所以当xe［e-,l)时，〃(x)>0,即g<x)>0,当xe(l,e1时，<0,即g［x)<0,

所以g(x)在［e，l)上单调递增，在(1,叫上单调递减.

所以g(x)3=g(l)=l，所以。<1，即实数。的取值范围为(一叫咋

例题2.(2024高三•全国•专题练习)设函数〃尤)=0111工+442一区("1),曲线y=〃x)

在点(1J(D)处的切线斜率为0

⑴求b;

(2)若存在毛21使得/(%)<号，求。的取值范围.

【答案】(1)6=1

(2)(-V2-l,V2-l)U(l,+«5).

【分析】(1)直接求导代入((1)=0即可；

(2)直接求导得/'&)=匕々》--—)(x-l),再对a分。(,、，<a<i和。>i讨论即可.

x1-a22

【详解】(1)f'(x)=—\-(1—a)x—b,

由题设知/⑴=0,解得6=1.

1—a

(2)/(%)的定义域为(。,+8),由(1)知，f(x)=alnx+^—x-x,

f\x)=—+(l-a)x-l=---(A:-—)(x-l)

xx1-a

3)若。41,则旦VI,故当尤e(l,+8)时，/(x)>0,/(x)在(1,+s)单调递增，

2l-a

所以，存在/与，使得/(X。)〈号的充要条件为〃1)(号，即=一1<2\,

a-\"12a-\

解得-后-1<。<也-1.

(ii)若彳<。<1,则--->1,故当％£)时，f(x)<0；

当xe(——,+s)时，/,(x)>0,/(x)在(1,二)单调递减，在(J-,+功单调递增.

1-a1-a1-a

所以，存在/与，使得/(X。)〈二的充要条件为

a—\1-aa-\

1

a、taaaa

M/(—)^ln—+^—^+—>—T所以不合题意.

1—a—a—1ci

仰)若。>1,则

22a-\

综上，。的取值范围是(-亚-1,也-l)U(l,+oo).

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导化简，然后再对a进行合理地分类讨论.

精练高频考点

1.(23-24高二下•四川眉山•期末)已知函数/(x)=-ax2+hu(aeR).

(1)当。=1时，讨论/(x)的单调性；

⑵若存在尤e(l,+oo),使/'(x)>-a,求。的取值范围.

【答案】⑴在O,/上单调递增，在/,+8上单调递减

⑵18，j

【分析】(1)对/(X)求导，得至再利用导数与函数单调性间的关系，即可

求出结果；

(2)对。进行讨论，分aVO,“zg和0<a<g,当aVO,利用函数值的符号即可求解；

当和设g(x)=a(/-l)_lnx(x>l),利用导数与函数的单调性，即可求解.

【详解】⑴易知函数定义域为(0,+8),因为〃x)=-2x+：=匕尹(x>0)

令/(x)=0,得x=[

令/'(x)>0,得xe0,中,令/'(x)<0,得xe^-,+a)

I2JI2

所以/(X)在区间0,彳上单调递增，在区间三,+8上单调递减.

\7\7

(2)由/(%)>-。,得a(%2—l)—hix<0,

因为%£(1,+8),所以—InxvO,%2-l>0,

当时，符合题意；

设g(x)=a。?-l^-lnx(x>1),

当时，则g，(x)=M3>0,所以g(x)在(1,+s)上单调递增，

所以g(x)>g(l)=O,不符合题意；

当0<a<；时，令g'(x)>0,得xe([=,+co],

令g'(x)<0,得xe(l，吉],所以g(x%n=g(G^<g(l)=°,

则存在xe(l,+8),使g(x)<0,满足题意,

综上，a的取值范围是,叫g]

2.(23-24高二下•福建泉州•期中)已知函数/(x)=lnx+?("为常数)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)不等式”x)Zl在xe1,3上有解，求实数。的取值范围.

【答案】①答案见解析

(2)[3-31n3,+(»)

【分析】(1)先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分a40和a>0两种情况讨论导

数的正负，从而可求出函数的单调区间；

(2)根据题意将问题转化为。》尤-;diu在xe1,3上有解，然后构造函数

g(x)=x-xlnx,xep3,利用导数求出其最小值即可.

【详解】(1)“X)的定义域为(0,+“)，

/'(%)=-一£•=号色,xe(0,+比)，

当aWO时,x-a>0,:.f'(x)>0,所以/(无)在(0,+”)上单调递增，

当a>0时，令/(x)=0,解得x=a,

若x>a,则r(x)>0,所以/(无)在(a,+8)上单调递增，

若0<x<a,则/'(力<0,所以/(力在(O,a)上单调递减,

综上，当aWO时，f(x)在(0,+。)上单调递增，

当a>0时，f(x)在(a,+动上单调递增，在(0,。)上单调递减

(2)/(x)21在无e—,3上有解olnxH—21在xe-,3上有解，

2x2

oa>x-xlnx4xe—,3上有解,

2,3,则g，(x)=1-］I1U+X7

令g(%)=x-xlnx,xG=-lnx,

当.别时，gQ)>O,g(x)在川上单调递增,

当xe［l,3］时,g'(x)<O,g(x)在［1,3］上单调递减,

因为g(；)=；-；ln；=；+；ln2>0,g(3)=3-31n3<0

\乙J乙乙乙乙乙

所以gOLn=g(3)=3-31n3,

所以a>3-31n3,

故实数。的取值范围是［3-31n3,+s).

题型三：重点考查〃x)Vg(x)型恒成立问题

典型例题

例题1.(23・24高二下•四川凉山•期中)已知函数/O)=mxlnx-1,m<0,若

0

g(x)=x2-1x,且关于X不等式/(X)-g(x”o在(0,+力)上恒成立，其中e是自然对数的

底数，则m的取值范围是()

--e,0B.--e,0C.--e,0D.--e,0

【答案】D

【分析】由题意可知/(X)maxKg(x)min在(°，+8)上恒成立，利用导数分别求出

即解不等式即可.

【详解】由/(%)=mxlnx-加<0),得/'(X)=777(lnx+l),

令f'(x)>0=>0<x<—,fr(x)<0=>x>—,

ee

所以函数/(X)在(0,1)上单调递增，在d,+8)上单调递减,

ee

1

故/Wmax=/=m•--(-1)-1；

e

由g(x)*-/得g'(x)=2x4,

令g'(x)<0=>x<-,g\x)>0nx>一,

ee

所以函数g(x)在(-8,-)上单调递减，在(-,+8)上单调递增，

故g(x)min=g

因为/(x)<g(x)在(0,+8)上恒成立，所以/(©maxKgQXn在(0，+⑹上恒成立，

BP-m---1<一-1,解得!一e<加<0,

eee

即实数加的取值范围为3一6°]

故选：D

2

例题2.(2024•广东汕头•三模)已知函数，(x)=lnx-gg(x)=£MW0.

⑴求函数“X)的单调区间；

⑵若/(x)4g(x)恒成立，求〃的最小值.

【答案】⑴答案见详解

⑵W

e

【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a>0与。<0分类讨论即可得;

(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【详解】(1)f'(x)=--a=^(叱0),

XX

当Q<0时，由于<>0,所以r(x)>0恒成立，从而/(X)在(0,+8)上递增；

当〃〉0时，0<x<—,x>—,

aa

从而“X)在/£|上递增，在弓,递减；

综上，当。<0时，“X)的单调递增区间为(0,+句，没有单调递减区间；

当a>(m,小)的单调递增区间为/J,单调递减区间为:

2

(2)令/z(x)=/(x)-g(x)=lnx-ax-最，要使f(x)4g(x)恒成立，

只要使”x)40恒成立，也只要使力(力2«0.

一(办+1)(办-2)

若Q〉0,x>0,所以6+1>0恒成立,

29

当0<X<—时，/z'(x)>o,当—<X<+8时，/?"(%)<0,

可知〃(x)在，内单调递增，在1，+［内单调递减，

所以*=后］=吟-3忘0,解得：«>1)

\a)ae

2

可知。的最小值为不；

e

若Q<0,x>0,所以QX—2<0恒成立，

当0<x<——时，/?'(%)<0,当一，<x<+oo时，/?"(%)>0,

aa

可知〃(x)在，-J内单调递减，在1，+")内单调递增，

所以〃(x)在(0,+8)内无最大值，且当X趋近于+8时，“X)趋近于+8,不合题意；

综上所述：。的最小值为彳2.

e

例题3.(23-24高二下•云南保山•阶段练习)已知函数〃力=限，g(x)=：i其中。为常

数.

⑴过原点作/(x)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若〃x)2ga)恒成立，求〃的最大值.

【答案】(山-可=0

⑵T

e

【分析】(1)设切点坐标为亿1皿)，利用导数表示出切线方程，代入原点坐标求出入可得

切线方程；

(2)问题转化为a4x(lnx+l)在(0,+功上恒成立，令〃(x)=x(lnx+l),x>0,利用导数求最

值即可.

【详解】(1)函数〃x)=hu,定义域为(0,+。)，r(x)=1,

设切点坐标为(/』皿)，则切线方程为y-lnf=；(xT),

因为切线经过原点。，所以=解得/=e,

所以切线的斜率为工，所以/的方程为x-ey=0

e

(2)/(x)2g(x)恒成立，即lnx»巴一1恒成立,即aWx(lnx+l)在(0,+。)上恒成立，

X

令人(x)=x(lnx+l),x>0,贝！J〃'(x)=lnx+2,

"(x)<0解得0〈尤<2，〃(幻>0解得

ee

所以〃(x)在上单调递减，在上单调递增,

所以aW-二，故。的最大值为-±.

ee

精练高频考点

1.(2012高二・全国•竞赛)已知函数/■(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若/(x)Vg(x)恒成

立，则实数”的取值范围是.

【答案】工+⑹

【分析】根据题意，构造函数尸(x)=/(x)-g(x),分与。>0讨论，然后转化为

恒成立，代入计算，即可得到结果.

【详解】构造函数尸(x)="x)-g(x),其定义域为造,+8),

贝lj厂'(x)=—+2-2ax-a=-Q"+1)("__1),]£((),+co),

xx

当Q«o时，尸'(%)>oj(x)单调递增，产⑴=2—2〃>0,b(x)vo不可能恒成立；

当Q〉0时，令产'(x)=0,得％=1或％=—,(舍去).

a2

当0<x〈!时，F'(x)>0:

a

当X,时，r(x)<0,故/(X)在(0,+⑹上有最大值尸内，

aya)

由题意知下[―]W0恒成立，即In—I---1^0,

\a)aa

令夕(a)=ln^+L-l,则0(a)在(0,+8)上单调递减，且9⑴=0,

aa

故+W0成立的充要条件是a>1.

aa

故答案为：口,+8)

2.(23-24高二下•安徽芜湖•期末)函数/(x)=e\g(x)=Ax+b化MR)

⑴令人(x)=/(x)-g(x),讨论函数MH的单调性；

⑵若左>0,且/(x"g(x)在实数R上恒成立，求上+6的最大值.

【答案】⑴答案见解析

(2)e

【分析】(1)求得”(x)=e，-左，分％<0和左>0,两种情况讨论，即可求解;

(2)由(1)可知，当左>0时，e1nA—左11次一620,转化为k+bW2k-kink,令

。⑹=2"klnk(k>0),通过导数求。㈤max即可.

【详解】(1)因为Mx)=/(x)-g(x)=e*-Ax-6,

所以为'(x)=e，一上,

当上40时，〃(x)>0恒成立，“X)在R上单调递增，

当上>0时，〃'(x)=0时，x=\nk,

当x<\nk,<0,力⑺在(-00,1加)上单调递减,

当x>1M,〃'(%)>0,在(in左,+oo)上单调递增，

综上所述：当左40时，〃(x)在R上单调递增，

当左>0时,〃(x)在(-力,In左)上单调递减，在(1M,+8)上单调递增.

(2)结合(1)与题意可得BP-k\nk-b>0,

即64e[nk-klnk,

从而得先+6Wetat—kink+k=2k-kink

令p(k)=2k-k\nk(k>0)

所以令P'(左)=l-lnA=Qnk=e

当人(O,e)时,p，⑻〉0,p优)在(O,e)上单调递增

当上e(e,+oo)时，p")<0,p(后)在(e,+8)上单调递减

所以P(£U=P(e)=e

所以上+b4e,即上+6的最大值为e.

2

3.(2024•山西•模拟预测)已知函数〃x)=一,g(x)=]nx-ax,。*0.

ax

⑴讨论函数g(无)的单调性；

(2)当。>0时,尸(x)=g(x)-/(x)V0恒成立，求。的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

⑵

【分析】(])求导，再分"0和。>0两种情况讨论即可；

(2)由题意可得尸(无)1Mx40,利用导数求出函数尸(x)的最大值即可得解.

【详解】(1)g'(x)=：-a=匕

当a<0时,g'(x)>0恒成立,从而g(x)在(0,+。)上单调递增,

当a>0时，0<x<-,g'(x)>0,x>~,g,(x)<0,

aa

从而g(x)在上递增，在上单调递减，

综上，当a<0时，g(无)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当.>0时，g(x)的单调递增区间为卜,：)单调递减区间为1j+e}

(2)由题可知尸(x)=hu-ox--,要使/(力40恒成立，只要尸(力111ax40,

，/、12一(办+1)(办-2)

=—«+—=-~4——2，

xaxax

由于Q〉0,X>0,所以QX+l>0恒成立，

当0<x<*时，F(x)>0,当x>*时，F,(x)<0,

aa

所以函数尸(X)在(0,£|上单调递增，在g+J上单调递减,

所以—「C’W。，解得ag

所以。的取值范围为

题型四：重点考查/(x°”g(x°)型能成立问题

典型例题

例题1.(2024•湖北•模拟预测)已知函数〃x)=lnx,g(x)=三-1其中“为常数.

⑴过原点作“X)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若立e(O,+8),使/(x)4g(x)成立,求。的最小值.

【答案】(1)》-可=0

(2)一一7•

e

【分析】(1)设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；

(2)由题意，将其等价转化为aNx(lnx+l)在(0,+8)有解，即只需求〃(x)=x(hu+l)在

(0,+。)上的最小值，利用导数分析推理即得。的最小值.

【详解】(1)/(x)=J

设切点坐标为&1皿)，则切线方程为>-1皿=，

因为切线经过原点。，所以=解得/=e,

所以切线的斜率为工，所以/的方程为x-ey=O.

e

(2)3xe(0,+o)),/(x)<g(x),即lnx<2-l成立，

则得〃>x(lnx+l)在(0,+力)有解，

故有x£(0,+8)时，6z>[x(lnx+l)]m.n.

=x(lnx+l),x>0,"(x)=lnx+2,

令〃(X)>O得X£(",+8)；令〃(X)<O得X£(0,!)，

故〃(x)在单调递减，单调递增，

所以gL10T,

贝!Ja2--y,故。的最小值为--v.

ee-

i,

例题2.(23-24高二下•天津和平•阶段练习)已知函数/■(无)=alnx+](x-l)-,aeR.

⑴当a=-2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若Vxe[1,+⑹,都有/(x)>0,求实数a的取值范围；

(3)设g(x)=lnx+；/+£+g,若现e[l,e],使得/(%)>8伉)成立，求实数a的取值范围.

【答案】(l)/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+⑹上单调递增.

(2)tze[0,+oo)

/fe2+e)

(3)ac(一。，―l)un，+e

【分析】(1)代入。=-2,求导即可得出函数/(x)的单调区间；

(2)V-8),都有/(x)20等价于X£[l,+8)时，/。篇20恒成立,然后分类讨论求

/(x)min即可.

(3)令〃7(x)=y(x)-g(x)=(a-l)lnx-x-?,即存在％e[l,e],使得机@/*〉。，然后分

类讨论求m(x)1mx>0即可求解.

【详解】(1)当。=一2时，/(x)=-21nx+1(x-l)2,

,/，(x)=_2+x-IL"一尸2=(》2)('+1)

XXX

令/'(x)=0,解得x=-l,x=2

当0<x<2时，r(x)<0；当x>2时，f\x)>0,

所以;■(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+动上单调递增.

(2)Txe[l,+s),都有/(尤)20,

即xe[1,-+W)时,/(x)mm》。恒成立，

2

f'(x)=-+x-\=X-X+Q!(x>l),4-^(.y)=^2-x+a,

①当AW0,即1-4。40,。2；时，

A(x)>0,BP/'(x)>0,所以/(x)在[1,+助单增,

所以/(x)min=/(l)=。，满足题意・

②当A20,即l-4aNO,时，

此时x=BE近，x=l+VE4a,

22

i)当1+J1-4"v]时,即ovaw』时，

24

〃(x)>。BP/'(x)>0,所以/(x)在[1,+8)单增,

所以/(x)m,n=/(l)=0,满足题意.

ii)当1+J1-4"Ji时,即ago时，

2

此时/(i)=o,所以严]<0,不满足题意.

综上所述：当。之0时，满足X£[l,+oo)时，/⑴血》。恒成立.

aG[0,+«?).

(3)令机⑴=/(x)-g(x)=(a-l)lnx-x--,

即存在/«l,e],使得加(%)=(。-1)11«0-%-色>(),

X。

即存在/E[l,e],使得加(x)111ax>0,

，/\6Z—1va—x2+(tz—l)x+tz(x+1)(—x+(2)

mf(x\=-----1+==--------------=-——\--------，

XXXX

i)当iKl时，此时在x£[l,e]上，mr(x)<0,加(x)单减，

•二加(Hmax=加(1)=一1一Q〉。，即4<—L满足题意,

ii)当l<a<e时，此时在XW[1,Q]上，加'(x)〉0,加(x)单增,

在X£[a,e]上，mr(x)<0,加(x)单增.

...加(j)max=加(〃)=(a-l)ln〃一4一1

*/1<6/<e,0<Intz<1,艮一〃一1<-1)In〃一〃一1<一2,

二,m(x)max=加(〃)<°，不满足题意•

iii)当aNe时，此时在xe[l,e]上，mr(x)>0,加c)单增,

2

，加⑺…加(上”1。(>。，解得”妾，满足题意.

p2+e

综上所述:aG(-a?,-l)u,+oo

7

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下:

(1)直接构造函数法:证明不等式/(x)>g(x)(或/(”<g(x))转化为证明/(x)-g(x)>0

(或/(X)-g(x)<0),进而构造辅助函数/z(x)=/(x)-g(x);

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造"形似"函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函

数.

精练高频考点

1.(23-24高二下•四川德阳•阶段练习)已知函数/(x)=e;fct,/eR,xeR)

⑴若左=e,试确定函数/(x)的单调区间；

⑵若左>0,且对于任意xNO,/(x)>0恒成立，求实数人的取值范围；

(3)令g(x)=e，-21nx,若至少存在一个实数与右口⑼，使/(%)<g(x。)成立，求实数人的取

值范围.

【答案】⑴"X)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(-8,1)

(2)(0,e)

⑶(O,+e)

【分析】(1)求导，利用导数判断原函数单调性；

(2)分类讨论判断原函数单调性，结合恒成立问题分析运算；

(3)根据题意可得原题意等价于至少存在一个实数为使％>劲也成立，构建

尸(x)=券，利用导数判断尸(x)单调性，结合存在性问题分析运算.

【详解】(1)若4=e,则/(x)=/-ex,可得/'(x)=e，-e,

令"x)>0,解得x>l,

贝心>1,rw>o；%<1,/v)<o；

故f(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(一叫1).

(2)则/(x)=e*-fcr,可得/1'(%)=e*-左，

令/'(x)>0,解得x>ln),

则x>ln左，f'(x)>0；x<\nk,f\