2025年高考数学专项复习：平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）

第03讲平面向量基本定理及坐标表示

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐

模块二基础知识全梳理（吃透教材）标系，更应该学会用基底表示平面向量

模块三核心考点举一反三2.会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线

模块四小试牛刀过关测的判断.

3.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面

向量数量积的坐标运算；

加模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理

知识点1平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果ere2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量°,有且只有一对实数4,4，

使a=44+%02.

若q,e2不共线，我们把，｛《Ie；｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

知识点2平面向量基本定理的有关结论

(1)设4,e2是平面内一组基底，若，当4=。时，a与e2共线；当4=0时，a与6共

线；当4=4=0时，a=o，同样的。=0时，4=%=。.

Y—X

(2)设a,b是同一平面内的两个不共线的向量，若%。+%〃=%2。+%人，贝！P「_:.

知识点3平面向量的正交分解

(1)把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.

知识点4平面向量的坐标表示I/

(1)向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与X轴、y轴方向相同的两个不共线单位向量,•、，作为基底，。1,•，

对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X,y使得

a=xi+yj,则把有序数对(x,y),叫做向量°的坐标.记作a=(x,y),此式叫做向/

量a的坐标表示，其中x叫做°在x轴上的坐标，V叫做a在V轴上的坐标，|；/;

注意：①对于q,有且仅有一对实数(x,y)与之对应:匕";----*

②两向量相等时，坐标一样

③i=(l,0)，，=(0,1),0=(0,0)

④从原点引出的向量04的坐标(x,y)就是点A的坐标

(2)点的坐标与向量的坐标的关系

区别：①表示形式不同向量a=(x,y)中间用等号连接，而点4Xy)中间没有等号

②意义不同点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x,y)的坐标(x,y)既表示

向量的大小，也表示向量的方向.另夕卜(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向

量(x,y).

联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

知识点5平面向量的坐标表示

(1)两个向量和(差)的坐标表示

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

坐标表示：a=(%,%),彼=(X2，%)则：

a+b=(x1+x2,yi+%)；a-b=(xl-x2,yl-y2)

(2)任一向量的坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

4(%,%),B(X2,y2),贝！JAB=(X2-石,%一乂).

(3)向量数乘的坐标表示

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

坐标表示：a=(x,>),贝UAa=(Ax,Ay).

知识点6平面向量共线的坐标表示

设。=(%,%),/2=(%2，%)，其中则abo当且仅当存在唯一实数几，使得口=用；

用坐标表示，可写为。/?0(石,乂)=〃%2，%)，即：

，再消去几得到：七%—々%=0.

这就是说,向量a/(。#0)共线的充要条件是%%-々%=0.

知识点7平面向量数量积的坐标表示

在平面直角坐标系中，设〃j分别是％轴，V轴上的单位向量.向量。=(七,%)方=(%,%)分别等

价于a=xj+yj,b=x2i+y2j,根据向量数量积的运算，有：

=，)・(%2，+%/)=石+石％3/+由于，，，为正交单位向量，故，：=1，

j1=1，i-j=0,从而。山=%%2+%%.即+其含义是：两个向量的数量积等于它们

对应坐标的乘积的和.

知识点8两个向量平行、垂直的坐标表示

已知非零向量a=(%,%),〃=(%,%),

(1)a-Lboa•》=0oX]%+X%=0.

(2)a6=尤]%—尤2%=0

知识点9向量模的坐标表示

（1）向量模的坐标表示

若向量a=（x,y）,由于，所以|a|=Jx2+）.

其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.

（2）两点间的距离公式

已知原点。（0,0）,点4（石,%）,6（工2，%），则48=06-。4=（兀2，%）-（玉,%）=（42-%,%-乂），于是

IA51="（8一3了+⑴一乂］.

其含义是：向量的模等于A，5两点之间的距离.

（3）向量q的单位向量的坐标表示

设a=（x,y）,@表示°方向上的单位向量

\a\

知识点10两向量夹角余弦的坐标表示

Z7.A玉马+必为

已知非零向量〃=（玉,％）/=（%2，%），。是Q与b的夹角，贝！Icos8=--------=/2,21I2,~•

一一Itz||/?।y玉十必yz十为

模块三核心考点举一反三

考点一：用基底表示向量

（24-25高三上•陕西汉中•期中）如图，在VABC中，BD=|DC,则AO=（)

13

B.-AB+-AC

44

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【变式1-1］（2024高三•全国•专题练习）在AABC中，点。为A5的中点，记渣=味，CB=n,则8=（）

11

A.m+nB.m-nC.—m+—nD.";工

2222

【变式1-2］（23-24高一下•福建福州•期末）在平行四边形ABCZ）中，E是BC的中点，则。石=（）

-1-11--1-

A.AB+-ADB.-AB+-ADC.AB——ADD.-AB——AD

2222

【变式1-3］（23-24高一下•湖北武汉•期末）平行四边形ABC。中，点M是线段3C的中点，N是线段CZ>

的中点，则向量MN为（）

1,1,1,3,

MN=-AB--ADB.MN=-AD+-AB

2244

MN=-AD--ABD.MN=-AD--AB

2244

考点二：根据平面向量基本定理求参数

%例2.（23-24高一下•贵州贵阳•阶段练习）在VABC中，。为边8C的中点，E,F分别为边AB,AC

上的点，且A2=3AE,AC=4AF,AD=AAE+/JAF,则值为（）

7

A.1B.-C.3D.5

2

【变式2-1］（2024高三•全国•专题练习）如图，在VABC中，点。,E分别在边AS3c上，且均为靠近

8的四等分点，CZJ与AE交于点/，^BF=xAB+yAC,则3x+y=（）

【变式2-2］（2025高三•全国•专题练习）在三角形048中，点尸为边4B上的一点，&AP=2PB，点。为

直线。尸上的任意一点（与点。和点P不重合），且满足则停=.

【变式2-3］（2024高三•全国•专题练习）如图，在VABC中，点。，E分别在BC,AC上，且BD=DC,

AE=2EC,^DE=xAB^yAC9贝!|工+》=.

A

E

BDC

考点三：平面向量正交分解及坐标表示

例3.（2024高一下•全国•专题练习）如图，向量”，b，c的坐标分别是，

【变式3-1］（23-24高二上•上海虹口•阶段练习）若向量AB=2i+3j,BC=i-2九则AC对应的位置向量

的终点坐标是.

【变式3-2］（24-25高一下•全国•课堂例题）如图，设乩/｝为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表

示向量〃，b,c,d，并求出它们的坐标.

考点四：平面向量坐标运算

.例4.（2024•山东一模）已知向量d=（l,-3）,。=（一2,4）,若4。+（36-2a）+e=0,则向量0的坐标为

）

A.（1,-1）B.（-1,1）

C.（T,6）D.（4,-6）

【变式4-1］（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）若。=（2,1）力=（-1,0）,则q-b的坐标是（）

A.（1,-1）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（2,0）

【变式4-2］（23-24高一下•新疆•期中）已知向量。=（2,1）,6=（1,3）,则.+36=（）

A.（10,5）B.（1,8）C.（5,10）D.（7,6）

【变式4-3](23-24高一下•广西南宁•期末)已知向量。=(3,1),6=(-1,3),若c满足a-26+c=0,则

考点五：根据坐标求模运算

例5.(23-24高一•上海•课堂例题)已知向量。=(一2,3),*=(2,-5),求为-6的坐标及忸-4

【变式5-1](2024高三•全国•专题练习)已知向量)=(2,1),力=(-2,4),贝巾-力卜()

A.2B.3C.4D.5

【变式5-2](24-25高二上•湖南长沙•开学考试)平面内给定两个向量。=(3,2)/=(-1,2).

⑴求COSQ,Z?；

(2)求忸―耳.

【变式5-3](23-24高一下•江苏徐州•期末)已知向量。=(3,2),3=(-2,-1),则以+2昨.

考点六：平面向量数量积的坐标表示

：''例6.(24-25高三上•广东深圳•期中)设a=(2,-1),6=(-3,1),c=(l,-2),则(a+2b)/=()

A.-2B.1C.-6D.-7

【变式6-1](24-25高三上•黑龙江•阶段练习)向量。6=(-1,2),则(2a+b>a=()

A.-1B.0C.-2D.1

【变式6-2](24-25高三上•浙江•阶段练习)已知平面向量卜代，-1),6=卜26,4),则°力=()

A.2B.10C.-D.2>/3

【变式6-3](2024高三•全国•专题练习)已知向量。=(1』)，6=(2,0),贝!!(。+6}(2°-6)=.

考点七：向量垂直的坐标表示

%例7.(24-25高三上•浙江•开学考试)已知向量a=(x,l)力=(l,x),若(a+6)_L6,贝!|x=()

A.1B.2C.-1D.-2

【变式7-1](23-24高二下•贵州六盘水•期末)已知向量。=(相，-3),b=(3m,m+2),S.alb,则根=()

A.2B.-1C.2或-1D.2或-2

【变式7-2](2024高三•全国•专题练习)已知向量。=(〃?,3),6=(1,租+1).若。,匕，则机=.

【变式7-3](24-25高三上•安徽•期中)已知平面向量。=(-1,2),》=(八-3)满足。+6),则

考点八：向量投影

例8.（23-24高二下•河北石家庄•期末）设向量a=（3,4）力=（1,-1）,则〃在b方向上的投影向量为（）

A.(2,-2)B.(-2,2)C.D.

【变式8-1］（24-25高二上•陕西•期中）已知向量a，b满足b=（2,0）,且a/=-2,贝必在6上的投影向量

的坐标为（）

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)

【变式8-2］（23-24高一下•河北•期末）已知q,4是夹角为学的单位向量，则G在方向上的投影向量为

)

B.李C.显e,

A.-D.e

22x

【变式8-3］（24-25高三上•辽宁•期中）已知向量。=（-3,1）,b=（2,l）,贝!|“在b方向的投影向量为.

考点%向量夹角

'例9.（23-24高一下•河北邯郸•阶段练习）已知向量4=（3,-2）力=（4,4

⑴求a-b与卜+。|；

⑵求。与b的夹角的余弦值.

【变式9-1］（24-25高二上•云南昭通•期中）若。=（2,0）,6=［-1,1）,则cosR$}=（）

A④n1「1n拒

A.------B.—C.—D.一

2222

【变式9-2］（23-24高三上•贵州黔东南•开学考试）已知向量d=。,3）,6=（-2,1）,则向量a与。夹角的余

弦值为.

【变式9-3］（23-24高一下•吉林•期末）已知向量。=（1,2）,6=（2-2,22）,若a与b的夹角为锐角，则实

数X的取值范围为.

【变式9-4］（2024高二下•湖北）已知平面内两个向量"=（2%,1）,b=m若。与》的夹角为钝角，则

实数上的取值范围是

考点10：向量数量积的最值范围问题

''例10.（23-24高一下•浙江台州•期末）已知P是边长为2的正六边形所内（含边界）一点，M

为边3C的中点，则AP.AM的取值范围是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,61

【变式10-1]（23-24高一下•江苏泰州•阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民

间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正

八边形ABCDEFC归的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则4尸.48的最大值为（）

图1图2

A.亚B.4+2后C.2+>/2D.20

【变式10-2]（23-24高一下•上海•期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组

成，若正方形A3CD的边长为4,点尸在四段圆弧上运动，则AP.48的取值范围为.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）设向量2）,6=（6,3）.若°，贝（Jx=（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）若a=（2,1）,。=（-1,0）,则“_匕的坐标是（）

A.（1,-1）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（2,0）

3.（23-24高二上•吉林•期中）已知AB=（2,1）,BC=（-1,0）,则卜（）

A.V2B.2C.V10D.10

4.（24-25高三上•海南•阶段练习）已知向量。=（-1,3）,人=（2,0）,c=（l,3）,若。与26-c平行，则实数几

的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

5.（2024高二下•安徽•学业考试）已知时=2,6卜百，a-b=V10,贝!|a与b的夹角为（）

A.土B.阴C.生

446

6.（2024高三•全国•专题练习）已知同=4,忖=3,a-b=-12,则向量。在〃方向上的投影向量为（）

33-44

A.——aB.--bC.——bD.—a

4433

7.（2024•广东•模拟预测）已知向量a=（x+3,4）/=（x,—l）,^\a+b\=\a-b\,则实数无的值为（）

A.4B.T或1C.-1D.4或—1

8.（2024高三•全国•专题练习）已知向量4=（-0=则下列关系正确的是（）

A.(Q+匕)"-b)B.(a+b)_Lb

C.(a+b)-L(d-bD.(Q+b)_l_Q

二、多选题

9.（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知点4（0,2）、矶2,0）、C（l,y）,其中yeR,则（）

A.若A、B、C三点共线，贝！Iy=lB.若A8LAC,贝！1尸3

C.若网=国,则y=2-五D.当y=2时，=：

10.（2024•江西•一模）已知向量“=（-2,1）,6贝()()

A.若a16,则"-5B.若a,/,共线，贝！|f=-2

C.6不可能是单位向量D.若r=0,贝42a_"=5

11.（24-25高二上•湖南郴州•开学考试）设向量。=（3