2025年高考数学专项复习：杨辉三角的性质与应用（思维导图+3知识点+三大考点+过关检测）（原卷版）

第17讲杨辉三角的性质与应用

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模块一思维导图串知识1.了解杨辉三角的数字规律，掌握它与二项式系数

模块二基础知识全梳理(吃透教材)之间的关系

模块三核心考点举一反三

【考点一：观察杨辉三角数字规律】

【考点二：杨辉三角与二项式系数】

【考点三：杨辉三角与组合数的性质】

模块四小试牛刀过关测

3模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-------------------------

一、杨辉三角

当”依次取1,2,3,…时，(a+b)”展开式的二项式系数可以表示成如下形式:

(a+b)1..................................................11

(cz+6)2.................................................................121

3+6)3..........................................................1331

(a+6)4.....................................................14641

(a+6)5...............................................15101051

3+6)6.........................................1615201561

...…上表称为“杨辉三角”.

从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点：

(1)在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等；

(2)在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.

由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.

二、二项式系数的性质

①各二项式系数和：C+C"..+C"..+C：=2"（neN*）；

②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

C：+C".・=C；+C；+…=2"T（〃eN*）

三、杨辉三角至少具有以下性质

①每一行都是对称的，且两端的数都是1

②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.

H—1H—1

③当上<——时，二项式系数是逐渐变大的；当k>——时，二项式系数是逐渐变小的.

22

（4）当〃是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当〃是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.

6模块三核心考点举一反三

【考点一：观察杨辉三角数字规律】

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•课堂例题）观察图中的数所成的规律，则。所表示的数是（）

1

121

1331

14a41

15101051

A.8B.6C.4D.2

2.（23-24高二下.北京朝阳•期末）“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如

图:

第

0行

..........................................1

第

1行

11

第

2行

1.....21

第

3行

1331

第

4行

第

行14641

5

..............................1.....5101051

则第8行的第7个数是（）

A.8B.21C.28D.56

3.（23-24高二下.北京大兴.期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示

的“杨辉三角”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,

则此数列的第2024项为（）

四六四

五乂十）（十乂五

A.V

D.M

【考点二：杨辉三角与二项式系数】

一、单选题

1.（2024高二下.河南南阳•阶段练习）下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之

为“杨辉三角'该表中第10行第7个数是（)

四/、，四

五I-十五

十五）（二十）（十五六

A.120B.210C.84D.36

2.（22-23高二下•广东珠海•期末）在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几

行如下图，若第〃行从左到右第12个数与第13个数的比值为2,则九二)

第。行

第1行11

第2行12

第3行1331

第4行464

A.15B.16C.17D.18

3.（23-24高三上•浙江•阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成

则％2的值为（）

4.（23-24高二下.陕西咸阳•阶段练习）当时，将三项式+x+l）"展开，可得到如图所示的三项展

开式和“广义杨辉三角形”：

广义杨辉三角

(f+x+l)°=l第0行1

(xWlj'^+x+l

第1行111

1x12+x+1)2=X4+2X3+3X2+2X+1

第2行12321

(x2+x+1)3=/+3?+6X4+7X3+6X2+3X+1第3行1367631

(x2+x+1)4=X8+4X7+10x6+16X5+19X4+16X3+10X2+4X+1第4行14101619161041

若在（1+词（尤2+x+l『的展开式中，『的系数为75,则实数。的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.（2024高一上•浙江•阶段练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约

13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和（。+卬的展开式的各项系数，此

三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第〃行的各数之和比上一行各数之和大64,则〃的值为（）

11

121

1331

14641

510105

A.7B.8C.9D.10

6.（22-23高二下•湖南•期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于

1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规

律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

三角

杨辉

第0行

1

第1行

11

第2行

21

1

第3行

1

3

13

第4行

41

6

14

第5

行

1

5

10

10

5

1

第6

行

1

56

1

20

15

16

第7

行

71

1

52

353

21

17

第8

1

8

628

05

567

28

行18

/

220

C：=

…+

C；+

C；+

C；+

A.

相等

2个数

101

与第

个数

1011

右第

左往

中从

3行

202

B.第

〃+1

4"

""=

则£3

外,

数为

第i个

行的

第八

C.记

1=1

18

为13:

之比

个数

第13

数与

第12个

行中

第30

D.

质】

的性

合数

与组

三角

杨辉

三：

【考点

单选题

一、

,一,

0,15

36,1

列：1

个数

成一

数构

行的

第3斜

往右

从左

角”中

杨辉三

，在“

）如图

•期中

.湖北

二下

4高

（23-2

1.

（）

和为

项的

前10

数列

则该

第行

0

第行

1

第行

1

2

1

2

第行

3

3

1

1

3

第行

4

4

6

1

1

4

第行1

5

5

5

10

第行10

6

6

20

15

15

20

D.2

165

C.

120

B.

6

A.6

角

辉三

末）杨

西•期

上・江

4高二

（23-2

2.

行

从第2

角中

辉三

，杨

成就

伟大

一个

上的

学史

是数

示）

图所

（如下