2025年高考数学专项复习：组合与组合数（思维导图+4知识点+六大考点+过关检测）（原卷版）

第14讲组合与组合数

T模块导航AT素养目标一

模块一思维导图串知识1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与

联系.

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三2.理列数与组合数之间的联系，掌握组合数公

式，能运用组合数公式进行计算；

【考点一：组合的意义与理解】

3.会解决一些简单的组合问题。

【考点二：有关组合数及其性质的计算、化简、证

明】

【考点三：有限制条件的组合问题】

【考点四：几何中的组合问题】

【考点五：分组分配问题】

【考点六：排列组合综合问题】

模块四小试牛刀过关测

»模块一思维导图串知识

定义

相同：都是从n个元素中取m个元素出来

组合与排列的区别与联系

区别：①先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序

②区分有无顺序的方法是：交换某两个元素的位置对结果有没有影响，若有影响，则是排列问题，若无影响，则是组合问题

组告数公式

L组合数的性质

平均分组

三、分组分配问题部分平均分组

不平均分组

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、组合

1、定义：一般地，从〃个不同元素中取出个元素作为一组，叫做几个不同元素中取出加个元素

的一个组合。

2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。

3、对组合概念的两点说明：

（1）组合的特点：组合要求几个元素是不同的，被取出的加个元素也是不同的，即从几个不同元素中进行

m次不放回地取出；

（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的加个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。

二、组合数与组合数公式

1、组合数：从〃个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从几个不同元素中取出加个

元素的组合数，用符号表示。

c汨八珈八斗尸m47n（n-I）（n-2）■--（n-m+V）n!.”*目,、

2、组合数公式：C==------------乙------------乙=----------（“，〃zeN，且机V〃）

A：mlml（n—m）l

3、组合数的性质：

⑴C：=C：f；⑵C：+C：i=C；；i；（3）规定仁=1

三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法

1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素,

再选取其他元素。

2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑

从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至

多”，，至少，，等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。

四、排列与组合的相同点与不同点

1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出机（mW力）个元素”

2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，

因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素

的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。

6模块三核心考点举一反三------------------------------

【考点一：组合的意义与理解】

一、单选题

1.（23-24高二下.江苏徐州•期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不

同的取法种数是（）

A.C；C；B.C；C；C.C；D.C；

2.（24-25高二上・甘肃武威•期中）下列四个问题属于组合问题的是（）

A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作

B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数

C.从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式

D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员

二、解答题

3.（2024高二下.全国・专题练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题.

⑴把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法?

（2）从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不

同的分数？

（3）若已知集合{1,2,3,4,5,63},则集合的子集中有3个元素的有多少？

（4）在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞

机票价？

【考点二：有关组合数及其性质的计算、化简、证明】

一、单选题

1.（23-24高二下.河南.阶段练习）从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件

产品中恰好有2件次品的抽法种数为（）

A.A；A；B.A；A；C.C；C；D.C；C；

2.（24-25高二下•全国•课后作业）若C：-C：=O,则/的值为（）

A.12B.14C.16D.18

3.（24-25高二上・甘肃武威・期中）某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别

去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（）

A.3,5B.2,5C.5,3D.6,2

二、填空题

4.（24-25高二下•全国•课后作业）已知组合数C'C：,则关于，”的不等式C：＞C：的解集为.

三、解答题

5.（22-23高二下•河北石家庄•阶段练习）若＞3C『，求m.

6.（24-25高二上•江西•阶段练习）按要求完成下列问题：

（1）从〃个不同的小球中取出加个有A种方法，从«个不同的小球中取出"L1个有B种方法，从"+1个不同

的小球中取出优个有。种方法，试判断A+3与。的大小关系，并证明你的结论；

⑵若C；+C；+C；+C：+…+C霆=C短，求6的值.

7.（23-24高二下.山东青岛.阶段练习）（1）计算：C；+2C；+3C；+…+7C；；（请用数字作答）

（2）解关于正整数〃的方程：〃C：『+A：=4C：+I

8.（23-24高二上.上海.课后作业）解关于正整数x的方程：

⑴=C*；

（2）C；+C2=；A".

【考点三：有限制条件的组合问题】

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•课前预习）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、

乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（）

A.27种B.18种C.36种D.48种

2.（23-24高二下•新疆克孜勒苏•期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则

选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（）

A.20B.30C.22D.40

3.（24-25高二下•全国•课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男

生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（）

A.80种B.90种C.100种D.120种

4.（24-25高二上•甘肃白银•期末）袜子由袜口、袜筒、脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜

子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（）

A.12B.24C.36D.48

5.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难

求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰

有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A.30种B.60种C.120种D.24种

6.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列、记第，项

为G（，=1，2,…,7）,右见<%>“4>%，%<必<%，则这样的数列共有■（）

A.70个B.71个C.80个D.81个

7.（24-25高三上•湖北武汉•阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张

老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同

的值班方法共有（）种

A.114B.120C.126D.132

8.（23-24高二下•安徽•期中）已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6

名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有

（）

A.36种B.52种C.88种D.92种

【考点四：几何中的组合问题】

一、单选题

1.（23-24高二下•广东广州•期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（）

A.70B.64C.58D.24

2.有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（）.

A.36条B.30条C.21条D.18条

3.（23-24高二下•河北唐山・期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载,

它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的

依据之一.如图，用点A,B,C,D,E,F,G表示某季节的北斗七星，其中8,D,E,尸看作共线，其他

任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（）

C.

・G

•••

DDEF

9A

A.35B.34

C.31D.30

4.（24-25高二上•上海奉贤•期中）在平面直角坐标系中，1轴正半轴上有4个点，,轴正半轴上有6个点，

将光轴上的4个点和y轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（）个.

A.90B.85C.80D.75

fax+by=1

5.（24-25高二上•陕西西安•阶段练习）使方程组，2s至少有一个解，且所有的解都是整数解的实

［元-+=50

数对（°,加的个数是（）

A.66B.78C.72D.70

6.（23-24高二下•四川眉山•期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直

线，这些直线最多能组成（）对异面直线

A.174B.180C.210D.368

【考点五：分组分配问题】

一、单选题

1.（23-24高二下.河南洛阳・期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，

若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（）

A.90种B.150种C.240种D.300种

2.（24-25高二下•全国•课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将7

本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙

班至少2本，则不同的分配方案有（）

A.630种B.840种C.1470种D.1480种

3.（23-24高二下•安徽安庆•阶段练习）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一

个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）

A.90B.150C.390D.420

4.（23-24高二下•河北•阶段练习）暑期将至，甲、乙、丙等六名学生准备各自从A,8,C,O四个景点中选一个

景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点A,则所有不同的选法种数为（）

A.540B.720C.1080D.1170

5.（24-25高二上•辽宁辽阳•期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍

山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去

一个景区，则不同的安排方法种数为（）

A.1280B.300C.1880D.1560

6.（24-25高二上•山东德州•阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等

8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李

不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（）

A.82B.100C.124D.164

【考点六：排列组合综合问题】

一、单选题

1.（23-24高二下•河南•期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师,

则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（）

A.14种B.18种C.12种D.7种

2.（23-24高二下.新疆省直辖县级单位.阶段练习）某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目

比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（）

A.18种B.24种C.36种D.72种

3.（24-25高二下•全国•课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将7

本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙

班至少2本，则不同的分配方案有（）

A.630种B.840种C.1470种D.1480种

4.（23-24高二下•山东荷泽・期中）将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物

且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（）

第一试验田第二试验田第三试验田第四试验田

A.24种B.21种C.18种D.12种

5.（23-24高二下.天津北辰•期中）从0,2,4中选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字

的三位数.其中奇数的个数为（）

A.48B.30C.24D.6

6.（23-24高二下・江苏南京•阶段练习）有10只不同的实验产品，其中有4只次品，6只正品.现每次取一

只测试，直到4只次品全测出为止，则错误的是（）

A.最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有24种

B.最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有576种

C.所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有7200种

D.4只次品全测出至多需要九次测试

7.（24-25高二上•甘肃武威•期中）2026年9月我校组织120年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A、

8、C、。等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有

（）

A.20种B.36种C.24种D.18种

8.（24-25高二上•天津红桥•阶段练习）从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、

体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（）种

A.60B.120C.180D.210

9.（24-25高二上•辽宁•阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本

音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求''宫"不为末音

阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（）

A.50B.64C.66D.78

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24高二下.湖南邵阳•期末）某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其

中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（）

A.21B.35C.70D.126

2.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）2024年2月，贵州省多点爆发山火，给国家和当地人民带来了巨大

的财产损失.为帮助兄弟省份有效控制火势继续蔓延，省政府决定让我市抽派3名志愿者去支援抗火.目前6

名志愿者中有男性4名女性2名，至少抽派到1名女性的方法数是（）

A.A：B.C：C.+D.

3.（23-24高二下•辽宁•阶段练习）甲辰龙年新年伊始，“尔滨”成为旅游城市中的“顶流”，仅元旦假期，哈

尔滨接待游客突破300万人次，实现旅游收入59亿元，冰雪大世界更是游客们必去打卡点之一.小于、小智

等5个“南方小土豆”决定在冰雪大世界的雪花摩天轮、超级大滑梯、急速雪圈、雪地旋转4个项目中选择1

个项目优先游玩体验.若每个项目至少有1个“小土豆”去优先体验，每个“小土豆”都会选择1个项目优先体

验，且小于、小智都单独1人去某1个项目，则不同的优先游玩体验方法有（）

A.36种B.72种C.84种D.96种

4.（24-25高二上•黑龙江•阶段练习）若c7=c。则C；+C：+C；+…+C：的值为（）

A.286B.285C.219D.218

5.（23-24高二下•黑龙江鹤岗•开学考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就

有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉

以判断季节的依据之一.如图，用点瓦尸,G表示某一时期的北斗七星.其中3,2E尸四点看作共

线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（）

C.・G

B，D~E~F

A.

A.18B.17C.16D.15

6.（23-24高二下•湖北•期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名

次.比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”.根据以上信息，这5人的名次排列情况种

数为（）

A.72B.78C.96D.120

7.（24-25高二上•辽宁•阶段练习）已知狐〃eN*且根W〃，则下列等式正确的是（）

A.A：O=A：。B.C；号

C.（〃+l）A；：=A鬻D.C：=^C：+1

8.（23-24高二下•湖北.期中）2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流.某班

级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大

街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至

少一位同学会选，则不同的选法总数为（）

A.240B.360C.420D.540

9.（23-24高二下•安徽马鞍山•期末）六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成

节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）

A.180种B.336种C.720种D.1440种

10.（23-24高二下.安徽•阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A,B,C,D,E,尸六个区域，现需要在

该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同.现有5种

不同颜色（含红色）的花可供选择，2区域必须种红花，则不同的种法种数为（）

11.（23-24高二下.安徽•阶段练习）将编号为1,2,3,4,5,6的小球放入编号为1,2,3,4,5,6的

六个盒子中，每盒放一球，若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.264D.270

12.（23-24高二下•内蒙古赤峰•期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要

进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序

共有（）

A.H52种B.1040种

C.864种D.288种

13.（24-25高三上•湖南永州•开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引

导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参

加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（）

A