2025年概率论期末试题及答案

概率论期末试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)的值域是（）。

A.[0,1]

B.(-∞,+∞)

C.(-∞,0]

D.[0,+∞)

2.若随机变量X和Y相互独立，且X和Y的方差都为1，则X+Y的方差是（）。

A.1

B.2

C.0

D.无法确定

3.设随机变量X的期望值E(X)=2，方差Var(X)=4，则X的标准差是（）。

A.2

B.4

C.1

D.8

4.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P{X=0}的值是（）。

A.e^(-λ)

B.1/e^λ

C.λ

D.1

5.设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则X+Y的概率密度函数是（）。

A.f(x)g(y)

B.f(x)+g(y)

C.f(x)g(x)

D.f(x)g(y)

6.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P{μ-σ≤X≤μ+σ}的值约为（）。

A.0.68

B.0.95

C.0.99

D.1

7.设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布律分别为：

X:1,2,3

P:0.2,0.5,0.3

Y:1,2,3

P:0.3,0.4,0.3

则X+Y的概率分布律中，P{X+Y=4}的值是（）。

A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3

8.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X>1}的值是（）。

A.e^(-λ)

B.1/e^λ

C.λ

D.1

9.若随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则X-Y的概率密度函数是（）。

A.f(x)g(y)

B.f(x)+g(y)

C.f(x)g(x)

D.f(x)g(y)

10.设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布律分别为：

X:1,2,3

P:0.2,0.5,0.3

Y:1,2,3

P:0.3,0.4,0.3

则X-Y的概率分布律中，P{X-Y=0}的值是（）。

A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)在x点的导数表示X在x点的（）。

2.若随机变量X和Y相互独立，则X和Y的协方差Cov(X,Y)等于（）。

3.设随机变量X的期望值E(X)=3，方差Var(X)=9，则X的标准差是（）。

4.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P{X=1}的值是（）。

5.设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则X+Y的概率密度函数是（）。

6.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P{μ-σ≤X≤μ+σ}的值约为（）。

7.设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布律分别为：

X:1,2,3

P:0.2,0.5,0.3

Y:1,2,3

P:0.3,0.4,0.3

则X+Y的概率分布律中，P{X+Y=4}的值是（）。

8.若随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X>1}的值是（）。

9.设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则X-Y的概率密度函数是（）。

10.设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布律分别为：

X:1,2,3

P:0.2,0.5,0.3

Y:1,2,3

P:0.3,0.4,0.3

则X-Y的概率分布律中，P{X-Y=0}的值是（）。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx^2，其中k为常数。求常数k的值。

2.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的泊松分布，Y服从参数为μ的指数分布。求X+Y的分布律。

3.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为μ的正态分布，Y服从参数为σ^2的卡方分布。求X+Y的分布律。

四、应用题（每题10分，共20分）

1.一批产品共有100件，其中有10件次品。现从这批产品中随机抽取5件，求：

（1）抽到2件次品的概率；

（2）至少抽到1件次品的概率。

2.一批产品的质量指标服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=100，σ=10。现从这批产品中随机抽取5件，求：

（1）抽到的产品平均质量大于105的概率；

（2）抽到的产品中至少有1件质量小于95的概率。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若随机变量X和Y相互独立，则它们的方差之和等于它们各自方差的和，即Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。

2.证明：若随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则X和Y的乘积的概率密度函数为f(x)g(y)。

六、综合题（每题10分，共20分）

1.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的指数分布，Y服从参数为μ的指数分布。求X和Y的乘积的分布律。

2.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为μ的正态分布，Y服从参数为σ^2的卡方分布。求X和Y的和的分布律。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A解析：分布函数的值域为[0,1]，表示随机变量取值的概率范围。

2.B解析：两个独立随机变量的方差之和等于各自方差的和。

3.A解析：标准差是方差的平方根，所以标准差为2。

4.A解析：泊松分布的概率质量函数为P{X=k}=(λ^k*e^(-λ))/k!，当k=0时，P{X=0}=e^(-λ)。

5.C解析：两个独立随机变量的概率密度函数的乘积是它们和的概率密度函数。

6.A解析：正态分布的68-95-99.7规则表明，在均值两侧各一个标准差内的概率约为0.68。

7.D解析：根据概率分布律，P{X+Y=4}=P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}=0.3*0.3+0.5*0.4+0.3*0.3=0.3。

8.A解析：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，当x>1时，P{X>1}=∫[1,+∞]λe^(-λx)dx=e^(-λ)。

9.C解析：两个独立随机变量的概率密度函数的乘积是它们差的概率密度函数。

10.D解析：根据概率分布律，P{X-Y=0}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=3}=0.2*0.3+0.5*0.4+0.3*0.3=0.3。

二、填空题答案及解析思路：

1.累积分布函数解析：分布函数的导数表示随机变量取某个值的概率。

2.0解析：独立随机变量的协方差为0。

3.2解析：标准差是方差的平方根，所以标准差为2。

4.e^(-λ)解析：泊松分布的概率质量函数为P{X=k}=(λ^k*e^(-λ))/k!，当k=1时，P{X=1}=λe^(-λ)。

5.f(x)g(y)解析：两个独立随机变量的概率密度函数的乘积是它们和的概率密度函数。

6.0.68解析：正态分布的68-95-99.7规则表明，在均值两侧各一个标准差内的概率约为0.68。

7.0.3解析：根据概率分布律，P{X+Y=4}=P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}=0.3*0.3+0.5*0.4+0.3*0.3=0.3。

8.e^(-λ)解析：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，当x>1时，P{X>1}=∫[1,+∞]λe^(-λx)dx=e^(-λ)。

9.f(x)g(y)解析：两个独立随机变量的概率密度函数的乘积是它们差的概率密度函数。

10.0.3解析：根据概率分布律，P{X-Y=0}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=3}=0.2*0.3+0.5*0.4+0.3*0.3=0.3。

三、计算题答案及解析思路：

1.k=1/3解析：由于概率密度函数的积分等于1，所以∫[0,+∞]kx^2dx=1，解得k=1/3。

2.X+Y的分布律为：

X+Y:2,3,4,5,6

P:0.06,0.18,0.27,0.27,0.18

解析：根据泊松分布和指数分布的乘法公式，计算每个值的概率。

3.X+Y的分布律为：

X+Y:2,3,4,5,6,7,8,9,10

P:0.0228,0.0872,0.1945,0.1945,0.1945,0.1945,0.1945,0.1945,0.1945

解析：根据正态分布和卡方分布的乘法公式，计算每个值的概率。

四、应用题答案及解析思路：

1.（1）P{X=2}=C(5,2)*(0.1)^2*(0.9)^3=0.0781

（2）P{X≥1}=1-P{X=0}=1-(0.9)^5=0.5905

解析：使用组合数计算抽到2件次品的概率，使用补集计算至少抽到1件次品的概率。

2.（1）P{X>105}=P{Z>(105-100)/10}=P{Z>0.5}=0.6915

（2）P{X<95}=P{Z<(95-100)/10}=P{Z<-0.5}=0.3085

解析：使用标准正态分布表计算概率。

五、证明题答案及解析思路：

1.证明：Var(X+Y)=E[(X+Y)^2]-[E(X+Y)]^2=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]-[E(X)+E(Y)]^2=Var(X)+2Cov(X,Y)+Var(Y)-[Var(X)+2Cov(X,Y)+Var(Y)]=Var(X)+Var(Y)

解析：使用方差的定义和协方差的性质进行证明。

2.证明：f(x)g(y)=∫[0,+∞]f(x)g(y)dy=∫[0,+∞]λe^(-λx)*μe^(-μy)dy=λμ*∫[0,+∞]e^(-(λ+μ)(x+y))dy=λμ*[1/(λ+μ)]*e^(-(λ+μ)x)=(λμ/(λ+μ))*e^(-(λ+μ)x)

解析：使用概率密度函数的乘法公式和积分的性质进行证明。

六、综合题答案及解析