2025年河南省郑州市登封市中考数学一模试卷

2025年河南省郑州市登封市中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.（3分）已知。上，则下列等式成立的是（）

V5

A.5x=2yB.2x=5yC.5x=7yD.7x=5y

2.（3分）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（）

3.（3分）已知二次函数y=/-4x图象上有两点A（-4,yi）,8（1,”），则yi与"的大小关系是（）

A.yi>y2B.yi=y2C.yi<y2D.无法确定

4.（3分）小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：2,若烛焰AC

的IWJ是4cm()

A.12cmB.8cmC.6cmD.5cm

5.（3分）如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1,则tanA的值为（

6.（3分）如图，下列条件不能判定的是（)

A./ADB=/ABCB.NDBA=/CC.AB2=AD'ACD.BC.DC

ACBC

7.（3分）若关于x的一元二次方程nu?-2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为（)

A.m>1B.ni>-1C.m>-1且根WOD.根VI且MWO

8.（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距》（米）之间有如图所示的反比例函数关系，则焦距尤的取

值范围是（）

C.0<x<0.5D.x>0.5

9.（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AB。与△COE是位似图形，点A,B,C,D,E都在格点上（-

2,0）,则位似中心的坐标是（)

C.(2,2)D.(-2,0)

10.(3分)如图，在x轴上分别截取OAI=AIA2=A2A3=A344=，"=4A〃+1,分别过点4,Ai,A3,A4,

6y上的图象

A〃.作x轴的垂线与反比例函数yq的图象交于点81，B2,B3,34,…，Bn,与反比例函数

交于点Cl,C2,C3,C4,Cn,连接081,0C1,得到△081C1,连接482,4C2得到△ALB2c2,连

接A2B3,42c3得到AA283c3,依此方式可得到△A/"+1C”+1,若设△OCLBI的面积为Si,△A1C2B2的

面积为S2,AA2c3囱的面积为S3-4A9210clo的面积为Sio,则=（）

S]S2S3S[口

1055

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）若a,0是一元二次方程7+3x-2=0的两个根，贝!Ja+B=.

12.（3分）如图，点尸在反比例函数y=K（k卉0）的图象上，△B4O的面积为2,则上的值为

13.（3分）已知菱形4BCD,点E,F,G,”分别为边AB,CD,DA的中点，则菱形A8CD的面积为

14.（3分）在平面直角坐标系中，若将二次函数y=（x+1）（%-2023）-4的图象向上平移4个单位长

度.

15.（3分）如图，在矩形ABC。中，A8=4,点£是射线BC上一点，型=?，连接AE,得到△APE,延

CE

长AF,则DM=

M

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（10分）（1）解方程：3（x-2）2=27；

（2）计算：sin60°,tan30°-cos245°.

17.（9分）某校决定举行“思政大讲堂”活动，学校给出了四个思政主题供参与活动的老师选择，分别是

A红色文化与精神传承、8承师之魂

（1）张老师从上述四个选项中任选一个作为自己的分享主题，则他选择“2承师之魂，扬师之光”的

概率为;

（2）李老师也参与了该项活动，请利用画树状图法或者列表法计算李老师和张老师两人一个选择“A

红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率是多少（每个条件在列表或画图

时用前边对应的字母表示）.

18.（9分）在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形ABC。，作线段AC的

垂直平分线，AC,8C于点O,N,CM,得到四边形ANCM.

（1）请你判断四边形⑷VCM的形状，并说明理由.

（2）若/AC2=60°,AC=4c〃z,则四边形AMCN的面积为.

19.（9分）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具.一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲

尺（如图1）,它的两条边分别是a,b,中国古代的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了

“矩”的功能，从“矩”EFG的一端E处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端8处，测得。E

=1.6/77,AD=4m,FG=Q7m,求木杆A8的长.

20.（9分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K（左W0）,点E,尸分别是矩形ABC。的边A。,

AO〃x轴，若21」，点。的坐标为（1,2）.

AD4

（1）求该反比例函数的解析式;

（2）点尸是该反比例函数图象上的任意一点，连接尸E,PF得到△PEF»EF=矩形ABCD,请求出点

P的坐标.

21.（9分）法国巴黎奥运会期间，吉祥物“弗里热”风靡全球.某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶，每

个进价40元，销售的单价不能低于45元，但物价部门规定获利不得高于40%.在试营销期间发现，每

天可以销售350个，单价每上涨1元

（1）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润可达到3000元？

（2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

22.（10分）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素一一三个角，三条边，下列三个条件中，

不能解直角三角形的是.

①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角.

（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素一一三个角，三条边，也可以作为解三角形的常

用工具.如图1,已知△ABC中，ZB=45°,AB=5+5A/3；

（3）【延伸应用】如图2,ZXABC中,AC=BC=m,在解这个三角形时.

c

图1图2

23.（10分）射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，那么射水鱼射出的水流可

以看成一条抛物线的一部分（如图）.在一次捕食时（单位：cm）与向前运动的水平距离无（单位：cm）

的关系可以近似地表示为y=-0.1f+4x.

（1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的

范围是，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离了的范围

是;

（2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20c7以高度50c机处，那么这次射出的水流能否击

中这只昆虫？

（3）假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30cm高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中

这只昆虫

J昆虫

f射水鱼

2025年河南省郑州市登封市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案CCABBDCDCB

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.（3分）己知卫=2,则下列等式成立的是（）

y5

A.5x=2yB.2x=5yC.5x=7yD.7x=5y

【解答】解：•••上工=2,

y5

.'.3（x-y）=2y,

・・5x~~6y.

故选：C.

2.（3分）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（）

【解答】解：根据从左边看得到的图形是左视图判断如下:

A.它的左视图的两个长方形的长应该相等，不符合题意；

B.它的左视图应该是上下两层，不符合题意；

C.该图形是几何体的左视图，符合题意；

D.它的左视图应该是上下两层，不符合题意.

故选：C.

3.(3分)已知二次函数y=/-4尤图象上有两点A(-4,yi),B(l,y2),则yi与*的大小关系是()

A.yi>y2B.ji=j2C.y\<yiD.无法确定

【解答】解：二次函数y=7-4x图象开口向上，对称轴为直线x=6,

A(-4,yi)距离对称轴7个单位长度，

B(1,”)距离对称轴4个单位长度，

根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大可得：

VI>72.

故选：A.

4.(3分)小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：2,若烛焰AC

的IWJ是4cm()

A.12cmB.8cmC.6cmD.5cm

【解答】解：如图所示：AB,C。相交于点O,

是烛焰的高，OB是实像的高,

J.AC//DB,

：.△NOCsXBOD,

..•蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2,AC=5cm,

•AC=_1；

"BD'2

；.BD=3cm.

故选：B.

5.（3分）如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1,则tanA的值为（）

在RtZVIB。中，BD=2,

tanA=^-=—=-1,

AD23

故选：B.

6.（3分）如图，下列条件不能判定的是（）

【解答】解：,：ZABD^ZACB,

：.AABDs^ACB,

故此选项不合题意;

B、'：ZDBA=ZC,

：.AABD^^ACB,

故此选项不合题意；

C、'：AB2=AD'AC,

•AB=AD

"ACAB'

又,:ZA=ZA,

AABD^AACB,

故此不合题意;

D、对应边不成比例，

故此选项符合题意.

故选：D.

7.（3分）若关于x的一元二次方程nv?-lx-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为（）

A.m>lB.m>-1C.m>-1且，九WOD.m<.1且

【解答】解：：关于x的一元二次方程混-2x-3=0有两个不相等的实数根，

Z.（-2）3-4mX（-1）>3,加力0,

即机>-1且〃#3,

故选：C.

8.（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，则焦距x的取

值范围是（）

【解答】解：设反比例函数解析式为y工，

X

将（0.4,250）代入得，

...反比例函数解析式为：

X

当y=200时，x=3l.

200

配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是尤>4.5,

故选：D.

9.（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△COE是位似图形，点A,B,C,D,E都在格点上（-

2,0）,则位似中心的坐标是（）

C.(2,2)D.(-2,0)

【解答】解：如图，连接AC,OE,相交于点P,

则△与△CDE是以点P为位似中心的位似图形,

二位似中心的坐标是（2,2）.

故选：C.

10.（3分）如图，在一无轴上分别截取（M1=A1A2=A2A3=A3A4=-=AMI+L分别过点4,A2,A3,A4,

4,.作X轴的垂线与反比例函数yj■的图象交于点81,B2,83,84,--Bn,与反比例函数y」的图象

XX

交于点Cl,C2,C3,C4,Cn,连接OC1,得到△O81C1,连接A182,A1C2得到△ALB2c2,连

接A283,42c3得到AA223c3,依此方式可得到△4瓦+1的+1,若设△OCLBI的面积为Si,AA1C2B2的

面积为Si,ZkA2c3B3的面积为S3…9210cl0的面积为Sio,则」-k^-+-^+…+1=()

51S2s3S10

c-WD-专

【解答】解：设。A1=A1A7=A2A3=A4A4=~=A,AZ+1m,

OAn=nm,

••An（nm,5）,

J4

Bn（nm,上-）,Cn（nm,-H_）,

nmnm

.84

・・AB=—，AC=—，

nnnmnnnm

：.S=SAk.BCn

nn-lnn

=S△AnBnA、_[AHCK

=—An-iAn（A自立-AnCn）

6

ICA

=——）

2nmnm

=—59

2nm

o

=—,

n

.2__L_

.w

n

.•.!1_二+…J-=l+4+3+…+10业（10+1）=55,

S]S2S8S108

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）若a,0是一元二次方程$+3无-2=0的两个根，则a+B=-3.

【解答】解：对于X2+3X-7=0,系数。为1,

Va,0是一元二次方程尤3+3元-2=6的两个根，

•・a+p=--=-3*

a

故答案为：-3.

12.（3分）如图，点P在反比例函数y上（k#0）的图象上，△B4。的面积为2,则k的值为4

X

【解答】解：根据反比例函数系数上的几何意义可知，S△胆0=34,

2

即Ik|=2,

解得：k=±4；

,・•函数图象位于第一、三象限,

">0,

故k=4,

故答案为：3.

13.（3分）已知菱形A3CD,点、E,F,G,〃分别为边A5,CD,DA的中点，则菱形A5CD的面积为4

【解答】解：连接AC、3。交于。,

・・•四边形A8CD是菱形，

：.AC±BD,

■:点E、F、G、"分别是边A3、CQ和。4的中点,

J.EH//BD,FG//BD,HG//AC,AC=2EH,

:・EH〃FG,EF//HG,

・•・四边形EFGH是平行四边形，

VACXBD,

・・・NAO8=90°,

：.ZBAO^ZABO=90°,

VZAEH=ZABO,ZBEF=ZEAO,

：.ZAEH+ZBEF=90°,

；・NHEF=90°,

・••四边形跖G”是矩形，

・・•四边形EFGH的面积为2,

:・EF・EH=6,

・•・菱形ABCD的面积=工xAC・5O=里x.

22

故答案为：4.

14.(3分)在平面直角坐标系中，若将二次函数y=(x+1)(x-2023)-4的图象向上平移4个单位长度

2024

【解答】解：将二次函数y=(尤+1)(x-2023)-4的图象向上平移7个单位长度，所得新函数的解析

式为y=(尤+1)(%-2023),

令(x+1)(x-2023)=8,

解得xi=-1,X8=2023,

.,•所得新函数的图象与无轴两交点之间的距离是2023-(-1)=2024.

故答案为：2024.

15.(3分)如图，在矩形A8C。中，AB=4,点E是射线上一点，至=?,连接AE,得到△AFE,延

CE

【解答】解：情形①如图当点E在线段BC上时,

'：BC=8,BE=3EC,

:.EC=6,EB=EF=6,

：.ZADC^ZADM=90°,AD//BC,

：./DAE=/AEB=ZAEG,

：.AG=EG,设AG=EG=x,

在RtzXABG中，ZAFG=90°,FG^6-x,

.'.X6=42+(7-X)”,

•丫=有

3

：.FG=EF-EG=1~,

3

：tan/ZMM=f^=典，

AFAD

5_

.7=DM

"TV

3

情形②如图当点E在线段BC的延长线上时,

，EC=5,EB=EF=12,

:四边形ABC。是矩形，

ZADC=ZADG=90°,AD//BC,

：./DAE=ZAEB=/AEG,

；.AG=EG,设AG=EG=x,

在Rtz^AFG中，ZAFG=90a,FG=12-x,

.'.X2=45+(12-x)2,

.•人r=2一0,

3

:.FG=EF-EG=N

3

：tan/Z)AM=f^=如，

AFAD

16

•V=DM

~5'

.•.OM=丝，

3

故答案为：妆或理.

36

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.(10分)(1)解方程：3(x-2)2=27；

(2)计算：sin60°*tan30o-cos245°.

【解答】解：(1)方程整理得：G-2)2=7,

开方得：％-2=3或％-7=-3,

解得：Xl=5,X2=-1；

(2)原式=1x近-(亚)2

272

=1_1

22

=0.

17.(9分)某校决定举行“思政大讲堂”活动，学校给出了四个思政主题供参与活动的老师选择，分别是

A红色文化与精神传承、8承师之魂

(1)张老师从上述四个选项中任选一个作为自己的分享主题，则他选择承师之魂，扬师之光”的

概率为-1;

一4一

(2)李老师也参与了该项活动，请利用画树状图法或者列表法计算李老师和张老师两人一个选择“A

红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率是多少(每个条件在列表或画图

时用前边对应的字母表示).

【解答】解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，扬师之光”的结果有1种，

他选择“2承师之魂，扬师之光”的概率为a.

4

故答案为：1.

6

(2)列表如下：

ABcD

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,O)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(£),C)(D,D)

共有16种等可能的结果，其中李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，C),A),

...李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的

概率为2」.

167

18.（9分）在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形ABC。，作线段AC的

垂直平分线，AC,8C于点O,N,CM,得到四边形ANCM.

（1）请你判断四边形ANCM的形状，并说明理由.

（2）若NAC8=60°,AC=4c〃z,则四边形AMCN的面积为8\[^cm2

【解答】解：(1)四边形ANCM是菱形，理由如下:

垂直平分ACAC,

：.AO=CO,ZAOM=ZCON=90°,

又：四边形ABCDABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZMAO=ZNCO,

在△AOMH和△CON中，

，ZMA0=ZNC0

<AO=CO，

ZA0M=ZC0N

:.△AOMgACON(ASA),

：.AM=CN,

又,：AM〃CN,

/.四边形ANCM为平行四边形，

'：MN±AC,

平行四边形⑷VCM为菱形；

(2)由(1)得：AO=CO=£C=7C»J,

2

:.AN=CN,ON=OM=L,

2

VZACB=60°,

...△ACN是等边三角形，

/.CN=AC=5cm,

在Rt^CON中，由勾股定理得：0已=也产_（；02="2_26愿（加），

NM=2ON=8X2a=5日,

菱形ANCM的面积=14。胸=工几=8向8）,

82

故答案为：8V3cm4.

19.（9分）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具.一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲

尺（如图1）,它的两条边分别是a,b,中国古代的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了

“矩”的功能，从“矩”E/G的一端E处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端8处，测得。E

=1.6m,AD-4m,FG—O.lm,求木杆AB的长.

【解答】解：由题意得：四边形ADEC是矩形，

.,.EC=AD=4m,ECCA=ED=1.3m,

又：GF_LEC,BC±EC,

J.GF//BC,

:.NEGF=NB,ZEFG=ZECB,

:.△EFGs^ECB,

•GF=EF；

"BCEC，

•.•0-.--7_―3.4,

BC4

:・BC=5,

：.AB=BC+AC=2+1A=3.6（m）,

答：木杆AB的长为2.6"

20.（9分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数>=区（20）,点、E,尸分别是矩形ABC。的边AD,

X

〃尤轴，若迈」，点。的坐标为（1,2）.

AD4

（1）求该反比例函数的解析式；

⑵点P是该反比例函数图象上的任意一点，连接PE,P/得到△PEE”EF=^>S矩形妞6请求出点

P的坐标.

【解答】解：（1）...巫hl,

AD4

•••-D--E--=--8-,

AE3

:点。的坐标为（1,7）,

AA（-3,2）,

:反比例函数>=区（4#3）的图象经过矩形ABCD的顶点A,

X

：.k=-3X2=-8,

反比例函数的表达式为>=-旦；

X

（2）由题意可知。点的横坐标为1,

:反比例函数y=K（4。4）的图象经过矩形ABC。的顶点C,

X

：.C（1,-6）,

：.DC=EF=8f

9：AD=4,

・'S矩形ABCO=4><4=32，

・•・Se、s矩形g，

•.SAPEF=6,

:点尸在反比例函数的图象上，EF=8,

•••点P到EF的距离为1,即尸点的横坐标为2或-1,

点的坐标为（1,-4）或（-1.

21.（9分）法国巴黎奥运会期间，吉祥物“弗里热”风靡全球.某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶，每

个进价40元，销售的单价不能低于45元，但物价部门规定获利不得高于40%.在试营销期间发现，每

天可以销售350个，单价每上涨1元

(1)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润可达到3000元？

(2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：(1)设当销售单价定为。元时，每天的销售利润可达到3000元，

由题意可得：(a-40)X[350-(a-45)X10]=3000,

解得ai=50,。2=70,

:物价部门规定获利不得高于40%.

售价不能高于40(5+40%)=56(元)，

/.当销售单价定为50元时，每天的销售利润可达到3000元；

(2)设销售单价定为尤元，销售利润为w元，

由题意可得：w=(x-40)X[350-(x-45)X10]=-10(x-60)2+4000,

由(1)知：45WxW56,

.•.当x=56时，w取得最大值，

答：当销售单价定为56元时，每天的销售利润最大.

22.(10分)(1)【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素一一三个角，三条边，下列三个条件中，

不能解直角三角形的是③.

①已知两条边；②已知一条边和一个