2025年江苏省常州市高考数学押题试卷（附答案解析）

2025年江苏省常州市高考数学押题试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(5分)已知集合/={xCZ||x|W2},若NC3中只有1个元素，则。的取值范围是()

A.[-2,-1]B.[-2,-1)C.(-1,0)D.[-1,0]

2.(5分)在复平面内，复数(1+7)4(1-z)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.(5分)在△4BC中是“sirb4>电”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.(5分)设各项均为正数的等比数列{斯}满足。4，。10=208,则log2(。1。2…aioau)等于()

A.210B.211C.11D.9

5.(5分)函数/'(X)=cos®x+，)(3>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则3的取值范围为

()

6.（5分）若（2久一1）4=久2++劭，贝!J00+42+04=（）

A.-40B.40C.41D.82

7.(5分)若两个正实数x,y满足4x+y=孙，且存在这样的x,力使不等式x+%V加2+3%有解，则实数

m的取值范围是()

A.-l<m<4B.-4<m<lC."?<-4或加>1D.正<-3或加>0

8.(5分)已知函数/(x)是定义域为R的函数，/(2+x)+/(-x)=0,对任意xi,x2e[l,+°°)(xi<

X2),均有/1G2)-f(xi)>0,已知a,b(a=6)为关于x的方程/-2x+P-3=0的两个解，则关于

t的不等式/(a)+f(b)+f(?)>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

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（多选）9.（6分）下列说法中，正确的是（）

A.某组数据的经验回归方程y=b%+。一定过点叵，y）

B.数据27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位数是17

C.甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6,则样本容量为18

D.若一组数据2xi,2x2,…，2物的方差为16,则另一组数据xi,12,…，物的方差为4

（多选）10.（6分）已知△45。内角/、B、C的对边分别是a、b、c,A=2B,则（）

A.a2=c（b+c）

ba2

B.一+港的最小值为3

cb乙

c

C.若△A3C为锐角三角形，则工6（1,2）

b

D.若a=2b，b=3,则c=5

（多选）11.（6分）已知数列｛斯｝的各项均为正数，其前〃项和为S”满足斯S,=9（«=1,2,•••）,则

下面正确的有（）

A.｛即｝的第2项小于3

B.｛斯｝为等比数列

C.｛斯｝为递减数列

1

D.｛如｝中存在小于丽的项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收

2名同学.若同学/确定到甲学校，则不同的安排方法共有种.

13.（5分）在边长为2的菱形ABCD中，M,N分别为BC,8的中点，AM-AB=5,则

—>—>

AM.AN=.

14.（10分）定义在R上的函数g（x）满足歹=g（2x+l）-2是奇函数，则g（x）的对称中心为；

若％=g（Vy）++9（，了）+…+9（呼#）56N*）,则数列｛an｝的通项公式

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9a2

15.在△NBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=七，b=5,-=

(1)求a；

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(2)求sirU；

(3)求cos(B-2A)的值.

3+2+

16.已知｛斯｝是正项递增的等比数列，且。2a6=64,。。5=20.数列｛加｝是等差数列,且(几+l)bn=2九

n+C.

(1)分别求数列｛劭｝和数列｛加｝的通项公式；

1

(2)设C”=(一1尸期+一，求数列｛5｝前〃项和S”.

0nOn+l

17.如图，三棱柱4BC-AiBiCi中，侧面/班底面ABC,LBiBA是边长为2旧的正三角形，AC=V6,

&C与平面/2C所成角为45°.

(1)证明：NC_L平面N881/1；

rp

(2)若点E为8c中点，点尸为棱CCi上一点，且满足4=沃，是否存在入使得平面N5尸与平面AEBi

V6

夹角余弦为广,若存在求出入值，存不存在请说明理由.

18.已知函数/'(x)—X2-2x+alnx,(a£R).

(1)若a=l,求函数/(x)在点(1,/(D)处的切线；

(2)若对任意的XI,X2C(0,+8),X1WX2,有01_X2),('S,l)_)>0恒成立,求实数。的取

X1x2

值范围.

19.某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测

(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；

(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布。2),其中日为样本平均数的估计值，。-14.初

试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；

(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；

全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为。，第三道题答对的概

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率为6.若他获得一等奖的概率为之设他获得二等奖的概率为尸，求尸的最小值.

O

附：若随机变量X服从正态分布N（山。2）,则0cxWn+。）20.6827,尸（R-2O<XWR+2

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2025年江苏省常州市高考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(5分)已知集合/={xCZ|x|W2},3={x|xWa},若/C3中只有1个元素，则a的取值范围是()

A.[-2,-1]B.[-2,-1)C.(-1,0)D.[-1,0]

【解答】解：|x|W2,得-2&W2,且xCZ,所以/={-2,-1,0,1,2},

因为8={x|xWa},且中只有1个元素，

所以-2Wa＜-1.

故选：B.

2.(5分)在复平面内，复数(1+i)4(1-z)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：(1+z)4(I-z)=[(1+z)2]2(1-z)=-4(1-z)=-4+43

所以复数(1+/)4(1-/)在复平面内对应的点(-4,4)在第二象限.

故选：B.

3.(5分)在△48。中，“/＞常是"sitL4＞瞪”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：取4=竽,则siM=字,

.♦.”/＞甘是"siib4＞亭”的必要不充分条件.

故选：B.

4.(5分)设各项均为正数的等比数列{即}满足04・。10=2°8,则log2(ai02…aioau)等于()

A.210B.211C.11D.9

【解答】解：根据题意，设等比数列{斯}的公比为q,

4

若〃4・。10=208，则有＜24。10=2a4q,变形可得—a6=2

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故，。。2（。1。2…aioaii）=2a10…Q5a7a6）=2。92ali=，。g？"二H«

故选：C.

5.（5分）函数/（%）=郎（3%+卷）（3〉0）的图象在区间（0,1）上恰有一个对称中心，则3的取值范围为

（）

Azn27rl「zTi47rl八,TC47rl门zu77rl

A-（百'B-（石'手］c-（m'可］D-（m‘T!

7171TC

【解答】解：由XE（0,1）,得:<3%+:<3+:，

666

7T7137r

由/（%）的图象在区间（0,1）上恰有一个对称中心，得77V3+;477，

Z62

一-，兀47r

所以E<0）<—.

故选：C.

4432

6.（5分）若（2%—I）=a4%+a3x+a2x+arx+劭，则碗+42+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

4432

【解答】解：根据（2%-I）=a4x+a3x+a2x+arx+a0,

令x=l,故（2-1）4=1=44+43+42+41+40,

令X=-l,故34=1=44-。3+。2-。1+。0，

34+1

所以QO+Q2+〃4=­2-=41.

故选：C.

7.（5分）若两个正实数X,>满足4x+y=xy,且存在这样的X,丹使不等式x+看v加2+3冽有解，则实数

m的取值范围是（）

A.-l<m<4B.-4<m<1C.冽V-4或加>1D.加〈一3或加>0

【解答】解：•.•正实数%,y满足4x+y=xy,即一+-=1,

xy

'-x+4=（x+分（：+；）=2+m+套22+2栏.看=4,

4%v14

当且仅当一二丁且一+-=1,即x=2,y=8时取等号，

y4xxy

二•存在x,>使不等式x+看V/+3加有解，

.*.4<m2+3m,解可得加>1或加V-4.

故选：C.

8.（5分）已知函数/（%）是定义域为R的函数，/（2+x）4/（-%）=0,对任意xi,%2G［b+°°）（xi<

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X2),均有/1(X2)-f(xi)>0,已知a,b为关于x的方程--2x+P-3=0的两个解，则关于

t的不等式/(a)+f(b)+f(?)>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【解答】解：由/(2+x)+fC-x)=0,得/(I)=0且函数/(x)关于点(1,0)对称，

由对任意XI,X26[l,+°°)(xi<%2),均有/'(X2)-f(XI)>0,

可知函数/Xx)在[1,+8)上单调递增，

又因为函数/(X)的定义域为R,

所以函数/'(X)在R上单调递增，

因为a,b(aW6)为关于x的方程x2-2x+P-3=0的两个解，

所以A=4-4(?-3)>0,解得

J!La+b=2,BPb=2-a,

又/(2+x)+f(-x)—0,

令x=-a,则/(a)+f(b)=0,

则由/'(a)+f(b)+f(?)>0,得/⑺>0=/(1),

所以t>l,

综上，/的取值范围是(1,2).

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

(多选)9.(6分)下列说法中，正确的是()

A.某组数据的经验回归方程y=bx+a一定过点。，歹)

B.数据27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位数是17

C.甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6,则样本容量为18

D.若一组数据2xi，2x2,…，的方差为16,则另一组数据xi,m，…，初的方差为4

【解答】解：对于/,经验回归方程y=取+a必过样本中心点(元y),故/正确；

对于2,将数据按从小到大的顺序排列为12,14,15,17,19,23,27,30,

因为8X50%=4,

[7+19

所以50%分位数是一^—=18,故8错误；

对于C,甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，

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如果抽取的乙个体数为6,

则样本容量为6+*骑=18,故C正确；

对于若一组数据2x1,2x2,…，2初的方差为16,

则另一组数据XI,X2,…，X”的方差为4)2x16=4,故。正确.

故选：ACD.

(多选)10.(6分)已知△ZBC内角4、B、C的对边分别是4、b、c,A=2B,则()

A.a2=c(6+c)

b在

B.一+点的最小值为3

c

c

C.若△48。为锐角三角形，则工6(1,2)

b

D.若Q=2遍，b=3,贝！Jc=5

【解答】解：由/=25,得siiL4=sin25=2siriScosH,

.b2

由正弦定理得a=2bcosB,由余弦定理得a=2b-----荻——,

贝！J(c-b)Ca2-b2-be)=0,当bWc时，a2-b2-bc=0,即(b+c),

当b=c时，B=C,又4=25,所以4=90°,B=C=45°,

222

所以a=V2bf所以次—b—bc=(V2b)—b—b-b=0,

所以q2=b(6+c),故选项Z错误;

ba?by+bcbe

由a2=b(b+c),则一+77=-+—r?—=一+：+1>3,当且仅当b=c时取等号，故选项B正确;

cb'cb'cb

csinCs讥(2B+B)sinZBcosB+coslBsinB

在△ABC中，sin^W0,由正弦定理

bsinBsinBsinB

2sinBcos2B+(2cos2B-l>)sinB

=4cos2B—1,

sinB

若△43C为锐角三角形，又A=2B,则B€(0,»C=TT-3B<J,故亲

所以Be(『今)，所以cosBe(孝，^)>则COS2Be>'),

所以4cos23-le(1,2),故选项C正确；

abc「

在△45C中，由正弦定理一-=--=-又A=2B,a=2逐，b=3,

sinAsinBsinC

ZD32V62V6…J6

得------=---------=---------------，贝！JcosB=-y,

sinBsinZBIsinBeosB3

由余弦定理，b1=a1+c1-2accosB,得9=24+c?-2x246x卓c，

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整理得c?-8c+15=0,解得c=5,或c=3,

当c=3时，宿C=B,又A=2B,所以3=C=45°,/=90°,

因为y+c??/,则c=3不成立，故选项。正确.

故选：BCD.

（多选）11.（6分）已知数列｛即｝的各项均为正数，其前"项和为8,满足aaSa=9（〃=1,2,■■■）,则

下面正确的有（）

A.｛斯｝的第2项小于3

B.｛斯｝为等比数列

C.｛斯｝为递减数列

D.｛斯｝中存在小于击的项

【解答】解：由题意可知，V/?£N*,an>0,

当"=1时，谥=9,可得ai=3；

当“22时，由5„=：可得Sn_i=/一，两式作差可得即=/一片，

999

所以，----=——册，则——叼=3,整理可得华+3a2—9=0,

。九一1。九。2

因为。2>0,解得做=§今一.<3,/对；

假设数列｛斯｝为等比数列，设其公比为4,则成=%。3,即舄）2=翡，

所以，s\=可得出（1+q）2=域（1+q+q2）,解得夕=o,不合乎题意，

故数列｛斯｝不是等比数列，5错；

当”22时，册=总-白=°熏;丁）〉0,可得斯〈斯一1，所以，数列｛即｝为递减数列，C对；

11

假设对任意的neN*,an2高，则Siooooo210000。x高=1000,

QQ1

所以，aiooooo=S]000O0<]000〈TUU，与假设矛盾，假设不成立，。对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收

2名同学.若同学工确定到甲学校，则不同的安排方法共有30种.

【解答】解：若除同学/外还有一名同学去甲学校，则有4C2度=12X2=24种可能，

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若只有同学/到甲学校，则有才•用=6种可能，

故共有6+24=30种可能.

故答案为：30.

TT->T13

13.（5分）在边长为2的菱形48a）中，M,N分别为3C,CD的中点，AM-4B=5,贝•AN=——

【解答】解：因为边长为2的菱形/BCD中，M,N分别为BC,CD的中点，

—»T—>T1T_>1T

所以AM=AB+BM=AB+^BC=AB+^AD,

AN=AD+DN=AD+^DC=AD+j-AB,

—>—>

因为力AB=5,

所以(4B+>D)-AB=AB2+^AB-力。=5,所以力AD=2,

TTT[TT[T[T[TT1T1K11O

因为力AN=(AB+yAD)■(AD+^AB)=^AB2AB-AD+^AD2=yX4+^x2+yX4^^.

乙乙乙L乙乙X乙乙

13

故答案为：—.

14.(10分)定义在R上的函数g(x)满足y=g(2x+l)-2是奇函数，则g(x)的对称中心为(1,

19Q

2);若%=g(后万)+9(汨万)+9(汨a)+…+g(完斗-)(?1eN*),则数列｛即｝的通项公式为_an

=4w+2.

【解答】解：；y=g(2x+l)-2是奇函数，

：.y=g(2x+l)-2关于(0,0)对称，贝Ug(-2x+l)-2+g(2x+l)-2=0,

：.g(1-2x)+g(l+2x)=4,则g(x)关于(1,2)对称；

由％=9(E)+9(中)+9(申)+…+9(^TT)(nGN*),

得％=9(^^)+9(系)+…+。(磊),

1Qvi1Q-yj_1_11

•.•2册=[9(高)+9(爷*)]+...+[9(需')+9(岛;)]=4(2〃+1)，则斯=4"+2.

=

故答案为：(1,2)；an4n+2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

Qa2

15.在△45。中，角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,已知COSB=G>6=5,-=

10c3

(1)求Q；

(2)求sinN；

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(3)求cos(B-2A)的值.

【解答】解：(1)设。=2bc=3t,t>0,则根据余弦定理得庐=02+°2_2a0cosB,

即25=4t2+9/—2x2tx3tx不/解得t=2(负舍)，

16

贝!Ja=4,c=6；

(2)因为3为三角形内角，所以sMB=7\—COS2B=Jl一(磊)2=梁,

cib45/7

再根据正弦定理得一二=——,即一；=三方，解得sim4=丁；

sinAsinBsinA5V74

16

(3)因为cosB=^>0,且5c(0,7i),所以86(0,J),

由(2)知siziB=

lo

因为qVb,则Z<5,所以cosZ=Jl—(1)2=*,

贝!Jsi/i2Z—21siTiAcosA=2xx4=-,cos2A—^cos^A—1=2x(4)2—1—豆，

Q1rInQ/y17

cos(B—2Z)—cosBcos2.A+sinBSITI2,A—X-5-H—X-5-=~E~A*

、Jloo16o64

16.已知｛斯｝是正项递增的等比数列，且42a6=64,的+〃5=20.数列｛仇｝是等差数列，且(九+1)4=2回+

71+C.

(1)分别求数列｛斯｝和数列｛仇｝的通项公式；

1

(2)设0=(-1)*九+---，求数列｛cn｝前几项和S?.

。破九+1

【解答】解：(1)设等比数列｛劭｝的公比为夕，且有即＞0,夕＞1,

o

由。2。6=64,〃3+。5=20,可得成=64,即44=8,8^+-=20,

q

解得q=2,

所以劭=。的"4=8X2"4=2犷1；

由于｛儿｝是等差数列，设瓦=4〃+5,

22

则有(九+l)hn=(n+l)(i4n+8)=An+(A+B)n+B=2n+九+C,

；A=2(A=2

所以4+B=l,解得加=一1,

B=CVC=-l

所以数列步〃｝的通项公式为bn=2n-1.

1111

(2)由(1)知，金=-(-2尸+3-+1)=一(一2尸+2(布-亚),

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c11111

1n-1

所以=。1+。2+***+cn=—[(—2)°+(—2)H---F(—2)]+2[(1--3)+(可―耳)---(2n-l-

-2n-+—l)J1J

l-(-2)n+11

4n+2'

17.如图，三棱柱ABC-AxBiCi中，侧面45514,底面ABC,ABiBA是边长为的正三角形，AC=V6,

8C与平面/5C所成角为45°.

(1)证明：4CJ_平面455141；

rp

(2)若点E为中点，点P为棱CCi上一点，且满足4=法，是否存在人使得平面4BP与平面4班1

V6

夹角余弦为二，若存在求出入值，存不存在请说明理由.

【解答】解：(1)证明：取中点。，连结BbD,CD,

：△4821为正三角形，：.B]D±AB,

:侧面ABB1/1I•底面NBC,BLDU平面AftBi/i,平面ABBi/iC平面ABC=A8,

.•.囱。_1_面48。，

•.•历C与平面4BC所成角为45",

.../BiCD即为21c与平面4BC所成角，即乙BiCD=45°,

•/BiD=3：.CD=3,：.CD2=AD1+AC2BPACLAD,

:侧面4RBE_L底面4BC,/Cu平面4BC,平面483闻D平面4BC=4B,

，/C_L平面ABBiAi.

(2)由(1)可得8iD_L/C、AC±ABS.AC±BiD,

连接。£,则由题DE〃/C,所以。£_L/8,BiDLDE,

所以DE,DA,两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，

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C

则2(0,V3,0),B(0,-V3,0),Bi(0,0,3),C(佩<3,0),E(孚，0,0),

设CP=4CC1，贝|CP=4CC1=4B81=(0,迎入,32)(0<A<1),DC=(V6,遮,0),

—>—>-*rz.7

DP=(V6,V3(A+1),34),£M=(0,遮,0),4E=(号，-V3,0),力=(0,一百，3),

设平面4D尸法向量江=(“为，zi),平面4班1法向量信=3,丫2,Z2),

/TTrI—

则%1号,则i=¥=°,即慢1=°

元1DP(nrDP=0W6%i+34zi=0

令zi=2,解得打=一乃人

艮口)11=(—0,2),

贝亚1包则伊•皿=。，即住久2-何2=。，

2-L2•

(九(九=01—V3y2+3Z2=0

令丫2=百，解得六2=广，

3二1

即九2=(遍，V3/1),

.I—Tt_|6A-2|_屈

1121710-V6P+410

即81A2-60a+4=0,

解得4=方■或4=可，

22V6

・・・存在4=或「使得平面4BP与平面AEBi夹角余弦为二.

乙/310

18.已知函数f(x)=x2-2x+alnx,(tzGR).

(1)若。=1,求函数/(%)在点(L/(D)处的切线；

(2)若对任意的xiE(0,+8),%iWx2,有(%i-％2),(坐口一堂Q)〉。恒成立，求实数。的取

X1x2

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值范围.

【解答】解：⑴『8=2x-2+p

当4=1时，f（1）=-1,f（X）=1,

故切线方程为：y+l=x-1,即y=x-2；

（2）不妨设0Vxi〈X2,则眼f（xi）-x\f（X2）<0,

闩R仝I、]汨f（%l）「八'2）

I可除以X1X2倚-----<-----，

%1%2

所以6（%）=写=》一2+哈在（0,+8）单调递增，

所以GQ）=1+