2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数）新高考专用

2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数）

（满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题

4—x

1.已知全集。=区，集合4={工|工2_工_6<0},5={x|->0},那么集合（）

x+1

A.[-2,4)B.(-1,3]C.[-2,-1]D.[-1,3]

【答案】B

【分析】解不等式求出集合45,根据交集的定义即可.

【解析】由题意可知，A={x\x12-x-6<0}={x\-2<x<3},

4—x

B={x\------>0}={x|-l<x<4},

x+1

所以zn3={x[—1<XW3}.

故选：B.

2.已知函数/(x)="-geR)为奇函数，则实数。的值为()

2—71

11

A.-B.——C.1D.-1

22

【答案】B

【分析】利用奇函数的定义可得〃-三>一=」1一-a，计算可求。的值.

1-2X2X-1

2X，

【解析】==a-=--_-/-(-x)=^pQ

L—1\-2x

12X

得2a=--------1------=---1,所以

2X-11-2X

故选：B.

3.已知a,6eR,则"3"<3'"是"/（产的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由函数y=31y=x3在R上是单调递增函数，则可得答案

【解析】由函数y=3、,y=x3在火上是单调递增函数，则3"<3〃=°<6。/<63,

所以"3"<3〃"是"a3<b3"的的充要条件,

故选：C

【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题,

4.若e，-V^=e2y,贝的最小值为（）

A.1B.V2C.1D.

【答案】D

【分析】将e，和e2,两边放，然后两边同时除以凑出》一儿再用基本不等式即可.

【解析】因为e，-&=e2，，e.=e2，+2L两边同时除以e*得到

当且仅当e-一匹即”手,x=*取

则ef>2：，当且仅当了=乎户=出苧取"="•

e-z42

两边取自然对数，则x-yNln2：=习产，当且仅当>=当,x=等取

故X-〉的最小值为”.

4

故选：D.

5.5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C=，k）g2（l+[]它表示：在受高斯白噪声干拢的信道中,

最大信息传递速率C取决于信道带宽爪.信道内所传信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大

小.其中77叫做信噪比，按照香农公式，在不改变少的情况下，将信噪比卡77从1999提升至4,使得。

NN

大约增加了20%,则入的值约为（）（参考数据lg2=0.3,103.96=9120）

A.9121B.9119C.9919D.10999

【答案】B

【分析】根据题意先建立数学模型,然后利用对数求值进行计算.

【解析】解：由题意得:

/log2(l+㈤-/1幅(1+1999)〜

少log2(1+1999)~°

"。+以1.2

1+2«200012

log22000

又vlg200012=1.21g2000=1.2(lg2+3)«1.2x(0.3+3)=3.96

故ZOO。12。I。?%。9J2。

.-.2«9119

故选：B

f（a-l）x+-4,（x<0）/（x）-/（x）_

6.已知。〉0且"1,函数/（%）=I/八、满足对任意实数石。乙，都有7〉0成

[a,（x〉0）、2一芭

立，则。的取值范围是（）

A.（0,1）B.。,+8）C.1彳D.

【答案】C

6Z—1>0

【解析】由八2">0可得函数/&）在&上为增函数,所以,从而可求出。的取值范围

X、-X

[aQ>3a-4

【解析】解：因为/（X）对任意实数占二%，都有।>0成立,

x2一再

所以/（X）在&上为增函数，

a-1>0

所以，a>l,解得1<°彳，

«°>3tz-4

所以。的取值范围为I1,

故选：C

1113a+46—11

7.已知正实数a,6满足=+大=25,则1/?.的最小值为（）

ab\a+b

7.72-5124

A.7B.3C.-D.-

253

【答案】C

【分析】由题设条件有।,1=左+±-一—I,令x=_>O,y=£>0贝U有।~^=14丫+30-a|、

Va2+Z>25b5a5ababyla2+b251

x2+y2=25,应用基本不等式求个范围且f=4x+3了-孙24下石'-孙恒成立，进而求t的范围，即可得结

果.

【解析】由3+二=^^=25,贝|力+〃=25/62,且。,6>0,

abab

[3。+46-1||3Q+46-1|341

所以

J/+/5ab5b5a5ab

|3Q+4b—1111I

令x=_〉0,y=_>0,贝！|I./=-\4x+3y-xy\,^x2+/=25,

abyla+b3

仅当x=P=《时等号成立,

所以—+j?=2522xy,§^xy<—

对于t=4x+3y-孙“小石-孙恒成立，仅当以=3九即x=3,y=4时等号成立,

综上，若左=历6(0,，],则^=46左一/=-6一26)2+12,

而2石-0>专一2'0,则”(0,12],只需此几2

所以此12,仅当人=26，即x=3/=4时等号成立，

\3ci+4Z?—1111।t1211

综上，I2,=-^=7-T)仅当”12,即。=:力=:时等号成立.

y/a2+b25"5534

12

所以目标式最小值为

故选：C

8.已知定义在R上的奇函数了=〃x),对于X/xeR都有/(I+无)=/(1一x),当-lVx<0时，

/(x)=log2(-x),则函数g(x)=/(x)-2在(0,8)内所有的零点之和为()

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合T4x<0时，/(x)=log2(-x),即可作出

函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可求得答案.

【解析】由题意定义在R上的奇函数J=〃x),对于VxeR,都有/(l+x)=/(l-x),

/*)图象关于直线x=l对称；

且/(I+x)=f(l-x)=-f(x-1),即/(2+%)=-/«，

故〃4+x)=-/(2+x)=/(x),

即函数/(x)是以4为周期的周期函数，

当0<xWl,则-14-x<0,则f(-x)=k)g2元=-/(%),

故/(x)=-log2x,0<x<1,

当lVx<2,则-lVx—2<0,因为/(2+x)=-/(x),，/(x)=-/(x-2),

则〃x)=-/(x-2)=Tog2(2-x),14x<2；

当2<x43时，则0<x—2<1,/(x)=—/(x-2)=log2(x-2),

由此可作出函数/(x)在(0,8)内的图象，如图示：

由图象可知/(x)的图象与歹=2在(0,8)内仅有4个交点，

不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为百户2，尤3，尤4，

由于x=l为图象对称轴，且函数周期为4,故x=5也为函数图象的对称轴，

故由图象可知再,三关于尤=1对称，弓匕关于x=5对称，

故项+12=2,%3+%4=1°，贝U石+々+13+14=12,

即函数g(x)="X)-2在(0,8)内所有的零点之和为12,

故选：B

【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进

而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题.

二、多选题

9.已知。，b,ceR,则下列结论中正确的有()

A.若这2>历2,则0>6

B.若a<6<0,则y〉a/?

C.若c>a>6>0,贝!]----<----

c-ac-b

D.若a>8>0,则。—>b——

ab

【答案】ABD

【分析】根据不等性质分别判断各选项.

【解析】对于A：因为这2>从？，所以02>0,所以a>b,故A正确;

对于B：因为a<6<0,所以-0>-6>0,两边同乘以一。得即声〉瑟，故B正确;

对于C：因为c>a>b>0,所以0<c—a<c—6,所以---->------>0,

c-ac-b

ah

又a>6>0,两式相乘得——>---故C错误；

c-ac-b

对于D：=因为a>8>0,所以7-->0>所以

<aj\b)\baJbaba

+||>0,gptz-—,故D正确；

\baJab

故选:ABD.

10.已知关于x的一元二次不等式尔+6X+C20的解集为{小4-3或xN2},则下列说法正确的是（）

A.6〉0且。<0

B.4。+26+。=0

C.不等式6x+c>0的解集为{x|x<6}

D.不等式ex?-6x+a<0的解集为卜

【答案】AB

【分析】A选项，转化为-3,2为一元二次方程尤+c=0的两个根，且。>0,由韦达定理得到答案；B

选项，根据2为一元二次方程"2+反+'=0的根，得到B正确；C选项，在A基础上不等式变形为

ax-6a>0,解出解集；D选项，不等式变形为6—十、一1>0,求出解集.

【解析】A选项，由题意得-3,2为一元二次方程办2+乐+°=0的两个根，且〃〉0,

bc

故一3+2=——,—3x2=—,即6=Q>0,C=-6Q<0,A正确；

aa

B选项，2为一元二次方程办2+及+0=0的根，故4a+2b+c=0,B正确；

C选项，由A选项可知，fcr+c〉0=〃x—6〃>0,解得x>6,C错误；

D选项，ex2-+。<0=>-6ax2-办+Q<0,

又a〉0,S5C6X2+x-1>0»解得%或%〈-万，D错误.

故选：AB

口.定义区间（凡万）的长度为夕-a,记函数/（x）=lg3x-（l+/）x2］（其中。>o）的定义域/的长度为,

则下列说法正确的有（）

A.%）”

B.的最大值为。

C.£（。）在（0,+。）上单调递增

D.给定常数左e（0,1）,当。«1-冗1+可时，的最小值为，」;f、

k-2K+2

【答案】ABD

【分析】求函数/（x）的定义域，得£（〃）判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C,由单调性求

判断函数的最值判断BD选项.

【解析】由『（"*>。，得°<x<言，/=］。,上］■（力A选项正确;

（%一4）（1一4。2）

设0<%</«1，则"％）一"%）=量一得（1+明（1+新’

0<«[<a2<1,a,-a2<0,1-axa2>0,.,.“q)<“%),2(a)在(0,1]上是增函数,

同理可证，在口,+⑹上是减函数，

所以在（0』上是增函数，在［1,+⑹上是减函数，C选项错误；

上⑴=；为最大值，B选项正确；

■,■^£（0,1）,.-.0<l-A;<l,\+k>\,“a）在［1-左』上是增函数，在［1」+看上是减函数,

的最小值为〃1-左）和“1+上）中较小者，

T（｝_K\_T（｝,k\_（_2.）口_（1-后）（1+［“__________-2I^__________n

--一［1+（1--］［1+（1+左）丁［1+（1/即+（1+村］'

的最小值为“1-无）=,2」，，D选项正确.

故选：ABD.

三、填空题

21

12.已知正实数以b满足。+6=2,则一+工的最小值是________.

ab

【答案】|+V2

【分析】由题意可得g（a+b）=l,根据基本不等式中"1"的用法计算即可求解.

【解析】由题意知，a>0,b>0,g（a+6）=l,

二匚［、i211,21..7、12b。、1_12b〃、3rr

所以一十£=彳（一+£）（4+6）=彳（3+—+-）>-（3+2.—­-）=-+y/2,

ab2ab2ab2\ab2

当且仅当艺=f即a=4-2行力=2&-2时等号成立，

ab

所以2+1的最小值为］+应.

ab2

故答案为：|+V2

13.已知函数〃x）=log?（2-x）的值域为（-叫1］,则函数〃2x）的定义域为

【答案】［0,1）

【分析】首先求出函数/（X）的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解

【解析】由/（尤）=10g2（2-尤）值域为（-8,1］,

得log2（2-x）Vl,所以0<2-xW2,

解得04x<2即的定义域为［0,2）,

由0V2x<2得0W,

故〃2x）的定义域为［0,1）.

故答案为：［0,1）

14.已知函数/（x）=/-2/x在（-叫1］上单调递减，且对任意的再,马€［0,/+1］,总有归2,则

实数f的取值范围是.

【答案】［1,^2］

【分析】先根据单调性求出，的范围，结合二次函数区间最值可得答案.

【解析】由于函数/（司=/-2比图象的对称轴为直线x=f,

函数〃x）=x2-2比在（-8,1］上单调递减，所以的1.

在区间［0J+1］上，0距对称轴x=/最远，故要使对任意的西,斗€［0,/+1］,都有

只要1m「/（x）皿=〃0）-/⑺42即可，即0_（»_2力42,

解得-0vVL

又给1,所以1<三行.

故答案为：［1,72］

四、解答题

15.计算：

+2以•(-0.064)3-12

(2)(logs2+log,2)(log43+log83)+(logs0+lnVe-lglOO.

⑶已知4+-=4,求2的值.

3

【答案】(1)—W；

(2)0；

⑶±8力

【分析】(1)利用指数募的运算化简求值；

(2)利用对数式的运算规则化简求值；

(3)由a+qT=4,两边同时平方，求出/+晨2,由(。-。-了=/+。-2一2,求出a-q—,再由

a2-a2=(q+qT)(a―—)求值即可.

［解析［(1)(2|)+2-2-(-0.064)5-|^2^2=l-lx|-|=-|.

(logs2+log,2)(log43+log83)+(logj百)+lnVe-lgl00

=^og32+|log32j|log23+|log23］+；+；-2

355

=-x-log32-log23--=0.

(3):Q+〃T=4,「.(Q+Q7)2=16,BPa2+a~2+2=16,.>.a2+a~2=14,

(6Z—tz1)2=a2+a2-2=12,/.a-a.x=±2^/J,

./—Q2—(Q_|_Qi)(a—a।)=.

16.已知指数函数/(力=电+46-4”、(6>0)的图象过点

(1)求。力的值;

⑵求关于X的不等式10ga(3-2x)>log,(x-1)的解集.

【答案】(l)a=2,b=l

【分析】(1)由指数函数的概念列式求解，

(2)由对数函数的单调性转化后求解.

【解析】(1)由题知指数函数〃x),贝帝+必_4=1,得6=1或6=一5,又=

图象经过g,拒［,则/4=£=逝，解得"2；

(2)•.•a=2,以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，

3

x<一,

3-2x>0,2

二满足条件,x-l>0,n«x>1,

3—2x>x—1,4

x<一,

・•.不等式的解集为［11］

17.已知函数/(、)=4'-。2-。+5(。£1^).

⑴若〃=2,求/(%)在区间［T1］上的最大值和最小值；

⑵若0在(-吆+动上恒成立，求a的取值范围.

【答案】⑴〃。皿n=2,/(x)max=3

(2)(-oo,2V6-2j

【分析】(1)利用换元法及二次函数的性质计算可得；

(2)参变分离可得。42,+1+/=-2在R上恒成立，利用基本不等式求出2,+1+工的最小值，即可求

2"+12"+1

出参数的取值范围.

【解析】(1)若a=2,/(x)=4,-2x2，+3=(2，y-2x2*+3,xe［-l,l］,

令〃=23因为x«T，l],所以〃£,

2「1一

令g(〃)=/-2〃+3=(〃-1)+2,uG—,2,

则g(")在[，[上单调递减，在(1,2)上单调递增,

又g⑴=2,g⑵=3,g1=g,

所以g(〃)min=2,8(〃晨=3,

所以/(x)1nm=〃0)=2,/3虫="1)=3；

(2)因为/(X)20在(-8,+8)上恒成立，

即aw£±l=(2"+l)2-2(2'+1)+6=2*+1+--2在口上恒成立，

2"+12'+12'+1

X2%+1+——-2>2j(2x+l}・——-2=276-2,

2l+lV>2工+1

当且仅当2"+1=用，即x=log2(V6-1)时等号成立，

所以042&-2,即。的取值范围是卜-2新-2].

18.设函数/(无)=+(1-a)x+a-2(aeR)

⑴若不等式/(x)2-2对一切实数x恒成立，求。的取值范围；

(2)解关于x的不等式：/«<«-1.

【答案】(1)B,+8)

(2)答案见解析

【分析】(1)对。是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.

(2)不等式化简为"2+(1-。)尤_1<0,根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.

【解析】(1)/(x)N-2对一切实数x恒成立，等价于7%£艮办2+(1一〃)％+。20恒成立.

当。=0时，不等式可化为不满足题意.

缶

当有k>0。，即f加a>0+2"1NO,解得?1

所以。的取值范围是［；,+◎.

(2)依题意，/0)<。一1等价于办2+(1—。)工一1<0,

当。=0时，不等式可化为x<l,所以不等式的解集为｛龙口<1｝.

当。>0时，不等式化为(ax+l)(x-l)<0,此时-1<1,所以不等式的解集为3-工<》<1｝.

aa

当”0时，不等式化为3+1)(%-1)<0,

①当。=-1时，-工=1,不等式的解集为｛x|xwl｝；

a

②当时，—>1,不等式的解集为或%<1｝；

aa

③)当Q<-1时，--<1,不等式的解集为｛%[X>1或X<---｝；

aa

综上，当Q<-1时，原不等式的解集为｛%[X>1或X<｝；

a

当〃=-1时，原不等式的解集为｛x|xwl｝；

当-1<〃<0时，原不等式的解集为｛尤|%或%<1｝；

a

当。=0时，原不等式的解集为

当〃>0时，原不等式的解集为｛x|