2025年广西南宁市高考数学模拟试卷（附答案解析）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）复数2=cos母+isin等则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知a,b为单位向量，且a在b上的投影向量为§6,贝！||3a—切=（）

A.2B.3C.2V2D.2V3

3.（5分）某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为〃的样

本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在（50,60］范围内的人数为60,则下列说法正确

的是（）

B.这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为85%

C.估计学生成绩的第75百分位数为80分

D.总体分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数相等

4.（5分）函数/（久）=2笠"在区间LI3］上的图象大致是（）

人乙人I乙

第1页（共21页）

5.（5分）已知直线%：2%+a2y—1=0与直线53ax-y+9=0,则“a=6”是人L2的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（5分）已知双曲线E：盘—言=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为Fi,过点口的直线/交£的

3

左支于4,2两点.|。用=|。为|（。为坐标原点），点。到直线/的距离为］a,则该双曲线的离心率为

（）

A.\2B.v3C.V5D.

7.（5分）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的

多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数

学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十

面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（）

第2页（共21页）

A.V3B.2A/3C.3V3D.3

8.(5分)已知aeR,b>0,若函数/(x)=(x-a)-b)NO,贝lja+抽最小值为()

1

A.-B.1C.eD.3

e

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)设函数/(x)—Acos(a)x+cp)(/WO,3>0,0<(p<Tt)的图象关于直线x=-。对称,

它的周期是7T,则以下结论正确的是()

A.f(x)的图象过点(0,—

B./(x)在吟，争上是减函数

C./(x)的最大值与/的取值有关

D.f(x)的一■个对称中心是(—骁■,0)

(多选)10.(6分)已知函数/(x)=x3--3ax+\,则()

A./(x)必有两个极值点

B.存在实数xo使得/(xo)=/(xo)

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心

4

D.若曲线>=/(x)有两条过点(2,1)的切线，则。=0或5

(多选)11.(6分)法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微

分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这

个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆E：务熹=l(a>6>0)的蒙日圆为C：/+产=静，过圆。上

的动点又作椭圆£的两条切线，交圆C于尸，0两点，直线尸0交椭圆E于4,2两点，则下列结论

正确的是()

_V6

A.椭圆£的禺心率为w

第3页(共21页)

B.若点D（l,坐）在椭圆E上，且直线ZX4,DB的斜率之和为0,则直线48的斜率为J

C.点M到椭圆E的左焦点的距离的最小值为（2一｝“

D.面积的最大值为ba?

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

17ir47r

12.（5分）已知尸（仙5）是角a=-^终边上的一个点，将。尸绕原点。顺时针旋转不至。。，则点。

的坐标为.

13.（5分）已知等差数列｛即｝的前〃项和是S”S8>0,S9<0,则数列｛成｝中最小的项为第项.

14.（5分）箱子里有大小相同的4种点数不同的纸牌各若干张，每次从中摸出4张纸牌为一组，其中摸出

恰有3种点数组合纸牌的不同取法为种；若要保证至少有2组纸牌的点数组合是一样的，则

至少要摸出组纸牌.（两空均用数字作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（13分）在锐角△/8C中，内角N,B,。对边分别为a,b,c,已知26cos（TT-8）+acosC+ccosA=0.

（1）求3；

（2）求cos/-cosC的取值范围.

16.（15分）为了调查某校学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查,

得到如下的2X2列联表：

（1）计算a,b,m,后的值，并依据小概率值a=0.100的x2独立性检验，判断性别与喜欢跑步是否有

关？

（2）从上述的200名学生中按性别比例用分层抽样的方法抽取10名学生，再在这10人中抽取3人调

查其是否喜欢跑步，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

喜欢跑步不喜欢跑步合计

女生a90120

男生b55k

合计m145200

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

第4页（共21页）

附.y2_____九(a"bc)2______

PIJ-x-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.(15分)如图，在正三棱柱48C-421C1中，侧棱与底面边长均为2,点、E,尸分别为/C,CG的中

T1T

点，点。满足2。=豺8

(I)求证：Bi,D,E,尸四点共面；

(2)求直线441与平面。斯所成角的正弦值.

18.(17分)已知点为(2,1)在抛物线C：x2=2py(/?>0)上，按照如下方法依次构造点(〃=2,3,

4,…)，过点作斜率为-★的直线与抛物线。交于另一点作点。〃.1关于〉轴的对称点B“

记尸”的坐标为(X*,yn)-

(1)求抛物线C的方程；

(2)求数列任〃｝的通项公式，并求数列｛；7上二｝的前"项和7”；

(3)求△P〃G+IG+2(«GN*)的面积.

19.(17分)给出下列两个定义：

I,对于函数y=/(x),定义域为。，且其在。上是可导的，若其导函数定义域也为。，则称该函数是

“同定义函数

II.对于一个“同定义函数"y=/(x),若有以下性质：

@f(x)=g(/(x))；

@f(x)=h(/(x)),其中y=g(x),y=h(x)为两个新的函数，y=f(x)是(x)的导函

数.我们将具有其中一个性质的函数y=/(x)称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数>=/

(x)称之为“双向导函数"，将y=gG)称之为“自导函数”.

(1)判断函数〃(x)=2*和v(x)=/gx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，并说明理由.如果

具有性质①，则写出其对应的''自导函数”；

(2)已知函数/(x)=*1-6+1)e

(。若/(x)的“自导函数"是y=-x,试求。的取值范围；

(ii)若a=6=l,且定义/(x)—f(x)*sinx-kx,对任意x6[0,，],不等式/(x)20恒成立，

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求后的取值范围.

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参考答案与试题解析

题号12345678

答案CCCBADDB

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）复数，=cos罟+is讥冷，则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：复数1=cos卷+isin^,

则z=cos等—isin^,

TC47r

47171

贝!Jcos—VO,-sin—VO,

47rn

故在复平面内z对应的点（可，-sin-）位于第三象限.

故选：C.

2.（5分）已知a,b为单位向量，且a在b上的投影向量为］b,则|3@一切=（）

A.2B.3C.2V2D.2V3

TTT-1

【解答】解：a,b为单位向量，且a在b上的投影向量为E6,

T—7

a-bb1-

贝！Jr-x—=V'

|b|网

T；1

4故4r匕=可，

->T1TTI—>T—>T

|3a—b\=(3a—b)2=^9a2+b2—6a-b=V10—2=2V2.

故选：C.

3.（5分）某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为〃的样

本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在（50,60］范围内的人数为60,则下列说法正确

的是（）

第7页（共21页）

B.这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为85%

C.估计学生成绩的第75百分位数为80分

D.总体分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数相等

【解答】解：根据题意可得0.05+10a+0.3+0.25+10a+0.1=1,解得。=0.015,

成绩在（50,60］范围内的频率为0.15,又成绩在（50,60］范围内的人数为60,

样本量〃=」a=400,选项错误；

这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为0.3+0.25+0.15+0.1=0.8,3选项错误；

,前几组的频率依之和为0.05+0.15+0.3+0.25=0.75,

估计学生成绩的第75百分位数为80分，...C选项正确；

:样本中在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数相等，

估计总体中分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数相等，

但总体分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数不一定相等，选项错误.

故选：C.

4.（5分）函数f（x）=人2笠乙人"乙在区间LI3］上的图象大致是（）

I

B.

第8页（共21页）

【解答】解：函数人久可得/（0）=-1,排除选项4C;

儿乙儿I乙

/（3）=9点2=3>0,排除选项D

故选：B.

5.（5分）已知直线1尸2x+a2y—i=。与直线53ax-7+9=0,则“a=6”是人的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：直线k2x+a2y-1=0与直线方3ax-y+9=o,

因为/1JJ2,所以2X3a+/X（-1）=0,

可得4=0或4=6,

所以“。=6”是/1JL/2的充分不必要条件.

故选：A.

6.（5分）已知双曲线E：*言=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为Fi,过点四的直线/交£的

3

左支于a3两点.|。用=|。乃|（。为坐标原点），点。到直线/的距离为5。，则该双曲线的离心率为

（）

LLLV1U

A.\2B.V3C.v5D.2

【解答】解：设双曲线£的半焦距为c,

第9页（共21页）

Q

取为2的中点。，连接。。，由31=1。为I，得0DLF1B,则QD|=d=*z,

连接尸2夕，由。为尸1尸2的中点，得^^〃。力，彦/2|=2d,BF1LBF\,\F\B\^2d-2a,

因此|8尸2『+田尸1|2=四3|2,即(2d)2+(2d-2a)2=(2c)2,整理得|02=c2,

所以e=（=乎.

故选：D.

7.（5分）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的

多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数

学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十

面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（）

A.遮B.2V3C.3遮D.3

【解答】解：根据题意可得该正八面体的外接球与内切球的球心相同，且在中间截面正方形的中心,

•••外接球的半径R为正方形的中心到顶点的距离，内切球的半径/为球心到某个面的距离，

设中间截面正方形的边长为2,则尺=&,球心到该正方形的边的距离为1,

.V2X1V2

J(V2)2+12百

R22

该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为Y=-=3.

T_

3

故选：D.

8.（5分）已知a€R,b>0,若函数/（x）=（x-a）-b）>0,贝l|a+称的最小值为（）

第10页（共21页）

1

A.-B.1C.eD.3

e

【解答】解：因为b>0,若函数/(%)=(x-Q)Mb)20,

当时，620恒成立，则

当工<〃时，，-6V0恒成立，贝1」6三,，

故b=ea,

,1_

则a+6=a+ea,

1p%_1

x

令/(x)=x+e,则/(x)=\——^=eX,

当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减，

故x=0时，函数取得最小值1.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)设函数/(x)=/cos(a)x+(p)(/WO,<n>0,0<(p<H)的图象关于直线x=-。对称,

它的周期是n,则以下结论正确的是()

A

A.f(x)的图象过点(0,一2)

B./(x)在哈，争上是减函数

C./(x)的最大值与/的取值有关

D.f(x)的一个对称中心是(一衰■,0)

【解答】解：函数/(x)=Acos(a)x+(p)(4W0,a)>0,0<(p<n)的周期是n,

故3=2,

由于函数的图象关于直线"T对称，所以2X(T)+@=/CTT(在Z),整理得¥="+竽(任Z),

当k=0时，(p=竽；

2TT

故/(x)=Acos⑵+寿-),

A

对于/：当％=0时，f(0)二一彳故4正确；

对于5：由于4不确定正负，所以函数的单调性不确定，故5错误；

对于C：由于％E吟，,故2x+6[7T/2TT]J

第11页(共21页)

函数歹=cos(2x+手)上单调递增，当4>0时，函数/(x)在该区间上单调递增，当ZVO时，函数/

(x)在该区间上单调递减，故函数的最值与4有关系，故C正确；

对于D:当％=—得■时，f(—=0,故Z)正确.

1ZJLZ

故选：ACD.

(多选)10.(6分)已知函数/(x)=x3-3ax+l,则()

A.f(x)必有两个极值点

B.存在实数四使得/(xo)=f(xo)

C.点(0,1)是曲线y=/G)的对称中心

4

D.若曲线y=/(x)有两条过点(2,1)的切线，则a=0或Q

【解答】解：对于/,fG)=3f-3a,

当a>0时，令/(x)=0,可得x=±V^,

当xV—8或》>历时，f(x)>0,当一时，f(x)<0,

所以f(X)在(-8,_«),(«,+OO)上单调递增，在(—y/a,«)上单调递减，

此时/(x)有两个极值点，

当。<0时，f(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，无极值点，故/错误；

对于2,，(x)=3,-3a,令，(x)—f(x),则/-3ax+l-3/+3a=O,

令g(x)=x3-3x2-3ax+3a+l,

3

g(1)=1-3-3a+3a+l=-l<0,当x-+8时，g(x)>0,

根据函数零点存在定理，存在实数xoe(1,+8),使得，(xo)=/(xo)，故8正确；

对于C,由/(x)4/(-x)—X3-3ax+l-x3+3ax+l=2,

知/(x)的图象关于(0,1)中心对称，所以点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

对于。，设/'(x)过(2,1)的切线的切点为(xo,yo),切线斜率为，(xo)-3%o-3a,

则切线方程为y-yo=(3%o—3a)(x-xo),

把点(2,1)代入可得一看+3axo=(3XQ-3a)(2-xo),

化简可得就—3焉+3a=0,令u(x)=x3-3x2+3a,则〃'(x)=3x2-6x,令〃'(x)=0,可得x=0

或x=2,

当xC(-8,o)U(2,+8)时，u'(x)>0,所以u(x)在(-8,o)和(2,+8)上单调递增，

当xe(0,2)时，/(x)<0,所以w(x)在(0,2)单调递减，

要使0(x)=0有两个解，一个极值一定为0,

第12页(共21页)

若函数〃（x）=X3-3f+3a在极值点x=0处的函数值w（0）=0,可得0=0,

若函数a（x）=#-3/+3。在极值点x=2处的函数值w（2）=3。-4=0,可得a=*故。正确.

故选：BCD.

（多选）11.（6分）法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微

分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这

个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆最+1|=l（a>b>0）的蒙日圆为C；/+y2=、，过圆。上

的动点M作椭圆£的两条切线，交圆。于尸，0两点，直线交椭圆£于4,8两点，则下列结论

正确的是（）

V6

A.椭圆E的离心率为三

B.若点D（L李）在椭圆E上，且直线D4DB的斜率之和为0,则直线48的斜率为手

56

C.点M到椭圆E的左焦点的距离的最小值为（2一,“

D.面积的最大值为百a?

【解答】解：对于选项/：过椭圆E的上顶点作了轴的垂线，过椭圆£的右顶点作x轴的垂线，

此时这两条垂线的交点在圆C上，

所以小+b2=^a2,

22

解得a=3bf

所以椭圆E的离心率e=£=J1—1=乎,故选项/正确；

对于选项3,因为。（1,卓），

由选项4可得〃2=3,

直线尸。经过坐标原点，

此时点5关于原点对称，

设/（xi,yi）,

则5（-xi，-J4）,

所以XIW±1,kDA=?；,kDB=；

v_渔—V—底

所以跖，+跖3=房子+一%:一;二。，

所以久，1=幸,

第13页（共21页）

因为君+3比=3,

所以君=2,

则七B=答=&空=乎，故选项5正确；

比1X|0

对于选项C设M（xo,川），椭圆。的左焦点为尸（-C,0）,连接心，

因为=a2—b2=-|a2,

解得c=^a,

c2222

所以固产产-（比o+c）2+yg-+7o+2x0+c-^a+2x0x孚a+|a=2a+ax0,

中出2热//2乃

因为---2~a-—3-a，

所以|MF|2>（2—竽）a2,

,2-V2

所以点M到的椭圆左焦点的距离的最小值为飞-a,故选项C错误；

对于选项。：因为点M,P,。都在圆。上，且/PMQ=90°,

所以P0为圆C的直径，

所以|PQ|=2xJga2=

此时△MPQ面积S=义|PQ|dW2|PQ|x&a?=,义4fax2fa=/a?,故选项Z）错误.

故选:AB.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

177r47r

12.（5分）已知P（m,5）是角a=F终边上的一个点，将。P绕原点。顺时针旋转三至。。，则点0

第14页（共21页）

的坐标为（0,-10）.

・efem177r5TTV3

［斛答］触：丁/、=cos--=cos—=-—,

yni2+25662

:・m=-5A/3,

sina=7cos2a=/

47rAJr

设。尸绕原点。顺时针旋转工至。。，所成的角为0,贝邨=a-等，

*/4兀、_/,27、_,lx.V37373

••cos（a—Q~）一cos（ad—一cosotX（一亨）_sinocx-5-=—z----=0,A

33zz44

♦/4兀、_.z,2TT、_.zlxV3131

sin（a——sin（ad—亏）一sinceX（一亨）（+cosctx-5-=一—7=-1.

33ZN44

又QP尸5V3）2+52=10,

，。点的坐标为（0,-10）.

故答案为：（0,-10）.

13.（5分）己知等差数列｛斯｝的前〃项和是8>0,S9<0,则数列｛或｝中最小的项为第一"项.

【解答】解：等差数列｛即｝中，S8>0,S9<0，

所以41+。8=。4+。5>0，〃1+。9=245<0，

所以Q4>-Q5，d<0,

则数列｛碎｝中最小的项为第5项.

故答案为：5.

14.（5分）箱子里有大小相同的4种点数不同的纸牌各若干张，每次从中摸出4张纸牌为一组，其中摸出

恰有3种点数组合纸牌的不同取法为12种:若要保证至少有2组纸牌的点数组合是一样的，则至

少要摸出36组纸牌.（两空均用数字作答）

【解答】解：箱子里有大小相同的4种点数不同的纸牌各若干张，每次从中摸出4张纸牌为一组，

其中摸出恰有3种点数组合纸牌的不同取法为：或屐=12种.

4种点数的取法有，1种；3种点数的取法有：或玛=12种；2种点数的取法：鬣©+1）=18种；

1种点数有:4种.本题的取法有：1+12+18+4=35种.

要保证至少有2组纸牌的点数组合是一样的，则至少要摸出35+1=36种.

故答案为：12；36.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（13分）在锐角△/8C中，内角4,B,。对边分别为a,b,c,已知26cos（n-5）+acosC+ccosA=0.

(1)求8；

第15页（共21页）

(2)求cos4-cosC的取值范围.

、ct^+b^—c^b2+c2—a2

【解答】解：(1)由余弦定理得QCOSC+CCOS4=Q・------------+「-=b,

2ab2bc-

因为2bcos(TI-B)+acosC+ccosA=0,

所以-26cos3+6=0,整理得cos3=4,结合3为锐角，可知

7T

(2)cosA-cosC=cosA+cosCA+B)=cosA+cos(4+@)

=cos4+^cosZ一孚siib4=B(cos^cos——siiL4sin-)=V3cos(4+着).

由(1)得5=泉4+。=竽且4、。均为锐角，可知46(%,5),

因为/+色(―,—),所以cos(/+强)6(―参5)'

厂V3

可得cosZ-cosC=V5cos(力+勺6(——).

。N2

16.(15分)为了调查某校学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查,

得到如下的2X2列联表：

(1)计算a,b,m,左的值，并依据小概率值a=0.100的x2独立性检验，判断性别与喜欢跑步是否有

关？

(2)从上述的200名学生中按性别比例用分层抽样的方法抽取10名学生，再在这10人中抽取3人调

查其是否喜欢跑步，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

喜欢跑步不喜欢跑步合计

女生a90120

男生b55k

合计m145200

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

2_n(ad—bc)2

*—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解答】解：(1)易知a=120-90=30,加=200-145=55,1=55-30=25,左=200-120=80,

零假设为”:性别与学生喜欢跑步无关,

200(30x55-25x90)2

此时x2=*0.940,

55x145x120x80

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因为0.940V2.706,

依据小概率值a=0.100的x2独立性检验，没有充分证据认为“0不成立,

所以判断性别与喜欢跑步无关；

（2）一直参与调查的200人中，女生有120人，男生有80人，

因为120：80=3：2,

若按性别比例分层抽样抽出10人,

此时女生抽6人，男生抽4人,

从10人中随机抽取3人,

此时X的所有可能取值为0,1,2,3,

隽*_4_1_ClCj_3

所以P(X=0)鬲一团-而，P（XT）-葛-奇

_60__ly__C6C4_20_1

P-2)=需二120Pr(X--120-6J

则随机变量X的分布列为:

X0123

P1311

301026

1411Q

则E(X)=0x+1x-TTT+2x«-+3x=-p-.

DU\J乙UJ

17.（15分）如图，在正三棱柱ZBC-Z/iCi中，侧棱与底面边长均为2,点E,尸分别为/C,CC1的中

T1T

点，点。溺足力。=可力8.

（1）求证：B\,D,E,尸四点共面；

（2）求直线441与平面DEP所成角的正弦值.

T1T

【解答】解：（1）证明：如图，由题意可知，点E,尸分别为/C,CCi的中点，AD=^AB,

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G

F

C

—>—>—>->—>—>

-

BrE=B】F+FE=2d=B^FA^A~l~EA=B1FAIA+EDHDAf

—>—>TT—>

又B[E=+A-yA+AD+DE,

—>―>[—>—>—>—>—>T—>T&->&T—>~)

所以2B、E=当尸+/遇+ED+DA+ArA+4D+DE=当尸+/遇+*BD=/F+期也

T1T4T

所以B1E=*B1F+/B1。，所以Bl，D,E,尸四点共面.

(2)由正三棱柱性质有△NBC是等边三角形，又£是/C中点，所以3EL/C,

则以£为原点，分别以防，EC所在直线为x,夕轴，过£作的平行线为z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示,

因为此三棱柱侧棱与底面边长均为2,

所以N(0,-1,0),B(V3,0,0),F(0,1,1),E(0,0,0),A\(0,-1,2),

―>所以诟=得几=(岁0),ED^EA+AD^C~,—I，0),EF

所以48=(再，1,0),

—>

(0,1,1),AA1=(0,0,2),

设平面。跖的一个法向量为7=(%,y,z),

G2_n

则(33,令y=陋,则x=2,z=-V3,所以71=(2,W,-V3),

ji-EF=y+z=0

设直线AAi与平面DEF所成角为仇

7T「._____

Lm_|-2回—廊

则sin。=\cos<AAr,疝11向*3+3x210

/an

直线AAi与平面DEF所成角的正弦值为工丁.

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18.(17分)已知点尸i(2,1)在抛物线C：W=2py(^>0)上，按照如下方法依次构造点尸”(n=2,3,

4,■■■),过点GJ作斜率为的直线与抛物线C交于另一点。"一1,作点。mJ关于y轴的对称点

记尸”的坐标为Cxn,yn).

(1)求抛物线C的方程；

(2)求数列盘”｝的通项公式，并求数列｛7士r｝的前“项和心；

入九十yn

(3)求△PnPn+lPa+2(”6N*)的面积.

【解答】解：(1)因为点尸1(2,1)在抛物线C:x2=2加上，

则4=2/2,解得：p=2,

所以抛物线C的方程f=4y；

(2)由尸1(2,1)可知xi=2,yi=l,

因为点尸〃(尤〃，孙)在抛物线C：/=4y上，

2

则力=?，且。”-1(如，孙)，

2

则过pn_i(x「i，乍i)(〃=2,3,4,…)，

2

且斜率为一■的直线Pn-iQ-i：y----=—号(%-xn-l),

%21

"4—2("%九一1),消去»可得(％-冽_1)(x+xn-1+2)=0,

｛x2=4y

解得：X=Xn-1或X=-X〃J-2,BP~Xn=~Xn-\~所以Xn=Xn-1+2,

所以数列处是以首项为2,公差为2的等差数列,

所以初=2+2(n-1)=2几，即向=2几(虻N*),

照4n2?

=17=—=^

11111

所以

第九+y?in2+2n2vnn+2J

ME1-1.11.11,.11、

则7“=2(1_3+2_4+可一耳+_+元―帝)

=2(1+2—市一

32n+3

(〃€N*)；

4-2(n+l)(n+2)

222

(3)由(2)可矢口：Pn(2n,n),Pn+i(2几+2,(/1)),Pn+2(2〃+4,(几+2)),

所以直线产出+2的方程为>-后=驾寻二-2几)=(〃+1)(x-2w),

乙/1II乙/c