2025年人教版八年级数学寒假预习：二次根式的乘除（4个知识点+6大考点举一反三+过关测试）

第02讲二次根式的乘除

T模块导航一素养目标”

模块一思维导图串知识1.掌握二次根式的乘法法则：

V^-Vb=V^b(«>0,Z7>0),能利用其进行计算，并

模块二基础知识全梳理(吃透教材)

能逆用法则进行化简；

模块三核心考点举一反三

2.掌握二次根式的除法法则：^=^(a>0,b>0),

模块四小试牛刀过关测

能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；

3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除

法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。

模块一思维导图串知识

1.被开方数中不含能开得尽的因数或因式

最简二次根式

-2被.开方数中不含分母

-

次3分.母中不含有根号

根

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变

式

乘法法则L冗=，

的/Lc\

y/aVb=\ab(a>0)(b>0)

乘

、JI二次根式的乘除两个二次根式相除,把被开方数相除，指数不变

除

I除法法则一^=^(a>0,b>0)

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1：二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则：&.瓜=疝仅>0,6>0)

(二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变)

2.二次根式的乘法法则的推广

(1)Va-Vb-Vc=Vabc(a>0,6>0,c>0)

(2)a^-c4d=ac^b>0,d>0),即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进

行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

知识点2：二次根式的乘法法则的逆用

1.二次根式的乘法法则的逆用

Vab=册•瓜a>0,b>0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）

2.二次根式的乘法法则的逆用的推广

Jabcd=Va-Vb-Vc-a>Q,b>0,c>0,tZ>0）

知识点3：二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则

-^=^a>0,b>0）（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）

2.二次根式的除法法则的推广

4^<a；b；c(a>Q,b>0,c>0)

注意

(1)a》0,b>0时,不=余才有意义;

（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数

知识点4：最简二次根式的概念

1.最简二次根式的概念

（1）被开方数不含分母

（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

2.化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开V8=74^2=272

方

若被开方数中含有带FT[42V3

分数，先将被开方数N3一《3一折—3

化成假分数

若被开方数中含有小厮=二=、匹=①

数，先将小数化成分vioviooio

化去根号下的分母

数

若被开方数时分式，15a__15a-3c1~15ac~yJ15ac

6bc

先将分式分母化成能X126)一爪2b,Sc)36b2cL

转化为平方的形式，(a>0,b>0,c>0)

2

再进行开方运算

被开方数时多项式的要先因式分解22

^x+2xy+y=x+y

(x>0,y>0)

3.分母有理化

(1)分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。

6模块三核心考点举一反三

考点一：二次根式的乘法

1.计算:

(1)V20xV5(2)V8xV18

(3)V48xV12>0)

【变式1-1】计算：

(1)2V3x5V15；⑵后•A/18ab(a>0,/?>0)；G喏喏S>0,b>0,c>0).

【变式1-2］计算:

(桂局；

X(2)5727x(-3V3)

【变式1-2】计算：

⑴2卜卜3周;(2)V15x2

3

【变式1-3】计算:

(l)V2a•V8a；(2)|V12x(-V27)x(-|V49).

考点二：二次根式的除法

125b：

(3),>0,b>0).

16a2

(3)6疝&+3

【变式2-1】计算:

c/⑵-J手a73ab+(a>0,b>0).

【变式2-21计算:

(2)475-2710.(4)2V6a7-4a

(3te2

考点三：二次根式的乘除混合运算

3.计算:

4

)

(1)V5xV2x2V2-r2V5；(2)Jl|x2V3x(-1V10;

（3）x®｛谓彳历;

【变式3-11计算：

(1)V27xV50-V6；

(4)8，a2b_2y[ab-倒a>0,b>0).

【变式3-2】计算：

⑴1岳*（-9闻）；⑵点乂口143M(3)6aVa2b5+(-2Va3b)x

考点四：最简二次根式的判断

［、例4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）

A.RB.V243C.V36m

D.Vm2+2

【变式4-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V30B.V12C.D.V0?5

【变式4-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.专B.V02C.V7D.V12

5

【变式4-3】请写出一个正整数机的值使得痂是最简二次根式,m—

考点五：化为最简二次根式,

例I5.化简短的结果是（）

A.5V2B.4V2C.3V2D.6V2

【变式5-1］将何化成最简二次根式为（）

A.2V10B.4V5C.2V5D.10V2

【变式5-2】下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（

A.同与《B.与小

C.何与2乃D.闻与回

【变式5-3］将V3丽化成最简二次根式的结果为

考点六：已知最简二次根式求参数

6.VTI与最简二次根式标率I是同类二次根式，则m=()

A.2B.3C.6D.11

【变式6-1】若我和最简二次根式厮二万是同类二次根式,则m的值为（

A.m=4B.m=3C.m=5D.m=6

【变式6-2］若最简二次根式后曾与是同类二次根式，贝必=

【变式6-3］若何与最简二次根式能合并成一项，贝必=

6模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.化简闻x的正确结果是（）

A.2B.V5C.V6D.3

2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.B.V5C.V4D.V0?8

3.化简历的结果是（）

A.2V10B.2V5C.4V5D.4V10

_2

4.化简（-C）的结果为（）

A.V2B.2C.4D.-4

5.下列运算错误的是（）

A.V—4xV—9=6B.J(-3'=3

C.3V3xV6=9V2D.2V3^V12=1

6

二、填空题

6.化简：—V8=.

7.计算（2a）=.

8.计算:6+6乂居=-----

9.二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长

方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，lMircm,宽是，3571cm,那么圆的半径应

是.

三、解答题

10.计算：

(2)1Va^->0,b>0).

11.计算:

(2)147-G次？)+g(久>0,y>0%

12.计算：3jx2yX,［亍+2jx3y2(久>0,y>0)

7

第02讲二次根式的乘除

模块导航素养目标”

模块一思维导图串知识1.掌握二次根式的乘法法则：

V^-Vb=V^b(«>0,Z7>0),能利用其进行计算，并

模块二基础知识全梳理(吃透教材)

能逆用法则进行化简；

模块三核心考点举一反三

2.掌握二次根式的除法法则：^=^(a>0,b>0),

模块四小试牛刀过关测

能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；

3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除

法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。

模块一思维导图串知识

1.被开方数中不含能开得尽的因数或因式

最简二次根式2.被开方数中不含分母

二

次3分.母中不含有根号

根

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变

式

乘法法则I_/-1—,-

的~y/a\b=vab(a>0)(b>0)

乘

二次根式的乘除:两个二次根式相除，把被开方数相除，指数不变

除

除法法则■=、口(a20220)

4b]lb

令模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1：二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则：VI-Tb=疝(a>0,Z)>0)

(二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变)

2.二次根式的乘法法则的推广

(3)Va-Vb-Vc=Vabc(a>0,6>0,c>0)

(4)aVb-cVd=«cVbd(Z7>0,c?>0),即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进

行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

知识点2：二次根式的乘法法则的逆用

8

1.二次根式的乘法法则的逆用

Vab=册•瓜a>0,b>0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）

2.二次根式的乘法法则的逆用的推广

Jabcd=Va-Vb-Vc-a>Q,b>0,c>0,tZ>0）

知识点3：二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则

-^=^a>0,b>0）（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）

2.二次根式的除法法则的推广

4^<a；b；c(a>Q,b>0,c>0)

注意

(3)a》0,b>0时,不=余才有意义;

（4）如果被开方数时带分数，应先化成假分数

知识点4：最简二次根式的概念

1.最简二次根式的概念

（3）被开方数不含分母

（4）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

2.化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开V8=74^2=272

方

若被开方数中含有带FT[42V3

分数，先将被开方数N3一《3一折—3

化成假分数

若被开方数中含有小厮=二=、匹=①

数，先将小数化成分vioviooio

化去根号下的分母

数

若被开方数时分式，15a__15a-3c1~15ac~yJ15ac

先将分式分母化成能X126)一爪2b,Sc)36b2cL6bc

转化为平方的形式，(a>0,b>0,c>0)

9

再进行开方运算

被开方数时多项式的要先因式分解22

^x+2xy+y=x+y

(x>0,y>0)

3.分母有理化

(2)分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。

◊〉模块三核心考点举一反三

考点一：二次根式的乘法

L计算:

(l)V20xV5(2)V8xV18

(3)V48xV12(4)V6a3•>0)

【答案】(1)10

(2)12

⑶24

(4)3a2

【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键.

(1)根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可;

(2)根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可

(3)根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可;

(4)根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可.

【详解】(1)解：同=VW=10；

(2)解：V8xV18=V144=12；

(3)解：V48xV12=4V3x2V3=24：

(4)解；46a3■=79a4-3a2.

【变式1-1】计算：

(1)2V3x5V15；(2)后■”8ab(a>O,b>0)；⑶a杵・2百(”，—).

【答案】(1)30西

⑵2a府

(3)2V6ac

10

【分析】本题考查二次根式的乘法：

(1)根据二次根式的乘法法则进行计算即可；

(2)根据二次根式的乘法法则进行计算即可；

(3)根据二次根式的乘法法则进行计算即可；

【详解】(1)解：原式=2x5x“3x15=10x3萌=304;

(2)原式=.18ab=V12a2b=2aV3fe；

(3)原式=2a］观,=2V^ac.

\ab

【变式1-2】计算：

(l)J|xV75；(2)5727x(-3V3)

【答案】⑴5

(2)-135

【分析】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.

(1)根据二次根式的乘法运算法则求解，结果要为最简；

(2)根据二次根式的乘法运算法则求解，结果要为最简；

【详解】(1)JxV75

=V25

=5；

(2)5V27x(-3V3)

=5x(-3)xV27x3

=-15x9

二一135

【变式1-2】计算：

⑴2gxi3点)⑵同义26义.跖

【答案】(1)-4

(2)^715

O

【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键.

(1)根据二次根式的乘法法则计算即可求解；

(2)根据二次根式的乘法法则计算即可求解.

11

=2x(-3)x

4

=一69

N

2

=-6x-

3

=—4；

(2)V15x2

51~

=2x—x15x—x6

12Q6

6

【变式1-3】计算：

(l)V2a-V8a；(2)|V12x(-V27)x(-1V49).

【答案】(l)4a

(2)63

【分析】本题考查二次根式的乘法运算：

(1)根据乘法法则进行计算即可；

(2)利用乘法法则进行计算即可.

【详解】(1)解：原式=72x8a2=4a；

(2)原式=：x|x,12x27x49

32i------------------------------

=-x-xV2x2x3x3x3x3x7x7

43

32

=-x-x2x3x3x7

43

=63.

考点二：二次根式的除法

12

【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简.

(1)直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案;

(2)直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案;

(3)直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案.

【详解】(1)解：原式==誉=/

W#V81XV121

(2)解:原式=-7=—

V144

9x11

12

33

原式=普

(3)解:

6a2

_5b同

4a

【变式2-1］计算:

⑴曝(2)-11导摄(3)6"+3卡.

【答案】(1)K

⑵-3夜

⑶6a

【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可.

【变式2-1】计算:

(1)V72(2)_J1|+薪；

(3)V3ab-?(a>0,£>>0).

【答案】(1)4伤

(2)-372

(3)3a

【分析】(1)根据二次根式的除法计算法则求解即可;

(2)根据二次根式的除法计算法则求解即可；

(3)根据二次根式的除法计算法则求解即可.

13

【详解】（1）解：原式=2-72+3

=2V24

=3a.

【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键.

【变式2-2】计算：

⑴等(2)475-2710.(4)27607+4

【答案】（1）5

⑵或

（3百

（4）6a-\/a

【分析】（1）根据二次根式的性质直接化简即可;

（2）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可;

（3）根据二次根式的性质直接化简即可；

（4）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可.

【详解】（1）解：零

=V25

=5；

(2)4V5-2V10

14

_4V5

_2V10

=V2

(3)原式=3bVab

2byfa

3Vb

2

⑷原式=2x*x2

=y/36a3

=6ay[a.

【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

考点三：二次根式的乘除混合运算

[\]例3.计算:

(1)V5xV2x2V22V5；(2)Jl|x2V3x

(3次历+(甘丹3屈;(%昌.(一闾+层.

【答案】(1)2

(2)-473

(3)-1%3/

(4)一条标

【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键.

(1)先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案；

(2)直接根据二次根式乘法计算法则求解即可；

(3)把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算,

据此可得答案；

(4)把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算,

据此可得答案.

【详解】(1)解：原式=西义2x2+2花

=4V5+2V5

=2；

15

(2)解：原式=¥^x2gx(—[VTU)

=—4A/3；

31、

(3)解：原式=—X--X-xy2•?•x4y

22,

3i------

——Xy/x4y4

4

3

——“x-x2y2

332

一/y；

(4)解：原式=—3

=——1•nmy/m

=一、师.

【变式3-1】计算：

(1)V27XV50-V6；(2)3745+

⑶34(4)8，a2b+2y[ab-H(a>0,b>0).

【答案】(1)15

⑵20n

O)-T

(<Vb

【分析】本题考查了二次根式的混合运算

(1)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(2)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(3)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(4)根据二次根式乘除法法则计算即可.

【详解】(1)解：原式=x5鱼+逐=15①+遍=15

518

4-X-

(2)原式=3x|x53

16

=2xV600=20V6；

(3)原式3x(一工)x2-x15x-=--x5=--；

8y^3244

(4)原式=4怜.？=4

yabb\bb

【变式3-2】计算：

b

(l)|^x(-V45)⑵6足十3局.(3)6aVa2/?5+(-2Va3b)x

9；a

【答案】(1)-4573

2

(3)-3b2Vb

【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，

(1)根据二次根式的乘法运算即可求出答案.

(2)根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案.

(3)根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】⑴解：|x(-9V45)

215,l、

=小，(-27佝

2V15

=-x^—X(-27V5)

32

V15

-----x(-27佝

=-45V3：

(2)

V2'

V

3

b

(3)6ay/a2bs4-(―2Va3/))x

a

17

=-3

=-

=-3b2Vb.

考点四：最简二次根式的判断

］例4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）

A.B.V243C.V36nlD.Vm2+2

【答案】D

【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键.根据最简二次根式的概念

判断即可.

【详解】A、R=当,故该选项不符合题意；

B、V243=9V3,故该选项不符合题意；

C、V36m=故该选项不符合题意；

D、而F不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意；

故选：D.

【变式4-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V30B.V12C.D.V0?5

【答案】A

【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开

方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可.

【详解】解：=2百，=争苑=电=争

二河是最简二次根式，

故选：A.

【变式4-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.爰B.V02C.V7D.V12

18

【答案】c

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）

被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.是否同时满足，同时满足的就是

最简二次根式，否则就不是.

【详解】解：A、专=手，不是最简二次根式，不符合题意；

B、＜2=f,不是最简二次根式，不符合题意；

C、位是最简二次根式，符合题意；

D、g=2V3,不是最简二次根式，不符合题意；

故选：C

【变式4-3】请写出一个正整数加的值使得际是最简二次根式，m=.

【答案】1

【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得巾=1或a=3等，从而可

得答案.

【详解】解：•••后是最简二次根式，m为正整数，

正整数〃？的值可以为1或3等，

故答案为：1（答案不唯一）.

考点五：化为最简二次根式,

A.5V2B.4V2C.3V2D.6V2

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式的性质,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次

根式的性质进行求解.

【详解】解：忌=716x2=4vL

故选B.

【变式5-1］将何化成最简二次根式为（)

A.2V10B.4V5C.2V5D.10V2

【答案】C

【分析】本题主要考查了化简二次根式,直接根据二次根式的性质进行求解即可.

【详解】解：V20==2V5,

故选：C.

19

【变式5-2】下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（）

A.旧与点B.g与出

C.后与D.闻与回

【答案】C

【分析】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.

根据二次根式的性质，化简二次根式，进而即可得到答案.

【详解】A.V18-3V2,被开方数不一样，故不符合题意；

B.V12=2V3,£=争被开方数不一样，故不符合题意；

C.V27=3V3,与2次被开方数一样，故符合题意；

D.V45=3V5,V54=3V6,被开方数不一样，故不符合题意，

故选C.

【变式5-3】将麻化成最简二次根式的结果为.

【答案】6V3

【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解.

【详解】解：V108=73x36=6V3,

故答案为：6V3.

考点六：已知最简二次根式求参数

A.2B.3C.6D.11

【答案】A

【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键.

直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案.

【详解】解：；g=2日与最简二次根式后41是同类二次根式，

m+1—3,

解得：m-2.

故选：A.

【变式6-1］若我和最简二次根式痂:7是同类二次根式，则加的值为（）

A.m=4B.m=3C.m=5D.m=6

【答案】B

【分析】把强化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于根的方程，解方程

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即可.

【详解】•..迎=2/，而最简二次根式厮:7与伤是同类二次根式，

3m—7=2,

解得：m=3；

故选：B.

【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键.但要注意，要把我化成最

简二次根式.

【变式6-2］若最简二次根式荷1与是同类二次根式，贝必=.

【答案】3

【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知a+2=3a-4,从而可

求得。的值.

【详解】解：•.•最简二次根式标I与7^口是同类二次根式，

d+2=3Q—4,

解得：a=3.

故答案为：3

【变式6-3］若何与最简二次根式VI=^能合并成一项，则口=.

【答案】-2

【分析】先化简历，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方

数相同，列出方程即可得到。的值.

【详解】解：•:何=3百，它与最简二次根式V!』能合并成一项，

1-a=3,

a=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们

的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.化简同X』的正确结果是（）

A.2B.V5C.V6D.3

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则.

利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案.

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【详解】解：V28x出=128义^=〃=2,

故选：A.

2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是()

A.£B.V5C.V4D.Vo^8

【答案】B

【分析】本题考查最简二次根式的判别.最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分

母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式.根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可.

【详解】解：A.J被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误；

B.西是最简二次根式，故该选项正确；

C.四被开方数含有开的尽的因数4,故该选项错误；

D.底被开方数含有分母，故该选项错误.

故选：B.

3.化简历的结果是()

A.2V10B.2V5C.4V5D.4V10

【答案】B

【分析】本题考查化最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键.根据加=7^x4化简

即可.

【详解】解：V20-V4xV5=2V5.

故选B.

2

4.化简的结果为()

A.V2B.2C.4D.-4

【答案】C

,_2

【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法.根据乘方可得：(-〃)=

(-V4)(-V4),再利用二次根式的乘法法则计算即可.

［详解］解：(_〃)=(-V4)(-V4)=4,

故选：C.

5.下列运算错误的是()

A.7^4x7=9=6B.J(—3.=3

C.3V3xV6=9V2D