2025年人教版八年级数学寒假预习：矩形的判定（1个知识点+5大考点举一反三+过关测试）

第11讲矩形的判定

T模块导航一素养目标傕

模块一思维导图串知识1.探索并证明矩形的判定定理，并能运用它们进行证明

模块二基础知识全梳理（吃透教材）和计算；

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测2.通过矩形的判定定理以及相关问题的证明和计算，

进一步培养和发展学生的演绎推理能力。

◊＞模块一思维导图串知识

矩

形

的

判

定

模块二基础知识全梳理-----

知识点：矩形的判定

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形;

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三各直角的四边形是矩形。

3模块三核心考点举一反三

考点一：添一条件使四边形是矩形

1.（23-24八年级下•辽宁大连•期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为

矩形.如图，在平行四边形力BCD中，对角线AC,8D相交于点0,下列验证方法中错误的为（）

A.0A=OBB.AC=BDC.0A=OCD.OA=OD

【变式1-1］（23-24八年级下•江西上饶•期中）如图，已知口/lBCD的对角线AC,BD相交于点。，下列条件

1

能使UMBCD成为矩形的是（）

AL

A.AB=ADB.AC=ABC.AC=BDD.ACLBD

【变式1-21（23-24八年级下•山东聊城•期末）如图，四边形/BCD为平行四边形，延长4）至!JE,^DE=AD,

连接EB,BC,DB,添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）

A.AB=BEB.DE1DCC.乙ADB=90°D.CEIDE

【变式1-31（23-24八年级下•黑龙江齐齐哈尔・期末）如图，在中，。为上一点，。DF〃/C.请

你再添加一个适当的条件：,使四边形小叫E为矩形.

A

考点二：证明四边形是矩形

Crj例2.（23-24八年级下•全国•期末）如图，在△ABC中，CA=CB,。为4B中点，四边形DBCE是平

行四边形，AC,DE相交于点。

（1）求证：四边形力DCE是矩形；

（2）若NCOE=60。，CE=2,求OE的长度.

【变式2-1]（23-24八年级下•全国•单元测试）如图：在△4BC中，AB=AC,4D是中线，2N是△A8C的

外角4乙4M的平分线，CE1AN,垂足为E.

2

M

(1)求证：四边形4DCE是矩形；

(2)连接DE,交力C于点F,若DF=3,求AB的长度.

【变式2-2](23-24八年级下•山东苗泽•阶段练习)在△力BC中，。是BC边上的一点，E是2D的中点，过力

点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且4F=B£>,连接BF.

(2)如果4B=AC,试判断四边形AF8D的形状，并证明你的结论.

【变式2-3](23-24八年级下•江苏盐城•期中)如图，在平行四边形A8CD中，乙4cB=90。，过点。作。E18C

交BC的延长线于点E,连接2E交CD于点F.

(1)求证：四边形力CED是矩形；

(2)连接BF,若N4BC=6。。，CF=5,求BF的长.

考点三：根据矩形的性质与判定求角度

3

例3.（22-23八年级下•福建厦门•期中）在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片力BCD对折，使力D

与BC重合，得到折痕EF.把纸片展开，再一次折叠纸片，使点/落在N上，得到折痕BM.

⑴若点N刚好落在折痕EF上时，

①如图1,过N作NG1BG,求证：NG=^BN；

②如图2,求乙4MN的度数；

（2）如图3,当"为射线力。上的一个动点时，已知AB=3,BC=5,若△BNC的直角三角形时，求AM

的长.

【变式3-1］（2024八年级下•全国•专题练习）如图，在平行四边形4BCD中，对角线AC、BD相交于点O,

且。4=OD,/.OAD=50°,贝!UOAB的度数为.

【变式3-2］（2023•广东梅州・一模）如图，四边形A8CD中，对角线AC,8D相交于点。，AO=OC,BO=0D,

且N40B=Z^OAD.

⑴求证：四边形力BCD是矩形；

（2）若4AOB:4ODC=6:7,求44。。的度数.

【变式3-3］（23-24八年级下•浙江杭州•期中）如图所示，在四边形2BCD中，对角线AC,相交于点O,

4

AO=C0=10,BO=DO,且4B=12,BC=16.

⑴求证：四边形力BCD是矩形.

(2)若=3:2,DF1E,求N8DF的度数.

考点四：根据矩形的性质与判定求线段长

4.(23-24八年级下•新疆乌鲁木齐•期末)如图，在平行四边形48CD中，过点。作DE1A8于点£,

点尸在边CD上，S.FC=AE,连接

(1)求证：四边形DEBF是矩形；

(2)若4尸平分FC=3,DF=5,求BF的长.

【变式4-1](23-24八年级下•浙江湖州•期末)如图，在△力BC中力B=4C,。为BC的中点，四边形力BDE

是平行四边形，AC,DE相交于点。.

(1)求证：四边形力DCE是矩形；

(2)若乙4OE=60。，AE=4,求4。的长.

【变式4-2](23-24八年级下•陕西宝鸡・期末)(1)如图①，已知CJABCD,点E是4。边上一定点，试在BC

5

边上确定一点F,使得EF平分口48。£）的面积，并直接写出4E与CF之间的数量关系;

（2）在（1）的条件下，若ZB=60°,AB=6,FC=8,AE=2.求EF的长度.

【变式4-3］（23-24八年级下•贵州黔南•期中）如图，在口力BCD中，O为4D的中点，延长B0交CD的延长

线于点E,连接力E,BD,Z5DC=9O°.

C

⑴求证：四边形力BDE是矩形;

（2）连接。C,若48=4,BD=8,求。C的长.

考点五：根据矩形的性质与判定求面积

5.（23-24八年级下•广西河池•期末）如图，在四边形力BCD中，AB//CD,力C与BD相交于点0,

且。是BD的中点.

（1）求证：四边形力BCD是平行四边形；

（2）若△。48是等边三角形，且48=4,求四边形2BCD的面积.

【变式5-1］（21-22八年级下•四川成都•阶段练习）如图，在四边形A8CD中，对角线2C1BD,垂足为O,

点£、F、G、〃分别为边力。、AB.BC、CD的中点.若4c=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为（）

6

【变式5-2】23-24八年级下•安徽安庆・期末)已知：如图，平行四边形4BCD的对角线AC、BD相交于点0,

BE//AC,CE//DB,S.AB0C+2A0BC=180°.

(1)求证：四边形4BCD是矩形；

(2)若N40B=60°,AB=2,求四边形。BEC的面积.

【变式5-3](23-24八年级下•上海奉贤•期末)如图，在直角梯形力BCD中，AD//BC./.C=90°,AD=1,CD=

2,AB-BC.求S梯形ABCD。

模块四小试牛刀过关测

7

一、单选题

1.（23-24八年级下•河南南阳•阶段练习）在平行四边形力BCD中添加下列条件，不能判定四边形力BCD是矩

形的是（）

A./.ABC=90°B.AC1BDC.AC=BDD.^ACD=Z.CDB

2.（23-24八年级下•全国•期末）工人师傅在没有测量角度工具的情况下，下列测量方案中，能确定四边形

桌面为矩形的是（）

A.测量对角线是否互相平分

B.测量两组对边是否分别相等

C.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

D.测量对角线是否相等

3.（23-24八年级下•江苏南通•阶段练习）如图，在CL4BCD中，对角线AC、BD相交于点。，且。4=。£）,

^OAD=55°,则乙。84的度数为（）

4.（23-24八年级下•江苏徐州•期中）将6张宽为1的小长方形如图摆放在平行四边形力BCD中，则平行四

边形4BCD的面积为（）

A.32B.16

5.（2024・福建南平•一模）如图，在矩形纸片2BCD中，AB=3,AD=9,将其折叠，使点。与点3重合,

折痕为EF.贝IJEF的长为（）

10

A.4B.

3

二、填空题

8

6.（23-24八年级下•全国•期末）如图，点G在矩形力BCD的对角线4C上，且不与C重合，过点G分别

作边4B,BC平行线交两组对边于点E,F和点M,N,则图中阴影部分S°S2面积之间的关系是.

7.（23-24八年级下•河南平顶山•期中）如图：NC=90。，将Rt△ABC沿着射线BC方向平移4cm,得到

△ABC.已知BC=3cm,AB=5cm,则阴影部分的面积为cm2.

8.（23-24八年级下•四川成都・期末）如图，在RtZ\4BC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,P为斜边ZB

上一动点，过点P分别作PE||BC交AC于点E,作PF||4C交BC于点F.则EF的最小值为.

9.（23-24八年级下•河南南阳•期末）在矩形4BCD中，AB=8,BC=6,点、E为AB上一动点,DE交AC于

F,当NCF£=2N/C3时，线段的长为.

三、解答题

10.（23-24九年级下•北京西城•开学考试）如图，在平行四边形4BCD中，AACB=90°,过点。作DE1BC

交BC的延长线于点E,连接4E交CD于点?

（1）求证：四边形力CED是矩形；

（2）连接若N4BC=6。。，CE=3,求BF的长.

9

第11讲矩形的判定

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模块一思维导图串知识1.探索并证明矩形的判定定理，并能运用它们进行证明

模块二基础知识全梳理（吃透教材）和计算；

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测2.通过矩形的判定定理以及相关问题的证明和计算，

进一步培养和发展学生的演绎推理能力。

模块一思维导图串知识

矩

形

的

判

定

3模块二基础知识全梳理-----

知识点：矩形的判定

（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形;

（4）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三各直角的四边形是矩形。

O＞模块三核心考点举一反三

考点一：添一条件使四边形是矩形

1.（23-24八年级下•辽宁大连•期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为

矩形.如图，在平行四边形力BCD中，对角线AC,8D相交于点。，下列验证方法中错误的为（）

AD

BC

A.0A=0BB.AC=BDC.0A=0CD.0A=0D

【答案】C

10

【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.根

据矩形的判定方法进行判断即可.

【详解】解：,••平行四边形4BCD,

11

...0A=OC=^AC,OB=OD=；BD,

•••OA=OB,

•••AC—BD,

二平行四边形ABC。是矩形，故选项A不符合题意；

vAC=BD,

・•.平行四边形4BC0是矩形，故选项B不符合题意；

由。力=0C无法判断平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意;

・•・平行四边形A8CD,

0A=OC^^AC,OB=OD/BD,

•••0A=OD,

•••AC—BD,

二平行四边形4BCD是矩形，故选项D不符合题意;

故选C

【变式1-1］（23-24八年级下•江西上饶•期中）如图，已知口48CD的对角线AC,BD相交于点。，下列条件

能使口4BCD成为矩形的是（）

A.AB=ADB.AC=ABAC1BD

【答案】C

【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角时直角的平行四边形为

矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可.

【详解】解：A、AB^AD,四边形4BCD是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意；

B、AC^AB,不能判定是矩形，故不符合题意；

C、AC=BD,四边形ABC。是矩形，故符合题意；

D、AC1BD,四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意；

故选：C.

【变式1-2］（23-24八年级下•山东聊城•期末）如图，四边形4BCD为平行四边形，延长力。到E,使DE=4D,

连接EB,BC,DB,添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）

11

E

A.AB=BEB.DE1DCC.Z.ADB=90°D.CE1DE

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是

解题的关键.

先证明四边形DBCE为平行四边形,再根据矩形的判定进行解答.

【详解】二•四边形4BC0为平行四边形，

：.AD||BC,AD=BC,

XVXD=DE,

：.DE||BC,S.DE=BC,

，四边形BCED为平行四边形，

A."：AB=BE,DE=AD,

：.BDVAE,

...□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

B」.•对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；

C.V^ADB=90°,

:.乙EDB=90°,

.•.口DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

D.VCE1DE,

:.乙CED=90°,

...□DBCE为矩形，故本选项不符合题意，

故选：B.

【变式1-31（23-24八年级下•黑龙江齐齐哈尔•期末）如图，在△ABC中，。为BC上一点，DE//AB.DF//ACM

你再添加一个适当的条件：,使四边形力FDE为矩形.

A

【答案】乙4=90。

【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定;

12

根据已知可得四边形4FDE是平行四边形，然后添加NA=90。可得四边形力FDE为矩形.

【详解】解：添加条件乙4=90°,

'：DE//AB,DF//AC,

...四边形力FDE是平行四边形，

=90°,

...四边形力FDE为矩形.

故答案为：44=90。.

考点二：证明四边形是矩形

2.(23-24八年级下•全国•期末)如图，在△ABC中，CA=C8,。为4B中点，四边形DBCE是平

行四边形，AC,DE相交于点。

(1)求证：四边形力DCE是矩形；

(2)若NCOE=60。，CE=2,求OE的长度.

【答案】⑴见解析

(2)4

【分析】(1)先根据四边形D8CE是平行四边形和。为48中点判定四边形力DCE是平行四边形，再结

合C4=CB,推出CD1AD,即可得出结论；

(2)根据NCOE=60。和矩形的对角线相等且互相平分，得出aCOE为等边三角形，即可求出。E的长,

从而得到矩形DE的长.

【详解】(1)证明：V四边形DBCE是平行四边形，

：.CE||BD,CE=BD.

■:D为48中点，

：.BD=AD,

：.CE||AD,CE=AD,

四边形4DCE是平行四边形.

•/CA=CB,D为4B中点，

：.CD1AD,即N/WC=90。，

二口力DCE是矩形.

(2),1•四边形4DCE是矩形,

13

OA=0C=OD=OE,

■:乙COE=60°,

,△COE是等边三角形.

'：CE=2,

：.OE=2,

：.DE=4.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

【变式2-1](23-24八年级下•全国•单元测试)如图：在△2BC中，AB=AC,4D是中线，4N是△A8C的

外角NC4M的平分线，CE_L4V,垂足为£

(1)求证：四边形力DCE是矩形；

(2)连接DE,交力C于点F,若DF=3,求AB的长度.

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是：

⑴根据等腰三角形三线合一得到AD1BC,乙BAD=^CAD,结合力N是△ABC的外角/CAM的平分线,

可得出NSD+NC4N=90。，又由CE_L4N即可得到乙4EC=90。，然后根据矩形的判断即可得证；

(2)利用矩形的性质可求4C=DE=2DF=6,即可求解.

【详解】(1)证明：•••4B=AC,4。是中线，

•••AD1BC,Z-BAD=Z.CAD,

・•・"DC=90。，

•・・4V为△45C的夕卜角/乙4M的平分线，

・•・乙MAN=乙CAN,

1

・•・乙CAD+乙CAN=-x180°=90°,

2

即ZDZE=90°,

•・•CELAN,

・•・乙AEC=90°,

・••四边形4DCE是矩形；

14

(2)解：由(1)知，四边形ADCE为矩形，

1

AC=DE,DF=EF=-DE,

2

又・・•AB=AC,

AB—DE,

：.DF=-AB,

2

AB=6.

【变式2-2](23-24八年级下•山东荷泽•阶段练习)在△力BC中，。是BC边上的一点，E是4。的中点，过4

点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且力F=BD,连接BF.

(2)如果力B=AC,试判断四边形4FBD的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)见解析

(2)四边形4FBD是矩形

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、矩形的判定等知识.

(1)先由融〃BC,利用平行线的性质可证乙4FE=乙DCE,而E是力。中点，那么AE=DE,/.AEF=乙DEC,

利用AAS可证△AEFsADEC,那么有4F=DC,又AF=BD,从而有BD=CD；

(2)四边形力FBD是矩形.由于4尸平行等于BO,易得四边形力FBD是平行四边形，又力B=AC,BD=CD,

利用等腰三角形三线合一定理，可知力D1BC,即N4DB=90。，那么可证四边形力FBD是矩形.

【详解】(1),:AF〃BC,

•••Z.AFE=Z.DCE,

•••E是Z0的中点，

AE—DE,

在△ZEF和△DEC中，

^AFE=乙DCE

AE=DE,

^AEF=乙DEC

AEF=AZ)EC(AAS),

・•.AF=DC,

vAF=BD,

・•.BD=CD；

(2)四边形AFBO是矩形.

15

理由：

VAB=AC,。是BC的中点，

・••AD1BC,

・•.AADB=90°

vAF=BD,

•••过4点作BC的平行线交CE的延长线于点F,即4F〃BC,

••・四边形力FBD是平行四边形，

又；/.ADB=90°,

四边形是矩形.

【变式2-3](23-24八年级下•江苏盐城•期中)如图，在平行四边形A8CD中，乙4cB=90。，过点。作。E18C

交BC的延长线于点E,连接4E交CD于点用

(1)求证：四边形4CED是矩形；

(2)连接BF,若乙48c=60。,CF=5,求BF的长.

【答案】(1)见解析

(2)573

【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理

等知识，证明ACIIDE及△ABC是等边三角形是解题的关键.

(1)由4c1BC,DE1BC,得力C||DE,由四边形2BCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，得2。IICE,

则四边形力CED是平行四边形，即可由NACE=90。，根据矩形的定义证明四边形力CED是矩形；

(2)由平行四边形的性质和矩形的性质得4E=CD=AB,AF=£T,力。=CE=CB=5,因为乙48c=

60°,所以△ABE是等边三角形，贝MB=AE=BE=2CE=2CF=2x5=10,4AFB=90°,所以4F=

=|x10=5,即可根据勾股定理求得BF=y/AB2-AF2=5百.

【详解】(1)证明：•・•=90。，

•••AC1BC,

DE1BC,

AC||DE,

•・•四边形ZBCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，

・•・AD||CE,

16

・•・四WACED是平行四边形，

•・.AACE=90°,

・•・四边形ZCED是矩形.

(2)解：•・•四边形/CED是矩形，四边形ZBCD是平行四边形,

.・.AE=CD=AB,AF=EF=CF=DF=5,

•••^ABC=60°,

・・.△ABE是等边三角形，

・•.匕AEB=60°,

・•.△CEF是等边三角形，

・•・BF1AE,AB=AE=BE=2CE=2CF=2X5=10,

ii

•­•AAFB=90°,AF=-AE=-x10=5,

22

ABF=VXB2-AF2=V102-52=5V3,

BF的长是5V3.

考点三：根据矩形的性质与判定求角度

3.(22-23八年级下•福建厦门•期中)在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片力BCD对折，使力D

与BC重合，得到折痕EF.把纸片展开，再一次折叠纸片，使点/落在N上，得到折痕BM.

图3

(1)若点N刚好落在折痕EF上时，

①如图1,过N作NG1BG,求证：NG=^BN；

②如图2,求44MN的度数；

(2)如图3,当M为射线力。上的一个动点时，已知AB=3,BC=S,若△BNC的直角三角形时，求AM

的长.

【答案】(1)①见解析；②120。

(2)1或9

【分析】(1)①证明四边形FCGN是矩形，得到NG=FC,根据折叠的性质，矩形的性质，得到FC=|CZ)=

^AB.BN=AB,证明即可；

②根据折叠的性质，求解即可.

17

(2)根据矩形的性质，判定NNCB,NNBC不可能是直角，只有NBNC=90。，分直角在矩形内部和外部

两种情况计算即可.

【详解】(1)解：①：矩形纸片4BCD对折，使4。与BC重合，得到折痕EF,

二四边形FCBE是矩形，FC=qCD=gAB,

:NG1BG,

四边形FCGN是矩形，

：.NG=FC,

1

：.NG=-AB,

2

根据折叠的性质得到出N=AB,

：.NG=-BN.

2

②过点G作NG1BG于点G,

:矩形纸片4BCD对折，使4D与BC重合，得到折痕EF,

，四边形FCBE是矩形，FC=\CD=\AB,

■:NG1BG,

二四边形FCGN是矩形，

:.NG=FC,

1

：.NG=-AB,

2

根据折叠的性质得到乃N=AB,

1

：.NG=-BN.

2

根据折叠的性质，

：2GBN=31/NBM=^ABM,乙NMB=^AMB,

:•乙GBN=乙NBM=AABM=30°,乙NMB=Z.AMB=60°,

:•(AMN=乙NMB+AAMB=120°.

(2)根据矩形的性质，故NNC^ZJVBC不可能是直角,

:•乙BNC=90°,

18

DMA

•・•矩形纸片/BCD,

工乙BNM=/.BAM=90°,

■:乙BNM+乙BNC=180°,

・・・C,N,M三点共线，

根据折叠的性质，

，乙NMB=^AMB,NM=AM,

•・•矩形纸片/BCD,

：.AD||CB,

:.乙CBM=(AMB,

:.乙NMB=LAMB=乙CBM,

：.CB=CM,

U：AB=3,BC=5,

22

：.BN=AB=3,CN=VCB-BN=4fCB=CM=5,

：.NM=AM=CM-CN=1；

根据矩形的性质，故NNCB,4NBC不可能是直角，

;•乙BNC=90°,

,・,矩形纸片45CD,

,乙BNM==90。,

,・"BNC=90。，

三点共线，

根据折叠的性质，

二乙NMB=LAMB,NM=AM,

•・•矩形纸片ZBCD,

：.AD||CB,

:•乙CBM=^AMB,

19

:.乙NMB=AAMB="BM,

：.CB=CM,

'：AB=3,BC=5,

：.BN=AB=3,CN=VCB2-BN2=4,CB=CM=5,

=CM+CN=5+4=9：

故AM=9或AM=1.

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠,

勾股定理是解题的关键.

【变式3-1］（2024八年级下•全国•专题练习）如图，在平行四边形力BCD中，对角线力C、BD相交于点O,

且。力=OD,/LOAD=50°,贝IjNOAB的度数为___________.

【答案】400

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出。A=0C,

OB=0D,得出AC=BD,即可证明四边形力BCD是矩形，根据矩形的性质得出=90。，进一步即

可求出NO4B.

【详解】解：；四边形4BCD是平行四边形，

A0A=OC,OB=0D,

'：0A=0D,

：.AC=BD,

二四边形4BCD是矩形，

：.ADAB=90°,

\'^OAD=50°,

J.^LOAB=ADAB-^OAD=40°,

故答案为：40°.

【变式3-2］（2023•广东梅州•一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，力。=OC,BO=0D,

S.AAOB=2A0AD.

/D

BC

20

(1)求证：四边形力BCD是矩形；

(2)若乙40B:NODC=6:7,求乙4D。的度数.

【答案】(1)见解析

(2)27°

【分析】(1)先判断四边形4BCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出47=B0,然后根据对角

线相等的平行四边形是矩形即可得证；

(2)由矩形的性质得到2B〃CD,再由平行线的性质得到乙4B。=NCD。，然后由三角形的内角和求出

乙48。=63。，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解.

【详解】(1)证明：•・•力。=OC,BO=0D,

••・四边形4BCD是平行四边形，

•­•/-AOB=/.DAO+/.ADO=27.0AD,

4DAO=Z.ADO,

AO=DO,

AC=BD,

二平行四边形4BCD是矩形；

(2)解：••・四边形力BCD是矩形，

.■.AB//CD,ABAD=90°,

•••Z-ABO=Z.CDO,

•••Z-AOB\Z-ODC=6:7,

•••乙AOB:乙ABO=6:7,

•••Z-BAO\Z-AOB\Z-ABO=7:6:7,

7

・••乙480=180°X——=63°,

74-6+7

•••Z-BAD=90°,

・•・乙ADO=90°-63°=27°.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练

掌握矩形的判定与性质，证明4C=BD是解题的关键.

【变式3-3](23-24八年级下•浙江杭州•期中)如图所示，在四边形力BCD中，对角线AC,BD相交于点

AO^CO=10,BO=DO,且AB=12,BC=16.

(1)求证：四边形力BCD是矩形.

(2)若=3:2,。尸_14。于点£,求N8DF的度数.

21

【答案】⑴见解析

（2）18°

【分析】（1）先证明四边形A8CD是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得至IU4BC=90°,即可得证;

（2）求出NFDC的度数，根据三角形的内角和，求出NDC。，然后根据。。=。。，得到NC。。，即可求

出NBDF的度数.

【详解】（1）证明：,在四边形力BCD中，对角线AC,BD相交于点。，AO=CO=10,BO=DO,

，四边形4BC0是平行四边形，AC=AO+CO=20,

'：AB=12,BC=16,

：.AB2+8C=122+162=202=AC2,

：.^ABC=90°,

...四边形力BCD是矩形；

（2）:四边形4BCD是矩形

J./.ADC=90°,

•：AADF:^FDC=3:2,^ADF+Z.FDC=AADC,

2

AFDC=^ADC=36°,

■：DF1AC,

"DC。=90。-36。=54°,

•.•四边形4BCD是矩形，

ACO=OD,

:.乙ODC=ADCO=54°,

4BDF=乙ODC-AFDC=18°.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题

的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形

考点四：根据矩形的性质与判定求线段长

4.（23-24八年级下•新疆乌鲁木齐•期末）如图，在平行四边形力BCD中，过点。作DE14B于点E,

点尸在边CD上，S.FC=AE,连接

⑴求证：四边形DEBF是矩形；

（2）若4尸平分FC=3,DF=5,求BF的长.

22

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角

平分线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键.

(1)先证明四边形DEBF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证；

(2)先证明=由平行四边形的性质，得到BC=4D,再利用勾股定理进行求解即可.

【详解】(1)证明：•••平行四边形力BCD,

：.AB||CD,AB=CD,

：.DF||BE,

'：FC=AE,

：.DF=BE,

四边形DEBF是平行四边形，

•：DE1AB,

:.乙DEB=90°,

四边形DEBF是矩形；

(2):平行四边形4BCD,

ACD||AB,AD=BC,

C./-BAF=Z.DFA,

：4尸平分4。48,

：.^DAF=Z.BAF,

：.^.DAF=/.DFA,

：.AD=。尸=5,

：.BC=5,

由(1)知：四边形DEBF是矩形，

:.乙DFB=90°,

"BFC=90°,

在Rt△BFC中，BF=VBC2-FC2=4.

【变式4-1](23-24八年级下•浙江湖州•期末)如图，在△4BC中力B=AC,。为BC的中点，四边形力BDE

是平行四边形，AC,DE相交于点。.

(1)求证：四边形力DCE是矩形;

23

（2）若乙40E=60。，AE=4,求4D的长.

【答案】（1）证明见解析；

（2）473.

【分析】（1）先根据四边形2B0E是平行四边形和。为BC的中点，判定四边形2DCE是平行四边形，再

结合48=AC,推出乙4DC=90°,即可得出结论；

（2）根据乙4。9=60。和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出A。的长，

从而得到矩形ADCE对角线的长，最后利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：•••四边形ABDE是平行四边形，

：.BD//AE,BD=AE,

•。为BC中点，

：.DC=AE,

四边形4DCE是平行四边形，

•：AB=AC,。为BC中点,

：.AD1BC,

：./.ADC=90°,

.♦•平行四边形ADCE是矩形；

（2）解：•••四边形ADCE是矩形，

：.A0=CO=DO=EO,DC=AE,

•.ZOE=60°,AE=4,

.•.△40E是等边三角形，

：.AO=EO=AE=4,

：.AC=20A=8,

'：^ADC=90°,

：.AD=<AC2-DC2=V82-42=4疗

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰

三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键.

【变式4-2］（23-24八年级下•陕西宝鸡・期末）（1）如图①，己知口/lBCD,点E是4D边上一定点，试在BC

边上确定一点F,使得EF平分口力BCD的面积，并直接写出4E与CF之间的数量关系；

（2）在（1）的条件下，若Z.B=6G°,AB=6,BC=8,AE=2.求EF的长度.

【答案】（1）见解析，力E=CF；（2）2V7

24

【分析】（1）连接AC,BD交于点。，连接E。并延长交BC于点尸，过点Z作AH1BC,垂足为X,根据

EF平分口/lBCD的面积，由梯形的面积公式得到S梯形ABFE=g（4E+BF）-AH=S梯形。口后尸=1（CF+

DE）-AH,得到4E+BF=CF+DE,根据平行四边形的性质，证明△DOEgZkBOF,得到DE=BF,

进而得到4E=CF；

（2）在（1）图基础上，过点E作EG1BC,垂足为G,证明四边形力HGE是矩形，得到HG=4E=2,

AH=EG,根据含30度角的直角三角形的特征，求出BH=[4B=3,进而求出GF=1,再利用勾股定

理求出2H=3百，推出£7；=4//=3百，利用勾股定理即可求出EF的长.

【详解】解：（1）连接AC,BD交于点O,连接E。并延长交BC于点尸，过点/作力H1BC,垂足为“，

11

S梯形ME=5(4E+BF).AH=S梯形的尸=5(CF+DE)•4”，

・•.AE+BF=CF+DE,

・・•四边形4BCD是平行四边形，

・•.AD//BC,AD=BC,OB=OD,

Z.CBD=Z-ADB,

•・•乙BOF=乙DOE,

AZ)0E^A50F(ASA),

・•.DE=BF,

・•.AD-DE=BC-BF,即ZE=CF；

(2)在(1)图基础上，过点E作EGJ.BC,垂足为G,

由(1)知DE=BF,AE=CF,

vAE=2,AD=BC=8,

.・.DE=BF=AD-AE=6,AE=CF=2,

•••AH1BC,EG1BC,

・•.AH//EG,

25

AE〃HG,

・•・四边形是平行四边形，

•••Z.AHG=乙EGH=90°,

・•・四边形4HGE是矩形，

.・.HG=AE=2,AH=EG,

•••（B=60°,^BHA=90°,AB=6,

・•・乙BAH=30°,

BH=-AB=3,

2

GF=BF-BH-HG=1,

AH=7AB2-BH2=3V3,

EG=AH=3V3,

•••EF=VFG2+GF2=2V7.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直

角三角形的特征，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

【变式4-3］（23-24八年级下•贵州黔南•期中）如图，在口力BCD中，。为4。的中点，延长BO交CD的延长

线于点E,连接4E,BD,ZBDC=9O°.

C

⑴求证：四边形力BDE是矩形；

（2）连接。C,若48=4,BD=8,求OC的长.

【答案】（1）见解析

（2）2713

【分析】（1）先证明四边形4BDE是平行四边形，再证明NBDE=90。，然后根据“有一个角是直角的

平行四边形是矩形”即可得四边形4BDE是矩形.

（2）过点。作。尸1DE于点F.根据矩形的性质可得。。=OE,根据“等腰三角形三线合一”可得DF=

EF=\DE=2.再证明。尸为aBDE的中位线，则可得OF=^BD=4.再根据平行四边形的性质可得

CD=48=4,则可得CF=6,在Rt2\OCF中，根据勾股定理即可求出。C的长.

【详解】（1）证明：•••。为4。的中点，

：.AO=DO.

26

V四边形4BCD是平行四边形，

J.AB//CD,

：.^BAO=乙EDO.

又,：乙AOB=乙DOE,

：.AAOB三△DOE(ASA),

：.AB=DE,

：.四边形力BDE是平行四边形.

；£BDC=90。,

:.乙BDE=90°,

四边形4BDE是矩形.

(2)解：如图，过点。作。尸IDE于点?

:四边形ABDE是矩形，

11

・・・DE=4B=4,OD=-AD,OB=OE=-BE,AD=BE,

22

：.OD=OE.

u：OFIDE,

i

：.DF=EF=-DE=2,

2

：.OF为工引用的中位线，

：.OF=-BD=4.

2

1/四边形4BC0是平行四边形，

ACD=AB=4,

：.CF=CD+DF=6.

在Rt^OCF中，由勾股定理，得。C=7OF2+CF2=742+62=2回,

即。C的长为2g.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是

解题的关键.

考点五：根据矩形的性质与判定求面积

27

5.(23-24八年级下•广西河池•期末)如图，在四边形力BCD中，AB//CD,力C与BD相交于点O,

且。是BD的中点.

(1)求证：四边形力BCD是平行四边形；

(2)若△。力B是等边三角形，且4B=4,求四边形力BCD的面积.

【答案】(1)见解析

(2)1673

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、矩形的

判定与性质等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键.

(1)根据平行线的性质可得N4B。=ACDO,再证明△AOBsACOD可得AB=CD人然后根据一组对

边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；

(2)根据平行四边形的性质可得。A=OC、OB=0D,再结合等边三角形的性质可得口2BCD是矩形;

再根据勾股定理求得BC=4V3,最后根据矩形的面积公式即可解答.

【详解】(1)