2025年人教版八年级数学寒假预习：菱形的性质与判定（2个知识点+6大考点举一反三+过关测试）

第12讲菱形的性质与判定

T模块导航一素养目标—

模块一思维导图串知识1.理解菱形的概念；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测它们进行证明和计算；

3.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证

明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。

◊＞模块一思维导图串知识

定义卜一组邻边相等的平行四边形是菱形

菱

形菱形的四条边都相等

的_____H菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

性

质菱形的面积等于对角线乘积的一半

与

判有一组邻边相等的平行四边形是菱形

定

判定对角簟相垂直的平行四边形是菱形

四条边相等的四边形是菱形

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1：菱形的概念与性质

1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.性质：

边：菱形的四条边都相等.

对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.

知识点2：菱形的判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）.

3.四条边相等的四边形是菱形（边）

6模块三核心考点举一反三----------------------------

考点一：利用菱形的性质求角度

1.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线4C与BD相交于点。，0E1

垂足为E,若乙BCD=50°,则NBOE的大小为（）

C.40度D.65度

【变式1-1］（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）在菱形ABCD中如图，^ABC=80°,BA=BE,则乙B4E=

()

A.75°B.70°C.40°D.30°

【变式1-2］（23-24八年级下•河南郑州•期中）如图，在菱形力BCD中，M,N分别在ZB,CD上，且力M=CN,

MN与4C交于点。，连接BO.若ACMC=36。，贝“NOBC的度数为（）

【变式1-3］（24-25九年级上•江西吉安•阶段练习）如图，菱形力BCD中，过顶点C作CE，BC交对角线BD

于点E,已知N4=132°,则乙BEC的大小为（）

A.24°B.28°C.62°D.66°

2

考点二：利用菱形的性质求线段长

例2.（24-25九年级上•广东揭阳•期中）如图，菱形ABCD的对角线力C,BD相交于点。，过点A作AE1BC

于点E,若。8=6,AC=9,贝！JAE的长为（）

【变式2-1］（24-25九年级上•河南驻马店•阶段练习）如图，菱形ABCD中，E,F分别是4B,4C的中点,

若EF=2,则菱形4BCD的周长为（）

【变式2-2］（24-25九年级上•吉林长春•期末）菱形。ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，N40C=

45°,OC=V2.则点B的坐标为（）

【变式2-3］（24-25九年级上•江西吉安•阶段练习）如图，四边形力BCD是菱形，AC-8,BD=6,DHLAB

于点H,贝1JDH的长是（）

考点三：利用菱形的性质求面积

3

3.（24-25九年级上•江西吉安•阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8,那么这个菱形的面积为

A.48B.32C.12D.24

【变式3-1]（24-25九年级上•山西晋中•期中）如图，四边形2BCD是菱形，AB=BD=4.贝1J菱形力BCD

的面积（）

A.8V3B.16C.16V3D.8V2

【变式3-2]（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，菱形力BCO的对角线交于点。，过点C作CE14B,

交4B的延长线于点E,连接。E.若0B=3,0E=3V3,则菱形2BCD的面积为.

【变式3-3]（24-25九年级上•辽宁丹东•阶段练习）如图，在菱形ABCD中，M、N分别为48、AC的中点,

若MN=2,NBCD=60。，则菱形力BCD的面积为_.

考点四：利用萎形的性质证明

例4.如图:在菱形力BCD中，过点N作力E1BC于点£,延长BC至点R使EF=BC,连接DF.

AD

BECF

（1）求证：四边形力EFD是矩形；

（2）若BF=18,DF=6,求CD的长.

【变式4-1]如图，在菱形力BCD中，过点2作BE14。于点E,过点B作BF，CD于点F,求证：DE=DF.

4

A

【变式4-2］如图，在菱形力BCD中，。后_148于点后，。尸14。于点尸.

(1)求证：△BCEmaDCT；

(2)若力尸=4,CE=5,求CD的长.

【变式4-3】如图，菱形4BCD中，对角线4C,BD交于点。，点尸是CD的中点，延长OF到点E,使EF=OF,

连接CE,DE.

(1)求证：四边形DOCE是矩形；

(2)若。E=2,4BCD=60°,求菱形力BCD的面积.

考点五：添一个条件使四边形是菱形

5

例5.如图，已知UMBCD的对角线交于点O,下列条件不能证明口力8。。是菱形的是（）

A.乙ABD=Z.ADB

C.Z.BAO=Z.DCOD.AABO=ACBO

【变式5-1］在口48CD中，如果只添加一个条件即可证明口4BCD是菱形，那么这个条件可以是（）

A.N4=90°B.AC=BDC.Z5=60°D.BD平分乙4BC

【变式5-2］如图，四边形力BCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）

【变式5-3］如图，顺次连结四边形力BCD各边中点得到四边形EFG”，要使四边形EFGH为菱形，应添加的

条件是（）

4£■

A.AB||CDB.AB=CDC.AC1BDD.AC=BD

考点六：根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度

|、’例6.如图，在四边形力BCD中，AB//DC,AB=AD,对角线力C、BD交于点0,AC平分NB2D,过点

C作CE148交48延长线于点E,连接。£

（1）求证：四边形力BCD是菱形

（2）若CE=4b,/.ADC=120°,求四边形48CD的面积.

【变式6-1］如图，在四边形4BCD中，力C与BD相交于点。，且A。=C。，点E在BD上，满足力E〃CD.

6

(1)判断四边形4ECD的形状，并证明；

(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形4ECD的面积.

【变式6-2】如图，在△ABC中，力B=AC,D,E,尸分别是边AB,BC,AC的中点.

(1)求证：四边形力DEF为菱形.

(2)若乙4DE=130°,求乙4ED的大小.

【变式6-3］如图，在口A8CD中，点£\F分别在边BC、4D上，AC与EF交于点。，且£7唾直平分4C,连接

AE,CF.

BEC

⑴求证：四边形力ECF是菱形；

(2)若4cLAB,NB=30°,AE=6,求四边形力ECF的面积.

7

6模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.下列性质中矩形具有面菱形不一定具有的是（）

A.两组对边分别相等B.两组对角分别相等

C.两条对角线互相垂直D.两条对角线相等

2.如图，四边形4BCD是菱形，对角线AC,BD相交于点。力C=8,BD=6,点£是CD上一点，连接0E,

若0E=CE,则。E的长是（）

3.已知菱形的周长为20,其中一条对角线的长为8,则另一条对角线的长为（）

A.3B.4C.6D.8

4.将矩形纸片A8CD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形力ECF,若力。=B，则菱形AECF的面积为（）

5.“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁.李老师用一段矩形绸缎制作了

一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若4氏4。=45。，则重叠部分图形形状和面积分别是（）

A.平行四边形，18V2cm2B.平行四边形，36夜err?

C.菱形，18V2cm2D.菱形，36V2cm2

8

6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形/BCD,若测得4C之间的距离为12cm,

B,。之间的距离为16cm,则线段的长为(

A.9cmB.10cmD.12cm

7.如果点E、F、G、X分别是四边形ABC。四条边的中点，要使四边形所G8为菱形，则四边形4BCD应

具备的条件是()

A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

8.如图，在菱形中，对角线AC与相交于点O,OELCD于点、E.若2C=6,BD=8,则。E的长为

()

A12

A-TB-TC.6D.8

二、填空题

9.如图，菱形A8CD中，AC和BD交于点。，过点。作。E，8C于点£,连接。E,若ABAC=25°,贝此。ED

的度数是.

D

B

10.如图，菱形4BCD的边长是2cm,DE1AB于点E.若乙4=60°,则菱形力BCD的面积为cm乙2.

11.如图，菱形力BCD的AD边在工轴上，已知B(6,4)、0(-2,0),则点C的坐标为.

9

三、解答题

12.(23-24.江苏.期中)如图，在四边形4BCD中，AB||DC,AB=AD,对角线AC,BO交于点0,4C平分

/-BAD,过点C作CEL力B,交力B的延长线于点£,连接。E.

⑴求证：四边形4BCD是菱形；

(2)若AB=5,BD=6,求。E的长.

13.(23-24.广西.期中)如图，平行四边形力BCD的两条对角线相交于点。，且力B=逐，A0=2,OB=1.

(1)求证：平行四边形4BCD是菱形;

(2)求平行四边形4BCD的面积.

14.(23-24.江苏.期中)如图，在矩形力BCD中，对角线力C与BD相交于点O,过点A作力E〃BD,过点。

作ED〃入C,两线相交于点E.

A

B

(1)求证：四边形40DE是菱形；

(2)连接8E,交4c于点F.若BE1ED于点E,AE=2,求BE的长.

10

第12讲菱形的性质与判定

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模块一思维导图串知识1.理解菱形的概念；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测它们进行证明和计算；

3.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证

明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。

◊＞模块一思维导图串知识

定义卜一组邻边相等的平行四边形是菱形

菱

形菱形的四条边都相等

的

性,—性质H菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

质菱形的面积等于对角线乘积的一半

与

判_、有一组邻边相等的平行四边形是菱形

定

判定对角线互相垂直的平行四边形是菱形

四条边相等的四边形是菱形

6模块二基础知识全梳理----------------------

知识点1：菱形的概念与性质

2.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.性质：

边：菱形的四条边都相等.

对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.

知识点2：菱形的判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）.

3.四条边相等的四边形是菱形（边）

◎模块三核心考点举一反三---------------------

考点一：利用菱形的性质求角度

11

1.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在菱形4BCD中，对角线4C与BD相交于点。，0E1

4B垂足为E,若4BCD=50°,则NBOE的大小为（）

C.40度D.65度

【答案】B

【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键;

先根据菱形的性质得NB/W=乙BCD=50。，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后

根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果.

【详解】解：：四边形4BCD为菱形，ZFCD=50°,

.♦.AC平分ND力B,^AOB=90°,ABAD=^BCD=50°,

1

•5。=-925。,

•：OE1AB,

J.Z.AEO=90°,

：./.AOE+Z.BAO=90°,

•：AAOB=90°

：.ABOE+AAOE=90°,

:.乙BOE=NBA。=25°,

故选：B.

【变式1-1124-25九年级上•陕西西安•阶段练习）在菱形4BCD中如图，^ABC=80°,BA=BE,则NB4E=

)

A.75°B.70°C.40°D.30°

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关

键.

根据菱形的性质可得NABD=NCBD=40。，由等边对等角可得NBAE=NBE4由三角形内角和定理即

12

可求解.

【详解】解：:四边形ABCD是菱形，

11

Z.4ABD=/.CBD=-/.ABC=±x80°=40°,

22

•：BA=BE,

：.^BAE=ABEA,

在^ABE中，

ABAE=/.BEA=1(180°-ZT1BD)=1x(180°-40°)=70°,

故选：B.

【变式1-2](23-24八年级下•河南关B州•期中)如图，在菱形4BCD中，M,N分别在A8,CD上，且力M=CN,

MN与4C交于点。，连接B。.若ND4c=36。，贝吐。8C的度数为()

A.34°B.54°C.62°D.72°

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及力M=CM利用ASA

可得△AM。CNO,可得4。=CO,然后可得B。1AC,继而可求得NOBC的度数.

【详解】解：•••四边形4BCD是菱形，

AB||CD,AB=BC,AD||BC,

•­•AMAO=乙NCO,^AMO=乙CNO,乙BCA=^DAC,

在△力M。和△CN。中，

V.MAO=4NCO

AM=CN,

.AAMO=NCN。

AMO=△CNO(ASA),

AO—CO,

又・・•AB=BC,

・•・BO1AC,

・•・乙BOC=9。。,

•：BC||AD,

：.^BCA=ADAC=36%

・•.Z.OBC=90°-36°=54°.

故选：B.

【变式1-3](24-25九年级上•江西吉安•阶段练习)如图，菱形4BCD中，过顶点C作CE，8C交对角线8。

13

于点E,已知乙4=132°,则NBEC的大小为（

A

A.24°B.28°C.62°D.66°

【答案】D

【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个

锐角互余.根据菱形的性质得出力。IIBC,从而得出乙4BC=180。—=48°,贝!UCBE=jzXBC=24°,

再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解.

【详解】解：•••四边形48CD为菱形，

•••AD||BC,

：./.ABC=180°-=48°,则NCBE=|z?lBC=24°,

CE1BC,

・•・乙BEC=90°-UBE=66°,

故选：D

考点二：利用菱形的性质求线段长

、1例2.（24-25九年级上•广东揭阳・期中）如图，菱形4BCD的对角线4C,BD相交于点。，过点/作AE1BC

于点E,若。8=6,AC=9,贝！ME的长为（）

A.14B.—C.15D.—

55

【答案】D

【分析】由菱形的性质得出BD=12,得出菱形的面积54,勾股定理算出BC="BO2+。。2=,,最后

结合等面积法列式计算，即可作答.本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解

题的关键.

【详解】解：•••四边形2BCD是菱形，

1Q1

OA=OC=-AC=OB=OD=-BD,BDLAC,

222

BD=2OB=12,

14

1

S菱形力BCD=xBD=54,

在Rt^BOC中，BC=y/BO2+OC2=y

*：AE1BC

Z.AEC=90°,S菱形ABCD=BCxAE=54

二AE=g，

故选：D.

【变式2-1](24-25九年级上•河南驻马店•阶段练习)如图，菱形4BCD中，E,F分别是4B,4C的中点,

若EF=2,则菱形力BCD的周长为()

A.14B.16C.15D.17

【答案】B

【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可.

【详解】解：：E、F分另U是4B、4C的中点，

.♦.EF是△ABC的中位线，

BC=2EF=4,

菱形的周长为4X4=16.

故选：B.

【变式2-2](24-25九年级上•吉林长春•期末)菱形。ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，乙4OC=

45°,OC=V2.则点B的坐标为()

A.(V2,1)B.(1,V2)C.(V2+1,1)D.(1,72+1)

【答案】C

【分析】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，根据菱形的性质，作CD1久轴，先求。点坐标，然

后求得点B的坐标.

【详解】解：作CD，久轴于点。，

15

:四边形。ABC是菱形，。。=&,

又•；乙4。。=45。，

：./.AOC=ZOCD=45°,

：.OD=CD,

'：OC=V2,OD2+CD2OC2,

：.OD=CD=1,

则点C的坐标为（1,1）,

又,：BC=。4=&,

：.B的横坐标为。。+=1+a,纵坐标为CD=1,

则点8的坐标为（夜+1,1）.

故选：C.

【变式2-3］（24-25九年级上•江西吉安•阶段练习）如图，四边形4BCD是菱形，AC=8,BD=6,DH1AB

于点H，贝的长是（）

【答案】D

【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出力B

的长，等积法求出的长即可.

【详解】解：设菱形的对角线C4BD交于点。，贝lj：AC1BD,

。力彳。=4,。3=郛。=3,

：.AB=V32+42=5,

16

9：DH1AB,

i

：.-AC.BD=AB.DH,

,nu6x824

..UH=----=——

2x55

故选D

考点三：利用菱形的性质求面积

3.（24-25九年级上•江西吉安•阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8,那么这个菱形的面积为

()

A.48B.32C.12D.24

【答案】D

【分析】本题考查菱形面积的计算.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.根据菱形的面积公式计算

即可.

【详解】解：：菱形的两条对角线长为6和8,

•■.菱形的面积为：!x6x8=24.

故选：D.

【变式3-1］（24-25九年级上•山西晋中•期中）如图，四边形力BCD是菱形，AB=BD=4.贝菱形力BCD

的面积（）

A.8V3B.16C.16V3D.8夜

【答案】A

【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质.根据

菱形的性质可得△ABO是等边三角形，Z.BAO=/.DAO=^BAD=1x60°=30°,在Rt/XAOB中，根

据含特殊角的直角三角形的性质可求出04的长，由此可求出4c的长，根据菱形的面积的计算方法即可

求解.

【详解】解：；四边形4BCD是菱形，

：.AB=AD,ACA.BD,即=N40B=90°,

•：AB=BD=4,

是等边三角形，

：./.ABD=乙ADB=/.BAD=60。，

11

"BAO=ADAO=-^BAD=-x60°=30°,

22

17

在RtaAOB中，AB=2OB,

11

：.OB=-BD=-x4=2

22f

：.OA=y[3OB=2V3,

：.AC=20A=2x2V3=4V3,

•••S菱形"CD=\AC-BD=TXX4=8后

故选：A.

【变式3-2]（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，菱形力BCD的对角线交于点。，过点C作CE1AB,

交4B的延长线于点E,连接。E.若。8=3,0E=3®则菱形ABCD的面积为__.

【答案】18V3

【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点.

首先根据菱形的性质得到BD=20B=6,然后利用直角三角形斜边中线的性质得到AC=20E=6V3,

然后利用菱形面积公式求解即可.

【详解】解：；四边形4BCD是菱形

：.BD=20B=6,AO=CO

,：CE1AB

：.^AEC=90°

：.AC=2OE=6V3

菱形力BCD的面积=^AC-BD=|x6V3x6=18>/3.

故答案为：18g.

【变式3-3]（24-25九年级上•辽宁丹东•阶段练习）如图，在菱形A8CD中，M、N分别为48、AC的中点，

若MN=2,ABCD=60°,则菱形力BCD的面积为_____.

【答案】8V3

【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活

运用菱形的性质成为解题的关键.

18

如图：连接BN,根据三角形中位线定理可得BC=2MN=4；再根据菱形的性质可得BN1AC,^ACB=

=30。，S菱形ABCD=2SAABC，AN=2NC；再根据直角三角形的性质、勾股定理可得BN=2、NC=

2V3,进而得到AN=4百，贝〕JSOBC=4百

，最后根据S菱形MCD=2sMBC即可解答.

【详解】解：如图：连接BN,

'：M.N分别为4B、4C的中点，若MN=2,

：.BC=2MN=4,

:在菱形力BCD中，N分别为力C的中点，NBCD=60。，

.'.BN1AC,Z.ACB=^Z-BCD=30°,S菱形的⑺=2SMBC，AN=2NC,

：.BN==2,NC=VBC2-BN2=2V3,

：.AN=2NC=4V3,

.".SAABC="C•BN=gx4V3x2=4V3,

•'•S菱形4BCD=2SAABC=8^3.

故答案为8V3.

考点四：利用萎形的性质证明

I'悯4.如图：在菱形力BCD中，过点/作力E1BC于点E,延长BC至点尸，使EF=BC,连接DF.

⑴求证：四边形力EFD是矩形；

(2)若BF=18,DF=6,求CD的长.

【答案】(1)见解析

(2)CD=10

【分析】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的性质与

判定是解本题的关键.

19

(1)证明4D〃BC旦力D=BC,AD=EF,可得四边形4EDF是平行四边形，结合力E1BC,可得结论;

(2)设BC=CD=x,则CF=18—x,在Rt△£)(??中，DC2=CF2+DF2,则d=(18—久尸+62,

再解方程即可.

【详解】(1)证明：•••在菱形ABCD中，

：.AD//BC5.AD=BC,

'：BC=EF,

：.AD=EF,

,JAD//EF,

四边形4EDF是平行四边形，

,：AE1BC,

J.Z.AEF=90°,

四边形4EFD是矩形；

⑵解：：菱形4BCD,

：.BC=CD,

设BC=CD=x,贝UCF=18—x,

在Rt2\DCF中，DC2-CF2+DF2,

x2=(18—%)2+62,

••x=10,

ACD=10.

【变式4-1］如图，在菱形2BCD中，过点2作AD于点E,过点B作BF_LCD于点F,求证：DE=DF.

【答案】见解析

【分析】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答.根据AAS证

H|AABESACBF^AE=CF,进而可证明DE=DF.

【详解】证明：：四边形力BCO是菱形，

：.BA=BC,Z.A=Z.C.AD=CD,

,:BE1AD,BF1CD,

J.^BEA=/.BFC=90°,

20

在△4BE与△CBF中

乙BEA=乙BFC

Z-A=ZC,

BA=BC

：.△ABE=△CBF(AAS),

：.AE=CF,

：.AD-AE=CD-CF,

即。E=DF.

【变式4-2】如图，在菱形ABC。中，CE_L4B于点E,CF1AD于点F.

(1)求证：△BCE三△DCF；

(2)若。尸=4,CE=5,求CD的长.

【答案】(1)见解析；

⑵用

【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理.

(1)利用菱形的性质结合已知条件用AAS即可证明ABCE三△DCF.

(2)利用全等三角形的性质得出CE=CF=5,再利用勾股定理即可求出CD.

【详解】(1)证明：；CE1AB,CF1AD,

•••乙BEC=乙DFC=90°,

又,四边形4BCD是菱形，

•••BC=DC,乙B—乙D,

.*.△BCE=△Z)CF(AAS).

(2)•••△BCE=ADCF,

CE=CF=5,

•・•/BEC=90。,DF=4,

•••CD—V42+52=V41.

【变式4-3】如图，菱形ABC。中，对角线4C,8。交于点。，点F是CD的中点，延长。F到点M使EF=OF,

连接CE,DE.

21

(1)求证：四边形DOCE是矩形；

(2)若。E=2,乙BCD=60°,求菱形力BCD的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)273

【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理；

(1)根据对角线互相平分可得四边形DOCE是平行四边形，根据菱形的性质可得即可证明四

边形DOCE是矩形；

(2)根据菱形的性质得出8。=20B,AC=20C,ACLBD,AB=BC=CD=2,根据含30度角的

直角三角形的性质得出。B=gBC=1,勾股定理求得0C,进而根据菱形的面积公式，即可求解.

【详解】(1)证明：；点尸是CD的中点，

：.DF=CF,

■：EF=OF,

四边形DOCE是平行四边形，

•.•四边形力BCD是菱形，

：.AC1BD,即NDOC=90。，

二四边形DOCE是矩形；

(2)解：：四边形DOCE是矩形，OE=2,

：.CD=OE=2,

•.•四边形ABCD是菱形，

：.BD=2OB,AC=2OC,AC1BD,AB=BC=CD=2,

乙BCD=60°,

="BCD=3。。,

：.OB=jfiC=1,OC=VBC2-OB2=V3,

：.AC=2OC=2V3,BD=2OB=2,

，四边形力BCD的面积为9BD.XC=|x2x2V3=2V3.

考点五：添一个条件使四边形是菱形

主|例

5.如图，已知口4BCD的对角线交于点。，下列条件不能证明。4BCD是菱形的是()

22

A

A./.ABD=^ADBB.。即+。炉=亦

C./.BAO=ZDCOD.乙ABO=4CBO

【答案】C

【分析】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的

关键.根据乙48。=NADB得出AB=AD,根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意;

根据勾股定理得出乙4。8=90°,得出AC1BD,即可判断B不符合同意；根据NBA。=NDC。无法判断

四边形4BCD为菱形，即可判断C符合题意；根据N4B。=/.CBO,证明418。=Z.ADB,得出48=AD,

即可判断D不符合同意.

【详解】解：A.由N4BD=4ADB得出AB=AD,根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形ABCD

是菱形，故该选项不符合题意；

B.：四边形力BCD为平行四边形，

：.AB=CD,

•。42+OB2=CD2,

：.OA2+OB2=AB2,

...△HOB为直角三角形，N40B=90。，

：.AC1BD,

...四边形力BCD是菱形，故该选项不符合题意；

C.由NBA。=ADC。不能证明CL4BCD是菱形，故该选项符合题意；

D.：四边形力BCD为平行四边形，

.,.AD//BC,

：.^ADB=乙CBD,

•：AABO=ACBO,

：./.ABO=乙ADB,

：.AB=AD,

...四边形力BCD为平行四边形.故该选项不符合题意.

故选：C.

【变式5-1］在UM8CD中，如果只添加一个条件即可证明口4BCD是菱形，那么这个条件可以是（）

A.N4=90°B.AC=BDC.ZB=60°D.BD平分/ABC

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键.

根据菱形的判定方法逐一判断即可.

23

【详解】解：由题意可作出图形:

当434。=90。时，则UMBCD为矩形，故A错误；

当AC=BD时，则口4BCD为矩形，故B错误；

当乙4BC=60。时，不能判定出口力BCD是菱形，故C错误；

当8。平分N4BC时，则N4BD=乙CBD,

V四边形力BCD为平行四边形，

J.AD//BC,

：.^ADB=乙CBD,

：./.ABD=乙ADB,

：.AB=AD,

.,.□4BCD为菱形，故D正确；

故选：D.

【变式5-2］如图，四边形2BCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

【答案】C

【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质.由四边形ABCD的对角线互相平分，

得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等.

【详解】解：•••四边形A8CD的对角线互相平分，

，四边形4BCD是平行四边形，

要使四边形ZBCD是菱形，需添加AC1BD^AB=BC,

故选：C.

【变式5-3］如图，顺次连结四边形4BCD各边中点得到四边形EFG”，要使四边形EFGH为菱形，应添加的

条件是（）

24

D

A.AB||CDB.AB=CDC.AC1BDD.AC=BD

【答案】D

【分析】本题主要考查了菱形的判定，先说明四边形EFGH为平行四边形，再结合四个答案依次判断即

可.

【详解】连结4C、BD,如图所示，

,:E、F、C、〃分别为四边形ABCD各边中点，

，EF||AC,EF=|XC,HG||AC,HG=171C,

：.EF||HG,EF=HG,

四边形EFG”为平行四边形.

当AB||DC或4B=DC时，

只能判断四边形EFG”为平行四边形，故A、B选项错误；

当AC，8。时，能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；

当AC=BD时，能判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确.

故选：D.

考点六：根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度

、型16.如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AB=AD,对角线AC、BD交于点0,AC平分NBA。，过点

。作CE14B交4B延长线于点£,连接OE.

(1)求证：四边形4BCD是菱形

25

(2)若CE=4V3,Z.ADC=120°,求四边形48CD的面积.

【答案】(1)见解析

(2)3273

【分析】(1)先证CD=4。=4B,则四边形力BCD是平行四边形，再由=即可得出结论；

(2)由菱形的性质可得AC1BD,OA=OC,OB=OD^DAB=60°,^CAB=^DAB=30。,由直角三角形

的性质和勾股定理可求AC,的长，即可求解.

【详解】⑴证明：■■AB||CD,

Z.ACD=Z.BAC,

•••力C平分NB4D,

Z.BAC=Z.DAC,

AD=CD,

AB=AD,

・•.AB=CD,

•••AB||CD,

・•・四边形4BCD是平行四边形，

vAB=AD,

・•.平行四边形4BCD是菱形；

(2)解：•四边形力BCD是菱形，^ADC=120°,

1

AC1BD,OA=OC,OB=OD/DAB=60°,4CAB=^DAB=30°,

•••AC=2CE=8V3.71B=2BO,

AO=CO=4V3,

vAB2=AO2+BO2,

•••4BO2-BO2=48,

BO=4(负值舍去)，

BD=8,

菱形ABCD的面积=|x/lCxFJD=|x8V3x8=32vl

【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识

点，熟练掌握菱形的面积公式是解决此题的关键.

【变式6-1］如图，在四边形力BCD中，4C与BD相交于点。，且4。=C。，点E在8。上，满足2E〃CD.

B

26

(1)判断四边形4ECD的形状，并证明；

(2)若4B=BC,CD=5,AC=8,求四边形力ECD的面积.

【答案】(1)平行四边形，证明见解析

(2)24

【分析】本题主要考查平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握其判定

方法及性质是解题的关键.

(1)根据平行的性质可得NE4。=NDCO,运用角边角可证△力。EsACOD,可得。D=0E,结合平

行四边形的判定方法“对角线相互平分的四边形是平行四边形”即可求解；

(2)根据题意可得四边形2ECD是菱形，运用勾股定理可得。3,由此菱形的面积计算方法即可求

解.

【详解】(1)解：四边形力ECD为平行四边形.

证明如下：2E||CD,

•••Z-EAO=Z.DCO,

在△ZOE和△c。。中，

2LEAO=乙DCO

AO=CO,

^AOE=乙COD

.*.△AOE=ACOD(ASA),

OD=OE,

又・・•AO=CO,

•••四边形AECD是平行四边形.

(2)解：AB=BC,AO=CO,

..OB1AC,

・•・四边形AECD是菱形，

•・•"=8,

i

CO=-AC=4

2f

在RtZkCOO中，由勾股定理得00=7CD2一。。2=近2-42=3,

DE=20D—6,

S四边形AECD=々ACx0E=5x8x6=24.

【变式6-2】如图，在中，48=/&。,瓦尸分别是边/3,BC,4c的中点.

27

aF

(1)求证：四边形力DEF为菱形.

(2)若4WE=130。，求N4ED的大小.

【答案】(1)见解析

(2)25°

【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是：

(1)由三角形中位线的性质可得DE〃4C,EF||AB,即可得四边形4DEF为平行四边形，又由中点定

义可得=即可求证；

(2)先根据平行线的性质求出NDEF的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可.

【详解】(1)证明：V£),E、F分别是48、BC、AC的中点，

J.DE//AC,EF||AB,AD=^1AB