2025年南京市重点中学九年级数学下册开学摸底考试（含答案解析）

2025学年九年级数学下学期开学摸底考

（南京专用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

22

A.x—=1B.x2—3x+1=0C.x~—+4=0D.x~+3=—

x'x

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是

一元二次方程”进行逐一判断即可.

2

【详解】解：A、门-£=1不是整式方程,

x

二不是一元二次方程，故不符合题意；

B、X?-3x+l=0是一元二次方程，故符合题意；

C、/-2了+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；

□

D、・.•，+3=*不是整式方程，

x

・•.不是一元二次方程，故不符合题意；

故选：B.

2.天气预报称，明天全市的降水概率为70%,下列说法中正确的是（）

A.明天全市将有70%的地方会下雨B.明天全市将有70%的时间会下雨

C.明天全市下雨的可能性较大D.明天全市一定会下雨

【答案】C

【分析】本题考查概率的意义，掌握生活中常用的知识点是解题的关键.下雨的降水概率指的是下雨的可

能性，据此进行解题即可.

【详解】解：天气预报称，明天全市的降水概率为70%,则代表明天全市下雨的可能性较大，

故C说法正确，

故选：C.

3.将抛物线y=(x-3)2-4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达

式为()

A.y=^x2B.y=(x-l)2-3

C.y=(x-2)2-6D.y=(x-4)2-2

【答案】D

【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键.利用二次函数图象的平移

规律，左加右减，上加下减，进而得出答案.

【详解】将抛物线y=(x-3)2-4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，

所得抛物线的函数表达式为＞=(x-3-炉-4+2=(x-4)2-2.

故选：D.

4.如图，若。、£分别为△N8C中48、/C边上的点，MZAED=ZB,AD=3,AC=6,/3=8,则4E

的长度为()

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.先证明

△ADESAACB,然后利用相似比求/E的长度即可解答.

【详解】解：•••ZAED=ZB,ZA=ZA,

:AADES八ACB,

AEADAE3

——=——,即nn——=一，

ABAC86

解得：AE=4.

.■.AE的长度为4.

故选：D.

5.己知一元二次方程f-x-2=0的一个根为加，则2024-病+加的值是()

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】C

【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.把

m代入方程求出布一加一2=0,然后利用整体代入求值即可.

【详解】解：..•一元二次方程f-x-2=0的一个根为加，

〃，一机—2=0,

•••2m一加c=2,

2024-m2+m=2024-(m2-m)=2024-2=2022,

故选：C.

6.如图，48是。。的直径，弦于点£,OC=5cm,CD=8cm,则5E=()cm.

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂直定理是解题的关键.

根据CD1AB得CE=DE=4cm,再利用勾股定理即可求解.

【详解】解：是的直径，

：.OB=OC=5cm,

-CD1AB,

/.CE=DE=4cm,

在RtaOCE中，OC=5cm,

•••OE=V52-42=3cm，

:.BE=OB-OE=5-3=2(cm).

故选：D.

第n卷

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

71

[答案】

66

【分析】本题主要考查比例的性质，设a=4x,6=3x,代入即可求出.

a4

【详解】解：

b3

・•.设Q=4x,6=3x

a+b_4x+3x_7x_7

2b2x3x6x6

7

故答案为：—.

o

8.二次函数歹="2的图象经过点(L—2),则它的开口方向是.

【答案】向下

【分析】本题考查了待定系数法求解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.根

据〃的符号判断抛物线的开口方向.

【详解】解：•.•二次函数>的图象经过点(1,-2),

•**a——2<0,

・••开口方向向下.

故答案为：向下.

9.已知数据否,％2,…,Z的方差是4,则一组新数据玉+3,%+3,…，当+3的方差是.

【答案】4

【分析】本题考查了方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键.根据方差的计算方法进行即可求解.

【详解】解：数据否,马，…,%的方差是％设数据加/，…,Z的平均数为1

X=—(Xj+X2H---------F,

2

・•・§2=4=![(西-X)+(工2-亍JH---------,

设一组新数据项+3,%+3,…，％+3的平均数为?，

_]

x'——(石+3+/+3+,,,+%〃+3)

n

='[(石+%2+…+%〃)+3几]

=—(-^1+^2-----1~X〃)+3

n

=x+3，

(S)=-[(西+3-x-3)+(x2+3—x—3)H-----F(X1+3-x-3)]

=:[(X]一于『+(七一元J+---+(X„-X)2]

=52

=4.

故答案为：4.

10.盒中有。枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋

的概率是则一J的值为___________.

7a-b

52

【答案】一

【分析】本题考查了概率公式以及分式的值，熟练掌握概率公式是解题的关键.由概率公式得上7=：,

a+b7

整理得6=g。，再代入所求分式计算即可.

【详解】解：由题意得：=

a+b7

整理得：b=：a,

2

5

1-ac

b2_二

"a-b~5一1

a—u

2

故答案为：一三

11.若(/+〃)2-3(/+62)-4=0,则代数式/+〃的值为.

【答案】4

【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设x=/+〃(xN0),将原方程变为--3》-4=0求解即可.

【详解】解：设x=/+/(x20),贝|方程为f一3X-4=0,

即卜_4)卜+1)=0,

解得再=4,x2=-1(舍去)，

2

则/+b=4，

故答案为：4.

12.如图，点P是。。外一点，过点P作圆的两条切线E4、PB,点、A、8是切点，。是。。上不同于点

A,B的任意一点，已知4P=44。，则的度数为.

【答案】68。或112。

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.根据切线的性质得

ZOAP=NOBP=90°,再利用四边形的内角和得到ZAOB=18O°-ZP=180。-44。=136。，然后分类讨论：

当点。在优弧上，如图，根据圆周角定理可计算出乙4/=；//。8=68。；当点。在劣弧上，如图,

根据圆内接四边形的性质得^AQ'B=180。-N/Q8=112。.

【详解】解：•.•1以和必为OO的两条切线，

OA1PA,PBLOB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

ZAOB=180°-ZP=180°-44°=136°,

当点0在优弧48上，如图中点。位置,

ZAQB=^ZAOB=6S°；

当点。在劣弧上，如图中点。'位置，

ZAQ'B=180°-=180°-68°=112°,

综上所述，的度数为68。或112。.

故答案为：68。或112。.

13.如图，在平面直角坐标系X0/中，A4BC与ADEF位似,原点。是位似中心，若用2,4),。(-1,-2),

若DE=6,贝为.

【答案】2g

【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出/O,。。的长,

Ar)AR

进而得出==益=2,求出42的长即可.

DODE

【详解】解：•；/(2,4),£>(-1,-2),

22

A0—J2+4=2Vs，DO=J(-1)+(-2)=y/5,

•••△4BC与ADEF位似，原点。是位似中心,

AOAB-

-----=-----=2,

DODE

,：DE=6,

•••AB=2^3■

故答案为：2G.

14.如图，以菱形Z8CD的顶点8为圆心，边长为半径作圆，经过顶点。，点E、F分别在弧4。、弧

DC上，且NEBF=60。，AB=2,则图中阴影部分的面积为.

【答案】|万-君

【分析】本题考查了不规则图形的面积求解，涉及了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形

的判定与性质等知识点；

连接BD，作，工。，可得均为等边三角形，证△ABMADBN得S^可推出

5GAABDQCBDSAABM=DBN

S阴影部分=S扇形E8F-SXDBM-S^ABM~'扇形E5F—LABD，据此即可求解;

【详解】解：连接80,作8GL4D,如图所示:

D

E

由题意得：AD=AB=BD=CD=BC,

：.AABDQCBD均为等边三角形，

NBAM=ZBDN=NABD=60°,

•••NEBF=60°=NABD,

ZABM=ZDBN,

・・.△ABM名ADBN,

,■•s°=zSDBN，

阴影部分=S扇形EBF-S^DBM—S^DBN>

"S阴影部分=S扇彩EBF_S&DBM_S^ABM=S扇形EBF~^HABD；

,；AD=AB=2,3G=N8xsin60°=5

S

■■.ABD=1-X2XA/3=A/3,

(60°/2

「5扇形仍尸=薪义万、2=-7T,

•••S阴影部分=|^-V3；

故答案为：|万一道.

15.如图，在平面直角坐标系中，Rtz\48。的顶点8在x轴的正半轴上，ZABO=90°,点A的坐标为

(1,73),将A/3。绕点O逆时针旋转，使点8的对应点B落在边CM上，则4的坐标.

【答案】卜1,道)

【分析】本题考查了解直角三角形的应用、旋转的性质等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关

键.过点4作4C，x轴于点C,先根据正切可得4408=60。，根据勾股定理可得04=2,再根据旋转的

性质可得乙4'。9=//。8=60。,4。=。4=2,从而可得z/OC=60。，然后在Rt^/'OC中，解直角三角形

可得。C,HC的长，由此即可得.

【详解】解：如图，过点4作轴于点C,

•，RtN48。的顶点8在x轴的正半轴上，4420=90°,点A的坐标为(1,6卜

；.OB=I,AB=Y5,

AR

/.tmZAOB=——=V3,OA=ylOB2+AB2=2，

OB

ZAOB=60°,

由旋转的性质得：NAOB'=ZAOB=60°,A'O=OA=2,

：.ZA'OC=180°-60°-60°=60°,

：.OC=A'O-cosZA'OC=1,A'C=HO.sinZA'OC=g,

・••点4的坐标为卜1,6),

故答案为：口6).

16.如图，一段抛物线歹=-X(X-5N0VXV5),记为q,它与无轴交于点O,A；将£绕点4旋转180。

得G,交X轴于点应；将C2绕点4旋转180。得G,交X轴于点4；一一如此进行下去，得到一“波浪线”,

若点尸(2024,加)在此“波浪线，，上，则掰的值为

【分析】本题考查了抛物线与无轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，根据函数

y=-x(x-5)(O4xW5)可求出4(5,0),从而可求出4(10,0),4(15,0),再根据整个函数图象每隔5x2=10

个单位长度，函数值就相等，由2024-10=202……4,即可知加的值等于x=4时的纵坐标，从而得出答案.

【详解】解：当V=0时，-x(x-5)=0,

解得：再=0,x2=5,

•••4(5,0),

由旋转的性质知G的解析式为：j.=-(x-5)(x-10),400,0)，

a的解析式为：尸(-10)(工-15),4(15,0),

.•.整个函数图象以5x2=10个单位长度为一个周期，函数值就相等,

•••2024+10=202......4,

m的值等于x=4时的纵坐标，

w=-x(x-5)=-4x(4-5)=4,

故答案为：4.

三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(6分)解方程：

⑴2/+I=3X

(2)2X2+4X-3=0

【答案】(1)再=1,x2=1.

-2+而-2-V10

(2)占=

22

【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键.

(1)先求出A,再根据A>0,然后利用求根公式x=>±代入求解即可.

2a

(2)先求出A,再根据△>(),然后利用求根公式》=士也三丝代入求解即可.

2a

【详解】(1)解：2X2+1=3X

2x?—3x+1=0

Q—2,b——3,(7—1,

A=Z>2-4ac=(-3)2-4x2x1=9-8=1>0,

-b±yjb2-4ac3±1

•••x=-----------------

2a~T~

(2)解：2X2+4X-3=0

a=2,b=4.c=—3

A=62-4tzc=42-4x2x(-3)=16+24=40>0,

-b±y/b2-4ac-4±2y/10

•••x=-----------------=-------------

2a4

-2+Vio-2-Vio

项=

22

18.(8分)某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm),数据整理如下:

16名学生的身高:

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175

6.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75mn

(1)写出表中加，"的值；

(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断：在下

列两组学生中，舞台呈现效果更好的是.(填“甲组”或“乙组”)；

甲组学生的身高162165165166166

乙组学生的身高161162164165175

(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168,168,172,他们的身高

的方差为$2=彳，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生

的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可

能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和.

【答案】(1)166,165

⑵甲组

(3)170cm,172cm,

【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键.

(1)根据众数和中位数的定义进行计算；

(2)根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；

(3)根据方差进行比较.

【详解】(1)解：数据按由小到大的顺序排序：161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,

168,168,170,172,172,175,

则舞蹈队16名学生身高的中位数为皿詈=166cm,

数据165最多，所以，众数为165cm,

故答案为：166,165；

162+165+165+166+166

(2)解：甲组学生身高的平均值是:=164.8（cm）,

5

甲组学生身高的方差是:

|X[(164.8-162)2+(164.8-165)2+(164.8-165)2+(164.8-166)2+(164.8-166)2]=2.16,

161+162+164+165+175

乙组学生身高的平均值是:=165.4(cm),

5

乙组学生身高的方差是：

1x^(165.4-161)2+(165.4-162)2+(165.4-164)2+(165.4-165)2+(165.4-175)2]=25.04,

••-25,04>2,16,

••・甲组舞台呈现效果更好.

故答案为：甲组；

(3)解：•••168,168,172的平均数为;(168+166+172)=169；(cm),

方差$2=gx^168-169^x2+^172-169^=y,

又所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于亍，

.・.数据的差别较小，

可供选择的有170cm,172cm,

平均数为：1(168+168+170+172+172)=170(cm),

方差为：|[(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(172-170)2+(172-170)2]=3.2<y,

•••选出的另外两名学生的身高分别为170cm和172cm,

故答案为：170cm,172cm.

19.(6分)为保障校园安全，南安市实验中学校门口都安装了人脸识别闸机.我们学校开设了A,B,C

三个刷脸通道.某天早晨，小明和小慧将随机通过刷脸通道进入校园.

(1)小明通过A刷脸通道的概率是；

(2)利用画树状图或列表的方法，求出小明和小慧从同一刷脸通道通过的概率.

【答案】(1)；

【分析】本题主要考查了求概率，列表求概率，

对于(1),根据概率公式计算；

对于(2),列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，即可得出答案.

【详解】(1)因为一共有B,C三个通道，小明通过N通道刷脸的该概率为：；

故答案为：g;

（2）列表如下:

ABc

A(44)(B,A)(C,A)

B(48)(B,B)S)

C(A,C)(B,C)（c,c）

一共有9种可能出现的结果，符合条件的有3种，

所以小明和小慧从同一个刷脸通道通过的概率是9=（

20.（6分）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的.把这个灯罩抽象成一个几

何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面。a的圆面0a裁切掉上面的小圆锥

得到的.如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知。«的直径/8=12cm,O。z的直径CD=32cm,点

0、。1、。2共线，OQ与48、。都垂直，001=66，002=10百cm,请问制作一个这样的台灯的灯

罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，兀23.14,结果保留整数）

【答案】制作一个这样的台灯的灯罩大约需要1495cm2的绒布

【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关

键.先运用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，将两个圆锥的侧面积相减即可得到灯罩的侧面积，再运

用圆的面积公式求出灯罩上底面的面积，即可求解.

【详解】解：,•,48=12cm,

BOX-6cm,

又OO]=6y/3cm,

BO=12cm,

CD=32cm,

DO2=16cm,

OR=106cm,OOX=6yf3cm,

•.002=16>j3cm,

DO-32cm,

Ii2

SS

S灯罩厕面=^»D'OD~^B'OB=--32n-32---127t-12=4407tcm-)

12

3671cm2,

2

S灯罩=440兀+36兀=476兀®1495cm,

.•・制作一个这样的台灯的灯罩大约需要1495cm2的绒布.

21.（6分）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高铳酸钾制取氧气的实

验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请

假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验

了.求x的值.

【答案】尤的值为6

【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关

键.

小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验,班上其余会做该实验的每名同学又手把手

教会了X名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解.

【详解】解：由题意得l+x+/=43,

解得再=6,3=-7（不符合题意，舍去），

答：x的值为6.

22.（8分）如图，48是。。的直径，点C为O。上一点，连接3C,点。在R4的延长线上，点E在08上,

过点£作AD的垂线分别交DC的延长线于点尸，交3c于点G,且NF=2/瓦

（1）求证：Z）尸是。。的切线；

⑵求证：FC=FG.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由等边对等角可得/B=/0C5,由三角形外角的性质可得/DOC=/8+/OC3=2/8,由垂

线的性质可得/DEF=90。，由直角三角形的两个锐角互余可得/D+/F=90。，进而可得NO+ZDOC=90。,

由三角形的内角和定理可得/OCD=180。-（/。+/DOC）=90。，由切线的判定定理可得结论；

（2）由（1）可得。9是O。的切线，由切线的性质定理可得。。_1。尸，由垂线的性质可得

ZOCF=ZOCB+ZFCB=90°,由等边对等角可得NOC2=NO3C,由垂线的性质可得NGE2=90。，由直

角三角形的两个锐角互余可得NO3C+NEGB=90°,利用等式的性质1可得NFC3=2EGB,由对顶角相等

可得/EG5=/FGC,进而可得/FC5=/FGC,由等角对等边即可得证.

【详解】（1）证明：如图，连接。C,

ZDOC=Z8+NOCB=2NB,

ZF=2ZB,

ZDOC=ZF,

•・•EFLBD,

NDEF=90。,

/./D+/F=90°,

ZD+ZDOC=90°,

NOCD=180°-(ZZ>+ZZ>OC)=180°-90°=90°,

又••・点C在。。上，

尸是G)O的切线；

(2)证明：由(1)可得：。尸是。。的切线，

OCLDF,

ZOCF=ZOCB+NFCB=90°,

：OC=OB,

ZOCB=ZOBC,

又•；FELOB,

:.ZGEB=90°,

:.ZOBC+ZEGB=90°,

：.ZFCB=NEGB,

又：NEGB=NFGC,

:.ZFCB=ZFGC,

FC=FG.

【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三

角形的内角和定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等式的性质1,对顶角相等，等角对等边等知识点，

熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

23.(8分)为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班

组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从/地出发，匀速跑向距离12000m处的2地，小

凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达8地.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)小凤每分钟跑多少米？

(2)若从工地到达2地后，小凤以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息).据了解，从他跑步开始，

前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量

就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从/地到C地锻炼共用多少分

钟？

【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟480m；

(2)小凤从A地到C地锻炼共用70分钟.

【分析】(1)设小鸣的跑步速度为每分钟xm,则小凤的跑步速度为每分1.2xm.根据小鸣的跑步时间一小

凤的跑步时间=5列分式方程求解即可；

(2)设小凤从B地到C地用时V分钟，根据前30分钟消耗的热量+30分钟后的热量=2300列方程解答即可.

【详解】(1)设小鸣的跑步速度为每分钟xm,则小凤的跑步速度为每分1.2xm,

根据题意，得"则-粤"=5,

x1.2x

解得x=400,

经检验x=400是原方程的解,

，原方程的解为x=400,

・••小凤的跑步速度为每分钟400xL2=480m,

答：小凤的跑步速度为每分钟480m；

（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分480m,

则小凤从A地到〃地所用时间为嘲=25（分钟）.

设小凤从B地到C地用时V分钟,

根据题意，得30xl0+(y-5)x(10+y-5)=2300,

解得y=45或y=T5（舍去）,

则25+45=70(分钟).

答：小凤从A地到C地锻炼共用70分钟.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是

解题的关键.

24.（6分）如图，在△N5C中，AB=AC,点E在边3c上,满足NDEF=NB,且点。，厂分别在边

AB,AC±.求证：4BDEs4CEF.

【答案】见解析.

【详解】由等边对等角得48=NC,由三角形的内角和定理,得到/ED3=ZFEC,即可得到结论成立.

【分析】证明：•••4B=/C,

/B=NC,

•••ZB+ABED+NEDB=180°,ABED+ZDEF+NFEC=180°,ZDEF=NB,

ZEDB=NFEC,

ZB=ZC,

・•・△BDEsMEF.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：两个角对应相等，则

这两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似.

25.（10分）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的

一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐

标系xOy,桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点。的水平距离x（单位：m）近似满足二次

函数关系，水面的宽度。/为60m；

拱桥最高处到水面的距离3c为9米.

图1图2

（1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点。的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析

式；

（2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m.龙舟最高处距离水面2.5m；

为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为2.5m.问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）

是否可以同时通过桥洞？

【答案】（l）y=-0.01（x-30>+9

（2）5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析

【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

（1）设顶点式，利用待定系数法求解；

（2）依据题意，令了=5,解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数,

从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞.

【详解】⑴解:由题意,抛物线的顶点C（30,9）,点460,0）,

设二次函数解析式为歹=心TO）?+9,

将点/（60,0）代入得0=«（60-30）2+9,

解得a=-0.01,

二二次函数解析式为y=-o.oiQ-3oy+9；

（2）解：由题意，当y=5时，-0.01（^-30）2+9=5,

.,.x=10或X=50.

可设计赛道的宽度为50-10=40（m）.

最多可设计龙舟赛道的数量为4条，

，5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞.

26.(12分)阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程办2+bx+c=0(其中aNO,a、b、c为常数)的

两根分别为巴夕，我们有如下发现：①若d?为整数，则这个一元二次方程的判别式A=〃-4碇一定为完

全平方数；②见方满足韦达定理：即夕+/=-二皿=£；③韦达定理也有逆定理，即如果两数a和仅满

aa

AC

足如下关系：a+/3=--,a/3=~,那么这两个数a和夕是方程办?+6x+c=0(aw0)的两个根.例如：若实

aa

数a,6满足。+6=9,"=5,那么。和6是方程/-9x+5=0的两个根，请应用上述材料解决以下问题：

(1)若实数/£是关于x的一元二次方程/-(2〃7-3)x+"「-4加-5=0的两个根.

①当〃z=l时，贝iJa+/=,a(3=；

②若a,/,机均为整数且5〈用＜22,求机的值；

(2)已知实数0,q满足0q+(0+q)=12,02q+p/=35,求/+/的值.

【答案】⑴①-1，-8；②13

(2)39

【分析】此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别

式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键.

(1)①利用根与系数的关系求解即可；

②根据所给材料可知A=(2m-3)2-4(m2-4m-5)为完全平方数，结合5〈冽＜22可求出机=13；

(2)根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论.

【详解】(1)解：①•••a+〃=2加-3,a/3=m2-4m-5

.•・当相=］时，a+4=2—3=—1,ap=1—4—5=—8,

故答案为：-1,-8；

②・.a4为整数

・•・上材料可知A=(2机-3)2-4(/一4加一5)为完全平方数

即A=4加+29为完全平方数

•.•冽是整数，且5＜加＜22

.•・只有当机=13时满足条件.

(2)解：p2q+pq1=35,,

pq(p+q)=35,

又・・・的+(2+。=12,,

-四和P+夕可以看成是方程/_12加+35=0的两个根，

解方程加2一12加+35=0得，加=5或机=7,

•••pq=5,p+q=1或pq=i,p+q=5,

①当pq=5,p+q=l,2和9可以看作是方程〃2一7〃+5=0的两根,

此时△=(-7)2-4x1x5=49-20=29>0,符合题意，

p1+q2=(p+4-2pq=49-2x5=39；

②当pq=7,p+q=5,P和q可以看作是方程"2-5"+7=0的两根，

止匕时△=(-5)2-4xlx7=25-28=-3<0,方程无解，不符合题意；

"+g2=39.

27.(12分)在平面直角坐标系中，我们定义：直线了="-。为抛物线了="2+/+。(a,b,c为常数,

awO)的“相依直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在了轴上的三角形为抛物线的“相依三角

形”.已知抛物线》=--_2》+3与其“相依直线”交于产，8两点(点P在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点