2025年全国普通高等学校招生模拟考试数学卷3（云南、安徽、山西、吉林、黑龙江五省）含答案与解析

绝密★启用前

2025年全国普通高等学校招生模拟考试卷（三）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合A={-1,一3,-5},8={削/+3了+根=0}.若4八8={-1},则8=（）

A.{-1,-2}B.{—1,2}C.{—1,3}D.{-1,-3}

2.设复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点8,则表示向量AB的复数在复平面上所对应的点位于

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养

计划，旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科

拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择

的不同方法数共有（）

A.120种B.180种C.240种D.300种

4.已知函数/（x）=sins+2cos2卓-1（0>0）的图象的相邻两个对称中心之间的距离为兀，把y=的

图象上所有点的横坐标缩短到原来的;（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象.则g（x）在「普，天上的

值域为（）

A.[-1,72]B__*,1C.-坐D.[-心，夜]

5.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍

生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，

其各项规律如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,记此数列为{%},贝！]

（%-4）+（。4-/）++（。50—。49）=（）

A.650B.1050C.2550D.5050

6.已知函数/(x)的定义域为，若对任意的xe”都存在使得x+F(%)=1,贝存在零点”

是“leZT的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知y=/(x+幻一左伏>0)是R上的偶函数，且当x3A时，/⑴=sinx：sx+2.若/(%)>/(%),

则()

A.xx+x2>2kB.+x2<2k

C.|^-^|<|x2-^|D.|玉一女卜上一女|

8.已知四棱锥尸—ABCD的底面ABC。是矩形，ABLPD,AB=2屈,PA^PD,ZAPD=120°.若四

棱锥P-ABCD的外接球的体积为竽，则该球上的点到平面的距离的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

TT

9.在，ASC中，已知A=3C=5，CD=3DB.则()

A.|AB+AC|=|BC|B.|AC|=2|AD|

13

C.AD=-AB+-ACD.AD±BC

44

22

10.已知双曲线C：2-方=l(a>0/>0)的左、右焦点分别为耳、F2,\FlF2\=2c,P为右支上任一点，。为坐

标原点，以下选项中正确的是()

A.|尸耳12T尸阊2的最小值为4公

11a

B.若过歹2的直线交c的右支于A,B两点，则函+网=记

C.若。到尸耳的距离是。到尸耳距离的2倍，且2耳至=60。，则C的离心率为石

2

D.若C的方程为Y-匕=1,过。的直线交C于跖N两点，0为圆(x-3y+y2=i上任一点，则QM-QV

4

的最大值为15

11.已知三棱锥尸-ABC的所有棱长均为2,尸。工平面ABC,。为垂足，D是P。的中点，的延长线交

平面BBC于点A，CO的延长线交平面以8于点G，则下列结论正确的是()

A.AG//AC

B.若。是棱PB上的动点，则IAQ+ICQI的最小值为2夜

C.三棱锥ABC外接球的表面积为6兀

D.=^^P-ABC

12.已知函数〃元)=尤(彳-3『，若存在a<b<c满足〃a)=/3)=〃c),g(x)=f(x)+m,下列结论正确的

是()

A.^g(a)=g(^)=g(c)=O,则力ze(Y,O)B.a+6+c=9

C.abce(0,4)D.a+6e(2,3)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知曲线y=0sin(x+£j在x处的切线为则过点(2,-3)且与切线机垂直的直线方程为

14.若(J+i)［鼻一9］的展开式中各项系数之和为、，则展开式中不的系数为.

15.已知斜率为坏的直线/过抛物线y2=2px(0>0)的焦点/，且与该抛物线交于A3两点，若|AB|=8,P为

该抛物线上一点，Q为圆clx+B'o-D'l上一点，则忸同+|尸。|的最小值为.

16.已知函数y=〃x)满足：当-2Wx<2时，f(x)=-^x2+l,且f(x)=/(x+4)对任意xeR都成立，则

4

方程4/(尤)=|x|的实根个数是.

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知等差数列｛为｝满足5+1)%="2+2〃+%,数列｛log应｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

⑴求巴和或；

⑵若。,=去，求数列｛5｝的前〃项和S,.

18.记ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知2sinB=sinA+sinC.

7T

⑴证明：0<34§；

⑵求sinB•cos23的最大值.

19.将图(1)所示四棱锥4ABe。展开得到如图(2)所示的平面展开图(点E的展开点分别为4，E2,

E3,EQ,其中四边形ABC。是矩形，A,。是线段与匕的三等分点，F,G是线段8生，A£的中点.

E

图⑵

(1)证明：平面CDGF_L平面EA&

，点、H,K满足CK=；KE,求与平面42。所成角

(2)若二面角E-BC-A的正切值为

2

的正弦值.

20.某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开

放发展和共享发展5个一级指标.该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100,通

过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势.分

别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总

指数，如下图所示.

y2015—2022年某地区区域发展总指数

140.0138.9

1312

135.0128.9

130.0

125.0121.2

120.0115.6

115.0

110.0106.5

105.0-100.0

100.0

95.0

90.0

2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年x

若年份无(2015年记为x=l,2016年记为x=2,以此类推)与发展总指数y存在线性关系.

(1)求年份尤与发展总指数y的回归方程.

(2)根据(1)中的回归方程计算的各年发展总指数值与实际发展总指数值差的绝对值，并记为X,若X<1,则

称该年为和谐发展年.若从2019〜2022这四年中任选两年，记事件A：两年中至少有一年为和谐发展年,

求事件A发生的概率尸(A).

参考公式：回归方程9=%+。，其中&=y-霞,

n

%一元)(耳一歹)

.1（8

,\（尤,「元）（%一＞）=228.9,y=119.05.

X（七一元）2Z=1

z=l

21.已知双曲线C:5-，=l(a>0,10)的离心率为半，左、右焦点分别为百,B，点尸坐标为(3」)，且

PFlPF2=6.

⑴求双曲线C的方程；

\AP\\BP\

⑵过点尸的动直线/与C的左、右两支分别交于两点AB,若点/在线段AB上，满足端=祸，证明:

M在定直线上.

22.已知函数目(x)=(x-1声+热\其中。20.

⑴当a=e时,求〃x)的极值；

(2)若不等式对任意xeR恒成立，证明：a>e.

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合[={-1,-3,-5},3={M上+3%+力=0}若4门3={-1},则3=()

A.{-1,—2}B.{-1,2}C.{-1,3}D.{-1,—3}

【答案】A

【分析】由-le5可求出加的值，解方程即可求出瓦

【详解】因为Ac3={-1},所以1一3+相=0,解得相=2,

贝|]*+3X+2=0的解为尸一1或x=—2,所以3={-1,一2}.

故选：A.

2.设复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点8,则表示向量至的复数在复平面上所对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】由复数的几何意义求出A,8,即可得出向量AB的复数在复平面上所对应的点所在象限.

【详解】复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点8,

则4(2,-1)3(3,4),所以4?=(1,5),

所以向量钻的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.

故选：A.

3.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划，，，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养

计划，旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科

拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择

的不同方法数共有()

A.120种B.180种C.240种D.300种

【答案】C

【分析】按照分组分配的方法，列式求解.

【详解】将5位同学分为2,1,1,1的分组，再分配到4所学校，

共有C；A：=240种方法.

故选：C

4.已知函数/（x）=sins+2cos2卓-1（。>0）的图象的相邻两个对称中心之间的距离为兀，把y=/（x）的

图象上所有点的横坐标缩短到原来的J（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象.则g（x）在上普上的

值域为（）

A.［-1,@B.卜当］C.;日,局D.［-"回

【答案】C

【分析】根据二倍角的余弦公式和辅助角公式求出函数/（X）的解析式，由三角函数图象的平移伸缩变换求

出函数g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性即可求解.

【详解】f（x）=sin0x+2cos2^-1=sintax+c°S0X=+

因为函数”x）图象的相邻两个对称中心的距离为兀，

T2兀

所以匕=兀，得7=2兀，又7=」，所以。=1,

2a）

贝1（尤）=0sin（无+：］.

将函数/（x）图象上的点的横坐标缩短为原来的1倍（纵坐标不变），

得8（力=拒$出12）+；］,

177r7T/口7T_7T37r

由---<x<—,得——<2x+—<——,

244344

JIjJI

又函数y=sinx在上单调递增，在-,y上单调递减，

所以-Vsin12x+：j<1,得<V2sin^2x+^<0,

即函数g（x）在，舞,M上的值域为［-逅,3］.

L244」2

故选：C.

5.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍

生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，

其各项规律如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,,记此数列为｛%｝,则

-2+（%-/）++（。50-。49）=（）

A.650B.1050C.2550D.5050

【答案】A

【分析】观察数列各项得出｛%“-的,_｝是等差数列，计算求和即可.

【详解】由条件观察可得：出-4=2,4-%=4,&-%=6,即%-/"-1=2",所以是以2为

首项，2为公差的等差数列.

25x24_

一弓）+（%一4）++（05。—口49）=25x2H-----——x2—650,

故选：A

6.已知函数的定义域为若对任意的无e£>,都存在使得了+/（%）=1,则“〃力存在零点”

是“leD”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意寻找条件说明充分性与必要性是否成立即可.

1「11「1一

【详解】若〃尤）存在零点，不妨令=xw0,-,即。=0,-,

由〃尤）=3x-g=0,得尤=:，则存在零点：，

任意的取且x+/（尤0）=x+一=1,

但1妁0,；,SPUD,故充分性不成立；

若le。，则存在使得1+/5）=1,贝|/优）=0,即存在零点%,故必要性成立，

所以，“，（元）存在零点”是“1€。”的必要不充分条件.

故选：B.

7.已知>=〃x+M-左伏>0）是R上的偶函数，且当.3A时，/⑴=sinx：sx+2.若〃为）>〃％）,

则（）

A.Xj+x2>2kB.+x2<2k

C.|x,-A:|<|x2-^|D.|七一4>卜2-K

【答案】C

【分析】根据函数为偶函数可得出/(x)的图象关于直线x=%对称，结合导数判断X3A时函数的单调性,

由此结合函数的性质和/&)>/(9)，可得出卜-4<尾-耳，即可判断C,D；脱掉绝对值符号化简，可

判断A,B.

【详解】由y=/(x+幻-上是R上的偶函数，得于(-x+k)-k=f(x+k)-k,

即f(-x+幻=于(x+Q，所以/(%)的图象关于直线x=%对称.

Sin%CS%+2

当”“时，/(x)=~f,由广(X)=23S：T)W0,仅在尤=2航，左eZ时取等号，

ee

得fM在区间［%,+8)上为减函数，则在区间(-叫周上为增函数，

根据“X)图象的对称性，由/(芯)>“马)得归一《<上一札

则C正确、D错误.

当玉_女,工2_左异号时，贝!J玉_左V_工2+左或_否+左<_左，即％+九2V2左或王+工2〉2左，

即选项A,B的结果不能确定，

故选：C.

8.已知四棱锥尸—ABCD的底面ABCO是矩形，ABLPD,AB=2屈,PA=PD,ZAPD=120°.若四

棱锥P-ABCD的外接球的体积为半，则该球上的点到平面B48的距离的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质，结合球的截面圆的性质探求球心位置，再求出球心

到平面PAB的距离作答.

【详解】如图，在矩形ABC。中，连接对角线AC,BD,记ACcBDnF,则点尸为矩形ABC。的外接圆

圆心，

P

0

设B4=PD=a,在24。中，由余弦定理得：

AD2=+PD2-2PAPD-COSZAPD=a1+a2-2a-a(--)=3a2,

An

即旬=扃，一■的外接圆半径为一后r-

记，PLD的外接圆圆心为G,则GP=a,取的中点E,连接PE,EF,

显然EF//AB,EF，AB=屈,PEJ.AD,且P,E,G共线，

2

因为AB_LPD,AB±AD,ADIPD=D,于是AB2平面P4O,即跖工平面B4D,依匚平面出。，

有PELEF,而所4。=£；所,4。<=平面48(7。，因此尸E_L平面ABCD

过G作GOJ_平面B4。，使GO=£F,连接尸。，

于是GO//EF,则四边形EFOG为矩形，有R9//PG,则平面A8C。，

根据球的性质，得点。为四棱锥尸-ABCD外接球的球心，

因为球。的体积为亭，则『义尸。3=等，解得「。=5,

而AB=2而，在RtPGO,PG^a=^POr-GO1=2>/3>

因此一PAB外接圆直径PB=y/AB2+PA2=J(2/?+(2局=8，

取PB的中点连接。H,显然以为皿外接圆圆心，则平面B48,且0"=&2—4?=3,

所以四棱锥尸-ABCD的外接球上的点到平面PAB的距离的最大值为8.

故选：C

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性

质求解.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

TT

9.在，ASC中，已知A=3C=5，CD=3DB.则()

A.|AB+AC|=|BC|B.|AC|=2|AD|

13

C.AD=-AB+-ACD.AD±BC

44

【答案】ABD

【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.

【详解】如图所示：

C

D

AB

jr

因为A=3C=5，所以A5.AC=0，

所以,5+—

故选项A正确，

3

因为C0=303,所以CD=：C5

4

所以AO=AC+CO

-3

=AC+-CB

4

=AC+-（AB-AC）

33

=AC+-AB——AC

44

13

=-AC+-AB,

44

故C选项错误，

由AO.A5=（；AC+；A5）A5=；AC.A5+；A5.A5=j网:

AZ）-AC=|-AC+-AB|-AC=-AC-AC+-AB-AC=-|AC|2,

（4414441।

在Rt^ABC,A=3C=-^C=-,B=-

2639

所以"¥忸q，M=；忸a，

AC/—

即寸6

所以M『=3网1

所以AZ>AB=AO-AC，

所以AD.（AB_AC）=O,

即ADCB=O

即AOJ_CB，故选项D正确，

由AD_LCB,

JTTT

所以在Rt^CZM中，因为/CZM=—,c=—,

26

所以|AC|=2|A4,故B正确，

故选：ABD.

22

10.已知双曲线C：十方=1（“>0,6>0）的左、右焦点分别为小F2,\FlF2\=2c,尸为右支上任一点，。为坐

标原点，以下选项中正确的是（）

A.|P与『-归巴「的最小值为4a

11a

B.若过尸2的直线交c的右支于A,8两点,则府"[+麻j=7

C.若。到尸鸟的距离是。到尸《距离的2倍，且N£PK=60°,则C的离心率为6

2

D.若C的方程为Y一上=1,过。的直线交C于M,N两点，。为圆（了-3）2+；/=1上任一点，贝IQM.QN

4

的最大值为15

【答案】ACD

11

【分析】结合双曲线定义及三角形三边关系判断A,当直线AB斜率不存在时，求同+函，排除B,

由条件，结合三角形面积公式和双曲线定义求|尸£|,|尸耳|,利用余弦定理确定a，。关系可得离心率，判断C,

根据向量数量积坐标运算公式表示QM.QN,结合双曲线和圆的范围求其最值即可判断D.

【详解】对于选项A:|小|2_「闾2=*川+|尸呦（俨用_|尸项=24|尸制+归闾）22人20=4改，当且仅当点

P与C的右顶点重合时等号成立，故A正确；

fy2fx=C

对于选项B,当轴时，则直线的方程为尤=。，联立/段可得柠，所以

y—±—

陞=。Ia

A211aa2aa

\AF2\=\BF2\=-,所以南+时下+/=炉=，故B错误；

对于选项C,因为尸O为谯的中线，所以%>%=s△叫。，由题设知I尸口=2归周，又归周-|尸闾=2%

所以忸耳|=4a,|%|=2a,在△尸耳耳中,由余弦定理得（2帆=|尸周,+归月卜？归制尸司cos60得所以c?=3a?,

故e=6,故C正确；

对于选项D,设Q5,%）,则（/一3）2+[；=1,X；一£_=1,

QM-QN=（xj-x0,--y0）-（-x,一无。,-%-%）=片+y；-x；-y：,

QM-QN=片+1-（%—3）2一元；-4（片-1）=6%一5%2—4,

当％取最大值4,片取最小值1时，QM-QN取得最大值，最大值为6*4-5x12-4=15，故D正确；

故选：ACD.

11.已知三棱锥尸-ABC的所有棱长均为2,尸。工平面ABC,。为垂足，。是尸。的中点，A。的延长线交

平面尸3c于点4，8的延长线交平面B48于点C1,则下列结论正确的是（）

AG//AC

若。是棱PB上的动点，则IAQI+ICQ|的最小值为20

三棱锥D-ABC外接球的表面积为6兀

【答案】ACD

【分析】A选项，设瓦厂分别为AB,BC中点，先证明Cj是等腰三角形一底边上的高线上一点，且满足

熬=；,同理可以说明A是等腰三角形,CBP底边上的高线上一点同样位置，然后可得到AG//E尸，再由

中位线可得EF〃AC,进而得到证明；

B选项，将三棱锥保留PB展开成平面图形后处理；

C选项，根据正棱锥的对称性，球心必定落在射线。。上，列出勾股定理方程计算；

D选项，利用同高不同底的棱锥，体积之比是底面积之比，结合A选项，考察/_4屿,匕＞­跖,匕＞一.＜7之间的

关系.

【详解】A选项，由题知，该三棱锥是正四面体，取中点E,连接PE,CE,显然CE会经过0,于是

G=PECC],过。作oa〃PE,交CG于

由于。是尸在ABC的投影，由正棱锥性质，。为等边ABC的重心，于是CO=2OE,由OH〃尸E可知，

OHCO2

CO”和相似，于是K石=左=1，

(_z|乜J

PC.2PA2

由。是尸0的中点，易得△DO"和..QPG全等，则O"=PG，于是=同理可说明*=£，于是

d?j/\rJ

尸GA和！PEF相似，

于是ACJ/EF,又E尸为一ABC中BC边对应的中位线，故EFHAC,于是AC〃AG，A选项正确；

P

B选项，将三棱锥保留PC边展开，成如图所示的平面图形，该图形由两个等边三角形拼成的菱形，显然

\AQ\+\CQ\的最小值在AC,。共线取得，

即IAQ|+1CQ|的最小值为|AC|=2有，B选项错误；

p

c选项’先算一些数据，借助A选项的图，,的外接圆半径223就二孚，故C。二醇

巫,于是DO」PO=巫

PO

323

根据对称性，三棱锥。-ABC外接球的球心在射线OO上，不妨设球心为G,外接球半径为H,则

DG=GA=R,GO=4-R,

2

又7,（2内

贝R2=+,解得R=Y1（由于R＞DO,实际上球心在三棱锥外），故外

3J2

接球表面积为：4兀々=6兀，C选项正确;

-BE•BF-sinZABC

q2于是匕＞一曲；，根据

D选项，三棱锥P-BEF和尸-ABC等高，由2BEF=Vp-ABC

q1

)ABC-BA-BC-sinZABC

2

A选毋乱,必二2即殁二一必

A选人'GE3'A尸3'即PE5PF,

-sinZEPF4_4

于是《如-----------------=-＞注意到三棱锥尸防和B-尸AG等高，故％_/q=方力一.，

'pF-PEPFsinZEPF乃25

2

于是匕＞-4g=%-PAG=玄匕-尸所=六％-=WZ%-ABC=八匕-ABC，D选项正确.

p

故选：ACD

12.已知函数〃X)=X(X-3)2,若存在a<b<c满足〃a)=/S)=/(c),g(x)=f[x}+m,下列结论正确的

是()

A.^g(a)=g(Z?)=g(c)=O,则zne(-4,0)B.a+b+c=9

C.aZ?ce(0,4)D.a+Z?e(2,3)

【答案】ACD

【分析】利用导数判断函数〃x)=x(x-3)2的单调性，结合关键点的坐标作出函数图象，由

g(a)=gS)=g(c)=O,可得直线丫=-%与函数y=/(x)的图象有三个交点，观察图象确定机的范围，设

/(a)=，可得〃x)—r=(x-a)(x-3(x-c),比较系数，结合条件判断B,C,D.

【详解】因为〃x)=Q-3『,

所以/r(%)=(x-3)2+2x(x-3)=3(%-3)(%-1),

令尸(x)=0,可得x=l或x=3,

当了<1时，f<f[x)>0,函数〃x)在(-8,1)上单调递增，

当1<尤<3时,『3<0,函数/⑺在。,3)上单调递减，

当x>3时，/^)>0,函数〃x)在(3,y)上单调递增，

又"1)=(1一3)2=4,"3)=0,/(0)=0,〃4)=4,

作出函数〃x)的图象如下：

对于A,由g(a)=g(5)=g(c)=0,

可得a,4c为方程g(x)=。的三个根，

即a,b,c为方程/(X)+相=0的三个根，

即。，"c为方程=的三个根，

故直线，=一帆与函数y=〃尤)的图象有三个交点，

所以0<-机<4,所以根e(-4,0),A正确；

设/(a)=/(b)=/(c)=f，可得0<，<4,

因为a<6<c,

所以Ovavl,1</?<3,3<c<4,

则=(x-tz)(x-/?)(x-c),

所以工(1_3)2-Z=(x-«)(x-&)(x-c),

所以^-6x2+9x-/=—(a+b+c'j^+lab+bc+ca^x—abc,

所以a+〃+c=6,t=abc,又0v，v4,3<c<4,

所以必(0,4),a+Z?£(2,3),

B错误，C正确，D正确；

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用导数确定函数的单调性，作出函数的图象，结合图象研究

函数的零点或方程的根.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知曲线y=&sin(x+：］在处的切线为处则过点(2,-3)且与切线小垂直的直线方程为

【答案】y=x-5.

【分析】求得y'=^cos、+：J得到切线的斜率，进而求得所求直线的斜率，结合点斜式方程，即可求

解.

【详解】由函数y=Esin(x+"可得"应cos"：)

则yK=V2cos^+^=-l,即切线m的斜率为左=T,

所以所求直线的斜率为1,其方程为V+3=x-2,即y=x-5.

故答案为：y=x-5.

14.若+的展开式中各项系数之和为卷，则展开式中/的系数为.

75

【答案】

【分析】令x=l求得〃=6,写出的展开式的通顶公式分别求出它的d系数与常数项,再与（丁+1）

的系数相结合即可得（三+展开式中/的系数.

【详解】因为13+1）［楙一七］的展开式中各项系数之和为鉴,

令X=l,得2X仕-所以"=6.

（2）32

因为一七］展开式的通顶公式为&1=&（幻6］-\［=C（£P（T）”6后，

令6-弓=3,得厂=2;令6-2=0,得厂=4,

所以展开式中Y的系数为戢xQJ+C：xf|J=3.

75

故答案为：——

16

15.已知斜率为百的直线/过抛物线y2=2px（p>0）的焦点八且与该抛物线交于AB两点，若|AB|=8,P为

该抛物线上一点，Q为圆C:1x+|：+（y-l）2=l上一点，则归川+|尸。］的最小值为.

【答案】A/10-1/-1+A/W

【分析】利用直线的点斜式方程写出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，

结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.

【详解】由题可知直线的方程为〉=君口-£|,设4（冷％）,3优,%）,则

整理得12元2_20px+3P2=0,,

所以％+9=?，

所以［4同=无1+%+0=m+0=?=8,解得P=3,

所以“g，oj,

而圆C的圆心c

因为耳+|P@N|Q尸以CF|—|ca=|CF|-l,

当且仅当点C,Q,P,尸在同一条直线上取等号，且点。位于点CP之间，如图所示:

所以户刊+|PQ|的最小值为&6一1.

故答案为：Vio-i.

16.已知函数y=/(x)满足：当-2WxW2时，〃©=一:炉+1,且f(x)=/(x+4)对任意xeR都成立，则

方程4/(x)=|x|的实根个数是.

【答案】6

【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解.

【详解】f(x)=/(x+4),=的周期7=4,

如图所示即为函数＞=/(元)的图像，4/(x)=|x|n/(x)=^，做出卑的图像，观察/⑺与当图像有6个

444

交点，则方程4f(x)=|x|的实根个数是6.

故答案为：6.

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知等差数列｛4｝满足5+1)%="2+2〃+%,数歹!J｛logM“｝是以1为首项，1为公差的等差数歹八

⑴求%和2;

⑵若c,噜，求数列匕,｝的前〃项和S”.

【答案】⑴4=〃+1,1=3"

⑵S.=；In+5

43

【分析】(1)｛。“｝为等差数列，利用前三项成等差，求出公差，首项，得出通项，再进行验证即可；利用

等差数列的通项公式求解6".

(2)利用错位相减法即可求解.

【详解】(1)+=n2+2n+k,

所以q=胃，_8+]15+左

一^""&=--------

34

因为｛%｝为等差数列，所以2%=%+4,即丝92=等+”了,

解得左=1,所以4=2,4=3,4=2+(〃-1)=川+1.

又%-%一1=1,｛4｝是等差数列.

因为数列｛1咋3纥｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以叫32=1+〃-1=77,所以，=3".

(2)由(1)得％=丁,

0234n+1小

所以5“=§+3+三++丁，①

1234n+1

则nil泸o=*+3+¥++尹，②

①-②得、*+*+(+!+

所以s“=:2H+5

43

18.记ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,。，已知2sinB=sinA+sinC.

TT

(1)证明：0<2W］；

(2)求sinB•cos23的最大值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式求出cos3的范围，即可得8的范围,

即可得证；

（2）根据二倍角的余弦公式可得sinB-0525=51115-2sin%,设方=sinB,Q<t<,构造函数=%-2户,

利用导数求出函数的最值即可.

【详解】（1）因为2sinB=sinA+sinC,所以2Z?=a+c,

、2

Q+C）

因为„a2+c2-b22J_3（/+<?）-2碇〉6ac-2ac_j_，

rncR=--------------

2ac2acSacSac2

即COS32；,当且仅当4=C时，等号成立，

又因为5£（0,兀），所以。V5v］；

（2）sinB-cos2B=sinB•（1—2sin2B）=sinB—2sin3B,

设，=sinB,则sinB-cos2B=%—2户，

因为0<2V=,所以0</4走，

32

设〃。“2巴0</考，由/（。=1-6『=0,得/邛，

当丘卜器），/1）单调递增；

当fj个‘孝，r⑺<°，/”）单调递减，

所以sinB.cos2B的最大值为好.

9

19.将图（1）所示四棱锥E-A8C。展开得到如图（2）所示的平面展开图（点E的展开点分别为&,E2,

E3,EQ,其中四边形ABC。是矩形，A,。是线段当用的三等分点，F,G是线段8生，A4的中点.

（1）证明：平面CDG7_L平面EAB；

(2)若二面角E-BC-A的正切值为白，点H,K满足CK=；KE,求“K与平面ABC。所成角

的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵半

4

【分析】(1)利用条件先证明AE_L平面COGE再利用线面垂直证明面面垂直;

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求线面角即可.

【详解】(1)VA,。是线段与目的三等分点，

AE=AD=DE,屈ID是等边二角形.

：G是AE的中点，DGLAE,

VABLAE,AB//CD,：.CDLAE.

•：DGcCD=D,：.AE±平面CDGF.

平面EAB,平面CDG/_L平面

(2)取A。中点。，BC中点T,连接EO,OT,TE,

：.OTVBC,OELAD,：.BCLOE.

又OEcOT=O,3C1平面EOT,

AETLBC,NETO是二面角E—3C—A的平面角.

设A£>=2,则OE=g,易知平面E4£>，平面ABCD且EO_LAD,

，EO±平面ABCD,：.EOLOT,

tanNETO=OT=2.

OT2

,：OT,OD,OE两两互相垂直，，分别以。T,OD,OE所在直线为x,y,z轴,

VEH=-HB,CK=-KE,

22

、

：.H‘2_1,Kq2叵

（333

7

昱

HK=3，易知平面ABC。的一个法向量为〃=(0,0,1),

3'7

设HK与平面A3。所成的角为

则sin。=1小”不

\n\-\HK\44

3

20.某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开

放发展和共享发展5个一级指标.该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100,通

过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势.分

别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总

指数，如下图所示.

h2015—2022年某地区区域发展总指数

140.0138.9

135.0

130.0