2025年人教版八年级数学寒假复习：分式（4个知识点回顾+6大题型归纳+过关检测）

专题05分式

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题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

◊＞题型聚焦------------------------------------------

【题型1分式有意义的条件】

【题型2分式的基本性质】

【题型3分式化简求值】

【题型4解分式方程】

【题型5分式方程的解及增根问题】

【题型6分式方程的实际应用】

6重点专攻-----------------------------------------

知识点1：分式相关概念

A

1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式.其中A叫做分子,

B

B叫做分母.

1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；

2.分式有意义的条件：BM；

3.分式值为。的条件：分子=0且分母知

知识点2：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式

_+一口AAxMAA-^M.,=丁公十小山.一、

子表不是：一=------,—=------(其z+4中M是不等于零的整式).

BBxMBB+M

知识点3：分数的混合运算

(1)同分母分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

上述法则可用式子表为：-+-=~.

CCC

(2)异分母分式的加减

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

1

，、上driEqp士、，acadbead+bc

上述法则可用式子表为：一土一=——±——=-------

bdbdbdbd

（3）分式的乘除法运算

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即

乘法aca-cac

bdb-dbd

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即

除法ac_a+c_ad

bdb±dbe

知识点4：分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再

找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解，若最简公

分母等于0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

提升专练------------------------------------------

»题型归纳

【题型1分式有意义的条件】

1.（2024八年级上.全国.专题练习）要使得分式言有意义，则x满足的条件是（）

A.x牛—1B.工W±1C.%H0D.%W

2.（24-25八年级上•山东济南•期中）分式号的值为0,贝卜=（）

x+2

A.±4B.4C.±2D.2

3.（24-25八年级上•北京通州•期中）若分式三有意义，则》的取值范围是

【题型2分式的基本性质】

4.（24-25八年级上•全国•期末）下列式子从左到右，变形正确的是（）

22

Aaamaaaa-aa+1

A.-=一B.—=-C.-=—D.-=——

bbmabbbb2bb+1

5.（24-25八年级上•山东威海•期中）如果把分式;：器中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（）

A.扩大10倍B.缩小为原来的套C.不变D.缩小为原来的媒

6.（24-25八年级上•湖南娄底•期中）下列分式中,，是最简分式的是（）

2

A.B.吴C.上D.4

2xzxz-lxy-x

7.（24-25八年级上•湖南邵阳•期中）计算：二的结果是______.

2a—2b

【题型3分式化简求值】

8.（24-25九年级上•湖南长沙•阶段练习）先化简，再求值：—9+Y，其中a=2,b="

a-b\ba）b3

9.（24-25八年级上•广西南宁•阶段练习）先化简，再求值：会•立第—_・，其中尤=4.

x-3x-1

10.（2024八年级上.全国.专题练习）先化简，再求值：++其中a="

\a+2/az+2a2

11.（2024八年级上.全国.专题练习）先将分式化简：三+（久+1-三），然后再从0,1，2,中选择一个

适当的数代入求值.

12.（24-25九年级上・甘肃白银・期中）先化简，再求值：（J一狞）+3，其中/+x=0.

x+22-xyxz-4

【题型4解分式方程】

13.（24-25八年级上•江苏南通•阶段练习）解分式方程：

（1）---=0；（2）—+2=—.

'7x-lxx-33-x

14.（24-25八年级上•全国•期末）解方程：

/八5,yX-1/c、34c

⑴口+1工；⑵=-8=。・

【题型5分式方程的解及增根问题】

15.（2024八年级上.全国.专题练习）若关于尤的方程1+3=上有正整数解，且关于尤的不等式组

x-33-x

9+3”有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数。的和为（）

（8x+17<a

A.-4B.-9C.-16D.-21

16.（24-25八年级上•山东东营•期中）关于x的方程三+F=-2的解为非负数，则。的取值范围

x-11-X

为.

17.（24-25八年级上•江苏南通•阶段练习）若关于x的方程=+2=三无解，贝b的值是______.

x-1x-1

18.（2024八年级上•全国・专题练习）分式方程三-2=,冬，八有增根,则爪的值为____.

x-1（X-1）（x4-2）-----

19.（24-25八年级上•山东济南•期中）已知关于x的方程三-2=广的解是非负数，那么机的取值范围

x-33-x

为.

【题型6分式方程的实际应用】

20.（24-25八年级上•全国・期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若

购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5

倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元.

（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；

（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲

3

种滑动变阻器？

21.（23-24八年级下•河南郑州•期末）2020年12月28日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指

出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮.“某粮食生产基地为了落

实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买4型和B型两种农机具，已

知1件4型农机具比1件B型农机具多0.5万元，用18万元购买4型农机具和15万元购买B型农机具的数量

相同.

（1）求购买1件4型农机具和1件B型农机具各需多少钱？

（2）若该粮食生产基地计划购买4型和8型两种农机具共24件，且购买的总费用不超过66万元，购买2型

农机具最多能购买多少件？

22.（23-24八年级下.重庆渝北.期末）随着科学技术发展，人工智能在各行各业得到广泛运用.某零件生产

企业购进甲、乙两类智能机器共30台，其中甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花

费180万元.

（1）购进的甲、乙两类智能机器分别是多少台？

（2）在运用这两类智能机器中，每台智能机器每小时完成的零件数量，甲类比乙类多20个，1台甲类智

能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等.甲类智能机器每天能工作16

小时，乙类智能机器每天能工作12小时.该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是

多少？

23.（23-24八年级上•宁夏固原•期末）依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年

起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中.必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、

1分钟跳绳，每项满分15分.男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女

生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球.为适应学生体育课学习（课时数、

考勤等）、日常参与体育锻炼.我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费

用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍.

（1）求大、小两种跳绳的单价各是多少？

（2）若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大

跳绳最多可购买多少根？

》过关检测

一、单选题

1.（24-25八年级上•江苏南通•阶段练习）下列各式与唉相等的是（）

a-b

a2a2-ab_3a——a

AA.-———B.-———C.------D.——

（a-b）2（a-b）23a-ba+b

2.（24-25八年级上•辽宁鞍山•阶段练习）下列分式是最简分式的是（）

A.些B.—C.2-b2口.空

5%x+12（b+a）23ab

3.（24-25八年级上•全国•期末）分式三，。的最简公分母是（）

2x-42x

4

A.2%B.2%(2x-4)C.2x-4D.2x(%—2)

4.（24-25八年级上•山东潍坊•期中）若工=-y力-4）,则下列式子错误的是（）

y4•«

A.上一B.空二C.±D.上=4

y4y+4434x-y

5.（24-25八年级上•全国•期末）已知a+b=3,ab=2,贝壮+工的值是（）

ab

3322

A.-B.--C.-D.--

2233

6.（24-25八年级上•贵州铜仁•期中）某中学开展“徒步研学”活动，小新和王老师同时从学校出发到离学校9

千米的公园开展研学活动，他们的路线一致，小新随班步行，王老师由于要带班级饮用水需乘车，已

知车的速度是步行速度的7.5倍.王老师比小新早80分钟到达目的地，设小新步行速度为x米/分钟，

则依题意可列出方程为（）

A.---=80B.---=—C.---=80D.—=—+—

X7.5%7.5%X60X7.5%X7.5%60

二、填空题

7.（24-25八年级上•辽宁鞍山•阶段练习）若分式会有意义，则实数久的取值范围是.

x-3

2

8.（24-25八年级上•山东荷泽・期中）计算三+事的结果是.

x-11-X

9.（24-25八年级上•吉林长春•期中）若关于x的方程三-白=1有增根，贝帽的值是.

x-1x-1

10.（24-25八年级上•山东淄博・期中）若工+三=2,则分式6、二町+2'的值为________.

xy-3x-y

三、解答题

11.（24-25八年级上•广西南宁•阶段练习）计算：-2?+（兀—2023）。—

12.（24-25八年级上,重庆•期中）先化简，再求值：—x+3）+久二+请从—3、—2、0、3中选

取合适的比的值代入.

13.（24-25八年级上•山东东营・期中）解方程：

232x7

（1）----=----（2）------F1=-----

'，%+2X-2'0+32X+6

14.（24-25八年级上•重庆•期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节.阳澄湖大闸蟹大量上

市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元.若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母

蟹数量的L25倍.

（1）求公蟹、母蟹的售价；

（2）赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6

元.某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的募倍还多，且总费用不超过

5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？

5

专题05分式

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题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

◊＞题型聚焦------------------------------------------

【题型1分式有意义的条件】

【题型2分式的基本性质】

【题型3分式化简求值】

【题型4解分式方程】

【题型5分式方程的解及增根问题】

【题型6分式方程的实际应用】

6重点专攻-----------------------------------------

知识点1：分式相关概念

A

1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式.其中A叫做分子,

B

B叫做分母.

4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；

5.分式有意义的条件：B#）；

6.分式值为。的条件：分子=0且分母加

知识点2：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式

-r士一口AAxMAA-^M.,.丁依TE.A.j、

子表示是：一=------,—=------（其z+4中M是不等于零的整式）.

BBxMBB+M

知识点3：分数的混合运算

（1）同分母分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

上述法则可用式子表为：-+-=~.

CCC

（2）异分母分式的加减

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

6

，、上driEqp士、，acadbead+bc

上述法则可用式子表为：一土一=——±——=-------

bdbdbdbd

(3)分式的乘除法运算

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即

乘法—a,—c=-a--c-=—ac

bdb-dbd

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即

aca-rcad

除法•--__

bdb2dbe

知识点4：分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

(1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：当分母是多项式时，先分解因式，再

找出最简公分母)；

(2)解这个整式方程，求出整式方程的解；

(3)检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解，若最简公

分母等于0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

6提升专练------------------------------------------

》题型归纳

【题型1分式有意义的条件】

1.(2024八年级上.全国.专题练习)要使得分式言有意义，则x满足的条件是()

A.x牛—1B.工W±1C.%W0D.%W

【答案】B

【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键.

根据分母不为零的条件进行解题即可.

【详解】解：由题可知，

|%|—1=#0,

即%丰±1.

故选：B.

2.(24-25八年级上•山东济南・期中)分式案的值为。，则尤=()

A.±4B.4C.±2D.2

【答案】D

7

【分析】本题考查了分式的值为。的条件，要注意分母的值一定不能为0,分母的值是0时分式没有意

义.要使分式的值为0,必须分式分子的值为0并且分母的值不为0.

【详解】解：要使分式由分子％2—4=0,解得：x=±2.

而久=2时，分母x+2=2+2=4。0；

x=—2时分母工+2=0,分式没有意义.

所以％=2.

故选：D.

3.（24-25八年级上•北京通州•期中）若分式上有意义，贝卜的取值范围是.

x-2

【答案】x丰2

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知久-2力0,即可得出答案.

【详解】因为分式二有意义，

所以久一2W0,

可得久W2.

故答案为：%。2.

【题型2分式的基本性质】

4.（24-25八年级上•全国•期末）下列式子从左到右，变形正确的是（）

.aam„a2aaa2„aa+1

A.-=——B.—=-C.-=—D.-=——

bbmabbbb2bb+1

【答案】B

【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，分式的分子

和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变.

【详解】解：A、当机A0时，三=子，故A不符合题意；

bbm

B、1故B符合题意；

abb

2

C、m片会，故C不符合题意；

bb2

D、?力鲁，故D不符合题意.

bb+1

故选：B.

5.（24-25八年级上•山东威海•期中）如果把分式：寡中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（）

A.扩大10倍B.缩小为原来的卷C.不变D.缩小为原来的高

【答案】B

【分析】本题考查了分式的基本性质.根据分式的基本性质解答即可.

【详解】解：把分式段中的x和y都扩大10倍后可得：器产•炉，缩小为原来的L

2xy100x2xy102xy10

故选：B.

6.（24-25八年级上•湖南娄底•期中）下列分式中，是最简分式的是（）

8

xyx-1x+y

A.B.D.U

2x2x2-lc.—Xy-x

【答案】c

【分析】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式.根据最简

分式的概念逐项判断即可.

【详解工解：A、巳==,故不是最简分式，不符合题意;

2x22x

B、会=鼠不是最简分式，不符合题意；

x2-l(x+l)(x-l)x+1

也是最简分式，符合题意;

C、x

x-y

D、匕==-1,不是最简分式，不符合题意;

y-x-(x-y)

故选：C.

7.(24-25八年级上•湖南邵阳・期中)计算：，二悬的结果是

2a—2b

【答案】?

【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，结合平方差公式求解即可.

【详解】解：会

2a—2b

(a+b)(a—b)

2(a—b)

_a+b

—2'

故答案为：等.

【题型3分式化简求值】

8.(24-25九年级上•湖南长沙•阶段练习)先化简，再求值：£1_1'+般，其中a=2,b=1.

ba.

【答案】I，6

【分析】本题考查分式的化简求值.先对所求式子进行化简，然后根据a=2,6=］可以求得化简后式

子的值，本题得以解决.

【详解】解：£(11'

\ba.+彳

aa—ba—1

=------:-------:---1------

a—babb

1CL—1

=b+~T

_a

一b"

当a=2,b=1时,

原式=4=6.

3

9.(24-25八年级上•广西南宁•阶段练习)先化简，再求值：念X2+2X+1」一，其中％=4.

x-3x-l

9

【答案】喜，《

【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值.

本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键.

2

【详解】解：X+2X+11

x-3x-1

x—3(%+I)21

(%—1)(%+1)%—3X—1

%+11

x—1x—1

一x

-X-1

当％=4时，

原式=六力

10.(2024八年级上.全国.专题练习)先化简，再求值：++其中a="

\a+2/az+2a2

【答案】2a,1

【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算的法则是解题的关键.先用分式的加减法

的法则计算括号里面的，再利用分式乘除法的法则计算括号外面的，最后把a=夕弋入化简的结果中计

算即可.

【详解】解：(1+震)+品

(a+2CL—6\a—2

\a+2a+2/a(a+2)

2(a—2)a(a+2)

=-------x--------

a+2ct—2

=2a；

当a=［时，原式=2x|=1.

11.(2024八年级上•全国・专题练习)先将分式化简：三+G+1-六)，然后再从。，1，2,中选择一个

适当的数代入求值.

【答案】一击’

【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可.

【详解】解：原式=三十(言一W),

_2-x.X2-4

—~,

x-1x-1

2—xx—1

—•，

X-1(%+2)(%-2)

_1

—,

x+2

由题意得：xH1和±2,

10

当x=0时，原式=一总=，

12.(24-25九年级上•甘肃白银・期中)先化简，再求值：(三—狞)+3，其中/+久=0.

、x+22-xyx2-4

【答案】％?+%+6,6.

【分析】此题考查了分式的化简求值.把括号内的部分变形，把除法变为乘法并因式分解，再利用乘

法分配律进行展开计算即可得到化简结果，再把已知条件整体代入计算即可.

【详解】解：(三-吕)+福

x+22-xx2-4

X23x(X+2)(X—2)

=(E+X-------X-------

x2(%+2)(%—2)3%(%+2)(%—2)

----x-----------------+x-2X%

x+2x

=%(%—2)+3(%+2)

=——2%+3%+6

=+汽+6

V%2+x=0,

原式=x2+x+6=0+6=6

【题型4解分式方程】

13.(24-25八年级上•江苏南通•阶段练习)解分式方程:

32

⑴三一4=0；

x-1X

X—4-1

(2)—+2.

\zz-33T

【答案】(1)久=-2

(2)分式方程无解

【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项

及系数化为1求解后，验根即可得到答案.

(1)先去分母，再去括号，合并同类项，移项即可得到答案，注意分式方程需要验根；

(2)按照去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1即可得到答案，注意分式方程需要验根.

【详解】⑴解：三二=0,

x-1X

方程两边同时乘以比O-1)得3久-2(x-1)=0,

去括号得3万—2x+2=0,

合并同类项得x+2=0,

・••x=-2

检验：当％=—2时，x(x-1)=—2x(—2—1)=6W0,

・,・原分式方程的解为久=-2；

⑵解：分+2=£，

方程两边同时乘以％-3得久一4+2(%-3)=—1,

11

去括号得x-4+2x-6=-1,

移项得x+2x=4+6—1,

合并同类项得3久=9,

系数化为1得久=3,

检验：当x=3时，x—3=3—370,即久=3是原分式方程的增根,

・•・原分式方程无解.

14.(24-25八年级上•全国・期末)解方程:

/F、5,YX—1

(1)—+1=—；

、7X-22-x

34

(27)--------=0.

、x-3X2-9

【答案】(1)%=-1；

⑵“=*♦

【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键.

(1)先把分式方程两边同乘(X-2)化为整式方程求解，然后检验即可；

(2)先把分式方程两边同乘(x+3)(%-3)化为整式方程求解，然后检验即可.

【详解】(1)解：三+1=当

x-22-x

方程两边同乘(%—2)得：5+(%—2)=—(%—1),

解得尤=-1,

检验：当％=—1时，%—2。0

所以原分式方程的解为久=-1;

(2)解：-----^-=0

x-3X2-9

方程两边同乘O+3)(久-3)得：

3(久+3)-4=0,

解得久=-|,

经检验，乂=-|是原方程的解.

所以原分式方程的解是力=-|.

【题型5分式方程的解及增根问题】

15.(2024八年级上•全国・专题练习)若关于x的方程H+3="有正整数解，且关于尤的不等式组

X-33-X

9+3”有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数。的和为()

(8%+17<a

A.-4B.-9C.-16D.-21

【答案】A

【分析】本题考查的是解分式方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键.先按照解分式方

12

程的一般步骤解方程，求出x=根据分式方程有正整数解，得到a<l,且为奇数，a力-5,然后

解一元一次不等式组，再根据不等式组有且只有3个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，

最后再求出符合条件的所有整数a,并求出它们的和即可.

【详解】解：公+3=1

去分母得：a—x+3(%—3)=-8,

去括号得：a—x+3x—9——8-)

移项、合并同类项得：2%=1-a,

解得：x=U，

•.•关于尤的方程W+3=有正整数解，

x-33-X

.,.X>0,且为整数，x—3片0,

...号>0,1-a为2的整数倍，号43,

.'.a<1,且为奇数，a丰-5,

(2(x+2)W9+3x①

I8x+17<a@'

解不等式①得：%>-5,

解不等式②得：x<^,

不等式组的解集为：—5Wx<F，

8

...关于x的不等式组『(：+2乙，9+3%有且只有3个整数解,

I8%+17<a

・・・-3<詈<-2,

-7VCLW1,

符合条件的所有整数a为-1或-3,

；•符合条件的所有整数。的和为：(一1)+(-3)=-4,

故选：A.

16.(24-25八年级上•山东东营•期中)关于尤的方程⑦+翌=-2的解为非负数，则。的取值范围

x-11-X

为.

【答案】。45且口73

【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数.先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出尤,

根据解为非负数，分式的分母不能为0,列不等式，解不等式即可.

【详解】解：三+3=-2,

x-11-x

去分母，得2—(5—a)=-2(%—1),

解得X=早，

••・关于久的方程二+尹=-2的解为非负数，

13

5一a、八

・•・X=——>0,

2

解得a<5；

%—1H0,

5~CLYc

・••-------1W0,

2

解得。W3,

・•.a的取值范围为a<5且aH3.

故答案为：aW5且aw3.

17.(24-25八年级上•江苏南通•阶段练习)若关于久的方程=+2=V无解，贝必的值是______.

x-1X-1

【答案】2

【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、

合并同类项及系数化为1得到x=等，再由分式方程无解得到x=1,确定关于a的方程求解即可得到

答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键.

【详解】解：*+2=冬，

x-1x-1

去分母得x+1+2(%—1)=a,

去括号得%+1+2,x—2=a,

移项得%+2%=a+2—19

合并同类项得3%=a+1,

系数化为1得X=等，

•••关于》的方程=+2=E无解，

x-1x-1

X-1=0,即％=1,则=1,

解得a=2,

故答案为：2.

18.(2024八年级上•全国・专题练习)分式方程言一2=距去存有增根，则皿的值为

【答案】6

【分析】本题考查了解分式方程，理解分式方程的增根是解题的关键，方程两边都乘以最简公分母(％-

1)(%+2)把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出

增根，然后代入进行计算即可得解.

【详解】解：三-2=西餐

方程两边都乘以Q-1)(%+2)得,

2x(%+2)—2(%—1)(%+2)=m,

2x2+4%—2x2—2%+4=m,

TH=2%+4,

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・・,分式方程有增根，

.*.(%-1)(%+2)=0,

x—1=0或％+2=0,

解得久=1或％=-2,

当久=1时，m=2%+4=2+4=6,

当％=-2时，TH=2久+4=-4+4=0,此时原分式方程无解，不符合题意.

所以租的值为6,

故答案为：6.

19.(24-25八年级上•山东济南•期中)已知关于x的方程三-2=广的解是非负数，那么根的取值范围

x-33-x

为.

【答案】m>一6且m丰-3

【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的

解得出m的范围是解此题的关键.

根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，可得不等式，解不等式，

可得答案，并注意分母不为零.

【详解】解：由原方程去分母，得X—2(久—3)=—小，

去括号，得x—2x+6=—

解得x=6+m,

•••关于x的方程七-2=产的解是非负数，

x-33-%

6+m>0,

解得m>-6,

又％—3H0,

・,•％H3,

••・6+m。3,mW—3,

故m的取值范围为?n>—6且mW—3,

故答案为：m>—6且mH—3.

【题型6分式方程的实际应用】

20.(24-25八年级上•全国・期末)某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若

购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5

倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元.

(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；

(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲

种滑动变阻器？

【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元

15

(2)该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；

(1)设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为(x+6)元，根据题意可得出关于x的

分式方程，解之即可得出结论；

(2)设该校购买甲种滑动变阻器机个，则购买乙种滑动变阻器(100-6)个，利用总价=单价X数量,

结合总费用不超过5000元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结

论.

【详解】(1)设甲种滑动变阻器的单价为尤元，则乙种滑动变阻器的单价为Q+6)元，

根据题意得：^=—X1.5

x+6x

解得：%=48,

经检验，x=48是所列方程的根，且符合题意.

:•％+6=54,

答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；

(2)设该校购买甲种滑动变阻器机个，则购买乙种滑动变阻器(100-伍)个，

根据题意得：48m+54(100-m)<5000,

解得：m>66|,

整数机的最小值为67,

答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器.

21.(23-24八年级下•河南郑州•期末)2020年12月28日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指

出：，，坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮.，，某粮食生产基地为了落

实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买力型和B型两种农机具，已

知1件力型农机具比1件B型农机具多0.5万元，用18万元购买4型农机具和15万元购买B型农机具的数量

相同.

(1)求购买1件4型农机具和1件B型农机具各需多少钱？

(2)若该粮食生产基地计划购买力型和B型两种农机具共24件，且购买的总费用不超