2024-2025学年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，则∁UA=(

)A.{4} B.{3,4} C.{3} D.{1,3,4}2.命题：“∀x>1，x>0”的否定是(

)A.∃x>1，x≤0 B.∃x≤1，x>0 C.∀x<1，x≤0 D.∀x≤1，x<03.如图，点O为等腰梯形ABCD底边CD的中点，∠BCD=60°，CD=2AB，下列向量中，与OA相等的是(

)A.DO B.BO C.CB D.AB4.已知向量a=(0,1)，b=(2,1)，则2aA.(0,−2) B.(2,0) C.(−2,1) D.(2,2)5.定义在R上的函数f(x)，g(x)，“f(x)+g(x)在R上单调递增”是“f(x)，g(x)均在R上单调递增”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若a>b，则下列不等式正确的是(

)A.a2>ab B.a>b7.已知函数f(x)=ex−1x，在下列区间中，包含A.(0,12) B.(12,1)8.已知log32=a，3b=5，则A.2 B.6 C.29.有四个盒子，已知前三个盒中分别只装了一个红球、一个绿球、一个黄球，第四个盒子中红球、绿球、黄球都有.现随机抽取一个盒子，事件A为抽中的盒子里面有红球，事件B为抽中的盒子里面有绿球，事件C为抽中的盒子里面有黄球.则下面正确的选项是(

)A.A与B互斥 B.A与B相互独立

C.A与B∪C互斥 D.A与B∩C相互独立10.已知函数f(x)=2|x|,x≤0|log2x|,x>0，若方程A.(0,1) B.(0,1] C.(0,+∞) D.(1,+∞)二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，则α=

．12.已知甲、乙两组数据的茎叶图如下

①设甲组数据的均值为μ1，乙组数据的均值为μ2，则μ1______μ2(填“<”或“>”)；

②设甲组数据的方差为s12，乙组数据的方差为s22，则s12______13.点A，B，C，D在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则|AB+CD|=14.写出一个同时满足下列条件中两个条件的函数f(x)．

条件①∀x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)；

条件②当x∈(2,+∞)时，f(x)>1总是成立；15.已知f(x)=ex+ae−x，其中a是常数，a∈R，给出下列四个结论：

①当a=1时，f(x)为偶函数；

②∃a∈R，使得f(x)为奇函数；

③∀a∈(−∞,0]，都有f(x)在R上单调递增成立；

④若∀x∈[−1,1]，均有f(x)≥0，则实数a的取值范围是[−三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=2x．

(Ⅰ)求f(−1)的值；

(Ⅱ)在图中作出y=f(x)，x<0的示意图，并直接写出不等式f(x)≥2的解集．17.(本小题14分)

已知集合A={x|−1<x<4}，B={x|x2−2x−m<0}．

(Ⅰ)当m=0时，求B，A∩(∁RB)；

(Ⅱ)18.(本小题14分)

每年的12月5日是国际志愿人员日.某校高一某班学生本年度12月的志愿时长的频率分布直方图如图所示(样本数据分组为[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]单位：小时)．

(Ⅰ)求图中a的值；

(Ⅱ)估计该校高一学生志愿时长不小于40小时的频率；

(Ⅲ)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人志愿时长不小于40小时的概率．19.(本小题15分)

某工厂为确定2025年A产品的生产总产量，调取了前四年的A产品生产总产量x(x>0)万件与其所需总成本y万元之间的对应关系(如表所示)，以作为建立y与x之间函数关系的依据，进而实现估算预测，工厂称此函数为“参照函数”．A产品生产总产量x(万件)1234总成本y(万元)7121829该工厂拟用如下三个函数解析式：①y=5x+2；②y=x2+2x+4；③y=2.5×2x+2作为“参照函数”的备选．

(Ⅰ)该工厂应选择哪个函数解析式为“参照函数”最为合理？请说明理由；

(Ⅱ)根据(1)所选的“参照函数”，当该工厂预计2025年生产多少万件A20.(本小题15分)

已知函数f(x)=a−11+2x是定义在R上的奇函数．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)判断f(x)的单调性，并用单调性定义加以证明；

(Ⅲ)21.(本小题14分)

已知数集A含有k(k∈N∗)个元素，由A中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={(a,b)|a∈A，b∈A，a−b∈A}.其中(a,b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．

(Ⅰ)若A={−1,2,3}，写出S和T；

(Ⅱ)写出一个集合A，使得S=T；

(Ⅲ)判断m和n的大小关系，并证明你的结论．参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.B

10.A

11.1212.<

>

13.1014.①②或①③或②③

log2x(答案不唯一15.①②③

16.解：(I)因为y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=2x，

所以f(1)=2，

则f(−1)=f(1)=2；

(II)函数图象如图所示：

由函数图象可得，当f(x)≥2时，x≥1或x≤−1，

即不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}．17.解：(I)当m=0时，A={x|−1<x<4}，B={x|x2−2x<0}={x|0<x<2}，

所以∁RB={x|x≥2或x≤0}，

A∩(∁RB)={x|2≤x<4或−1<x≤0}；

(Ⅱ)若A∩B={x|−1<x<3}，

则x=318.解：(Ⅰ)根据题意可得(0.0025+a+0.04+0.035+0.005)×10=1，解得a=0.0175；

(Ⅱ)估计该校高一学生志愿时长不小于40小时的频率为0.35+0.05=0.4；

(Ⅲ)由(Ⅱ)知高一学生志愿时长不小于40小时的概率约为0.4，

所以从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有1人志愿时长不小于40小时的概率为1−(1−0.4)(1−0.4)=0.64．

19.解：(Ⅰ)对于y=5x+2，x=1时，y=7，x=2时，y=12，x=3时，y=17，x=4时，y=22；

对于y=x2+2x+4，x=1时，y=7，x=2时，y=12，x=3时，y=19，x=4时，y=28；

对于y=2.5×2x+2，x=1时，y=7，x=2时，y=12，x=3时，y=22，x=4时，y=42；

通过表格发现，函数y=x2+2x+4模拟实际效果最好，

工厂应选择②y=x2+2x+4为“参照函数”最为合理；

(Ⅱ)由题意单位成本表达式为f(x)=yx=x2+2x+4x=x+4x+2，20.解：(Ⅰ)函数f(x)=a−11+2x是定义在R上的奇函数，

则f(0)=a−11+1=0，则a=12，

此时f(x)=12−11+2x，其定义域为R，

有f(−x)=12−11+2−x=12−2x1+2x，

则有f(x)+f(−x)=0，f(x)为奇函数，符合题意；

故f(x)=12−11+2x；

(Ⅱ)f(x)在R上为增函数，

21.解：(1)集合S需满足对其中任意一个元素(a,b)，a∈A，b∈A，a+b∈A，

所以S={(−1,3)，(3,−1)}，

集合T需满足对其中任意一个元素(a,b)，a∈A，b∈A，a−b∈A，

所以T={(2,−1)，(2,3)}；

(2)A={−1,0,1}时，S={(−1,0)，(1,0)，(0,0)，(0,1)，(0,−1)}，T={(−1,0)，(1,0)，(0,0)，(0,1)，(0,−1)}，所以S=T；

(3)m=n.证明如下：

对于S中任意一个元素(a,b)，因为a∈A，b∈A，a+b∈A，所以必有对应的元素(a+b,b)∈T，

如果(a,b)与(c,d)是S中的不同元素，那么a=c与b=d至少有一个不成立，

则a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立，所以(a+b,b)与(c+d,d)也是T中两个不同的元素，

所以S中的元素不多于