四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知首项为1的数列an中an+1=1+A．53 B．85 C．132．已知数列an是等差数列，首项a1=1，公差d≠0，如果a1A．2或-2 B．-2 C．2 D．33．已知f(x)=xeA．0 B．1 C．e D．2e4．函数f(A．(0,e) B．(−∞,5．若数列bn满足b1+3A．bn=2n B．bn=2n6．已知函数f(x)=(3−a)x−7,x≤8ax−8,x>8，若数列anA．(158,3) B．[1797．已知函数f(x)=mxlnx−1,m<0.若g(xA．[2e−e,0) B．(28．数列A．2565 B．2575 C．2585 D．2595二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（答案有三个，选对一个得2分，选对2个得4分，全选对得6分，答案有二个，选对一个得2分，全选对得6分）9．已知数列anA．数列anB．若a3=2，aC．若a1<aD．若数列an的前n和S10．已知f(x)A．ab=−1 B．对称中心为(0,C．ab=−9 D．11．下列判断正确的是（）A．ln1.1<e0.1C．32sin3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．等差数列an中，a5+a13．已知函数f(x)=x2−5x+alnx在(14．已知f(x)=xex，关于x的方程f2(x)+mf(x)-1=0(m∈R)有三个不同实数根，则m取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知Sn是数列{an}的前n项和，{S（1）求Sn的表达式和数列{（2）证明：116．数列an，bn满足：a1=2，b1=3.且4an+1-bn=an-3bn+1，4bn+1-2bn=2an-3an+1对n∈N（1）证明an（2）求an和b17．已知函数f(x（1）讨论f(x)的单调性；（2）若函数y=f(x)在闭区间[0,a+1]上的最大值为18．雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kochsnowflake）．现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为P1、P2、…、Pn、…．小明为了研究图形Pn的面积，把图形PnPPPP...P边数31248192...从P231248...从P2111...根据小明的假设与思路，解答下列问题．参考数据（lg3≈0.477，lg2≈0.301）（1）填写表格最后一列，并写出an与a（2）根据(1)得到的递推公式，求an（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于79750019．已知函数f（x）=(x-a)2ex.附：ln2≈0.693，ln5≈1.609.（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程.（2）设x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，记A(x1，f（x1）），B(x2，f（x2））；①证明：直线AB与曲线y=f(x)交于另一个点C；

②在①的条件下，判断是否存在常数λ∈(n，n+1）（n∈N*），使得|AB|=λ|BC|，若存在，求n；若不存在，说明理由。

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得a1=1，

利用递推公式∴a2=1+1a4=1+1a故答案为：B.【分析】根据递推关系逐项求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：由数列an是等差数列，首项a1=1，公差d≠0

根据a1，a2，a5成等比数列，根据等比中项性质：因为a1=1，带入上式得：

(1+d)2=1(1+4d)，

解得：故答案为：C【分析】利用等差数列的通项公式，进行基本量代换，求出公差d即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：因为f'(x)=故f'(x)=而当x<−1时，f'故f'(x故答案为：B【分析】根据导函数的单调性，结合f'4．【答案】A【解析】【解答】解：由定义域为(0,+∞)，

对f(x)求导得：令f'(x)<0，得所以f(x)故答案为：A【分析】根据函数解析求出定义域，求导，求解单调性.5．【答案】D【解析】【解答】解：若数列bn满足b1+3b2+7b3+⋯+(2n−1)bn=n，

当①−②得(2n−1)bn=1，所以bn=12n故答案为：D【分析】由b1+3b2+7b3+⋯+(2n−1)6．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数f(x)=(3−a)x−7,x≤8ax−8,x>8，an=f(n)(n∈N∗)，且{an}是递增数列，故答案为：C.【分析】依题意函数在各段单调递增且需满足f(9)>f(8)，即可得到不等式组，求出参数的取值范围.7．【答案】C【解析】【解答】解：f(x)−g(x)≤0恒成立，

即f(x)≤g(x)恒成立即可，

只需保证：f(x令f'(x)所以函数f(x)在(0,故f(对于g(x)，定义域为x>0

由g(x)=x令g'(x所以函数g(x)在(−∞,故g(因为f即−m⋅1e−1≤−1e即实数m的取值范围为[1故答案为：D【分析】由题意可知f(x)max≤g(x8．【答案】D【解析】【解答】解：an+1−(−1)nan=3n当n为偶数，令n=2k(k∈N∗)时，①+②，可得a2k−1+a2k+1=12k−7a1a5a…a57所以a=12×(1+29)×15故答案为：D.【分析】当n=2k−1时，a2k+a2k−1=6k−5，当n=2k(k∈9．【答案】A,C【解析】【解答】解：由数列an是等比数列，假设公比为q（q≠0）

对于A：因为公比为q，即an+1an所以，数列{a对于B：由数列an是等比数列，

由a3=2，a7=32，根据等比数列的中项性质得：

a52=a3a7=64，所以a5=±8，

又因为a5a3=q2>0，而a3=2>0，

所以a5>0，负的舍去

则a5=8，B选项错误；

对于C：由数列an是等比数列，公比为q（q≠0），

则a2=a1q，a3=a1q2对于D选项，a1=S1=r+1，

由于数列{an}是等比数列，则a22=a故答案为：AC.【分析】利用等比数列的定义可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；对于C：利用通项，化简a1<a2<a3得分1<q<q2得q的取值，不等式可判断C选项的正误；求得a10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由题意：f(x)=又x=−1是函数f(x)的极大值点，

即f'(−1)=a+b=0，

可得a=−b，在x=−1处取得极大值1，

所以当b=3时，a=−3，

此时f'x∈(−1,1)时，f'(x所以函数f(x)在(−∞,−1)此时函数f(x)在x=−1当b=−1时，a=1，

此时f'x∈(−1,1)时，f'(x)所以函数f(x)在(−∞,−1)此时函数f(x)所以a=1，b=−1，

所以ab=−1，所以A正确，C错误；此时f(x)=13x3−x+13所以f(x)=13x3−x+13故答案为：ABD【分析】根据f'(−1)=a+b=0以及f(−1)=−13a−b+13b11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由ln1.1<e0.1−1，

即证ln1+0.1<e0.1-1，即证ln1+0.1-e0.1+1<0，

构造函数f(x)=ln(1+x)-ex+1,x>0

则f'x=11+x-ex=1-(x+1)ex1+x,x>0

令gx=1-(x+1)ex，x>0，

要证πln2<2lnπ，

即证ln22<lnππ，

构造函数g(x)=lnx当x∈(e,+∞)所以m(π)>m(4)，即lnππ>ln4对于C，令h(x)=tanx−x(0<x<π2)所以h(x)在(0,π2即任意0<x<π2，tanx>x，又0<sin3对于D，令F(x)=sinx−3xπ(0<x<又cosπ12=所以F'(x)>0，

则F(x)在(0,π12即sinx>3xπ在(0,π故答案为：ABD【分析】要证ln1.1<e0.1−1，即证ln1+0.1-e0.1+1<0，构造函数f(x)=ln(1+x)-ex12．【答案】20【解析】【解答】解：由2a1∙2a2∙⋯∙2a10=2a1+a2所以a5+a6故答案为：20【分析】根据等差数列的性质和指数运算和对数运算法则计算出答案.13．【答案】a∈【解析】【解答】解：由题意f(x)的定义域为(0,+∞)

对f(x)求导得：f'(x)=2x−5+ax=2x2−5x+ax

函数f(x)=x2−5x+alnx在(4,5)上存在递减区间，

即f'(x)<0在(4,5)有解皆可，

即2x2−5x+a<0在x∈(故答案为：(−∞,【分析】函数f(x)=x2−5x+alnx在(4,5)上存在递减区间，即保证f'(x)<014．【答案】m【解析】【解答】解：由f(x)=xex，且定义域为R，

则f'x=(x+1)exx-∞，-1-1-1，+∞f'(x)+f(x)单调减-单调增作出函数f(x)的图象如图所示：图1

方程f2(x)+mf(x)-1=0(m∈R)有三个不同实数根，

令t=f(x)，则方程f2(x)+mf(x)-1=0，即有t2+mt−1=0，

方程f2(x)+mf(x)-1=0(m∈R)有三个不同实数根，

转化成求t2+mt−1=0有两个不同的实根t1,t2，

并且假设t1<t2，

所以Δ=m2+4>0t1+t2=−mt1t2=−1；

由图1，当t1=−1e时，要满足有三个不同实数根，

则t设g(t)=t因为g(0)=−1<0，

所以g(−1即me<1e2故答案为：(−∞,【分析】利用导数研究函数f(x)的单调性与最值，作出函数f(x)的图象，令f(x)=t，则所求等价于t2+mt−1=0有两个不同实根t1,t2，则t1t215．【答案】（1）解：因{Snn}是以因此Snn=1+当n≥2时，经检验，a1所以an的通项公式是（2）解：由（1）知：11【解析】【分析】（1）根据已知先求出{Snn}的通项公式，进而求出Sn=n2，利用Sn16．【答案】解：根据（1）（1）因为4an+1-bn=an-3bn+1，

则有4an+1+3bn+1=an+bn；（1）式

由4bn+1-2bn=2an-3an+1，因为a1+b1=5≠0，

（2）由第（1）问可知，{an+bn}是公比为37的等比数列，并且首相为5，

所以an+bn=537n-1，（3）式

同理对上面的两个式子相减得：

bn+1−an+1=an+故an=2【解析】【分析】（1）分别对已知条件的式子进行化简，再进行联立相加，即可得到an+1+bn+1=3717．【答案】（1）解：因为f(所以8①当a=1时，f'(x)=8(x−1②当0<a<1时，由f'(x)>0

得x<a或x>1，

由f'所以f(x)在(−∞,a)单调递增，

在(a,1)上单调递减，③当a>1时，

由f'(x)>0

得x<1或x>a，

由f'所以f(x)在(−∞,1)单调递增，

在(1,（2）解：由（1）可知①当a=1时，

f'(f(x)在[0,a+1]上单调递增，

此时f(x)在[0,由②当0<a<1时，

f(x)在(0,a)单调递增，

在(a,1)上单调递减，f(x)在[0,a+1]上的最大值只有可能是f(a)或因为f(x)在[0,a+1]上的最大值为所以f(a+1)由于③当a>1时，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,f(x)在[0,a+1]上的最大值可能是f(1)或因为f(x)在[0,a+1]上的最大值为所以f(a+1)综上：a∈[【解析】【分析】（1）求出函数f(x)（2）利用（1）的结论，分类讨论求出最大值，结合已知列出不等式求解即得.18．【答案】（1）解：图形P1、P2、…、Pn、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形P从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则Pn比前一个图形多出的三角形的个数为从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以19为首项，19为公比的等比数列，则PPPP...P边数31248192...3×从P231248...3×从P2111...(所以an=（2）解：当n≥2a===又因为a1所以an（3）解：