数学物理方法常微分方程的本征值问题_第1页
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一、Sturm–Liouville型方程它与一定线性齐次边界条件或周期性条件或自然边界条件能够组成本征值问题，称为S-L型本征值问题。称为本征值称为权函数1第1页二、几个常见S-L型本征值问题1、而①②两种情况下，求解S-L型本征值问题2第2页①本征值本征函数3第3页②本征函数本征值4第4页2、Bessel方程本征值问题5第5页3、Legendre方程本征值问题6第6页这个本征值问题来自量子力学中谐振子问题4、Hermite方程本征值问题7第7页这个本征值问题来自量子力学中氢原子问题5、Laguerre方程本征值问题8第8页三、正交函数系1、正交函数定义：假如两个函数满足，则称它们在区间上正交假如函数是复函数，则写为2、归一化定义：由正交定义，对一本征函数系当时，当时，9第9页称为归一化因子。则有称为正交归一函数系10第10页3、完备性条件4、完备性定义：在对应敬意上满足狄里赫利条件任意函数能够用正交完备函数系展开成傅里叶级数，即：可用正交归一条件求得，即11第11页狄里赫利条件：在上只有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点。四、S—L型本征值问题性质1、条件①及其导数在中连续；②在中连续，在区间端点连续或最多有一阶极点；12第12页③中，在区间端点处可能有一阶零点。2、性质①结论1：全部本征值都是实数，且非负，即②结论2：存在无穷多个实本征值，成一递增数列对应有没有穷多个本征函数称为本征函数系，同一本征值对应本征函数可能不止一个。13第13页③结论3：对应于不一样本征值本征函数，在区间上带权函数正交，即：展开为绝对且一致收敛，即：广义傅里叶级数。③结论4：本征函数系在区间组成一个完备系，即任意一个含有二阶连续导数函数，只要它满足本征值问题中边界条件，均能够

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