2025届河南省南阳市高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市2025届高三上学期期末数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，则，可得.所以.故选：B（改编自《数学》（必修第一册）第7页例4）2.已知集合，，则集合的真子集个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，所以，集合的真子集个数为.故选：A.3.直线交圆于、两点，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】联立解得：，，所以.故选：D.4.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为.的二项展开式的通项公式为.而，所以的系数为为.故选：C.5.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.6.已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为曲线上任意一点，可设，所以当时，最大.故选：C.7.已知函数，则（）A.当时，在区间上单调递增B.当时，的图象关于点对称C.若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为D.若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为【答案】D【解析】对于AB，当时，，当时，，函数在区间上单调递减，，的图象关于不对称，AB错误；对于C，的图象向左平移个单位长度，得，由图象与原图象重合，得，解得，的最小值为，C错误；对于D，当时，，由在区间上恰有两个极值点，三个零点，得，解得，因此实数的最大值为，D正确.故选：D.8.如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（）A.2 B.C. D.4【答案】B【解析】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，则，由，，所以，所以椭圆方程可化为，由，两式相减得，，则，根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.则，直线的方程为.将代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以双曲线方程可化为，由消去并化简得，设，解得，所以，所以.故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题中正确的是（）A.一组数据，，，，，，，，的分位数为B.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为C.在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为D.若随机变量，且，则【答案】CD【解析】对于A：该组数据已从小到大排序，又，故分位数为第位，即，故A错误；对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误；对于C：这名同学物理成绩的平均数为：，所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确；对于D：因为，且，所，所以，故D正确.故选：CD.10.小明在“数学建模活动”课中，取两个三角形模具，把它们的斜边靠在一起，如图所示，三角形模具绕着可以转动.其中斜边，，，则（）A.当A，B，C，D四点共面时，B.当A，B，C，D四点共面时，设与交于点，则C.当平面平面时，D.当A、B、C、D不共面时，四点A、B、C、D在同一球面上，且此球的体积为【答案】BCD【解析】由，，，可得，，.对于A：，由余弦定理得，错误；对于B：由，得即，解得，正确；对于C：过作于，则为的中点，连接.当面面时，面面，面，则面.而面，则，所以为直角三角形，，正确；对于D：取的中点，则，所以四点A、B、C、D在同一球面上，且球的半径为5，所以，正确.故选：BCD.11.已知函数，，下列说法正确的是（）A.函数存在唯一极值点，且B.令，则函数无零点C.若恒成立，则D.若，，则【答案】ABD【解析】对于A：，显然在上单调递增，又，，所以，使得，故A正确；对于B：由A得，，使得，即，，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以恒大于0；所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点.由，令，，，当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以，即，即在单调递增，又时，，所以，由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确；对于C：由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故错误；对于D：因为在单调递增，又，，则，所以，即，整理得，不等式两边同除以得，，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为_____.【答案】或0.6【解析】由分层抽样知，所抽取的这5人中有3男2女，所以恰有1个男队长的概率.故答案为：.13.已知等差数列的前项和为，若，且，，，四点共面（为该平面外一点），则_____.【答案】【解析】因为，所以.因为，，，四点共面，所以，即.所以.故答案为：.14.已知双曲线的方程为：，离心率为，过的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且.过点作的角平分线，在角平分线上的投影为点，则的取值范围为_____.【答案】【解析】，，即，∴两渐近线方程为，为右支上一点，.设，，分别令，可得，，又，，即，，∴双曲线方程为，故，，.延长交于点，如图，平分且，，又，，为的中点，，，易知，，，，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积．（2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为．解：（1）如图所示：连接BD，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因为，则，两式相减得，又，所以，所以.（2）如图所示：连接AC，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因为，则，两式相减得：，所以，而，因为，所以，所以，所以，则，，即.16.已知抛物线.（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若直线交抛物线于不同于原点的两点，，经研究，下面三个结论等价，请选择其中一个作为条件，证明其他两个成立.①；②直线过定点；③，.解：（1）法一：显然抛物线在处的切线的斜率存在，设其为，则切线方程为，与抛物线联立，得，即，只需，解得，所以切线方程为.法二：要求抛物线在处的切线，则由可得所以在处的切线的斜率，所以切线方程为.（2）因为直线交抛物线于，两点，所以可设直线由，消去可得，所以，，，，，由①②③：因为，所以，即，所以（舍去）.所以直线经过定点，即证②.所以，，即证③.由②①③：因为直线经过定点，则由上面可得，，即证③；所以，所以，即证①.由③①②：因为，，所以，所以，即证①.由上面可得，解得，所以直线经过定点，即证②.（改编自《数学》）（选择性必修第一册）第219页A组第6题）17.高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.（1）从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；（2）从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）解：（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，所以.即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为（2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，所以所有可能的取值为：、、、，，，，.所以的分布列为：.②名数学成绩超过分同学包含个总成绩在分之间的，按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以.18.已知函数.（1）当时，求证：的图象关于点对称；（2）若，，证明：；（3）若，恒有，求实数的取值范围.（1）证明：当时，的定义域为.对任意，都有因为恒成立，所以的图象关于点对称；（2）证明：解法一：，当时，是递增函数，因此，，又，所以，在上递减，，因为，所以，从而；解法二：因为，所以，欲证，只需证明记，则因为，，，所以，所以，在上递减，因为，所以，从而；（3）解：解法一：因，恒有，所以即，所以.当时，因为，所以，记，则在上递减，在上递增，，所以综上所述的取值范围是.解法二：，，当时，，在上是减函数，当时，，因此fx=时，由得，记，，则有两个实根，一根小于1，一根大于1，大于1的根为，知它是关于的减函数，注意到在上是增函数，且，即时，，时，2x-1x-1>1a所以时，，递减，时，，递增，所以，时，，此时，记，在上递减，在上递增，且，因此，，即成立.当时，，fx0=ln当时，，，所以不恒成立.综上，时，恒成立所以的取值范围是.19.空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量.（1）若平面，，且，求实数的值；（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积；（3）记集合中所有点构成的几何体为.①求的体积的值；②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.解：（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量，所以，故.（2）不妨设，在平面内取一点，则向量，取平面的一个法向量，所以点到平面的距离为对于，当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分.由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体.法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离，则.所以内切球的表面积为；法2：考虑；即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，，此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积，设内切球的半径为，正八面体的表面积为，所以，解得：.所以内切球的表面积为；（3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的，其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、OB、两两垂直，且.集合所表示的几何图形也关于平面，，对称，其在第一卦限内的部分的图形如图（1），图1①如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果.图2所以所构成的几何体如图3所示.图3其中正方体记为集合所构成的区域.而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以，所以几何体的体积.②从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和.设其体积为.由正方体的性质可知面.因为，，所以其体积.所以几何体的体积.由题意可知：面方程为，所以其法向量，面方程为，其法向量.所以由图知两个相邻的面所成角为钝角.故相邻两个面所成角为.河南省南阳市2025届高三上学期期末数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，则，可得.所以.故选：B（改编自《数学》（必修第一册）第7页例4）2.已知集合，，则集合的真子集个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，所以，集合的真子集个数为.故选：A.3.直线交圆于、两点，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】联立解得：，，所以.故选：D.4.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为.的二项展开式的通项公式为.而，所以的系数为为.故选：C.5.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.6.已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为曲线上任意一点，可设，所以当时，最大.故选：C.7.已知函数，则（）A.当时，在区间上单调递增B.当时，的图象关于点对称C.若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为D.若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为【答案】D【解析】对于AB，当时，，当时，，函数在区间上单调递减，，的图象关于不对称，AB错误；对于C，的图象向左平移个单位长度，得，由图象与原图象重合，得，解得，的最小值为，C错误；对于D，当时，，由在区间上恰有两个极值点，三个零点，得，解得，因此实数的最大值为，D正确.故选：D.8.如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（）A.2 B.C. D.4【答案】B【解析】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，则，由，，所以，所以椭圆方程可化为，由，两式相减得，，则，根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.则，直线的方程为.将代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以双曲线方程可化为，由消去并化简得，设，解得，所以，所以.故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题中正确的是（）A.一组数据，，，，，，，，的分位数为B.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为C.在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为D.若随机变量，且，则【答案】CD【解析】对于A：该组数据已从小到大排序，又，故分位数为第位，即，故A错误；对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误；对于C：这名同学物理成绩的平均数为：，所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确；对于D：因为，且，所，所以，故D正确.故选：CD.10.小明在“数学建模活动”课中，取两个三角形模具，把它们的斜边靠在一起，如图所示，三角形模具绕着可以转动.其中斜边，，，则（）A.当A，B，C，D四点共面时，B.当A，B，C，D四点共面时，设与交于点，则C.当平面平面时，D.当A、B、C、D不共面时，四点A、B、C、D在同一球面上，且此球的体积为【答案】BCD【解析】由，，，可得，，.对于A：，由余弦定理得，错误；对于B：由，得即，解得，正确；对于C：过作于，则为的中点，连接.当面面时，面面，面，则面.而面，则，所以为直角三角形，，正确；对于D：取的中点，则，所以四点A、B、C、D在同一球面上，且球的半径为5，所以，正确.故选：BCD.11.已知函数，，下列说法正确的是（）A.函数存在唯一极值点，且B.令，则函数无零点C.若恒成立，则D.若，，则【答案】ABD【解析】对于A：，显然在上单调递增，又，，所以，使得，故A正确；对于B：由A得，，使得，即，，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以恒大于0；所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点.由，令，，，当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以，即，即在单调递增，又时，，所以，由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确；对于C：由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故错误；对于D：因为在单调递增，又，，则，所以，即，整理得，不等式两边同除以得，，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为_____.【答案】或0.6【解析】由分层抽样知，所抽取的这5人中有3男2女，所以恰有1个男队长的概率.故答案为：.13.已知等差数列的前项和为，若，且，，，四点共面（为该平面外一点），则_____.【答案】【解析】因为，所以.因为，，，四点共面，所以，即.所以.故答案为：.14.已知双曲线的方程为：，离心率为，过的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且.过点作的角平分线，在角平分线上的投影为点，则的取值范围为_____.【答案】【解析】，，即，∴两渐近线方程为，为右支上一点，.设，，分别令，可得，，又，，即，，∴双曲线方程为，故，，.延长交于点，如图，平分且，，又，，为的中点，，，易知，，，，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积．（2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为．解：（1）如图所示：连接BD，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因为，则，两式相减得，又，所以，所以.（2）如图所示：连接AC，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因为，则，两式相减得：，所以，而，因为，所以，所以，所以，则，，即.16.已知抛物线.（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若直线交抛物线于不同于原点的两点，，经研究，下面三个结论等价，请选择其中一个作为条件，证明其他两个成立.①；②直线过定点；③，.解：（1）法一：显然抛物线在处的切线的斜率存在，设其为，则切线方程为，与抛物线联立，得，即，只需，解得，所以切线方程为.法二：要求抛物线在处的切线，则由可得所以在处的切线的斜率，所以切线方程为.（2）因为直线交抛物线于，两点，所以可设直线由，消去可得，所以，，，，，由①②③：因为，所以，即，所以（舍去）.所以直线经过定点，即证②.所以，，即证③.由②①③：因为直线经过定点，则由上面可得，，即证③；所以，所以，即证①.由③①②：因为，，所以，所以，即证①.由上面可得，解得，所以直线经过定点，即证②.（改编自《数学》）（选择性必修第一册）第219页A组第6题）17.高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.（1）从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；（2）从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）解：（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，所以.即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为（2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，所以所有可能的取值为：、、、，，，，.所以的分布列为：.②名数学成绩超过分同学包含个总成绩在分之间的，按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以.18.已知函数.（1）当时，求证：的图象关于点对称；（2）若，，证明：；（3）若，恒有，求实数的取值范围.（1）证明：当时，的定义域为.对任意，都有因为恒成立，所以的图象关于点对称；（2）证明：解法一：，当时，是递增函数，因此，，又，所以，在上递减，，因为，所以，从而；解法二：因为，所以，欲证，只需证明记，则因为，，，所以，所以，在上递减，因为，所以，从而；（3）解：解法一：因，恒有，所以即，所以.当时，因为，所以，记，则在上递