2025届山西省晋城市高三上学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省晋城市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则的共轭复数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.已知集合且，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】在集合中且，有三个元素，所以，则的元素个数为3.故选：C.3.若向量,，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量,，且，则，即，解得.故选：A.4.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为甲，乙同时站两端的概率为，所以甲，乙不同时站两端的概率为.故选：B.5.若函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析∵，∴，由题意得，对恒成立，则对恒成立．∵函数在上为减函数，∴，∴，即的取值范围为．故选：D.6.已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，又，所以，根据题意作出的大致图象，如下图所示，等价于，或，由图可得.故选：D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意得，的离心率为，在中，由正弦定理可得，故选：B.8.设表示中最大的数.已知均为正数，则的最小值为（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】设.因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，则.因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，则.所以，则的最小值为3.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选耤的得0分.9.已知曲线，则（）A.曲线不可能是一个圆B.曲线可能为一条直线C.当且时，曲线的准线方程为D.当时，曲线关于直线对称【答案】BC【解析】取，得，即，A错误.取时，该方程为，B正确.当且时，，曲线的准线方程是，C正确.当时，该方程为，即，曲线关于直线对称，D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.与的最小正周期相等B.当时，C.与的图象在上有2个交点D.与在上的单调性相同【答案】ABD【解析】与的最小正周期均为，A正确；若，则，B正确；作出与在上的大致图象，如图所示.由图可知，与的图象在上只有1个交点，与在上均为增函数.C错误，D正确.故选：ABD.11.已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】CD【解析】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，则，则正棱锥的高，正棱锥的底面多边形的面积，所以正棱锥的体积，其中，令，可得.设函数，则.当时，单调递增；当时，单调递减.可知，则，解得.故选：CD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是__________.【答案】相交【解析】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离.所以直线与圆相交.故答案为：相交.13.已知一组数据的第60百分位数为2，其中，则这组数据的极差为__________.【答案】2或3【解析】因为，故第60百分位数为第5位数，当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为，当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为，当时，将数据从小到大排列为，第5位数为，不满足题意，故这组数据的极差为2或3.故答案为：2或3.14.如图，现有一个半球形容器（有盖），其表面积为平方分米，忽路容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为分米的球，则的最大值为__________.（结果精确到0.1）.【答案】或【解析】设半球形容器对应的半球的半径为分米，则该容器表面积为平方分米，得.根据对称性可知，当两个球外切且均与半球相切（与球面相切，且与容器盖所在平面相切）时，取得最大值，这也相当于求半径为10分米的四分之一个球的内切球，如图，由，得.故答案：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在四棱锥中，底面为矩形，且．（1）证明：平面底面．（2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为底面为矩形，所以，又，，平面，所以平面．因为底面，所以平面底面．（2）解：由（1）得，，又，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，，，，则，，设，因为，则，解得，所以，则．设平面的一个法向量为，则由，得，令，得．因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．16.设函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解：（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为；（2）的定义域为，当时，，令，则，当时，，上单调递减，当时，，在上单调递增，且，当时，，则，此时，在上单调递增.当时，令，得.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.17.甲、乙、丙人进行跳棋比赛，人两两各进行局，共进行局，赢的局数多者获胜，且这人只有人可获胜，若没有获胜者，则这人两两再各进行局，若还没有获胜者，则比赛结束.假设甲、乙、丙每人每局赢的概率均为，每局是平局的概率均为，每人每局的结果相互独立.设每赢局得分，平局得分，输局得分.（1）求该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率；（2）已知前局中甲、乙、丙各赢局，这人两两再各进行局，记甲在这局中获得的总分为，求的分布列与数学期望.解：（1）依题意可得乙和丙不可能都得分或分，则乙和丙可能都得分或分，当乙和丙都得分时，这局均为平局或这局每人各赢局；当乙和丙都得分时，乙与丙都赢了甲且乙与丙的对局结果为平局.所以该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率为.（2）依题意可得的可能取值为，则，，，，，则的分布列为：65432故.18.若数列是等差数列，则称与互为和等差数列.已知为数列的前项和.（1）若，试问与是否互为和等差数列？说明你的理由.（2）设为等比数列，，且与互为和等差数列.①求的通项公式；②设，求数列的前项和.解：（1）当时，，满足上式，因此，而，则，，所以与互为和等差数列.（2）①数列中，，由，得，当时，，即，则，又，因此数列是首项为，公比为2的等比数列，，即，由与互为和等差数列，得数列为等差数列，又为等比数列，所以的通项公式为.②，所以.19.已知椭圆的离心率为，过定点的直线与交于两点，直线的斜率不为0.（1）求的长轴长.（2）若，证明：直线的斜率之和为定值.（3）若，设直线分别交于都异于两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标.（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，可得，因为，故，所以的长轴长为.（2）证明：设直线.联立得，则，得，，设直线的斜率分别为，则，所以直线的斜率之和为定值0.（3）解：设且且，则且得，将代入得，与联立，解得，同理可得，又直线过点，则，代入并化简可得.设直线过定点，则，代入数据并化简可得，对比系数可得，解得，则直线过定点.山西省晋城市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则的共轭复数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.已知集合且，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】在集合中且，有三个元素，所以，则的元素个数为3.故选：C.3.若向量,，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量,，且，则，即，解得.故选：A.4.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为甲，乙同时站两端的概率为，所以甲，乙不同时站两端的概率为.故选：B.5.若函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析∵，∴，由题意得，对恒成立，则对恒成立．∵函数在上为减函数，∴，∴，即的取值范围为．故选：D.6.已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，又，所以，根据题意作出的大致图象，如下图所示，等价于，或，由图可得.故选：D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意得，的离心率为，在中，由正弦定理可得，故选：B.8.设表示中最大的数.已知均为正数，则的最小值为（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】设.因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，则.因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，则.所以，则的最小值为3.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选耤的得0分.9.已知曲线，则（）A.曲线不可能是一个圆B.曲线可能为一条直线C.当且时，曲线的准线方程为D.当时，曲线关于直线对称【答案】BC【解析】取，得，即，A错误.取时，该方程为，B正确.当且时，，曲线的准线方程是，C正确.当时，该方程为，即，曲线关于直线对称，D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.与的最小正周期相等B.当时，C.与的图象在上有2个交点D.与在上的单调性相同【答案】ABD【解析】与的最小正周期均为，A正确；若，则，B正确；作出与在上的大致图象，如图所示.由图可知，与的图象在上只有1个交点，与在上均为增函数.C错误，D正确.故选：ABD.11.已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】CD【解析】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，则，则正棱锥的高，正棱锥的底面多边形的面积，所以正棱锥的体积，其中，令，可得.设函数，则.当时，单调递增；当时，单调递减.可知，则，解得.故选：CD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是__________.【答案】相交【解析】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离.所以直线与圆相交.故答案为：相交.13.已知一组数据的第60百分位数为2，其中，则这组数据的极差为__________.【答案】2或3【解析】因为，故第60百分位数为第5位数，当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为，当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为，当时，将数据从小到大排列为，第5位数为，不满足题意，故这组数据的极差为2或3.故答案为：2或3.14.如图，现有一个半球形容器（有盖），其表面积为平方分米，忽路容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为分米的球，则的最大值为__________.（结果精确到0.1）.【答案】或【解析】设半球形容器对应的半球的半径为分米，则该容器表面积为平方分米，得.根据对称性可知，当两个球外切且均与半球相切（与球面相切，且与容器盖所在平面相切）时，取得最大值，这也相当于求半径为10分米的四分之一个球的内切球，如图，由，得.故答案：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在四棱锥中，底面为矩形，且．（1）证明：平面底面．（2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为底面为矩形，所以，又，，平面，所以平面．因为底面，所以平面底面．（2）解：由（1）得，，又，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，，，，则，，设，因为，则，解得，所以，则．设平面的一个法向量为，则由，得，令，得．因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．16.设函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解：（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为；（2）的定义域为，当时，，令，则，当时，，上单调递减，当时，，在上单调递增，且，当时，，则，此时，在上单调递增.当时，令，得.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.17.甲、乙、丙人进行跳棋比赛，人两两各进行局，共进行局，赢的局数多者获胜，且这人只有人可获胜，若没有获胜者，则这人两两再各进行局，若还没有获胜者，则比赛结束.假设甲、乙、丙每人每局赢的概率均为，每局是平局的概率均为，每人每局的结果相互独立.设每赢局得分，平局得分，输局得分.（1）求该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率；（2）已知前局中甲、乙、丙各赢局，这人两两再各进行局，记甲在这局中获得的总分为，求的分布列与数学期望.解：（1）依