湖北省部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

湖北省部分学校学年高二下学期开学考试数学试题第I卷（选择题）一、单选题.1.若（i（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据模长公式即可求解.【详解】由可得，故，故选：C2.已知直线的方向向量的方向向量且的值是（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据向量模长运算可求得，根据向量垂直关系可求得，进而得到结果.【详解】，或，当时，，，解得：，；当时，，，解得：，；综上所述：的值为或.故选：D.3.“”是“直线：与直线：平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件第1页/共21页C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先代入参数值判断直线平行证明充分性，利用直线平行求解参数值证明必要性即可.【详解】对于充分性：当时，直线为，直线为，此时和显然斜率相同，截距不同，则此时与平行，故充分性成立，对于必要性：若和平行，则有且，解得，故必要性成立，综上，是直线与直线平行的充要条件，故C正确.故选：C4.已知，且，则下列等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，所以，C正确；对于D，，D错误.故选：C第2页/共21页5.已知直线为圆是（）A.的最大值为5B.的最小值为C.直线与圆相切时，D.圆心到直线的距离最大为4【答案】C【解析】ABC，根据点到直线的距离得公式即可求出值；对D，根据点到直线的距离再对分类讨论即可.【详解】对A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，是圆上的点，所以的最大值为，A选项错误.对B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，根据对称性知的最小值为，B选项不正确；对C，直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确；对D，圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D选项错误.第3页/共21页故选：C6.的大小为AB分别在半平面，内，于点C，于点D，，．则（）A.B.6C.D.【答案】C【解析】【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果.【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，，所以为二面角的平面角.易知平面，而四边形矩形，所以，故平面，因而，，；解法二：由，，第4页/共21页得，，．因为，所以，则，解得，．故选：C.7.若数列满足，且，则（）A.B.CD.【答案】A【解析】可得可得数列是首项和公比为数列的前项和求解即可.【详解】令，，令，则，所以，所以数列是首项和公比为的等比数列，所以.故选：A.8.若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第5页/共21页【分析】根据题意得到两圆位置关系，从而得到不等式，解出即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交，则有，即，解得，又，所以.故选：C.二、多选题9.已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.【详解】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称，对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为，故选项A符合题意；对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项B符合题意；对C：由对称性可得，选项C不符合题意；第6页/共21页对D：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项D符合题意.故选：ABD.10.已知数列满足，，，则（）A.121是数列中的项B.C.是等比数列D.存在，【答案】ABC【解析】【分析】由递推关系式可知，通过构造等比数列可求得数列的通项公式为，即可计算并判断出ABC正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的，，可得D错误.【详解】由可得，，又，所以是首项为，公比为3的等比数列，即C正确；所以，由等比数列通项公式可得，即；当时，，所以121是数列中的第五项，即A正确；由可得，；即B正确；易知，当时，，第7页/共21页所以，当时，；当时，，即对于任意的，，所以不存在，，即D错误.故选：ABC如图，在棱长为2的正方体中，点O为BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则点P的轨迹长度为C.若，，则D.若，，直线OP与平面所成的角为，则【答案】ACD【解析】【分析】建系，对于A，由向量的数量积为0即可判断，对于B，由，及即可判断，对于CP到平面D，通过换元，结合对勾函数的单调性即可求解；第8页/共21页【详解】解析：连接，，DP，BP，，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，则，故，对于A，，，若，则，所以，故A正确；对于B，若，，则，因为，所以，所以点P的轨迹长度为1，故B不正确；对于C，若，，则，，，，设平面的法向量为，则，故可设，所以点P到平面的距离，在中，，则，所以，故C正确；对于D，若，时，，，则第9页/共21页，设，，则，，，则，由于函数在上单调递减，在上单调递增，，，，所以，所以，，，，，所以，所以，所以，故D正确．故选：ACD第10页/共21页【点睛】关键点点睛：D选项，通过换元得到.第卷（非选择题）三、填空题12.已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】由题意得出，其中，结合离心率公式即可得解.【详解】设渐近线的倾斜角为，则，即，所以，离心率.故答案为：.13.设是等差数列的前项和，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】根据题意结合等差数列求和公式可得，结合题意解得，即可得通项公式.第11页/共21页【详解】设数列的公差为，则，可得.因为数列是公差为1的等差数列，则，解得，所以.故答案为：.14.设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________.【答案】1【解析】【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可.【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，所以曲线上的点到直线的最小距离为，设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，，解得，所以，得到切点，点到直线即的距离，解得或3.当时，过点和，过点和，又，，所以与相交，不符合题意；当时，令，则，当时，，第12页/共21页当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即恒成立，所以与不相交，符合题意.综上，.故答案为：1.【点睛】关键点点睛：与关于直线PQ在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小.四、解答题15.某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表：月收入（单位：百元）赞成定价者人数224534认为价格偏高者489621人数（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入；（2）根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？人均月收入对地铁定价的态度合计不低于55百元的人数低于55百元的人数认为价格偏高者第13页/共21页赞成定价者合计附：，其中．参考数据0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1百元.（2）列联表见解析；不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.【解析】1）先分别求出赞成定价者总人数和认为价格偏高者总人数，再依据平均数定义直接计算即可得解.（2）根据题目表格所给数据即可填写列联表；根据独立性检验的思想方法计算，再与临界值比较即可得解.【小问1详解】由题意可知赞成定价者总人数为人，认为价格偏高者总人数为人，所以“赞成定价者”的月平均收入为“认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）.【小问2详解】由题补全列联表如下：人均月收入对地铁定价的态度合计不低于55百元的人数低于55百元的人数认为价格偏高者32730第14页/共21页赞成定价者71320合计104050设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，由列联表表格数据得，所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，所以依据小概率值的独立性检验不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.16.已知函数，且.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.【答案】（1）（2）极小值为，极大值为【解析】1）首先根据求，再根据导数的几何意义求切线方程；（2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值.【小问1详解】由题设，则；，则，所以点处的切线方程为，即；【小问2详解】由（1），由，有或，由，有，第15页/共21页故在区间上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，极大值为.17.设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.（1）求取到次品的概率；（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】（1）（2）甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：【解析】1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【小问1详解】记事件表示车间生产产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，则,，取到次品的概率为【小问2详解】若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：第16页/共21页此次品由乙车间生产的概率为：此次品由丙车间生产的概率为：18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.【答案】（1）（2）、（3）【解析】1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；（3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，则，所以，，，故当时，曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】解：当时，，该函数的定义域为，第17页/共21页，由，即，解得或，因此，当时，函数的单调递增区间为、.【小问3详解】解：因为，则，令，因为函数在上有且只有一个极值点，则函数在上有一个异号零点，当时，对任意的，，不合乎题意；当时，函数在上单调递增，因为，只需，合乎题意；当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，只需，不合乎题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.19.已知函数．（1）若，求的极值；（2）若对任意，都成立，求实数m的取值范围；（3）若有两个极值点，，且，求证：．【答案】（1）的极小值为（2）的取值范围为,（3）证明见解析【解析】第18页/共21页1）求导，确定函数的单调性，结合函数极值的概念求解极值即可；（2）将原不等式进行参变分离转换为对任意，恒成立，从而求解函数的最大值，对函数求导确定单调性求最值即可得实数m的取值范围；（3）根据函数有两个极值点，，数形结合确定实数m的取值范围，再根据m与，行求导单调性判断，结合函数单调性的性质从而证明结论.小问1详解】当时，代入得；，令，解得，则：当时，；当时，．即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取极小值．故的