2025年人教版七年级数学寒假提升讲义：相交线（知识串讲+考点+过关检测）（解析版）

第01讲相交线

-•模块导航A素养目标*

模块一思维导图串知识1.理解相交线的相关概念；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.利用邻补角，对顶角的性质进行计算;

模块三核心考点举一反三3.识别三线八角.

模块四小试牛刀过关测

6模块一思维导图串知识-

同一平面内-----------

位置关系I-------------------卜相交或平行

—■不重合-----------

对顶角无公共边-----------

两线四角------------------------Y有公共顶点

-----------轴卜角有共边-----------

定义相交成90°

过一点与已知直线垂直在同一平面内有且只有一条

痼|-------------------------------------------------------

-------------1点到直线的线段垂线段最短

同位角"F"形

三线八角内错角"Z"字形

同旁内角"U"字形

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、相交线

直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.

1.垂线

定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做

另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

示例：如图所示，直线AB,CD互相重直，记作：“ABLCD"（或“CDLAB”），读作“AB垂直于CD”（或

“CD垂直于AB"）.如果垂是是0,记作“ABLCD,乘足为0”.

c

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【注意】

1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.

2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.

垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO，m,垂足为0,称P0为点P到直线m的垂线段.

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P

与直线m上的各点连线中，线段P0最短.

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

【注意】

1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误;

2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.

二、相交线中的角

1.对顶角与邻补角

种类图形顶点边的关系大小关系

对顶角有公共一个角的两边分别是另一角的Z>Z2,Z3=Z4

顶点两边的反向延长线

邻补角'X有公共两个角有一条公共边，且它们Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

顶点的另一边互为反向延长线.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【补充说明】

1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线.

2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角.

2.同位角、内错角、同旁内角

角的名称位置特征基本图形图形结构特征

同位角在截线的同侧，在被截两形如字母“F”

条直线同侧

内错角在截线的两侧，且夹在两形如字母“Z”

条被截直线之间

同旁内角在截线的同侧，在被截两形如字母“U”

条直线之间4

【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同

位角，2对内错角，2对同旁内角.

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：相交线的相关概念

1.（23-24七年级下•湖南郴州•期末）下列说法不正确的是（）

A.两点之间，线段最短

B.两条直线相交，只有一个交点

C.两直线平行，同旁内角相等

D.过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短

【答案】C

【分析】本题考查线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.根据

线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识一一判断即可.

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，故本选项不符合题意；

B、两条直线相交，只有一个交点，正确，故本选项不符合题意；

C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项符合题意；

D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短，正确，故本选项不符合题意；

故选：C.

2.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，己知。Nia,OMla,所以。M与。N在同一条直线上的理由是

M

N

A.两点确定一条直线

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C.过一点只能作一条垂线

D.垂线段最短

【答案】B

【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键.利用同一平面

内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可.

【详解】解：因为ONla,OMIa,

所以直线。N与。M重合，

其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，

故选:B.

3.（23-24七年级下•广东东莞•期中）如图，N1与42是对顶角的为（）

【答案】C

【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两

个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可.

本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义.

【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项c是对顶角，其它都不是.

故选C.

4.（2024七年级上•全国•专题练习）下列说法正确的有（）

①对顶角相等；

②互补的两个角是邻补角；

③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；

④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键.

根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可.

【详解】解:①对顶角相等，说法正确；

②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误；

③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确；

④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误；

故选:B.

5.（22-23七年级下•广西南宁•期中）下列各图中，N1与42互为邻补角的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了对顶角.根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个

角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案.

【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一

个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的N1与/2不互为邻补角；

根据对顶角的定义即可判断D选项中，N1与N2互为邻补角.

故选：D.

考点二：指出现实问题后的数学依据

6.（24-25九年级上•贵州贵阳•期中）如图，A,B,C,。四点在直线2上，点M在直线的卜，MCI/,若

MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,则点M到直线1的距离是（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合

条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质.

【详解】如图所示:

・••直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC11,

二点M到直线/的距离是垂线段MC的长度，为2cm,

故选：A.

7.（24-25七年级上,黑龙江哈尔滨•期中）如图，欲在河岸4B上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处,

可在图中画出CP垂直4B,垂足为尸，然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据

是：•

C

Z从3

【答案】垂线段最短

【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案.

【详解】解：解：已知在河岸4B上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线

的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短，

故答案为：垂线段最短

8.（22-23七年级下•新疆博尔塔拉•期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是

线段2N的长度，这样测量的依据是.

【答案】垂线段最短

【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键.

【详解】解：测量的依据是垂线段最短，

故答案为：垂线段最短.

9.（22-23七年级下•北京西城•期末）如图，在三角形ABC中，NC=90。，点B到直线4c的距离是线段

的长，的依据是

A

C0-----------------

【答案】BC垂线段最短

【分析】根据点到直线的距离的定义即可说明8到直线4c的距离是线段是BC；在根据两点之间垂线段最短

即可证明8C<84

【详解】•：a=90。，

AC1BC,

•••点B到直线ac的距离是线段为BC；

•••两点之间垂线段最短，

BC<BA,

故答案为：BC,垂线段最短.

【点睛】本题考查了点到直线的距离定义及两点之间垂线段最短，熟记知识点是解题的关键.

10.（23-24七年级下•北京・期末）如图，若ABIE,BC11,B为垂足，那么4B,C三点在同一直线上，其

理由是.

1B

【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答

案.

【详解】解：,MB1Z,BCLl,B为垂足，

.•.4B,C三点在同一直线上，

理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

考点三：画垂线

11.（24-25七年级上•全国•课后作业）利用网格画图：

⑴过点C画4B的垂线，垂足为E；

（2）线段CE的长度是点C到直线的距离;

(3)连接C4CB,在线段C4,CB,CE中，线段最短.

【答案】⑴见详解

(2)AB

⑶CE

【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性.

(1)根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与4B垂直的格点；

(2)根据点到直线的距离概念回答；

(3)根据垂线段最短直接回答即可.

(2)解：线段CE的长度是点C到直线AB的距离，

故答案为：AB；

(3)解：连接C4CB,在线段C4,CB,CE中，线段CE最短,

故答案为：CE.

12.(22-23七年级下•辽宁沈阳•阶段练习)如图，点P是乙4。8的边08上的一点.

⑴过点P画。B的垂线，交04于点C；

⑵过点P画。a的垂线段，垂足为“；

⑶点P到直线。4的距离为，线段的长度是点C到直线。B的距离;

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)PH,PC

【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成

为解题的关键.

（1）如图取格点。，连接PD交。4于点C,直线PD即为所求；

（2）直接根据方格作图即可；

（2）根据点到直线距离解答即可.

【详解】（1）解：如图：直线P0即为所求；

（2）解：如图：线段PH即为所求.

（3）解：点P到直线。4的距离为PH,线段PC的长度是点C到直线。8的距离.

故答案为：PH,PC.

13.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，己知锐角NAOB,画射线0C1Q4,射线。D10B,并直接写出

N40B与NC。。的关系.

备用图符用图备用图

【答案】画图见解析；乙40B=NC。。或N力。B+NC。。=180°

【分析】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论.

分。C、。。在边。4的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解.

【详解】解：画图如图①~④.Z.XOB=^COD^AOB+^COD=180°.

理由如下：如图1,

■.■OC1OA,OD1OB,

・・・44。8+28。。=90。，△。。。+48。。=90。，

・••乙4。8=乙COD；

如图2,・・・OC1C4ODLOB,

・・・44。。=48。。=90。，

：.Z-AOB+乙BOC=^AOB+乙AOD=90°,

・・・/4。8+乙BOC+^LAOB+Z.AOD=180°,

又MBOC+/-AOB+Z,AOC=乙COD,

・・・乙4。8+4。。。=180。；

如图3,Z-AOB+乙COD=360°-Z.AOC-乙BOD=360°—90°-90°=180°；

：,/.AOB+/.AOD=90°,4COD+乙AOD=90。,

：.Z.AOB=乙COD；

综上所述，^AOB=^COD^AOB+Z.COD=180°.

考点四：判断已知图形中邻补角的个数

14.（23-24七年级上•全国・单元测试）如图，直线AB与CD相交于点0,OE是以。为顶点的一条射线,

图中的对顶角和邻补角各有（）

A.1对、3对B.2对、4对C.2对、6对D.3对、8对

【答案】C

【分析】本题考查了邻补角与对顶角的定义，根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解.掌

握定义是解题的关键.

【详解】解：图中对顶角有：乙40。与NBOC,NH0C与NB0D,共2对，

邻补角有：N20D与4aoC,/.AOD^^BOD,^AOE^ABOE,乙COE与乙COE,NB0C与NAOC,4B0C与

乙BOD,共6对，

故选：C.

15.（23-24七年级下•天津河北•期中）如图，直线4B,CD,EF相交于点。.则N40D的邻补角是（）

A.4B。。和NA。。B.NBOE和ZJ1。尸

C.4。。尸和NCOFD.乙BOC

【答案】A

【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两

个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键.

【详解】解：根据邻补角的定义可知，N20D的邻补角是AB0D和“0C,

故选：A.

16.（22-23八年级上•黑龙江哈尔滨倜测）如图，点。是直线4B上一点，自点。引射线。C、0D、0E、

0F,图中共有对邻补角.

【答案】4

【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接

解答.

【详解】解：根据图形可知，

Z/4OC+ZBOC=180°,AAOD+/LBOD=180°,^AOE+^BOE=180°,Z40F+zBOF=180°,

故答案为4.

17.（22-23七年级下•河北沧州•阶段练习）如图，直线力B、CD相交于点O,乙AOF=^DOE.

（1）图中的对顶角有对；

（2）NCOB的邻补角是；

（3）如果乙4。。=70。，Z.EOD=32°,那么NBOE=.

【答案】2NCCM、乙BOD38。/38度

【分析】根据对顶角的定义及性质、邻补角的定义及性质分析解答即可.

【详解】解：（1）图中的对顶角有乙4。。和NB。。；N4。。和48。。；共2对，

故答案为：2；

（2）NCOB的邻补角是NCOA、乙BOD,

故答案为：“。4、4BOD；

（3）•"。。=70。，

.-.^BOD=/LAOC=70°,

ME0D=32°,

."BOE=乙BOD-Z.EOD=38°,

故答案为：38°.

【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质、邻补角的定义，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.

考点五：交叉图形中的角度计算

18.（24-25七年级上•吉林长春•阶段练习）如图，直线4B,CD相交于点。,04平分NEOC.

⑴若NEOC=70。，求N80D的度数；

（2）若NEOC:NEOD=2:3,求NBOE的度数.

【答案】⑴35。

⑵144°

【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义.

(1)由角平分线的定义可求出乙4OC=3NEOC=35。，再根据对顶角相等即可求解；

(2)设NE0C=2x,则NE0D=3x,根据NEOC+NEOD=180。，可列出关于x的方程，解出x的值，即可

求出NEOC的大小，进而可求出NBOE的大小.

【详解】(1)解：:oa平分NEOC,

11

•­•Z.AOC="EOC=楙x70。=35°,

.••乙8。。=乙4。。=35。；

(2)解：■.■/.EOC-.Z.EOD=2:3,

设NEOC=2x,贝UNEOD=3X,

根据题意得2%+3%=180°,

解得：%=36°,

•••zEOC=2x=72°,贝I|NEO4=36°,

:.乙BOE=180°-36°=144°.

19.(24-25七年级上•吉林长春,阶段练习)如图，直线力B,CD相交于点。,0M14B.

(2)若求NB。。和的度数.

【答案】(1)/4。。，4BOD

(2)44。。=120°,ABOD=60°.

【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一

要点.

(1)由垂线的性质求得乙40M=/80M=90。，然后根据等量代换及余角的定义解答；

1

(2)根据垂直的定义求得乙4OM=/BOM=90。，再由41=2/BOC求得NBOC=120。，然后根据邻补角定

义和对顶角的性质即可求解.

【详解】(1)解：••OMLAB,Z1=Z2,

zl+^AOC=z2+Z,AOC=90°,BRzCO/V=90°,

vZ-AOC=乙BOD,

的余角有：AAOC,乙BOD；

故答案为：N40C,乙BOD；

(2)解：V0M1AB,

•••ZXOM=乙BOM=90°,

Z1=^BOC,^BOC=/L.BOM+Z.1,

.­.Zl=1zBOM=30°,

•••Z.BOC=/.AOD=120°,

:/BOD=180°-LBOC=60°.

20.(23-24七年级上•吉林四平・期末)如图，射线04的方向是北偏东20。，射线。B的方向是北偏西35。、射

线。。是OB的反向延长线，且射线04平分NBOC.解答下列各题：

(1)射线OC的方向是；

⑵求NCOD的度数；

(3)若射线OE的方向是东南方向，请直接写出“0£的度数.

【答案】⑴北偏东75。

⑵乙COD=70°

(3)zC0F=60°

【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)先求出/力。8=55。，再求得NNOC的度数，即可确定。C的方向；

(2)根据44OB=55。，AAOC=AAOB,得出ABOC=110°,进而求出NCOD的度数；

(3)根据2400=55。,/.AOC=/.AOB,射线OE平分即可求出ZC。。=35。再利用乙4OC=55。求出

答案即可.

【详解】(1)解：如图：

••,射线。4的方向是北偏东20。，射线。B的方向是北偏西35。

：.^AOB=200+35°=55°,

,射线。4平分NBOC

：.AOC=/-AOB=55°

"NOC=20°+55°=75°,即射线。C的方向是北偏东75。；

（2）解：-Z.AOB=55°,Z.AOC=/-AOB,

.-.ZBOC=110°,

：.Z.COD=180°-4BOC=180°-2乙AOB=70°；

（3）解：,••射线OE的方向是东南方向，

•••乙MOE=45°,

Z.NOC=75°,

."COM=90°-75°=15°,

."COE=15°+45°=60°.

21.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，。是直线ZB上一点，过点。作。C、OD、0E三条射线，。。平

(2)若NCOE=3乙40C,求NBOE的度数；

⑶在(2)的条件下，若过点。作射线。F使得NEOF=90。，求乙40F的度数.

【答案】(1)30°；

(2)NBOE的度数为20。；

⑶N40F的度数为70。或110。.

【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找

到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键.

(1)由条件。。平分N40C可得乙4。。=30。，再由条件乙4。£=48。£＞可得乙4。。=/8。£通过等量代换即

可得到NBOE的度数；

(2)由条件NCOE=3乙40C,并结合(1)的结论N40D=NB0E,可得NCOE=6/BOE,再利用乙40B为平

角找出等量关系列出等式，即可求解ABOE的度数；

(3)分射线OF在NCOE的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算NBOF的度数，再根据

N40F与NBOF互补的关系即可得解.

【详解】(1):。。平分N40C,

•••^LAOD=^AOC=30°.

•・•LAOE=^AOD+（DOE,

Z.AOD=Z.AOE—乙DOE

同理,乙BOE=iBOD—乙DOE,

vZ-AOE=乙BOD,

•••^BOE=zAOD=30°.

(2)由题可知，^BOE=^AOD=^AOC,

•••Z-AOC=2/.B0E.

乙COE=3乙40C,

•••乙COE=6乙BOE,

由题可知乙40B为平角，

•••Z.AOC+乙COE+乙BOE=180°,

即2NBOE+64BOE+ABOE=180°,

NBOE=20。，

."OE的度数为20°.

(3)当。F在NCOE内部时，如图①，

贝此BOF=乙EOF+乙BOE=90°+20°=110.

•••^AOF=180°-4BOF=180°-110°=70°；

当OF在NCOE外部时，如图②，

贝！9=乙EOF-Z.BOE=90°-20°=70°,

•­•Z.AOF=180°-4BOF=180°-70°=110°.

综上所述，N40F的度数为70。或110。.

22.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，直线ZB、CD交于点0,OE、。尸分另!］在48。。、乙40。内部，且

。。平分NBOF.

F

(1)“OC的对顶角是:

(2)若NBOF=40。，ZCOF=100°,则NBOE的度数为；

(3)若OB平分/EOF,^AOC:AAOF=1:3,求NCOE的度数；

(4)若NAOE=/EOF,NBOE=60。，判断。B是否平分NEOF,并说明理由.

【答案】⑴N8。。

(2)60°

(3)72°

⑷OB平分NEOF,理由见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，

熟练掌握角平分线的定义.

(1)根据对顶角的定义即可解答；

(2)根据角平分线的定义得出/8。。=乙/。。=180尸="40。=20。，再根据

LCOE+^BOE+^BOD=180°,求出结果即可；

(3)由乙4。。“。F=1:3,得到〃OF=3NBOD,根据角平分线的定义得出NDOF=NB。。，根据

AAOC+AAOF+^FOD=180°,求出NBOD=36。，I艮据角平分线的定义得出NBOE=NBOF=72。，|艮据

ACOE+Z.EOB+ABOD=180°,求出结果即可；

(4)由NBOE=60。，利用平角的定义得到N力。E=120。，再根据NAOE=/EOF,求出/EOF=120。，结合

NBOE=60。得出结论.

【详解】(1)解：根据题意：乙4OC的对顶角是NB。。；

⑵解：OD平分4BOF,

•••^BOD=^BOF=20°,

•••乙BOE=180°-4BOD-乙COE=180°-20°-100°=60°；

(3)解：2OC与NB。。为对顶角，

•••Z-AOC=Z.BOD,

・•・ABOD.^AOF=^AOC:AAOF=1:3,^Z,AOF=3Z.BOD.

•・•。。平分48。9，

•••乙DOF=LBOD,

・••/-AOF+乙DOF+乙BOD=3乙BOD+Z.BOD+乙BOD=180°,

・•・(BOD=36。,

・•・/LAOC=/LBOD=36°,乙BOF=2乙BOD=72°.

又•・,OB平分"OF,

・♦・乙BOE=CBOF=72。，

・♦・乙COE=180°-AAOC-乙BOE=180°-36°-72°=72°；

(4)解：OB平分NE。尸，理由如下：

•・•4BOE=60。,

乙40E=120。.

Z-AOE=乙EOF,

・・・NE。尸=120。,

••・^BOF=/.EOF-/.BOE=120°-60°=60°,

•••（BOE=Z-BOF,

・•・。8平分4EOF.

23.（23-24七年级上•贵州黔东南•期末）已知：点。为直线48上一点，过点。作射线。C,ZBOC=110°.

(2)如图2,过点。作射线0D,使NCOD=90。，作乙40C的平分线。M,求NM0D的度数；

⑶如图3,在(2)的条件下，作射线OP,^^BOP^AAOM^,求NCOP的度数.

【答案】⑴70。

(2)55°

(3)55。或165°

【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线0P的位置分类讨论是解题关键.

(1)根据平角的定义计算求值即可；

(2)根据余角的定义可得乙4。。，根据角平分线的定义可得Z40M,再计算角度和即可；

(3)由余角的定义可得NBOP=55。，分射线OP在乙BOC内部、射线。P在NBOC外部两种情况，分别计算角

的差、和即可.

【详解】(1)解：■.-^BOC=110°

.-.AAOC=180°-乙BOC=70°；

(2)解：由(1)得乙40C=70。，

"0D=90°,

;ZAOD=乙COD-Z.AOC=20°,

••・0M是N20C的平分线，

••.Z40M=1ZT10C=|X70°=35°,

••/MOD=AAOM+AAOD=35°+20°=55°；

(3)解：由(2)得乙1OM=35。,

,*OP与〃。M互余，

.­.ZBOP+Z40M=90°,

.•/BOP=90°-^AOM=90°-35°=55°,

①当射线。P在ABOC内部时，如图,

乙COP=Z.BOC-/.BOP=110°-55°=55°

②当射线OP在乙BOC外部时，如图,

4cop=乙BOC+乙BOP=110°+55°=165°.

综上所述，NCOP的度数为55。或165。.

考点六：三线八角的识别

24.（23-24七年级下•甘肃陇南,阶段练习）如图，BF,DE相交于点，，BG交BF于点8,交47于点C.

（1）指出DE,BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角；

（2）指出DE,8C被4C所截形成的内错角；

（3）指出FB,8C被AC所截形成的同旁内角.

【答案】⑴同位角：NFAE和48；内错角：AB和ND2B；同旁内角：NE4B和N&

（2）NE4C和N8C4,N£MC和42CG；

（3）/84。和N8C4,4FAC和N4CG.

【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义：

（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的

同旁，则这样一对角叫做同位角.两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，

并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.两条直线被第三条直线所截形成的角中，

若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解

即可；

（2）根据内错角的定义求解即可；

（3）根据同旁内角的定义求解即可.

【详解】（1）解：同位角：NFZE和48；内错角：4B和乙D4B；同旁内角：4EAB和48；

（2）解:AEAC^BCA,NZMC和乙1CG都是内错角;

（3）解：ABAC和NBC4NF4C和NACG都是同旁内角.

25.（23-24七年级上•全国•单元测试）找出图中与Z1是同位角、内错角、同旁内角的所有角.

【答案】N1的同位角：乙GDF,4GEF,乙FBC,4FCH；41的内错角：^MDA,乙NED,^ABP,Z.ACQ,Z1

的同旁内角：/-ADF,/.AEF,/.ABF,乙4co

【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成"尸'形，内错角的边构成"Z"形，同旁内角

的边构成"U"形.

根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截

线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.

内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）

的两旁，则这样一对角叫做内错角.

同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截

线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可.

【详解】解：N1是同位角：乙GDF,乙GEF,Z-FBC,4FCH；

41的内错角：Z.MDA,乙NED,Z.ABP,/ACQ；

N1的同旁内角：/-ADF,4DEF,/.ABF,/.ACD.

26.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，指出图中直线AC,BC被直线DE所截形成的同位角、内错角、

同旁内角.（仅指用数字标出的角）

【答案】见解析

【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，

被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直

线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角

称为同旁内角；由此即可得出答案.

【详解】解：由图可得：

同位角：N1与Z2,N4与46；

内错角：41与43,N4与45；

同旁内角：N3与“，41与45.

27.(21-22七年级下•河北石家庄•阶段练习)如图，AB,AC射线与直线EF分别相交于点〃，G.按要求完

成下列各小题.

⑴图中共有一对对顶角，一对内错角；

⑵①乙4的同旁内角是二

②NEGC和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？

⑶过点G画射线4B的垂线，交A8于点M,并指出哪条线段的长度表示点G至必8的距离.

【答案】⑴4；4

(2)①N4GF,^AHE-②NEGC和NEHB是直线AC,4B被直线EF所截形成；同位角

⑶图见解析，GM

【分析】(1)根据对顶角和内错角的定义进行判断即可；

(2)①根据同旁内角的定义，进行判断即可；②根据三线八角的关系，进行判断即可；

(3)根据题意画出垂线即可，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论.

【详解】(1)解：由图可知：41和42,43和N4,45和46,N7和48是对顶角，共4对；/2和N5,44和

N7,N1和49,48和N9是内错角，共4对；

故答案为：4；4

(2)①由图可知：”的同旁内角是〃GF,UHE；

故答案为：N力GF,AAHE；

②NEGC和是直线力C/B被直线EF所截形成的同位角；

(3)如图；

由图可知：线段GM的长即为点G至!MB的距离.

【点睛】本题考查三线八角，对顶角，点到直线的距离.熟练掌握相关定义是解题的关键.

28.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点

角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从41跳到终点位置N6的路

径如下：

路径1:41玲内错角47f同旁内角46；

路径2:N1f同旁内角N13-内错角410玲同位角48f同旁内角N5f同旁内角N6.

⑴写出任意一条从起始位置N1好终点位置N3的路径；

（2）从起始位置N1依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置42?并写出路径.

【答案】（1）41玲同旁内角413玲同位角43（答案不唯一）；

（2）能，N13内错角N43同位角N7好同旁内角N2（答案不唯一）；

【分析】本题考查内错角，同位角，同旁内角的判断：

（1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案；

（2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案；

【详解】（1）解：由题意可得，

N1f同旁内角N136同位角43（答案不唯一）；

（2）解：能，理由如下，

由题意可得，

N1玲内错角乙4玲同位角N7好同旁内角42（答案不唯一）.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

1.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，直线AB、CD相交于点0,AEOD=90°.下列说法不正确的是

E

A.Z.AOD=Z-BOCB.Z-AOC=Z-AOE

C.^AOE+/LBOD=90°D.^AOD+^BOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了对顶角的性质，平角的定义、互余的定义等，由对顶角的性质，平角的定义、互余的

定义逐一判断，即可求解；理解对顶角的性质，平角的定义、互余的定义是解题的关键.

【详解】解：A.v乙4OD与NBOC是对顶角，

•1•Z.AOD=Z.BOC,结论正确，故不符合题意；

B.由图得乙4。。=/4。后不一定成立，结论错误，故符合题意；

C.V/-EOD=90°,

•••ACOE=90°,

•­•/.AOE+/.AOC=90°,

,­,Z.AOC=Z.BOD,

乙4OE+NBOD=90。，结论正确，故不符合题意；

D.由图得乙4。。+480。=180。，结论正确，故不符合题意；

故选：B.

2.（2024七年级上•全国•专题练习）2024年香洲区举办了第六届风筝节.如图所示的风筝骨架中，与乙3构

成同旁内角的是（）

A.41B.Z2C.Z4D.Z.5

【答案】A

【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截.根据同旁内角的定义

解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角.

【详解】解：与乙3构成同旁内角的是41.

故选：A.

3.（24-25七年级上•黑龙江绥化•阶段练习）下面四个图形中，41与N2是对顶角的为（）

【答案】C

【分析】本题考查了对顶角.两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可.

【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；

D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

故选：C.

4.（2024七年级上•全国,专题练习）点P为直线MN外一点，点4、B、C为直线MN上三点，PA=4cm,P8=5

cm,PC=2cm,则点P到直线MN的距离为（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质.根据点到直线的距离是直线外的点与直

线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案.

【详解】解：当PC1MN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线MN的距离2cm,

当PC不垂直直线MN时，点P到直线MN的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2cm,

综上所述：点P到直线MN的距离不大于2cm,

故选：D.

5.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）如图在△4BC中"CB=90。，CD1AB,D为垂足，则下列说法中,

错误的是（）

B

A.点B到4C的距离是线段BC的长B.线段CD是4B边上的高

C.线段4C是BC边上的高D.点C到ZB的距离是线段4C的长

【答案】D

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，三角形的高，根据点到直线的距离，三角形的高的概念逐项排

除即可，正确理解点到直线的距离，三角形的高是解题的关键.

【详解】A、点B到4C的距离是线段BC的长，原选项说法正确，不符合题意；

B、线段CD是48边上的高，原选项说法正确，不符合题意；

C、线段AC是边上的高，原选项说法正确，不符合题意；

D、点C到的距离是线段CO的长，原选项说法不正确，符合题意；

故选：D.

6.（24-25七年级上•河南鹤壁•阶段练习）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（）

A.N1与45是内错角B.N3与45是对顶角

C.N1与N4是同位角D.41与42是同旁内角

【答案】C

【分析】根据内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义解答即可.

【详解】解：A.N1与45是内错角，本选项正确，不符合题意，

B.43与45是对顶角，本选项正确，不符合题意，

C.41与44不是同位角，本选项错误，符合题意，

D.N1与乙2是同旁内角，本选项正确，不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义，正确理解定义是解题的关键.

7.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，利用工具测量角，则的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键.利用对顶角相等求解,

即可解题.

【详解】解：根据量角器测量的度数为30。，由对顶角相等可得41=30。.

故选：A.

8.（24-25七年级上•河南南阳•阶段练习）如图，£是直线C4上一点，ZFEX=40°,射线EB平分NCEF,

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，掌握相关知识点并灵活运用是解题关键.

1

先根据平角的对应求出NCEF=140。，射线EB平分NCEF,得出NCEB=NBEF=54CEF=70。，再根据

GE1EF,可得NGEB=乙GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

【详解】•.■/-FEA=40°,

:.Z.CEF=180°-^FEA=140°,

•••射线EB平分NCEF,

."CEB=乙BEF=±CEF=70°,

■.■GE1EF,

:ZGEB=/.GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

故选：B.

9.（24-25七年级上•云南文山•期中）下列各图中，N1与42是内错角的是（）

【答案】A

【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键.两条直线被第三条直线所截形成的

八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.

根据内错角的定义可知，内错角是成"Z"字形的两个角，据此逐项分析可得答案.

【详解】解：A.、N1与N2是内错角，符合题意；

B、N1与N2不是内错角，不符合题意；

C、与N2不是内错角，不符合题意；

D、N1与N2不是内错角，不符合题意；

故选：A.

10.（24-25七年级上•河北衡水•期中）如图，点。在直线4B上，入4。。=22.5。，NBOC=45。，OE平分

/-BOC,贝UEOC的补角是（）

C

C.AAOE^ADOB^AAOC+2LD0ED.以上者B不对

【答案】B

【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及

1

邻补角是解题的关键；由题意易得NBOE=乙COE=%BOC=22.5°=乙4OD,

AAOD+乙BOD=180°=乙BOE+N40E,然后问题可求解.

【详解】解：•.2400=22.5。，48。。=45。，0E平分乙B0C,

1

"BOE=Z-C0E=产0C=22.5°=乙4。0,^AOC=180°-乙B0C=135°,

-Z-AOD+乙BOD=180°=Z-BOE+Z.AOE,

^EOC+乙BOD=180°=（EOC+乙AOE,

MDOE=180°-4AOD-乙BOE=135°,

・・・44。。+4。0£=270。,

综上所述：4EOC的补角为〃OE或“。8.

故选B.

11.（22-23七年级上•陕西咸阳・期末）已知。A1OC,乙4。&乙4OC等于4:5,贝此8。。的度数为.

【答案】18。或162。

【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算.结合图形是做这类题的关键.根据垂直关系知

乙4。。=90。，由乙4。8:乙4。。=4:5,可求乙4。8=72。，根据乙4。8与乙4。。的位置关系，分类求解即可.

【详解】解：・.・oi，oc,

.・.乙4。。=90。，

,：Z.AOB,.Z.AOC=4:5,

.•.乙4。区=72。.

乙4OB的位置有两种：一种是在乙4OC内，一种是在乙40c外.

①当在乙4。。内时，48。。=90。-72。=18。；

②当在N40C外时，ZBOC=90°+72°=162°.

故答案为：18。或162。.

12.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，若乙1=30。/2=110。，贝^3的同位角的大小是,乙3的

内错角的大小是，43的同旁内角的大小是.

【答案】70。70°110°

【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得N3的同位角、内错角都为42的邻补角,

接下来结合42的度数计算即可；同样由图可得N3的同旁内角为42的对顶角，N1与N3为对顶角，据此解答.

【详解】解：由图可得N3的同位角、内错角都为42的邻补角，

又42=110°,

则其同位角大小为180。—110°=70°；

43的内错角大小为180。-110°=70°；

43的同旁内角为N2的对顶角，则大小为110。；

故答案为：70。；70°；110°.

13.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，已知点。是直线ZB上一点，AAOC=50°,。£»平分

乙AOC/BOE=90°,请写出下列正确结论的序号.

E

①NBOC=130。；②乙4。。=25。；③NBOD=155。；（4）ZCOF=45°.

【答案】①②③

【分析】本题主要考查角平分线，根据角平分线的、邻补角和直角的意义求解可得.

【详解】解：因为乙4。。=50。，所以NBOC=180。—乙40c=130。，故①正确；

因为。D平分乙40C,所以〃。。=/力。。=25。，故②正确；

H^ZFOD=180°-AAOD=155°,故③正确；

因为NB0E=90o,A40C=50。，所以NCOE=180。-N40C—NBOE=40。，故④错误。

故答案为：①②③

14.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，直线力B、CD相交于点。.已知NB。。=75°,OE把〃。C分成两

个角，且〃。E=NEOC,将射线OE绕点。逆时针旋转角曲0。<&<360。）至IJOF,若N力。F=120°时，a的度

数是_________

【答案】82.