2025年山东济南数学中考模拟试题（含详解）

2025年山东济南数学中考模拟试题

考试时间：120分钟；总分：150分

学校:姓名：班级：考号：

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）若|刑=3,"是-1的绝对值，则加+w的值为（）

A.2B.-2C.-4D.4或-2

2.（4分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有字母“尸”一面的相对面

上的字母是（）

C.CD.D

3.（4分）下列计算正确的是（）

A.•、3-、2=3\2B.3V5—VS-3

C.2/x3V7=6\7D.*27•+\3=g

4.（4分）如图，菱形ABC。的对角线AC,80相交于点。，过点。作。于点X,连接。

若OA=8,OH=5,则菱形A8C。的面积为（）

A.80B.160C.40D."IS

5.（4分）为了解某校学生对篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球等五类球的喜爱情况，小鹏采用

了抽样调查，在绘制扇形图时，由于时间仓促，还有足球、网球等信息没有绘制完成，已知喜欢

网球的人数少于喜欢足球的人数，根据如图所示的信息，这批被抽样调查的学生中喜欢足球的人

数可能是（）

篮球

25%

乒乓球

羽毛气/32%

'5%/320人

A.120人B.140人C.150人D.290人

6.（4分）如图，若正方形ABC。的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径OE的比值为（）

A.yj

7.（4分）已知点A（-6,ji）,8（-2,券），C（3,*）分别为函数y=:的图象上的三个点.则

yi、＞2、”的大小关系为（）

A.yi<y2<y?>B."VyiV*C.y3<yi<y2D.y3<y2<yi

21

8.（4分）方程---=----的解为（）

r*la

A.x=lB.x=-7C.x=6D.x=5

9.（4分）如图，圆内接四边形ABC。中，ZBCZ）=105°,连接05,OC,OD,BD,ZBOC=2

ACOD.则NCa）的度数是（）

A

A.20D.35°

10.（4分）如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…

第〃行有〃个点，我们将前〃行的点数和记为品，如Si=l,54=10,则品不可能是（)

A.20B.15C.28D.36

二.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

11.（4分）当兀=_________时，分式——二^——的值为0.

l-.r-1-r13x4-4卜

12.（4分）如图，在正六边形A8CDEP的地板上，中间有一个正三角形GMN的阴影区域，其中G,

M,N分别为ARBC,OE边的中点.若一个小球（看作一点）在此正六边形地板上自由滚动,

并随机停留在某处，则该小球停留在阴影区域的概率为

13.（4分）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（NA=25°,/B=65°）沿

向下折叠，点A落在点A'处，当E4〃8C时，Zl=度.

14.（4分）在一次女子800根测试中，小静和小茜同时起跑，同时到达终点；所跑的路程s（m）与

所用的时间Ms）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第I

15.（4分）如图，在矩形ABC。中的CZ）边上取一点E,将△BCE沿8E翻折，使得C恰好落在

边上点尸处，在AF上取一点G,使得AG=Z）R连接BG并延长交直线跖于点H,当△SHE为

等腰三角形时，则器的值为

H

三.解答题（共10小题，满分90分）

16.（7分）计算：++

3

X3V2-

rHlI4

17.（7分）解不等式组并求出它的所有整数解的和.

18.（7分）在菱形ABC。中，点E在2C上，点尸在C£）上，连接AE、AF,分别交BD于G、H

两点，CE=CF.

（1）如图1,求证：AE^AF；

（2）如图2,当/AOB=/EAF=45°时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2

中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形都是锐角三角形（△AGH除外）.

19.（8分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身,

某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡A8=200米，坡度

为L，、耳；斜坡AB改造为斜坡CD,斜坡=260米，其坡度为1：3.求斜坡A3下降的高度AC.（结

果保留根号）

A

C

20.(8分)如图，点。在的直径A3的延长线上，点尸是。O上任意一点，且满足N3PC=N

A.

(1)求证：尸。与。0相切.

(2)若圆的半径为v'5,tanNBPC=当，求切线C尸的长.

21.（9分）学校为调查学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将

测试成绩整理后分成五组：（成绩用x表示，单位：分）

A：50/尤<60；B-.60Wx<70；C：70Wx<80；D-.80«90；E：90^x^100.

下面是给出部分信息：

a：“80〜90”这组的数据如下：

81,83,84,85,85,86,86,87,88,88,88,89

b：不完整的学生测试成绩频数分布直方图和扇形统计图如图：

请根据图中信息解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）在扇形统计图中，“70〜80”这组的圆心角为；

（3）抽取的样本中学生成绩的中位数为分；

（4）成绩80分及以上的为优秀等次，估计全校3000名学生中，优秀等次的约有多少人？

测试成绩频数直方图

22.（10分）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗共1000

株，甲种树苗每株5元，乙种树苗每株8元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%

和95%.

（1）若购买这批树苗共用了6200元，求甲、乙两种树苗各购买了多少株？

（2）若要使这批树苗的成活率不低于93%,且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？

23.（10分）如图，反比例函数尸:（4/0,x>0）与一次函数交于点A,B,过点A的

直线轴，作线段的垂直平分线交直线/于点C,AC=L已知点A的纵坐标为2,点B的

横坐标为1.

（1）求•k,m,b的值.

（2）过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E,连接AE,求AACE的面积.

y

24.(12分)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线yi=无+(；与丫轴交于点4(o,-2),与x

轴交于点3(4,0),连接AB.直线y=-2x+8过点8交y轴于点C,点尸是线段BC上一动点，

过点尸作如，无轴，交线段48于点E,交抛物线于点D

(1)求抛物线的表达式；

(2)设点。的横坐标为根，当EP=5ED时，求相的值；

(3)若抛物线yi=1?+bx+c上有一点H,且满足四边形AB/阳为矩形.

①直接写出此时线段的长；

②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形ALBIFIHI(点A、B、F、”的对应点分别为4、81、

Fi、Hi),点K为平面内一点，当四边形BiSHi是平行四边形时，将抛物线yi=1+bx+c沿其

对称轴上下平移得到新的抛物线”，若新的抛物线”同时经过点K和点Hi,直接写出点K的横

坐标.

25.(12分)已知三角形AOE的顶点E在三角形ABC的内部，点。、点E在直线AC同侧.

(1)如图1,联结8。、BE、CE,若△ABC和△ADE是等边三角形时，点C、点E、点。三点共

线.CE：DE=U2,求&AOE：S^ABC的比值；

(2)如图2,联结8。、BE、CE,NBAC=/DAE=n°(0<w<90),若A8=AC,AD=AE,

求N3EC-/D8E的值(用含”的代数式表示)；

(3)在等腰三角形4BC中，AB=BC=5,AC=8,BH_LAC,点E在高8”上，点。在的延

长线上，联结AE并延长交边BC于点R联结DP,DA,若/DAE=NABH,△A3。与△8。尸相

似时，求注/的长.

参考答案

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.解：根据题意可知，m=±3,n=\-1|=L

・・加=3,YI~~1机=-3,几=1,

m+n=3+l=4或m+n=-3+1=-2,

即m+n的值为4或-2.

选：D.

2.解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“F”与“C”是对面，

选：C.

3.解：A、\母+、，2=2\2+、，2=3\£A符合题意；

B、3、后一\6=2、石，B不符合题意；

C、2V7X3V7=42,C不符合题意；

D、\!7上、3=3,。不符合题意；

选：A.

4.解：•・•四边形A5CD是菱形，

：.OA=OC=8fOB=OD,AC±BD,

AAC=16,

9：DHLAB,

：.ZBHD=90°,

：.BD=2OH=2X5=10f

J菱形ABCD的面积=pCBD=|xl6xlO=80,

选：A.

5.解：根据题意得：3204-32%=1000（人），

喜欢羽毛球的人数为1000X15%=150（人），

喜欢篮球的人数为1000义25%=250（人），

・•・喜欢足球、网球的总人数为1000-320-250-150=280（人），

已知喜欢网球的人数少于喜欢足球的人数，这批被抽样调查的学生中喜欢足球的人数可能是150

人,

选：C.

6.解：连接。。，如图:

:点。是正方形ABC。内切圆和外接圆的圆心,

点0为正方形ABCD的中心，

.../4。。=360°+4=90°，

又：正方形A8CD的内切圆与切于点E,且AB=6,

：.OE±AD,

.•.AE=AD=1/2AB=3,ZAOE=^ZAOD^45°,

...△AE。为等腰直角三角形，

：.AE=OE^3,

在Rt^AOE中，由勾股定理得：OA=\』一，0『=3、：，

.0X3/2r-

..—=-----=v2.

OK3

选：B.

7.解：•・,点A(-6,yi),8(-2,”)，C(3,”)分别为函数的图象上的三个点,

6,6二6,

••内一-6一1'>=~-2~»)8~3-

又,：-3<-1<2,

「•"Vyi

选：B.

8.解：去分母得：2(x-3)=x+l,

解得：x=7,

检验：把％=7代入得：(x+1)(x-3)W0,

・••分式方程的解为x=7.

选：A.

9.解：•・•四边形ABC。是。。的内接四边形，

AZA+ZBC£>=180°,

VZBCZ)=105°,

・・・NA=75°,

・・・N5OO=2NA=150°,

*：ZBOC=2ZCOD,

：.ZCOD=AX150°=50°,

；./CBD=W：COD=25。.

选：B.

10.解：由题知，

Si=l,

S2=l+2,

53=1+2+3,

***f

所以S"=l+2+3+・“+”=(n为正整数)，

由此可见，断的两倍等于相邻两个正整数的积.

因为2X20=40,

但是没有两个连续正整数的积为40,

所以A选项符合题意.

同理可得，5X6=15X2,7X8=2X28,8X9=2X36,

所以BCD选项不符合题意.

选：A.

二.填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)

-1

11.解：,・,分式一:------的值为0,

(X—1)?(3x+4)

・・・/-1=0且(x-1)(3X+4)W0,

4

解得：X=±l且RM一

••x~~-1»

答案为：-1.

12.解：设正六边形的中心为。，则。也是正三角形GMN的中心，连接。4,OG,OF,OM,过点

。作。于点打，如图,

贝（IOGA.AF,

设正六边形ABCDEF的边长为a,

3

则OG=^-a,OH-^-a,GH=GM=2GH--

2

••・5正六边形48。。£尸=6*j4F*OG=3a•­«=M«2,

133Va9内

s正三角形GMN=3X3GM・0"=^£〃・7仁金〃7'

二.-

•・•小球停留在阴影区域的概率=瑟=|'

答案为:

S

13.解：由折叠可知：ZAED=ZArED,

VZA=25°,ZB=65°,

・・・NA+NB=90°,

・•・ZACB=90,

,:EN〃BC,

：.ZAEAf=NACB=90°,

ZAED=ZA'ED=45°,

,:E公〃BC,ZB=65°,

：.ZEFD=ZB=65°,

VZ1+ZEFD+ZA,££>=180°,

.*.Zl=180°-65°-45°=70°.

答案为：70.

BOO

14.解：小茜的速度是■一=4(米/秒)，

200

...小茜所跑的路程s与所用的时间t之间的函数为s=4/(0W/W200).

当60W/W150时，设小静所跑的路程s与所用的时间t之间的函数为s=kt+b(hb为常数，且k

W0),

将坐标(60,360)和(150,540)分别代入s=〃+"

ASc60k+b=360

<150fc+b=540"

解得kO

当60^^150时，小静所跑的路程s与所用的时间t之间的函数为s=2什240.

解得C：温

•••她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒.

答案为：120.

15.解：分三种情况讨论：

①若为等腰三角形，且时，如图1,

n

4GFD

图1

ABEF是由丛BEC折叠得到，

：.ZBFE=ZBCD=90°,ZCBE=二NFBE,

■:BE=BH,

：./HBF=/FBE,

：.ZCBE=ZFBE=/HBE,

连接CR

则，CFLBE,

：.ZDCF+ZBCF=ZCBE+ZBCF=90°,

：.ZDCF=ZCBE,

又尸，AB=CD,NA=N。，

:.AABG空MDF(SAS),

；./CBE=/FBE=/HBF=NABH=gx90。=22.5°,

：./GFM=NFBC=2X225°=45°,

过点G作GMLBE于点M,

:/EBH=NABH,NA=90°,

GM=AG,

又尸，

设AG=Z)F=GM=a,GF=b,

在RTAGMF中,ZGFM=45°,

：.GF=0GM,

即b二\2af

**.AD=AG+GF+FD=ct+b+a=2ci=(2+、2)a,

GF^2a1r

,・一==工~=y2-1;

AD(2+V2)aV2-H

②若△8HE为等腰三角形，且"SnHE时，如图2,

H

:・NHBE=/HEB,

•・・ABEF是由ABEC折叠得到,

；・/HEB=NCEB,

；・NHBE=NCEB,

：.BG//CD,

与题意不符，

・,・此种情况不可能；

③若为等腰三角形，且防=即时，如图3,

：.ZH=ZHBEf

丁ABEF是由丛BEC折叠得到，

：.ZBFE=ZBCD=90°,BC=BF,

.\ZH+ZHBF=90°,

又・・・NABC=90°,

:・/HBE+/ABG+/CBE=9U°,

ZHBF=NABG+/CBE,

连接FC,

由①知N户CD=ZCBE=ZABG=NFBE,

设//C0=ZCBE=ZABG=/FBE=a,

ZHBF=NABG+/CBE=2a,

：.ZABG+ZHBF+ZFBE+ZCBE=a+2a+a+a=5a=90°,

/.a=18°,

：.ZHBF=2a=36°,

■:XD//BC,

：.ZGFB=ZFBC=2a=36°,

：.ZHBF=ZGFB=36°,

•••△GBb是黄金三角形，

.GFv5-l

••一",

BF2

・・•四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC=BF,

.GFvT-l

••'=,

AD2

答案为：、2—1或^---.

三.解答题(共10小题，满分90分)

16.解：V5-2OBW+(1)7+(C-1rH

=3-2x|+4+]

3

3<2-

一

X一

帼-4

7.QoXD

5X一l®

2V

解不等式①得：xW5,解不等式②得：

5

-

二.不等式组解集为:2

.••它的整数解有：-2,-1,0,1,2,3,4,5,

.•.它们的和为-2-1+0+1+2+3+4+5=12.

18.(1)证明：：四边形是菱形，

：.AB=AD=BC=DC,ZABE=ZADF,

,:CE=CF,

：.BC-CE=DC-CF,

即BE=DF,

在△ABE和/中,

AB=AD

^ABE=LADF^

SE=DF

AAABE^AADF(SAS),

：.AE=AF；

(2)解：图2中的符合条件的四个等腰三角形为△A4H、△D4G、△3EG、&DFH,理由如下:

由(1)可知，△ABEmdADF,

：.ZBAE=ZDAFf

\9AB=AD,

：.ZZADB=ZABD=45°,

AZBAD=90°,

\9ZEAF=45°,

AZBAE=ZDAF=22.5°,

AZBAH=ZZ)AG=67.5°,

：.ZBHA=ZDGA=45°+22.5°=67.5°,

AZBHA=ZBAH=ZDGA=ZDAG=61.5°,

：.ABAH,△IMG是等腰三角形，且是锐角三角形，

・・•四边形ABC。是菱形，

:・BC=DC,

：.ZDBC=ZBDC=45°,

VZBHA=ZZ)GA=67.5°,

AZDHF=ZBGE=61.5°,

AZBEG=ZZ)FH=180°-45°-67.5°=67.5°,

J/BGE=ZBEG=ZDHF=/DFH=675°,

:ABEG、△。尸〃是等腰三角形，且是锐角三角形.

19.解：・・,斜坡A8的坡度为1：内

•9•tan^'ABE===洋

AZABE=30°,

.*.AE=AB-sinZABE=200Xsin30°=100(米).

・・,斜坡CO的坡度为1：3,

・CE1

••'=一,

DE3

可设CE=x米，则。E=3x米.

*.•CEr+DE1=CZ)2,CD=260米，

；.7+(3尤)2=26。2,

解得X=26y'lo，

..AC=AE-CE=(100-2*16)米

因此斜坡AB下降的高度AC为(100-26>10<.

/.ZAPB=90°,

'：OA=OP,

：./A=NOE4,

ZA+ZOPB=ZOPA+ZOPB=900,

,//A=NBPC,

：.ZBPC+ZOPB=90°,即/。尸C=90°,

：OP为半径，

；.PC与。。相切；

(2)解：•.•圆的半径为由,

：.AB=2yS，

VtanZBPC=/A=/BPC,

..BP1

..tanA==亍

VZA=ZBPC,NC=NC,

.,.△B4C^ACPB,

CB=1CP=

，J

4/5

:.CP=2CB=

21.解：（1）8+16%=50（人）,50-3-8-9-12=18（人），

补全频数分布直方图如图所示：

测试成绩频数直方图

360°X18%=64.8°,

答案为：64.8°；

（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为------=85.5,

2

答案为：85.5；

(4)3000・1800(人).

答：估计全校3000名学生中，优秀等次的约有1800人.

22.解；（1）设甲种树苗购买了a株，乙种树苗购买了b株,

由题意得：就

fa=600

解得:%=400'

答：甲种树苗购买了600株，乙种树苗购买了400株；

（2）设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗（1000-x）株，

由题意得：90%尤+95%（1000-%）^93%X1000,

解得：xW400,

设购买树苗的总费用为卬元，

由题意得：w=5x+8（1000-尤）=-3尤+8000,

：-3<0,

随x的增大而减少，

.•.当x=400时，w的最小值=-3X400+8000=6800,

此时，1000-%=1000-400=600,

答：购买甲种树苗400株，乙种树苗600株时，成活率不低于93%,且总费用最低.

23.解：（1）连接BC,过点B作直线/于尸，

由题意可知，A（一，2）,B（1,k）,

2

A

-

：.AF=2-k,BF2

VAC=1,

JCF=AF-AC=1-k,

・・•作线段AB的垂直平分线交直线/于点C,

ABC=AC=1,

在RtZkBC尸中，BC2=CF2+BF2,

：.12=(1-fc)2+(1|)2,

A

解得ki=2,fo=9,

当上=2时，则A(1,2),B(1,2)不合题意，舍去;

12

当7时，A(一,2),B(1,—),

12[Im+b=2pn=-2

把A(1,2),B(1,一)代入丁=g+。得＜,，解得]卜12

55(m+b=|3=可

2

以12

52,5

12、

(2)VA(-,2)，B(1,-),

55

36、1、

(一，")，C(一，1)，

555

1

r居l

解得「飞,

设直线CD的解析式为＞=◎+〃，则6

1535(n=Io

・・・此时直线CD为尸聂+看

把尸序代入得:-3+击解得工=

5'

2

：.E(-1,-),

5

.•・£8=1+1=2,

VAF=2-1=|,

.•.△ACE的面积为：EB•.4F=-x2x-=-

55

2

24.解：(1)将A(0,-2),B(4,0)代入yi=4x+Z?x+c得,

[8+4ft+＜=0解得g=T，

二抛物线的表达式为y\=-2；

(2)设直线AB的表达式y=sx+3

VA(0,-2),B(4,0),

.•.*+『，解得卜4

4=-2Q=-2

直线AB的表达式y=-2,

«*

一1□1

设点。的横坐标为相，则。(m,-rrro—^m-2),F(m,-2m+8),E(m,—m-2)，

222

EF=-2m+8-(-m-2)=-^m+10,

22

ED=-2-(-m2—-2)=im2+2m,

2222

■:EF=5ED,

51o

，一彳m+10=5(-m2+2m)，

22

整理得m2-5m+4,

解得m=l或4,

・「O<机<4,

:・m的值为1；

(3)①如图,

•・•直线BBy=-2x+8,

：.C(0,8),

AAC=10,AB==2^fS,BC=、4P+8>=4VS,

.\AC2=AB2+BC2,