2025年山东济南中考数学一轮复习：平面直角坐标系（学生版+教师版）

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

平面直角坐标系与函数初步学生版

知识清单梳理

知识点一平面直角坐标系

1.定义：在平面内，两条互相.且有

的数轴，就组成了平面直角坐标系.其中，水平的数轴叫作入轴或横

轴，铅直的数轴叫作y轴或纵轴.

2.平面直角坐标系中的点和有序实数对是.对应的.

3.各象限内点的坐标的符号特征

八y

第二象限第一象限

(-,+)(+,+)

0X

第三象限第四象限

(+,-)

(1)若点尸(.a,b)在第一象限,则40,b>0.

(2)若点尸(.a,b)在第二象限,则a.0,b

0.

(3)若点尸(a,b)在第三象限，则a.0,b

0.

(4)若点尸(a,b)在第四象限，则a0,b

0.

4.坐标轴上的点的坐标特征

(1)若点尸(a,b)在入轴上，则8=0.

(2)若点尸(a,b)在y轴上，则a=0.

(3)若点尸(a,b)是原点，则a=0且8=0.

5.各象限角平分线上的点的坐标特征

(1)在第一、三象限的角平分线上的点，横坐标和纵坐标相等；

(2)在第二、四象限的角平分线上的点，横坐标和纵坐标互为相反

数.

6.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

(1)平行于％轴的直线上的点的纵坐标相同，横坐标不同；

(2)平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同.

7.坐标系中对称点的坐标特征

(1)点尸(a,b)关于X轴的对称点Pi的坐标为.

(2)点尸(a,b)关于y轴的对称点P2的坐标为.

(3)点尸(a,b)关于原点的对称点p3的坐标为.

(4)点尸(a,b)关于直线y=%的对称点P4的坐标

为.

(5)点尸(a,b)关于直线y=-%的对称点尸5的坐标

为.

(6)点尸(a,b)关于直线％=机对称的点尸6的坐标

为.

(7)点尸(a,Z?)关于直线y=相对称的点尸7的坐标

为.

【拓展】中点坐标公式：若4(a,b),B(c,d)为坐标系中任意

两点，则线段A5的中点坐标为(?，审)A,5两点之间的距离

22

J(c-a)+(d—b).

8•点平移的坐标特征

平移方式I平移后

坐标(a>0,Z?>0)点尸坐标

向左平移。个单

Cx-a,y)

位长度

向右平移。个单

(%+Q,y)

(%,位长度

y)向上平移。个单

位长度

向下平移匕个单

位长度

9.坐标与距离

(1)点尸(a,b)至U%轴的距离是,到y轴的距

离是，到原点的距离是.

(2)在入轴Cy=O)或平行于入轴的直线/：y=b(Z?#0)上的两点

P\(xi,b),尸2(必b)间的距离为IX[-X2I；在y轴(X=0)或

平行于y轴的直线/：x=a(aWO)上的两点Pi(a,yi),Pi(a,

»)间的距离为I%一"I.

知识点二函数及其概念

10.函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量％和修

并且对于变量％的每一个值，变量y都有的值与它

对应，那么我们称y是％的函数，其中％是自变量.

11.函数的三种常见表示方法：列表法，和图象法.

12.函数自变量的取值范围

自变量入的

函数表达式的形式

取值范围

含有分式丁=三

含有二次根式y=

含有分式y—

X—3

及

_1

二次根式，一石---------------

【温馨提示】在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意

义.

13.函数的图象

(1)把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横

坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图

形叫作该函数的图象.

(2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.

高频考点过关

考点一平面直角坐标系中点的坐标特征

1.(2023章丘二模)在平面直角坐标系中，点尸(2,4)关于直线工

=1的对称点的坐标是.

2.在平面直角坐标系中，把点A(m,2)先向右平移1个单位长度，

再向上平移3个单位长度得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，

贝Ijm=.

3.若点〃(机+3,m-1)在第四象限，则根的取值范围

是.

考点二函数自变量的取值范围

4.(2024莱芜模拟)函数y=鼻中，自变量X的取值范围是()

X—2

A.x>2B.X22C.%W2D.x<2

5.函数丁=匹中，自变量"的取值范围是

考点三分析判断函数图象

考法一与实际问题结合

6.(2024商河二模)小明与家人乘车去翠湖游玩，然后返回家中，

小明与小明家的距离y(km)与所用时间t(h)的对应关系如图所示,

以下说法错误的是()

A.小明全家去翠湖时的平均速度为80km/h

B.小明全家停车游玩了4.5小时

C.小明全家返回时的平均速度为60km/h

D.小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为J小时

7.(2023济南)学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分

别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条

路匀速前进.如图所示，/i和/2分别表示两人到小亮家的距离s(km)

和时间1(h)的关系，则出发h后两人相遇.

8.(2024章丘二模)甲、乙两地相距360km,一辆货车从甲地以60

km/h的速度匀速前往乙地，到达乙地后停止.在货车出发的同时，另

一辆轿车从乙地沿同一公路匀速前往甲地，到达甲地后停止.两车之

间的路程y(km)与货车出发时间％(h)之间的函数关系如图中的

折线CO—DE—E/所示.其中点。的坐标是（0,360）,点。的坐

标是（2,0）,则点E的坐标是

考法二与几何图形结合

9.（2024高新二模）如图1,在长方形尸。中，动点H从点N出

发，沿N—尸一。一V方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为

%,三角形的面积为y,如果y随工变化的图象如图2所示，则

三角形MNR的最大的面积是

10.（2024济阳二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目

前电量为20%（如图1）,经测试，在用快速充电器和普通充电器对

该手机充电时，其电量y（单位：％）与充电时间％（单位：h）之间

的函数图象分别为图2中的线段A'AC先用普通充电器充电ah后,

再改为快速充电器充满电，若一共用时4h,则。的值

为

p

目前电量20%

图1

达标演练检测

1.函数一中，自变量％的取值范围是（）

x-2

A.x>2B.%22

C.%W2D.x<2

2.在平面直角坐标系中，点尸（2,—3）关于％轴对称的点P，的坐标

是（）

A.（—2,—3）B.（—2,3）

C.（2,-3）D.（2,3）

3.由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时

溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性.若将给定的NaOH溶液加水稀

释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体

积V之间对应关系的是（）

4.（2023外国语模拟）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直

角坐标系中，若顶点N的坐标分别为（3,9）,（12,9）,则

顶点A的坐标为

5.（2024平阴二模）一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后,

立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶

向乙地，中途因故停车工h后，继续按原速驶向乙地，两车距甲地的

4

路程y（km）与慢车行驶时间》（h）之间的函数图象如图所示，则

慢车的速度为km/h.

6.如图1,AABC中，ZABC=60°,。是边上的一个动点（不

与点B,。重合）,DE//AB,交AC于点E,EF//BC,交于点

尸.设的长为％,四边形5DE尸的面积为y,y与％的函数图象是如

图2所示的一段抛物线，其顶点尸的坐标为（2,3）,则A5的长

为.

7.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里,

弩马日行一百五十里.弩马先行一十二日，问良马几何日追及之？”

如图是两匹马行走路程s（里）关于行走时间才（日）的函数图象,

则两个函数图象交点P的坐标是.

8.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，沿箭头所示

的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点尸1（0,1）,尸2（1,1）,

P3（1，0）,P4（I，-1）,P5（2,-1）,…则点P2025的坐标

是.

9.小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下

结论：①当％V—1时，％越小，函数值越小；②当一时，x

越大，函数值越小；③当0<%<1时，％越小，函数值越大；④当工

>1时，％越大，函数值越大.其中正确的是.（只

填写序号）

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

平面直角坐标系与函数初步教师版

知识清单梳理

知识点一平面直角坐标系

1.定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴,就

组成了平面直角坐标系.其中，水平的数轴叫作入轴或横轴，铅直的

数轴叫作y轴或纵轴.

2.平面直角坐标系中的点和有序实数对是■对应的.

3.各象限内点的坐标的符号特征

第二象限第一象限

(-,+)(+,+)

0X

第三象限第四象限

(1)若点尸(。，b)在第一象限，则a>0,Z?>0.

(2)若点尸(a,b)在第二象限，则。<0,b>0.

(3)若点尸(a,b)在第三象限，则a<0,b<0.

(4)若点尸(a,b)在第四象限,则a>0,b<0.

4.坐标轴上的点的坐标特征

(1)若点P(a,b)在入轴上，则b=0.

(2)若点尸(a,b)在y轴上，则Q=0.

(3)若点尸(a,b)是原点，则。=0且b=0.

5.各象限角平分线上的点的坐标特征

(1)在第一、三象限的角平分线上的点，横坐标和纵坐标相等；

(2)在第二、四象限的角平分线上的点，横坐标和纵坐标互为相反

数.

6.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

(1)平行于％轴的直线上的点的纵坐标相同，横坐标不同；

(2)平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同.

7.坐标系中对称点的坐标特征

(1)点尸(Q,b)关于％轴的对称点a的坐标为(a,—b).

(2)点、P(a,b)关于y轴的对称点尸2的坐标为.

(3)点尸(a,b)关于原点的对称点尸3的坐标为(一”，—b).

(4)点P(a,b)关于直线＞=%的对称点04的坐标为"，“).

(5)点尸(。，b)关于直线y=-x的对称点尸5的坐标为b

-a).

(6)点尸(a,b)关于直线％=加对称的点尸6的坐标为「加一”,

b).

(7)点尸(a,b)关于直线丫=加对称的点尸7的坐标为(，/,

一匕).

【拓展】中点坐标公式：若A(a,b),B(c,d)为坐标系中任意

两点，则线段AB的中点坐标为(?，9)A,5两点之间的距离

22

J(c-a)+(d—b).

8•点平移的坐标特征

点-―平移方式n平移后I

坐标(a>0,Z?>0)点P坐标

向左平移。个单

(x-a,y)

位长度

向右平移。个单

(%+a,y)

(%,位长度

y)向上平移。个单

(%,y+b)

位长度

向下平移》个单

(%,y—Z?)

位长度

9.坐标与距离

(1)点尸(a,b)到上轴的距离是IZd,到y轴的距离是_L

生J—，到原点的距离是卜十乒.

(2)在入轴Cy=O)或平行于入轴的直线/：y=b(Z?#0)上的两点

P\(%i,b),P2(M8)间的距离为IX]~X2I；在y轴(4=0)或

平行于y轴的直线/：x=a(aWO)上的两点Pi(a,yi),Pi(a,

#)间的距离为Iyi一”I.

知识点二函数及其概念

10.函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量％和修

并且对于变量％的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应,那

么我们称y是％的函数，其中％是自变量.

11.函数的三种常见表示方法：列表法，关系式法和图象法.

12.函数自变量的取值范围

自变量入的

函数表达式的形式

取值范围

含有分式丁=匕“3

含有二次根式y=

V%

含有分式一五

且#3

x—3

及

_1

二次根式y一舌x>0

【温馨提示】在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意

义.

13.函数的图象

(1)把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横

坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图

形叫作该函数的图象.

(2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.

高频考点过关

考点一平面直角坐标系中点的坐标特征

1.(2023章丘二模)在平面直角坐标系中，点尸(2,4)关于直线工

=1的对称点的坐标是(0,4).

2.在平面直角坐标系中，把点A（m,2）先向右平移1个单位长度,

再向上平移3个单位长度得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，

则m=4.

3.若点M（m+3,m-1）在第四象限，则m的取值范围是一3<九

<1.

考点二函数自变量的取值范围

4.（2024莱芜模拟）函数y=鼻中，自变量％的取值范围是（A)

x~2

A.x>2B.%22C.%W2D.x<2

5.函数丁=在拦中，自变量％的取值范围是—2且xWl.

JX—1--------------------------------------------

考点三分析判断函数图象

考法一与实际问题结合

6.（2024商河二模）小明与家人乘车去翠湖游玩，然后返回家中,

小明与小明家的距离y（km）与所用时间t（h）的对应关系如图所示,

以下说法错误的是（D）

A.小明全家去翠湖时的平均速度为80km/h

B.小明全家停车游玩了4.5小时

C.小明全家返回时的平均速度为60km/h

D.小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为J小时

O

7.（2023济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分

别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条

路匀速前进.如图所示，/i和/2分别表示两人到小亮家的距离s（km）

和时间1（h）的关系，则出发0.35h后两人相遇.

8.（2024章丘二模）甲、乙两地相距360km,一辆货车从甲地以60

km/h的速度匀速前往乙地，到达乙地后停止.在货车出发的同时，另

一辆轿车从乙地沿同一公路匀速前往甲地，到达甲地后停止.两车之

间的路程y（km）与货车出发时间％（h）之间的函数关系如图中的

折线CD—QE—石尸所示.其中点。的坐标是（0,360）,点。的坐

标是（2,0）,则点E的坐标是（3,180）.

考法二与几何图形结合

9.（2024高新二模）如图1,在长方形MNP。中，动点R从点N出

发，沿N—P一。一"方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为

%,三角形的面积为y,如果y随工变化的图象如图2所示，则

三角形MNR的最大的面积是12.

10.（2024济阳二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目

前电量为20%（如图1）,经测试，在用快速充电器和普通充电器对

该手机充电时，其电量y（单位：％）与充电时间％（单位：h）之间

的函数图象分别为图2中的线段A'AC先用普通充电器充电ah后,

再改为快速充电器充满电，若一共用时4h,则。的值为.

达标演练检测

1.函数产士中,自变量x的取值范围是（C）

A.x>2B.X22

C.%W2D.x<2

2.在平面直角坐标系中，点尸（2,—3）关于％轴对称的点的坐标

是（D）

A.（-2,-3）B.（-2,3）

C.（2,-3）D.（2,3）

3.由化学知识可知，