2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试卷（含答案解析）

山东省2025年初中学业水平考试

数学学科模拟试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.数轴上点A表示的有理数为-4,点B表示的有理数为-1,点P在线段NB上，则点P表示的数可能是

A.-5B.-3

2.我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%.以下新

能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（）

C.理想D.蔚来

3.国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队

突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线

粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科

学计算法表示为（）

A.1.8x10-9B.0.18x10-°C.18x10D.1.8x107°

4.把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看.下列方法得到的平面图形是长

方形的是（）

D从左面看,

A.截面,B截面C.侧面

展开

5】满足4加-3（加+1）22020的最小整数冽是（）

A.2020B.2022C.2023D.2024

6.小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（）

①（-a].q=_7；②Q10+Q2=Q5；③（一/3）=Q%6；④2—.（一3、2+1）=-6/+1;

（5）（x+2）（x+l）=x~+3x+2.

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教

试卷第1页，共10页

科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘

（其中两张卡片上是“春，，字，另外两张上是“福”字）.现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的

字不相同的概率为（）

8.荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画.将其视为如图2的扇形环面（由扇形

048挖去扇形0C。），403=108。，0c的长度是10cm,的长度是30cm,则该环形荷花装饰挂画的

面积是（）

A.160兀cmB.2407rcmC.3607tcmD.4807icm

9.下列命题中正确的是（）

A.如果a,b,c是一组勾股数，那么4a,4b,4c也是一组勾股数

B.如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3,那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的两边分别是3,4,那么斜边一定是5

D.任何一个定理都有逆定理

10.如图，线段NB=20cm,。是线段48上的中点，P、。是线段48上的动点，点尸沿/fB/以4cm/s

的速度运动，点。沿以2cm/s的速度运动.若尸、0点同时运动，当。P=。。时，运动时间为（）.

PQ

III11

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.

11.请写出一个二次根式,使它满足只含有一个字母x,且当x22时有意义.

12.对于实数a,6定义一种新运算“☆”如下:a^b=ab2-ab,例如4^3=4x32-4x3=24,则关于x的

方程1☆x=2的根为.

试卷第2页，共10页

13.如图，一次函数V=x+4的图象与y轴交于点A,点5是线段CM上一点.过点5作y轴的垂线/,直

线/与一次函数y=x+4的图象交于点与正比例函数>=2x的图象交于点N.当点M与点N关于y轴

对称时，OB=______.

Ax

14.如图，将反比例函数了=夕发>0,x>0)的图像绕着坐标原点。顺时针旋转e°(0<a<90),旋转后的图

15.我们知道，一元二次方程x2=-l没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“i”,

使其满足i2=-l(即方程X2=-1有一个根为i).并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原

有运算律和运算法则仍然成立，于是有i』i,i2=-l,i3=i2«i=(-1)-i=-i,i4=(i2)2=(.1)2=1,从而对于任

意正整数n,我们可以得到i4n+l=i4n.i=。4)n.i=i,同理可得igjl,i4n+3=/,j41M.那么

i+i2+i3+i4+...+i2015+i2016+i2017的值为

三、解答题：本题共8小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本题每小题5分，共10分)

⑵▲rJ卜屋,再选一个合适的X的值代入求值，其中XE且尤为整数.

试卷第3页，共10页

17.（本小题满分10分）

平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个

点与原来的两个中点组成的四边形是菱形.为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列

问题：

如图，在平行四边形4BCD中，E、尸分别为边48、CD的中点，连接瓦L

⑴尺规作图：作出EF的垂直平分线，交直线8c于点G、H,GH交EF于点O,连接

EG、FG、FH、（只保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上:

证明：在平行四边形4&CD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

■:E、尸分别为48、CD的中点，

/.AE=-AB,DF=-CD,

22

.•.①,AE//DF,

四边形NEED为平行四边形，

EF//AD//BC,

：.GO=OH,

'/GH为EF的垂直平分线，

.,.③,

四边形EGW为平行四边形，

•?EF1GH

四边形EGHf为菱形.

小希进一步研究发现，当平行四边形/5CD为正方形时，四边形EGFH的形状为④

试卷第4页，共10页

18.（本小题满分10分）

如图，点3（2,〃）是直线>=幻（左。0）上的点，如果直线>=幻（左。0）平分々Ox,轴于A,BCly

轴于C.

（1）求左i的值;

（2）如果反比例函数歹=与（左2，0）的图像与8。、54分别交于点。、E,求证：OD=OE；

4

⑶在（2）的条件下，如果四边形ADOE的面积是A/8O面积的求反比例函数的解析式.

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19.(本小题满分11分)

为促进中学生对传统年俗文化知识的了解,重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”,

并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩(百分制)，通过收集、整理、描述和

分析（得分用X表示，共分为四组：A.90<X<100,B.80Vx<90,C.70Vx<80,D.X<70）,得

到如下不完全的信息：

八年级所抽取学生竞赛成绩条形图

八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表

年级平均数中位数众数

八年级86.6m86

九年级86.688.5n

八年级抽取的竞赛成绩在3组中的数据为：89,88,86,86,86,86

九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99,98,96,96,94,92,92,90,90,89,

88,88,88,82,81,77,77,76,73,66

请根据以上信息完成下列问题:

(1)填空：m=,n=______,并补全八年级的成绩条形统计图；

(2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由(写出一

条理由即可)；

(3)规定在90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1600名，请你估计

八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？

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20.（本小题满分11分）

【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题：

（1）如图1,在等腰Rt44BC中，/2=NC,NB4C=90。,点D,£在边3c上，且ND/E=45。,小红对

小波说：“图中线段BD、和EC有一定的数量关系，你知道吗?”

小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点/逆时针转90。得到A/CR连接EF,就能证出

Ba+EC2=QE2小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指.

【解决问题】

①若AB=672,EC=4,则BD=；

②请你帮助小波证明他的结论.

【情境理解应用】

（2）小波接着对小红说：“如图2,在四边形4BCD中,NBAD=/BCD=9。度,AB=AD,ZACD=45°,

若48=50,3C=6,你知道/C的长吗?”，小红会意点了头.小红的答案是1C=.

试卷第7页，共10页

21.(本小题满分12分)

【问题提出】

(1)如图1,尸是半径为5的。。上一点，直线机是OO外一条直线，于点0,圆心。到直线加的

距离为7,则线段尸。的最大值为:

【问题探究】

(2)如图2,点尸是正方形/BCD内一点，连接8尸、CP,则NAPC=90。，若4B=4,求4P的最小值;

【问题解决】

(3)如图3,有一块形状为的湿地，其中NA4c=90。，AB=6km,AC=3km.点。是/C上的

一个动点，以AD为直径在A/BC内作半圆。，现要将半圆。建为观测区，连接BRAD与半圆。交于点£,

连接CE,沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值.

试卷第8页，共10页

22.（本小题满分12分）

根据以下素材，探索完成任务.

图①是宁宁家安装的户外遮阳篷.图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面

的墙面上，篷面安装点/离地面4米，篷面与墙面的夹角/。48=60。，篷面宽/。=3米.除

此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架VN稳定篷面.支架儿W的安装方式如下：

点M固定在墙面上，位于点/的正下方，即点/,M,2共线；点N固定在篷面上离/点1

米处（点N,。共线），即NN=1米，支架AW与墙面的夹角N/MV=45。.

素材1

图①图②

宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角a（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表:

时刻12点13点14点15点

角a的正切值432.52

宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的

地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点£.

图③

任务1确定安装点请求出支架儿W的固定点M与/点的距离的长.

任务2确定影子长请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度.

判断能否照这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点£处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，

任务3

射到请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围.

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23.(本小题满分14分)

2

已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线M=炉-4,y2=ax+x为常数).

(1)若抛物线弘=/-4与x轴正半轴的交点落在抛物线了2=办?+》上，求。的值；

(2)已知抛物线了2=。/+无可由抛物线乂=/-4绕点尸旋转180。得到，求点P的坐标;

(3)若在-4Vx40的范围内，始终存在求。的取值范围(直接写出答案).

试卷第10页，共10页

《山东省2024-2025学年初中学业水平模拟考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BBDCCDABAC

1.B

【难度】0.85

【知识点】用数轴上的点表示有理数

【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的位置关系是解题关键.根据数轴上点P的

位置在-4和-1之间，再由选项中的数据可得点尸表示的数.

【详解】解：因为点A表示的有理数为-4,点B表示的有理数为-1,点尸在线段上，

所以点尸表示的数大于等于-4且小于等于-1,

只有选项B符合要求，

故选：B

2.B

【难度】0.85

【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个

点就是它的对称中心.

根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

C.不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

3.D

【难度】0.94

【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数

【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为axl(T,其中

1<H<10,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起

答案第1页，共22页

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.00000000018=1.8xlO-10,

故选D.

4.C

【难度】0.85

【知识点】截一个几何体、从不同方向看几何体、几何体展开图的认识

【分析】本题考查了几何体的展开图以及认识平面图形，掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题

的关键.根据圆柱、圆锥的特征解答即可.

【详解】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意；

选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意；

选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意；

选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意.

故选：C.

5.C

【难度】0.85

【知识点】求一元一次不等式的整数解

【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，在对于不等式整数解，要先确定未知数的取值

范围，再找到满足题意的整数解.

先求出不等式的解集，再找到最小整数解即可.

【详解】4m-3（m+l）>2020,

去括号，4m-3m-3>2020,

移项、合并同类项，得机22023,

,最小整数加是2023.

故选：C.

6.D

【难度】0.85

【知识点】积的乘方运算、同底数幕的除法运算、单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多

项式

【分析】本题主要考查了哥的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算

答案第2页，共22页

法则是解题的关键.

【详解】解：=故①计算正确；

故②计算错误；

（-a2Z>3）2=^b6,故③计算正确；

2X2.（-3X2+1）=-6X4+2X2,故④计算错误；

（x+2）（x+1）=x2+lx+x+2=x2+3x+2,故⑤计算正确；

...计算正确的有3个，

故选：D.

7.A

【难度】0.65

【知识点】列表法或树状图法求概率

【分析】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并

准确找出满足条件的情况，是解题的关键；

首先明确靶盘的布局，然后找出所有可能的投掷结果，并确定其中两次射中卡片上的字不相

同的结果数，最后计算概率.

【详解】解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福

1”，“福2”.

春1春2福1福2

春1春1春1春2春1福1春1福2春1

春2春1春2春2春2福1春2福2春2

福1春1福1春2福1福1福1福2福1

福2春1福2春2福2福1福2福2福2

两次射中卡片的总情况有16种，即每张卡片都有可能被射中两次，形成4x4=16种组合.

射中“春''和"福''的组合有8种，即（春1,福1）,（春1,福2）,（春2,福1）,（春2,福2）,

以及反向的（福1,春1）,（福1,春2）,（福2,春1）,（福2,春2）.这8种情况满足条

件.

答案第3页，共22页

O1

因此，两次射中的卡片上的字不相同的概率为尸=77=彳，

162

故选：A.

8.B

【难度】0.85

【知识点】求扇形面积

【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是：

108^-x3021087rxIO?

------------------------------=2407cm2),

360360''

故选：B

9.A

【难度】0.85

【知识点】勾股树(数)问题、判断三边能否构成直角三角形、判断命题真假、互逆定理

【分析】根据勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识分别判断后即可确定正确的选

项.

【详解】解：A、因为a,b,c是一组勾股数，所以4a,4b,4c也是一组勾股数，则是真

命题，故本选项符合题意；

B、设这一个三角形的三个内角的度数分别为x,2x,3x，因为x+2x+3x=180。，则x=30°,

即这一个三角形的三个内角的度数分别为30。,60。,90°,即该三角形为直角三角形，设最短

边长为加，则斜边长为27M,较长直角边为J(2加『-加2=6〃,所以这个三角形三个内

角所对的边之比1:6:2,则是假命题，故本选项不符合题意；

C、4也可能为斜边，则是假命题，故本选项不符合题意；

D、任何一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，则是假命题，故本选项不符合

题意；

故选：A

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义、三角形的性质、勾股

定理等知识，属于基础题，比较简单.

10.C

【难度】0.65

答案第4页，共22页

【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题

【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解

题的关键.设运动时间为/S,分别表示出。尸和0。的长，再结合OP=。。列出方程，求出:

的值即可解答.

【详解】解：••・线段/8=20cm,。是线段上的中点，

AO=—AB=10cm，

2

设运动时间为is，则BQ=2/cm,

AQ=AB-NQ=(20-2。cm,

•••OQ=\AQ-AO\=|20-2f-10|=|10-2t\cm,

•••点P沿/f5f4以4cm/s的速度运动，

，分两种情况讨论：

①当点P沿4fB运动时，点P到达点B需要时间20+4=5s,

当0WfW5时，AP=4/cm,

:.OP=\AO-AP\=\iQ-^t\cm,

■：OP=OQ,

.■.|10-4z|=|10-2?|,

.­.10-4/=10-2;aK10-4^=2；-10,

解得：f=0或f=

②当点P沿Bf/运动时，此时5WfW10,BP=At-20,

尸=20-(4/-20)=(40-4/)cm,

<9P=|^P-T10|=|40-4?-10|=|30-44cm,

■：OP=OQ,

.-.|30-4z|=|10-2/|,

.­.30-4f=10-2/^30-4?=2/-10,

解得：f=10或”毛20，

，综上所述，当。尸=。0时，运动时间为0s、©s、型s或10s.

33

答案第5页，共22页

故选：c.

II.7^2（答案不唯一）

【难度】0.94

【知识点】二次根式有意义的条件

【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

【详解】解：由题意可知：7^2（答案不唯一）满足条件，

故答案为：4^2（答案不唯一）.

12.&=2,%2=一1

【难度】0.85

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“☆”的定义将方程2转化为

一般式，然后根据因式分解法解方程即可.

【详解】解：Va^b=ab2-ab,

♦♦[☆尤=x~-x=2,

^=2,迎=-1,

故答案为：%=2,x2=-1.

13.-II-

33

【难度】0.65

【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数图象与坐标轴的交点问题、正比例函数的

性质

【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性

质，先求解4（0,4）,设N（私2〃?），可得再结合一次函数的性质可得加的值，

从而可得答案.

【详解】解：：一次函数^=尤+4的图象与与V抽交于点A,

.,.当x=0时，y=4,

在正比例函数y=2x的图象上，

答案第6页，共22页

设N（加,2加）,

・・•点〃与点N关于y轴对称，

—m+4=2m,

解得：«=p

•。8

..2m=—,

3

Q

：.OB=~,

3

故答案为：g.

14.8器

【难度】0.65

【知识点】求反比例函数解析式、解直角三角形的相关计算、角度问题（旋转综合题）

【分析】作出点/旋转前的对应点3，根据旋转的性质可得48CM=a,OB=OA=2由,

过点2作轴于点C,根据tanc="得出8C="0C,根据勾股定理求出OC=4,

22

即可得出点2的坐标，再用待定系数法求解即可.

【详解】解：设点/旋转前的对应点为点5,则48。4=々，

：/（25,0）,

OA=2不，

：■OB=OA=2行，

过点2作轴于点C,

；tana=@

2

.BC@，则

OC22

根据勾股定理可得：BC2+OC2=OB2,

</T\22

则℃?+y-OC=(2近了,

解得：OC=4,负值舍去,

答案第7页，共22页

/.BC^—OC=243,

2

AS（4,273）,

把8（4,26）代入y=:得：左=4x26=8后，

故答案为：8出.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，求反比例函数解析式，解题的关键是

掌握旋转前后对应点到旋转中心连线相等，所成的夹角等于旋转角，勾股定理，以及用待定

系数法求解函数表达式的方法.

15.i

【难度】0.85

【知识点】观察与实验

［详解】试题解析：；il=i,/2=-1,z3=z2.i=(-l).z=-i,i4=(z2)2=(-l)2=l.

可以发现它们4个一循环，一个循环的和为0.

z•+产+产+了+…+产。K+严6+严

故答案为大

点睛：,.'Z1=i,i2=-l,z3=i2-/=(-l)-z=-z,z4=(z2)2=(-l)2=l,z5=i,i6=-l.

可以发现4个数一个循环，而循环内的和为0.即可计算.

2

16.(1)—4；(2)---,x=0时，原式=2.

x+1

【难度】0.65

【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、负整数指数幕、特殊角三角函数值的混合运算

【分析】本题主要考查了含特殊角的实数运算、分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法

则是解题关键.

答案第8页，共22页

(1)根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零次幕、负整数指数幕、平方根以及乘方

的性质求解即可；

(2)先化简分式，在根据分式有意义的条件选择x的值代入求值即可.

【详解】(1)解：原式=1+若一2-1-6+2-4=-4;

x-14(x+l)_2

(2)解：原式=

2(x+l)2x-1x+1

要是分式有意义，贝卜片士1,

.'.x=0,原式=2.

17.⑴见解析

G0

(2)@AE=DF,②"―，®OE=OF,④正方形

OH

【难度】0.65

【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形、由平行截

线求相关线段的长或比值

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握

性质和判定是解答本题的关键.

(1)分别以点E,尸为圆心，大于!斯的长为半径画弧，两弧将于点M,N,过点N

作直线，则直线"N为跖的垂直平分线；

(2)根据菱形的判定定理进行判断即可.

【详解】(1)解：如图，直线为跖的垂直平分线，

(2)证明：在平行四边形22CD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

'：E、尸分别为CD的中点，

答案第9页，共22页

AE=—AB,DF=—CD,

22

：.@AE=DF,AE//DF,

四边形AEFD为平行四边形,

EF//AD//BC,

为E尸的垂直平分线，

:.③OE=OF,

四边形EGW为平行四边形

:EF1GH,

四边形EGEH■为菱形.

小希进一步研究发现，当平行四边形/8C。为正方形时，四边形EGM的形状为④正方形.

理由：当平行四边形为正方形时，如图，

AGD

•••四边形/BCD是正方形，

AB=BC=CD=DA,AA=NB=NC=ND=90°,AB//CD,AD//BC,

,:E、尸分别为CO的中点，

AAE=-AB,DF=-CD,

22

AE=DF,

,/AE//DF,

.••四边形AEFD为平行四边形，

又NN=NO=90°,

答案第10页，共22页

.・・ZAEF=ZDFE=90°,

・•・四边形/EF。为矩形，

・・.EF=AD.

：.AE=-EF,

2

•・•GH为EF的垂直平分线，

.・.OE=OF=AE,

又GH1AD,

GO=AE=OE,

同理可得，OF=OH,

：.GH=EF,且互相垂直平分，

，四边形EGW是正方形

故答案为：①AE=DF，②生，③OE=OF,④正方形.

OH

18.(1)1

(2)见详解

⑶”白

【难度】0.65

【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、求反比例函

数解析式

【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用、角平分线的性质定理、勾股定

理、坐标与图形等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题.

(1)首先根据角平分线的性质定理以及点B坐标，可得/3=8。=2,进而可得*2,2),

然后将其代入y小,即可求得匕的值;

⑵根据题意作出图像，结合题意可得。(与高，,与，进而可得0。=。£=杵+4,

即可证明结论;

(3)首先求得是A/80面积，进而可得金边形处结合。|^1,2],£[2,日，求得

4

S四边形5QOE=S四边形ON"-SAONE—SAOCQ=4-左2,进而解得左2=§,即可获得答案.

答案第n页，共22页

【详解】(1)解：：直线了=/x(%/0)平分々Ox,轴于A,8C,了轴于C,

AB=BC,

又；B(2,H),

：.AB=BC=2,

：.8(2,2),

将点B(2,2)代入y=kxx,

可得2=2占，解得匕=1；

(2)如下图，

:反比例函数＞=与的图像与8C、A4分别交于点。、E,

X

(3)V5(2,2),氏4_11轴于人，5。_1歹轴于。，

：・OA=OC=BC=AB=2,

：.S.„=-OA-AB=-x2x2=2,

“B0O22

4

1/四边形BDOE的面积是“BO面积的§,

,&_f_48

••Q四边形5OOE—一§/一§，

,•需吟〉

:.CD上,AE=4,

22

答案第12页，共22页

,•S四边形Q80E-S四边形0/8C-S^OAE-S40CD=2x2-5义2、寸一5义2、寸二4一左2，

即有4—左2=85,解得e=4!，

...反比例函数的解析式为y=金.

3%

19.(1)87,88.5,补图见解析

(2)九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析

(3)680人

【难度】0.65

【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求中位数、求众数

【分析】(1)根据中位数和众数的定义可求出如，?，根据条形统计图求出成绩在。组的学

生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图；

(2)根据平均数、中位数和众数判断即可；

(3)用1600乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解；

本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解

题的关键

【详解】(1)解：由题意可得，机=登普=87,

•••九年级抽取的学生竞赛成绩中88分的人数最多，

72=88,

故答案为：87,88.5,

由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在。组的学生人数为20-8-6-4=2人，

...补全八年级的成绩条形统计图如下：

八年级所抽取学生竞赛成绩条形图

(2)解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下:

答案第13页，共22页

两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级

学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优秀；

答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有680人.

20.(1)①3②见解析(2)7A/2

【难度】0.65

【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解

【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相关

结论是关键.

(1)①由题意得8。=血/8=12，8。+。石=8,根据8。2+42=(8-8。『,即可求解；

②A/AD绕点/逆时针转90。得到A/CF,连接EF,则△/加＞乌/MB,ZFAD=90°,推

出。尸=BD,AF=AD,NACF=ZABD=45°,NFCE=90°；再证AFAEADAE，得EF=ED,

即可求解；

(2)作/G_LCD,由题意求得/。=/8=5拒,5。=7118=10,CD=8；根据N/CD=45。，

可推出NG=CG；根据DG2+/G2=4D2,得到关于/G的方程，即可求解;

【详解】解：(1)①,：四=66，

BC=mAB=12,

,：CE=4,

BD+DE=8,

*.*BD2+EC2=DE2,

SD2+42=(8-SD)2,

解得：BD=3,

故答案为：3；

②证明：VAB=AC,ABAC=90°,

；.N4cB=NB=45°；

:qBD绕点、/逆时针旋转90。得到“CF,连接EF,如图所示：

答案第14页，共22页

则△45。名A4C尸，/FAD=90°,

:・CF=BD,AF=AD,ZACF=ZABD=45°,ZCAF=ZDAB,

・•・ZFCE=ZACF+ZACB=90°；

9：ZDAE=45°,

：./DAB+ZCAE=90°-/DAE=45°,

：.ZFAE=ZCAF+ZCAE=/DAB+ZCAE=45°,

^FAE=^DAE,

EF=ED；

CF2+CE2=EF2，

BD2+EC2=DE2;

(2)作/G_LCD于G,如图所示：

；4B=AD,NB4D=9Q°,

是等腰直角三角形，

AD^AB=5A/2,BD=6AB=1Q，

,：ZBCD=90°,

CD=y]BD2-BC2=8；

：48=45°,AG1CD,

：.ZCAG=45°,

答案第15页，共22页

，/G=CG,

DG=CD-CG=CD-AG=8-AG；

DG2+AG2^AD2,

：.（8-/G）2+/G2=（5团2,

解得：NG=1或NG=7,

AC=6AG，

AG=G或AC=1C，

在A/C£>中，ZACD=45°,ZADC=ZADB+ZBDC=45°+ZBDC>45°,

/.AC>AD,

AC=16,

故答案为：7夜.

21.（1）12；（2）275-2;（3）（372-3）km

【难度】0.65

【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆与三角形的综合（圆

的综合问题）

【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形

的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键.

（1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解；

（2）根据题意得点P的轨迹在以5c为直径的圆O上部分，连接/。，交圆。于点P,此

时的《尸’即为4P的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解；

（3）连接/E,根据题意得：/AED=90。,以4B为直径作圆°,/BEA=90°,得出点£

在以4B为直径作圆。上，然后结合图形确定当点。、E、C三点共线时，CE取得最小值，

利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：过点O作耳。J■加，如图所示：

答案第16页，共22页

Pl

由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径OP不变,

可知此时42最大，

最大值为7+5=12,

故答案为：12；

(2)根据题意得BC=4是定值，NBPC=90。,

...点P的轨迹在以BC为直径的圆。上部分，如图，

连接NO,交圆。于点P,

此时的工尸即为NP的最小,

二•四边形48。是正方形，

；.AB=BC=4,ZABC=90°,

•：BO=OP'=-BC=2,

2

AO=y]AB2+BO2=A/42+22=2#＞，

AP'=AO-OP'=2A/5-2,

/P的最小值为2遥-2;

(3)如图，连接/E,根据题意得：ZAED=9Q°,

以AB为直径作圆Q,ZBEA=90°,

...点E在以为直径作圆。上，

答案第17页，共22页

连接。£,

当点0、E、。三点共线时，CE取得最小值，

VZBAC=90°,AB=6km,/C=3km.

：.AQ=QE=^AB=3km,CQ=J/。+AC?=3®m,

CE=CQ-QE=(34i-^m,

,CE的最小值为(3后-3卜m.

B

22.任务1：米；任务2：独二^米，任务3：大于迪二米.

262

【难度】0.65

【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活

运用是解此题的关键.

任务1：过N作司于解三角形即可求出==

2

HM=———=—,进而可得=

tanZAMN22

任务2：过。作DGLAB于G,过B作。K工8c于K,得四边形8KZJG为矩形，再解三角

形求出。G=NGsinND48=之叵米，4G=1■米，进而求出BG=DK=1•米，DG=BK=^~

米，根据13点时，太阳高度角a=BZ>EK,由旌=—券/即可完成任务2,

任务3：由表格可知，在12时-15时，角。的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14

时，此时8E的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时酸=匹=1米，即

tana

可完成任务3.

【详解】解：任务1：如图，过N作HNLAM于H,

答案第18页，共22页

A

图②

：.ZNHA=ZNHM=90°,

又ZDAB=60°,ZAMN=45°,

HN=ANsinADAB=1x—=—（米），

22

AH=ANcosZDAB=lx-=-（米），

22

HN百.6zsrz\

HN1-------------------i-tan45°——（），

tanZAMN22

任务2：如解图2,过。作。G_L48于G,过8作DK13C于K,

则ZDGB=ZDKB=ZABC=90°,

二四边形BmG为矩形，

BG=DK,DG=BK,

3米，NDAB=60°,

ADG=AGsinZDAB=3x—=—（米）,

22

13

AG=ADcos/DAB=3x—=—（米），

22

HN百.6,迎、

HM=-------------=——4-tan45^=——（米），